Curso de conjuntos y números. Notas sobre el Lema de Zorn y la aritmética de cardinales arbitrarios Juan Jacobo Simón Pinero Curso 2017/2018 1. Introducción y preliminares Como hemos visto, la Teoría de Conjuntos se construye sobre la base de axiomas. A lo largo del curso ha quedado clara la base axiomática de cada resultado. Vamos a comentar algunos resultados sobre orden y aritmética de cardinales arbitrarios, cuyas demostraciones resultan más simples si nos valemos del Lema de Zorn, un axioma que enunciaremos más adelante. Esto no quiere decir que los resultados dependan de este axioma, sino que las demostraciones se simplifican mucho. En el Capítulo 2 de los Apuntes introdujimos el axioma de elección y en el Capítulo 3 el principio de la buena ordenación. Vamos a repasarlos. Axioma de Elección. 1. Sea I un conjunto arbitrario y {A i } i I una familia. Si cada A i es no vacío entonces se puede elegir un elemento de cada conjunto. O, equivalentemente 2. Sea I un conjunto no vacío y {A i } i I una familia de conjuntos no vacíos. Entonces el producto directo i I A i es no vacío. Principio de la Buena Ordenación. Si A es un conjunto no vacío, entonces existe una relación de orden en A tal que (A, ) es un conjunto bien ordenado. También comentamos que estos axiomas son equivalentes y de hecho no es demasiado difícil la demostración, aunque excede los intereses de nuestro curso (puede consultarse en [6, 9]). Se tiene un axioma más, que también es equivalente a los anteriores, conocido como el Lema de Zorn. Para enunciarlo, primero tenemos que introducir un concepto nuevo. 1.1. Definición. Sea (A, ) un COPO. Una cadena en A es un subconjunto C A tal que, bajo el mismo orden heredado (C, ), es un conjunto linealmente ordenado. 1
La cadena puede escribirse C = {c i } i I, donde I es un conjunto linealmente ordenado y c i A, con c i c j si y solo si i j. Visto en un diagrama de Hasse sería una sola línea ascendente. 1.2. Ejemplo. Considérese el Ejemplo 3.1.10 de los Apuntes. Se tiene C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relación de orden parcial dada por la inclusion. El diagrama de Hasse asociado es: {1, 2, 3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1} {2} {3} Así que, entre otras cadenas tenemos C = {, {1}, {1, 2} {1, 2, 3}}. Ahora vamos con el axioma. 1.3. Lema de Zorn Sea A un conjunto parcialmente ordenado. Si toda cadena C A tiene cota superior entonces A tiene elementos maximales. Se puede probar (por ejemplo en [6, Section 16] o en [9, Section 7.3]) que el Lema de Zorn es equivalente a los dos axiomas anteriores. 1.1. Los resultados Como consecuencia del Teorema de Bernstein 1 [(5.8.2) de los Apuntes] se tiene que dados dos cardinales a y b, arbitrarios, si se verifica que a b y a b entonces a = b; es decir, se tiene antisimetría (aunque la colección de todos los cardinales no es un conjunto), pero no dice nada sobre la tricotomía. Vamos a comenzar probando que cualesquiera dos cardinales son comparables. 1.4. Teorema. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Entonces necesariamente ocurre una de las dos siguientes posibilidades. Existe una aplicación inyectiva de A en B o bien una aplicación suprayectiva de A sobre B. Demostración. Se considera la colección de todas las parejas X = {(D, f) D A y f : D B es inyectiva}. 1 No conocemos argumento alguno de demostración de este resultado donde el uso del Lema de Zorn nos lleve a una simplificación, así que seguimos sin incluir la demostración. 2
