Variables aleatòries 2010-11
Variables aleatòries Definicions bàsiques i propietats Variables aleatòries discretes, funció (de massa) de probabilitat, exemples, funció de distribució Variables aleatòries contínues, funció densitat de probabilitat, exemples, funció de distribució 2
Definicions bàsiques Definició Variable aleatòria Donat un espai de mostres S sobre el qual hi ha definida una probabilitat P, una variable aleatòria X és una funció que assigna un nombre real a cada sortida dins S. Definició Variable aleatòria discreta X és una v.a. discreta si el seu rang X(S) és un conjunt comptable, X(S)=S x ={x 1,x 2,...}. En cas contrari, es diu que és contínua (encara que més endavant exigirem una condició addicional). Definició Variable aleatòria finita X és finita si tots els valors amb probabilitat diferent de zero estan en un conjunt finit S x ={x 1,x 2,..., x n } 3
Funció (de massa) de probabilitat Definició Funció (de massa) de probabilitat La funció (de massa) de probabilitat (fp) d una v.a. discreta és P X (x)=p[x=x]. Notem que el que representem com X=x és el conjunt de sortides de S que tenen són la anti-imatge per X del nombre real x. És un esdeveniment i, per tant, té una probabilitat. Teorema Donada una v.a. discreta X amb fp P X (x) i rang S x : Per a qualsevol x, P X (x) 0 x S x P X(x)=1 Per a qualsevol B S x, la probabilitat de l esdeveniment anti-imatge de B per X,que representem com X B és: 4
Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria de Bernoulli X és una v.a. de Bernoulli si la seva fp és de la forma (amb 0<p<1) Exemples 5
Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria binomial X és una v.a. binomial si la seva fp és de la forma (amb 0<p<1 i n 1) P X ( x) = n p x 1 p x 0 altrament ( ) n x x = 0,1,2,...,n Exemples 6
Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria geomètrica X és una v.a. geomètrica si la seva fp és de la forma (amb 0<p<1) Exemples 7
Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria discreta uniforme X és una v.a. discreta uniforme si la seva fp és de la forma (amb k<l) P X ( x) = 1 x = k,k +1,...,l l k +1 0 altrament Exemples 8
Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria de Pascal X és una v.a. de Pascal si la seva fp és de la forma (amb 0<p<1 i k 1) 9
Exemples de v.a. discretes Definició Variable aleatòria de Poisson X és una v.a de Poisson de paràmetre α>0 si la seva fp és de la forma P X ( x) = α x e α x = 0,1,2,... x! 0 altrament Exemples 10
Funció de distribució (acumulativa) Definició Funció de distribució (acumulativa) La funció de distribució (acumulativa) (o fd) d una v. a. discreta (o contínua ) és 11
Propietats de la fd d una v.a. discreta Teorema Per a qualsevol v.a. discreta X amb rang S X ={x 1,x 2,...} tal que x 1 x 2... F X (- )=0 i F X ( )=1 (en sentit de límits) Si x x, F X (x ) F X (x): la fd és no decreixent Per x i S X, i per ε un nombre positiu arbitràriament petit, F X (x i )-F X (x i - ε)=p X (x i ) F X (x)=f X (x i ) per a tot x tal que x i x<x i+1 Teorema Per a tot b a, F X (b)-f X (a)=p[a<x b] 12
Propietats de la fd per a v.a. en general Teorema Per a qualsevol v.a. X (discreta o contínua) F X (x) és no decreixent en x F X (- )=0 (en sentit de límit) F X (+ )=1 (en sentit de límit) P[x 1 <X x 2 ]=F X (x 2 )-F X (x 1 ) P[X>x]=1- F X (x) 13
V.a. contínues i funció densitat de probabilitat Definició Variable aleatòria contínua X és una v.a. contínua (en sentit estricte) si la seva fd F X (x) es pot obtenir d una funció de densitat de probabilitat f(d)p, és a dir, hi ha una funció f(x), no negativa i no necessàriament única, tal que per a qualsevol dos nombres reals x 1 x 2 es verifica: 14
Propietats de la fd i la f(d)p Definició F X (x + ) i F X (x - ) són els límits per la dreta i l esquerra de la fd. Teorema Per a qualsevol v.a. X contínua amb f(d)p f X (x) f X (x) 0 per a tot x F X (x) = F X (x + ) (la fd és contínua per la dreta) P(X<x) = F X (x - ) 15
V.a. contínues uniformes Definició v.a. uniforme X és una v.a. uniforme si la seva densitat de probabilitat és de la forma (on b>a) Exemples
V.a. normals o gaussianes Definició V.a. normal o gaussiana Una v.a. X és normal o gaussiana de paràmetres µ X i σ X >0 si la seva densitat de probabilitat és Es pot comprovar que, efectivament, la suma de probabilitat és 1. 17
V.a. exponencial Definició V.a. exponencial X és una v.a. exponencial de paràmetre β>0 si la seva densitat de probabilitat és de la forma 18
Quantils d una v.a. contínua Definició Quantil d una v.a. contínua Si, a més de contínua, la df d una v.a. contínua X és 1-1, a F -1 (p) (0<p<1) la coneixem com a funció quantil de X; i també denominem F -1 (p) el 100p percentil de X. 19