LABORATORIO Nº 4 MOMENTO DE INERCIA I. LOGROS Determinar experimentalmente el momento de inercia de cuerpos s respecto a sus ejes de simetría. Verificar experimentalmente el teorema de Steiner. II. PRINCIPIOS TEÓRICOS El momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a cambios en su movimiento rotacional. Para cuerpos s con una distribución continua de masa y considerando un eje de rotación arbitrario, viene dado por: (1) siendo la distancia perpendicular del elemento de masa al eje de rotación. Si el eje de rotación es el eje de simetría que pasa a través del centro de masa (CM) del cuerpo, el momento de inercia toma su valor mínimo. Figura 1. Momento de inercia alrededor del eje de simetría Esfera sólida.. (a) Cilindro sólido o disco. (b) Así por ejemplo, el alrededor del eje de simetría del cilindro sólido, disco y esfera sólida, cada uno de masa y radio, se muestran en la figura 1. Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 1
Si se desplaza paralelamente el eje de rotación una distancia respecto al eje de simetría del cuerpo de masa, su momento de inercia es dado por: (2) Esta relación es llamada el Teorema de Steiner o Teorema de los ejes paralelos. La figura 2 muestra un cuerpo sobre un eje de torsión con un resorte espiral. Si desplazamos un ángulo respecto a la posición de equilibrio (P.E), el resorte ejerce un momento de torsión de restitución sobre el cuerpo hacia la P.E., según la ley de Hooke: (3) Figura 2. El resorte espiral ejerce un momento de torsión hacia la P.E. proporcional a. donde es la constante de torsión del resorte. Si dejamos oscilar libremente el cuerpo, despreciando el rozamiento del aire, se origina un movimiento armónico simple (MAS) angular, cuyo periodo viene dado por la expresión: (4) donde obtenemos que: ( ) (5) Usaremos esta última ecuación para calcular experimentalmente el momento de inercia de cuerpos s, midiendo el periodo de oscilación del cuerpo en base al sistema de la figura 2 y sabiendo que Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 2
III. PARTE EXPERIMENTAL a) Materiales y Equipos: - Una (01) cilindro sólido. - Una (01) esfera. - Una (01) placa de soporte para el cilindro. - Un (01) eje de torsión. - Un (01) trípode (base para eje de torsión). - Un (01) disco de metal. - Una (01) balanza de tres brazos (división de escala: 0.1 g) - Un (01) cronómetro. - Una (01) regla (división de escala 1 mm) - Un (01) vernier o pie de rey. - Un (01) nonio. b) Procedimiento: Figura 3. Montaje experimental para el cálculo experimental del momento de inercia alrededor del eje de simetría. Parte 1: Determinación del de la esfera. 1. Mida la masa y el radio y regístrelos en la tabla 1. 2. Monte el sistema experimental que se muestra en la figura 3.a, posicionando la esfera en el eje de torsión. Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 3
3. Desplace un ángulo respecto a su posición de equilibrio (máximo 180 ) en sentido de compresión del resorte y déjelo oscilar libremente. 4. Mida el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones en torno a su eje de simetría. 5. Realice 4 veces más los procedimientos (3) y (4) y luego obtenga el tiempo promedio. Registre este dato en la tabla 1. 6. Calcule el periodo de oscilación, sabiendo que y regístrelo en la tabla 1. Parte 2: Determinación del del cilindro sólido. 7. Mida la masa y el radio del cilindro. 8. Adhiera el cilindro a la placa de soporte como en la figura 3.b y repita los pasos de (3) a (6), registrando los datos en la tabla 2.1. 9. Retire el cilindro de la placa de soporte como se aprecia en la figura 3.c y repita nuevamente los procedimientos de (3) a (6), registrando los datos en la tabla 2.2. Parte 3: Verificación del teorema de Steiner. 10. Mida la masa y el radio del disco. 11. Repita los procedimientos de (3) a (6) registrando los datos en la tabla 3, ubicando el disco en el eje de torsión de manera que oscile alrededor de su eje de simetría, como se muestra en la figura 4.a 12. Sitúe el disco de forma que oscile en torno a otro eje de rotación paralelo al anterior y mida la distancia entre los ejes, como se muestra en la figura 4.b. Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 4
13. Repita los procedimientos de (3) a (6), registrando los datos en la tabla 3. (Tener en cuenta que el desplazamiento será un ángulo mínimo de 270 y máximo de 360 ). c) Actividad Figura 4. Montaje experimental para la verificación del teorema de Steiner. Calcule: 1. El momento de inercia experimental de la esfera usando la ecuación (5), y regístrelo en la tabla 1. 2. El momento de inercia experimental del cilindro sólido adherido a la placa de soporte como, y regístrelo en la tabla 2.1. Usar la ecuación (5). 3. El momento de inercia experimental de la placa de soporte y regístrelo en la tabla 2.2. Usar la ecuación (5). 4. El momento de inercia experimental del cilindro sólido y regístrelo en la tabla 2.3. Para ello use: Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 5
5. El momento de inercia referencial de la esfera y cilindro sólido usando las ecuaciones que se muestran en la figura 1 según corresponda, registrándolos en la tabla 1 y tabla 2.3 respectivamente. Registre en la tabla 3: 6. El momento de inercia experimental del disco con el eje de torsión en el eje de simetría, usando la ecuación (5). 7. El momento de inercia referencial del disco con el eje de torsión en el eje de simetría usando la ecuación correspondiente que se muestra en la figura 1. 8. El momento de inercia experimental del disco con el eje de torsión a la distancia del eje de simetría usando la ecuación (5). 9. El momento de inercia referencial del disco con el eje de torsión a la distancia del eje de simetría usando la ecuación (2), tomando como el valor encontrado en la actividad (7). 10. Calcule el error relativo porcentual de los valores del momento de inercia según correspondan. IV. RESULTADOS Los datos obtenidos, regístrelos en la tabla 1, tabla 2 y tabla 3. Tabla 1. Datos y cálculo del momento de inercia alrededor del eje de simetría de la esfera. Esfera sólida Masa (kg) Radio (m) Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 6
Tabla 2. Datos y cálculo del momento de inercia alrededor del eje de simetría del cilindro sólido. Masa = (kg) Radio = (m) Tabla 2.1 Cilindro sólido en la placa de soporte Tabla 2.2 Placa de soporte Tabla 2.3 Cilindro sólido Tabla 3. Datos y cálculo de la verificación del teorema de Steiner. Masa = (kg) Radio = (m) Eje de torsión Disco Eje de simetría Distancia del eje de simetría Autor: Fís. Oscar Félix Vivanco Valerio. Laboratorio Nº 4: Momento de Inercia Página 7