Como los elementos están tomados del producto cartesiano de dos conjuntos, se tiene que X es un { conjunto. Definimos la relación en X dada por (D, f) D E (E, g) si y solo si. El lector puede comprobar que es un orden g D = f parcial. Se afirma que el COPO (X, ) satisface las hipótesis del Lema de Zorn. Vamos a verlo. Consideremos una cadena C = {(D i, f i )} i I en X y hacemos D = i I D i, junto con la correspondencia f : D B tal que f(d) = f i (d) con d D i. El lector debe comprobar que el valor de f(d) no depende del índice i elegido (siempre que d esté en D i ), por lo que la correspondencia es una aplicacion bien definida y además (D i, f i ) (D, f) para todo i I; así que (D, f) es cota superior. Entonces, por el Lema de Zorn, X tiene maximales. Consideremos uno, digamos, (D, f). Si D = A ya terminamos directamente. Si f(d) = B (si f es sobre), entonces fijamos un punto cualquiera en B, digamos b B y definimos g : A B tal que g(x) = f(x) si x D y g(x) = b si x A \ D. Claramente g : A B es aplicación suprayectiva, y ya terminamos. Falta el caso en que D A y f(d) B. Consideremos a A \ D y b B \ F (D). Definimos D = D {a} y g : D B tal que g(x) = f(x) si x D y g(a) = b, para el elemento elegido a A \ B. Claramente g : D B es aplicación inyectiva, con D D y g D = f, lo cual contradice que (D, f) es maximal. Así que el último caso no puede ocurrir y se tiene el resultado. 1.5. Corolario. Vale la ley de tricotomía en los cardinales; es decir. Dados dos cardinales a y b ocurre una y solo una de las opciones siguientes: a = b, a < b o a > b. Ahora vamos con las operaciones. 1.6. Suma binaria Sean a y b cardinales arbitrarios con representantes A y B tales que A B = (siempre se pueden elegir así). Se define a + b = A B. Se puede probar (véase la hoja de problemas) que en el caso en que A y B son finitos, esta suma corresponde con la definida en N. 1.7. Producto binario Sean a y b cardinales arbitrarios con representantes A y B (ya no se exige nada). Se define a b = A B. Se puede probar (véase la hoja de problemas) que en el caso en que A y B son finitos, este producto corresponde con el definido en N. Sea I un conjunto y {m i } una familia de cardinales arbitrarios con sendos representantes N i. Hacemos M i = N i {i} y formamos la colección {M i }. Es claro que los elementos de dicha colección son disjuntos dos a dos; es decir, M i M j = si y solo si i j. Así que dada una familia arbitraria de cardinales siempre se puede construir un conjunto de representantes disjuntos dos a dos. 3
1.8. Suma arbitraria Sea I un conjunto y {m i } una familia de cardinales con representantes {M i } disjuntos dos a dos. Se define m i = M i. i I Se puede probar (véase la hoja de problemas) que en el caso finito, esta suma corresponde con la definida en N. 1.9. Ejercicio. Probar que, en la situación de la definición anterior, si m j = m para todo i I entonces i I m i = I m. Respuesta: Hacemos M i = M {i} y se tiene i I M i = M I; así que i I M i = M I = I m. Vamos ahora a ver propiedades de la suma y el producto. 1.10. Teorema. Sea A un conjunto infinito. Entonces A = A + A. Demostración. Sea X = { {B i } i I I es un conjunto, B i A, B i = N, B i B j =, i j } ; es decir, el conjunto de las colecciones de subconjuntos de A, numerables y disjuntos dos a dos. Nótese que X es conjunto y, de hecho, X P (P(A)). Definimos el siguiente orden parcial en X. Para dos elementos en X, se tiene {B i } i I {C j } j J si y solo si I J y para todo i I, B i = C i ; es decir, que solo se compara si aumentaron los elementos de la colección. Es inmediato comprobar que X junto con es un COPO. Consideremos una cadena en X, digamos C. Hacemos J = { I {B i } i I C }. Se afirma que esta cadena tiene cota superior. Para cada j J, se tiene que j I, con {B i } i I C, para algún I, luego se tiene un B j {B i } i I. Así formamos {B j } j J y se puede comprobar que {B j } j J X y además para todo {B i } i I C, se tiene que {B i } i I {B j } j J X. Aplicamos el Lema de Zorn, y así, X tiene elementos maximales. Consideremos uno de ellos, digamos M X, y si M = {B j } j J hacemos M = j J B j. Ahora se afirma que B = A \ M es finito. Supongamos que no y sea B B un subconjunto numerable (que sabemos que existe por el Teorema 1.4). Entonces hacemos K = J {x}, con x J y B x = B que será numerable. De este modo, M = {B j } j J < {B k } k K, lo cual es imposible, pues M es maximal. Así que B es finito. Remplazamos cualquier B j M, abusando de la notación, por B j := B j B que también es numerable (recordemos que se ha probado en los Apuntes que N + N = N ). Nótese que ahora se tiene A = j J B j, con B i B j = para todo i j y los B j numerables; así que A = j J B j = J N. i I 4
