BACHILLERATO FÍSICA 3. CAMPO ELÉCTRICO R. Artacho Dpto. de Física y Química
Índice CONTENIDOS 1. Interacción electrostática 2. Campo eléctrico 3. Enfoque dinámico 4. Enfoque energético 5. Movimiento de partículas en un campo eléctrico uniforme 6. Teorema de Gauss CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Asociar el campo eléctrico a la existencia de carga y caracterizarlo por la intensidad de campo y el potencial. 2. Reconocer el carácter conservativo del campo eléctrico por su relación con una fuerza central y asociarle en consecuencia un potencial eléctrico. 3. Caracterizar el potencial eléctrico en diferentes puntos de un campo generado por una distribución de cargas puntuales y describir el movimiento de una carga cuando se deja libre en el campo. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE 1.1. Relaciona los conceptos de fuerza y campo, estableciendo la relación entre intensidad del campo eléctrico y carga eléctrica. 1.2. Utiliza el principio de superposición para el cálculo de campos y potenciales eléctricos creados por una distribución de cargas puntuales. 2.1. Representa gráficamente el campo creado por una carga puntual, incluyendo las líneas de campo y las superficies de energía equipotencial. 2.2. Compara los campos eléctrico y gravitatorio estableciendo analogías y diferencias entre ellos. 3.1. Analiza cualitativamente la trayectoria de una carga situada en el seno de un campo generado por una distribución de cargas, a partir de la fuerza neta que se ejerce sobre ella. 2
Índice CRITERIOS DE EVALUACIÓN 4. Interpretar las variaciones de energía potencial de una carga en movimiento en el seno de campos electrostáticos en función del origen de coordenadas energéticas elegido. 5. Asociar las líneas de campo eléctrico con el flujo a través de una superficie cerrada y establecer el teorema de Gauss para determinar el campo eléctrico creado por una esfera cargada. 6. Valorar el teorema de Gauss como método de cálculo de campos electrostáticos. 7. Aplicar el principio de equilibrio electrostático para explicar la ausencia de campo eléctrico en el interior de los conductores y lo asocia a casos concretos de la vida cotidiana. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE 4.1. Calcula el trabajo necesario para transportar una carga entre dos puntos de un campo eléctrico creado por una o más cargas puntuales a partir de la diferencia de potencial. 4.2. Predice el trabajo que se realizará sobre una carga que se mueve en una superficie de energía equipotencial y lo discute en el contexto de campos conservativos. 5.1. Calcula el flujo del campo eléctrico a partir de la carga que lo crea y la superficie que atraviesan las líneas del campo. 6.1. Determina el campo eléctrico creado por una esfera cargada aplicando el teorema de Gauss. 7.1. Explica el efecto de la Jaula de Faraday utilizando el principio de equilibrio electrostático y lo reconoce en situaciones cotidianas como el mal funcionamiento de los móviles en ciertos edificios o el efecto de los rayos eléctricos en los aviones. 3
1.1. Qué es la carga eléctrica? 3. CAMPO ELÉCTRICO 1 Interacción electrostática La carga eléctrica en movimiento es la propiedad de la materia que señalamos como causa de la interacción electromagnética. La unidad en el SI es el culombio (C), cantidad de carga que atraviesa una sección de conductor en un segundo cuando la intensidad de corriente es de un amperio. La carga eléctrica está cuantizada y su unidad más elemental es la del electrón, e = 1,6 10 19 C Existen dos tipos de cargas, positiva y negativa, de este modo la interacción puede ser atractiva o repulsiva. La carga eléctrica se conserva en cualquier proceso que tenga lugar en un sistema aislado. 4
1 Interacción electrostática EJERCICIO 1 Determina la carga correspondiente a 1 mol de electrones. Dicha carga se conoce comúnmente como la unidad de Faraday. 5
1 Interacción electrostática 1.2. Ley de Coulomb u r F La fuerza con la que se atraen o repelen dos cargas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. u r F u r F F u r F = k qq r 2 u r k 9 10 9 N m 2 /C 2 k no es una constante universal k = 1 4πε es la permitividad del medio, en el vacío, ε 0 8,9 10 12 C 2 La fuerza varía conforme al inverso del cuadrado de la distancia. Es central y, por tanto, conservativa. Depende del medio F = N m 2 1 qq 4πε r 2 u r 6
Principio de superposición 3. CAMPO ELÉCTRICO 1 Interacción electrostática F 24 q 1 q 4 F 14 F 34 La fuerza de interacción entre dos cargas puntuales no varía en presencia de otras cargas. La fuerza resultante que actúa sobre una carga dada es igual a la suma de las fuerzas individuales que se ejercen sobre dicha carga. q 2 q 3 F 4 = F 14 + F 24 + F 34 F 4 = k q 1q 4 r 14 2 u 14 + q 2q 4 r 24 2 u 24 + q 3q 4 r 34 2 u 34 7
1 Interacción electrostática EJERCICIO 2 Tres cargas, q 1 = +4 C, q 2 = -10 C y q 3 = -6 C, están situadas, respectivamente, en los puntos (0, 0,3), (0, 0) y (0,2, 0). Determina la fuerza que actúa sobre la carga q 3. 8
2 Campo eléctrico Campo eléctrico es la región del espacio cuyas propiedades son alteradas por la presencia de una carga El campo esta definido por: Su intensidad en cada punto (desde una perspectiva dinámica) Su potencial en cada punto (desde un punto de vista energético) Efecto del campo sobre una carga testigo: La fuerza que actúa sobre la carga (desde un punto de vista dinámico) La energía potencial (desde un punto de vista energético) +q +q q 9
3.1. Intensidad del campo eléctrico 3. CAMPO ELÉCTRICO 3 Campo eléctrico. Enfoque dinámico Se define intensidad del campo eléctrico, E, en un punto como la fuerza que actúa sobre la unidad de carga testigo positiva colocada en dicho punto, E = F q (unidad es N C ) E = F q = k qq r 2 u r q E = k q r 2 u r E E El sentido del campo coincide con el sentido del movimiento que adquiriría una carga testigo positiva colocada en reposo en un punto del campo. 10
3 Campo eléctrico. Enfoque dinámico EJERCICIO 3 Un electrón y un protón son abandonados en reposo en una región donde el campo eléctrico es E = 200 i N/C. Determina: a) La fuerza que actúa sobre cada partícula. b) La aceleración que adquieren. c) La distancia que habrán recorrido en 1 s. 11
3 Campo eléctrico. Enfoque dinámico 3.1. Intensidad del campo eléctrico Principio de superposición E 2 E 3 E 1 La intensidad del campo creado por un número cualquiera de cargas puntuales es igual a la suma de los campos originados individualmente por cada una de las cargas. q 1 E = E 1 + E 2 + E 3 = n i=1 E i = k n i=1 qi r i 2 u i q 2 q 3 12
3 Campo eléctrico. Enfoque dinámico EJERCICIO 4 Un dipolo eléctrico es un sistema formado por dos cargas iguales de signo opuesto separadas una pequeña distancia. Supongamos un dipolo formado por dos cargas (+q y q) separadas por una distancia 2d. Imaginemos también que el dipolo se encuentra sobre el eje X y está centrado en el origen. Cómo calcularías el campo en un punto P del eje Y a una distancia y del origen? 13
3 Campo eléctrico. Enfoque dinámico 3.2. Representación del campo eléctrico mediante líneas de fuerza Las líneas de fuerza se trazan de modo que su dirección y sentido coinciden en cada punto del espacio con los de la fuerza que actuaría sobre una carga testigo positiva. Son radiales y simétricas en cargas puntuales (fuentes y sumideros) Su número es proporcional al valor de la carga. Son tangentes al vector E en cada punto. Dos líneas no pueden cortarse nuca. 14
4 Campo eléctrico. Enfoque energético 4.1. Energía potencial electrostática Trabajo realizado por un campo eléctrico W = r F d r = r k qq r r 2 u dr r d r = kqq r 2 = kqq 1 r + 1 W = k qq r Si sig q = sig q W = E P E P = k qq r q F ext r q F eléc Realizamos trabajo contra el campo (aumentamos su energía potencial) q q r F elec El campo realiza trabajo (disminuye su energía potencial) 15
4.1. Energía potencial electrostática 3. CAMPO ELÉCTRICO 4 Campo eléctrico. Enfoque energético Trabajo realizado por un campo eléctrico Si sig q sig q W = E P E P = k qq r q F eléc r q El campo realiza trabajo (disminuye su energía potencial) q F eléc q r F ext Realizamos trabajo contra el campo (aumentamos su energía potencial) 16
4 Campo eléctrico. Enfoque energético EJERCICIO 5 Tenemos dos cargas de +3 C y 2 C inicialmente separadas 30 cm. Calcular el trabajo realizado para acercarlas 15 cm. Explica el significado del signo del trabajo. 17
4 Campo eléctrico. Enfoque energético 4.1. Energía potencial electrostática Energía potencial de un sistema de partículas q 3 q 1 E P = k q 1q 2 r 12 + q 1q 3 r 13 + q 2q 3 r 23 q 2 La energía potencial de un sistema de partículas es el que mide el trabajo necesario para aproximar dichas cargas a sus posiciones desde el infinito 18
4 Campo eléctrico. Enfoque energético EJERCICIO 6 Determina la energía potencial electrostática de un sistema formado por cuatro partículas cargadas, q 1 = +2 C, q 2 = - 2 C, q 3 = + 2 C y q 4 = -2 C, situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Razona el significado físico del signo del resultado. 19
4.2. Potencial electrostático 3. CAMPO ELÉCTRICO 4 Campo eléctrico. Enfoque energético El potencial del campo eléctrico, V, en un punto, es la energía potencial que corresponde a la energía potencial que corresponde a la unidad de carga positiva colocada en ese punto. V r = E P(r) q = k q r El potencial en un punto es positivo si la carga que origina el campo es positiva. El potencial e un punto es negativo si la carga que origina el campo es negativa. La unidad de potencial eléctrico en el SI es el J/C que se denomina voltio (V). 1 V = 1 J/C 20