Como cada B j es numerable, sabemos que podemos partirlo en dos subconjuntos numerables, digamos B j = N j M j con N j M j =. Hacemos N = j J N j y M = j J M j. Es claro por la construcción, que N = J N y M = J N. Finalmente, A = N M = N + M = J N + J N = A + A. 1.11. Corolario. Si A o B son infinitos entonces A + B = máx{ A, B }. Demostración. Sean a = A y b = B. Podemos suponer SPG que a b (véase el Corolario 1.5) y por tanto B es infinito (aunque A pueda serlo también). Consideremos representantes de a y b, digamos A y B con A B =. La desigualdad B A + B = A + B es inmediata. Sea x B y hacemos B = B x. Claramente B B =. Entonces A + B = A B B B = B + B = B + B = B, de donde se tiene la otra desigualdad y por el Teorema de Bernstein, ya se tiene el resultado. 1.12. Corolario. Si A o B son infinitos entonces A B = máx{ A, B }. Vamos ahora con el producto. 1.13. Teorema. Si A es infinito entonces A = A A. Demostración. Sea X = {(B, f) B A, y f : B B B es biyectiva}. Nótese que X = ya que N A ; es decir, A contiene subconjuntos numerables. { B C Definimos el orden parcial en X como (B, f) (C, g) si y solo si. g B = f Se afirma que X, junto con satisface las hipótesis del Lema de Zorn. Consideremos una cadena {(B i, f i )} i I arbitraria. Hacemos B = i I B i y definimos la correspondencia f : B B B tal que f(b) = f i (b) si b B i. Por la naturaleza del orden, se tiene que f es aplicación; así que (B, f) es cota superior para la cadena considerada y por el Lema de Zorn, X tiene elementos maximales. Sea (M, f) un maximal. Entonces M = M M = M M. Como M se tiene trivialmente que ha de ser infinito. Se afirma que M = A. Supongamos que no; es decir, tenemos M < A y hacemos D = A \ M. Entonces, por (1.11) se tiene que D = A. Elegimos un subconjunto E D tal que E = M (esto se tiene por transitividad del orden de los cardinales). Vamos a construir una aplicación ϕ : M E (M E) (M E) tal que extienda a f; es decir, que ϕ M = f. Definimos un conjunto P, tal que que (M E) (M E) = (M M) P ; es decir, P = (E E) (E M) (M E) (por la distributividad). Nótese que los uniendos de P son disjuntos dos a dos, así que P = E E + E M + M E M = E = M M + M M + M M M = M M = M + M + M (1.11) = M = E 5
y por tanto, existe una aplicación biyectiva g : E P. Finalmente definimos ϕ : (M E) (M M) P tal que { f(x) si x M M ϕ(x) =. g(x) si x E Claramente, M M E y ϕ M = f, lo cual contradice la maximalidad de M. Así que M = A y se tiene el resultado. Referencias [1] M. Alsina, C. Busqué, E. Ventura, Problemes d Álgebra, UAB, Barcelona, 1990. [2] R. Antoine, R. Camps, J. Moncasi, Introducció a l álgebra abstracta, UAB, Barcelona, 2007. [3] T. S. Blyth y E. F. Robertson, Algebra Through Practice, Book 1, Cambridge UP, Cambridge, 1984. [4] H. Cárdenas, E. Lluis, F. Raggi y F. Tomás, Álgebra Superior, Ed. Trillas, México, 1979. [5] M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente y M. Rodríguez, Álgebra y Fundamentos, Ariel, Barcelona, 2000. [6] P. R. Halmos, Naive Set Theory, Van Nostrand, Nueva York, 1960. Hay edición en español de CECSA, México, 1976. [7] I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2nd, ed., Wiley, Nueva York, 1975. [8] A. del Río, J. J. Simón, A. del Valle, Álgebra Básica, U. Murcia-Diego Marín, Murcia, 2000. [9] R. L. Vaught, Set Theory. An Introduction, Birkhäuser, Boston, 1985. [10] F. Zaldívar, Fundamentos de 2005. Álgebra, FCE-U. Metropolitana, México, 6