4 Campo eléctrico. Enfoque energético EJERCICIO 7 Una carga puntual de -5 C está localizada en el punto de coordenadas (4, -2) m, mientras que una segunda partícula de 12 C se encuentra en el punto (1, 2) m. Calcula el potencial en el punto (-1, 0) m, así como la magnitud y dirección del campo eléctrico en dicho punto. 21
4.3. Diferencia de potencial 3. CAMPO ELÉCTRICO 4 Campo eléctrico. Enfoque energético E W = A B F d r = q A B E d r = E P q q A B E P B E P A = q E P B E P A q A B = V B V A = E d r A B E d r La diferencia de potencial entre dos puntos A y B equivale al trabajo que debe realizarse contra el campo para desplazar la unidad de carga testigo desde A hasta B, suponiendo que no varía su energía cinética: V B V A = A B E d r 22
4.3. Diferencia de potencial 3. CAMPO ELÉCTRICO 4 Campo eléctrico. Enfoque energético E Todos los puntos que tienen el mismo potencial conforman una superficie equipotencial. En cada punto de una superficie equipotencial el vector E es perpendicular a ella. Cuando una carga se desplaza por una superficie equipotencial, el campo eléctrico no realiza trabajo alguno sobre ella. 23
4 Campo eléctrico. Enfoque energético 4.3. Diferencia de potencial Diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme V B V A = A B E d r = E A B d r = E ( r B r A ) E = E i r B r A = x B x A i + y B x A j + z B z A k V B V A = E x B x A = Ed Cuando una carga testigo q se desplaza en un campo eléctrico uniforme, varía su energía potencial, de modo que: E P B E P A = q Ed 1 ev = q V AB = 1,6 10 19 C 1 V = 1,6 10 19 J 24
4 Campo eléctrico. Enfoque energético EJERCICIO 8 Una carga puntual de 10 C se encuentra situada en el punto de coordenadas (0, 0), en el seno de un campo eléctrico uniforme de valor 500 V/m, dirigido hacia valores positivos del eje X. Esta carga ha sido desplazada, a velocidad constante, hasta el punto (4, 2) cm, y desde aquí hasta el punto (6, -1) cm. Calcula el trabajo realizado por el campo eléctrico en cada uno de los desplazamientos. 25
4 Campo eléctrico. Enfoque energético 4.4. Relación entre la intensidad del campo y el potencial Campo eléctrico constante en la dirección del eje X: V B V A = E x x B x A = E x x dv = E x dx Podemos conocer el valor de un campo eléctrico uniforme derivando la expresión del potencial con respecto a la coordenada en función de la cual varía y anteponiendo el signo negativo: E x = dv dx E = dv dx i Potencial varía en función de las tres coordenadas: E x = V x ; E y = V y ; E = V V V i + j + x y z k E z = V z = gradv = V V 2 V 2 < V 1 V 1 E = gradv 26
4 Campo eléctrico. Enfoque energético EJERCICIO 9 El potencial a lo largo del eje X varía según la expresión V(x) = x 2 + 2x 8 V. a) Representa la gráfica del potencial. b) Deduce la expresión del campo eléctrico en cualquier punto. c) Calcula y representa el vector E en los puntos (-4, 0) y (0, 0). 27
5 Movimiento de partículas en un E uniforme 5.1. Partículas que inciden en la dirección del campo E Aparece una fuerza: q v 0 F = qe Que realiza un trabajo cuando se desplaza una distancia d: W = qed Que se invierte en una E c : 1 2 mv2 1 2 mv 0 2 = qed v = v 2 0 + 2qEd m Si la carga es positiva, su velocidad irá aumentando. Si la carga es negativa, su velocidad irá disminuyendo. 28
5 Movimiento de partículas en un E uniforme EJERCICIO 10 Un electrón que tiene una velocidad inicial de 5 10 5 m/s se introduce en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo de la dirección del movimiento del electrón. Cuál es la intensidad del campo eléctrico si el electrón recorre 5 cm desde su posición inicial antes de detenerse? 29
5 Movimiento de partículas en un E uniforme 5.2. Partículas que inciden perpendicularmente a la dirección del campo E = E j v 0 i y Al entrar en el campo: qe = ma y a y = qe m x Por tanto: x = v 0 t y = 1 2 a yt 2 = qe 2m t2 Combinando ambas ecuaciones: y = qe 2mv 0 2 x2 La trayectoria es una parábola. 30
5 Movimiento de partículas en un E uniforme EJERCICIO 11 Un electrón es introducido en un campo eléctrico uniforme en dirección perpendicular a sus líneas de fuerza con una velocidad inicial de 10 4 m/s. La intensidad del campo es de 10 5 V/m. Calcula: a) La aceleración que experimenta el electrón. b) La ecuación de la trayectoria. 31
6.1. Flujo del campo eléctrico 3. CAMPO ELÉCTRICO 6 Teorema de Gauss El flujo del campo eléctrico es una medida del número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie dada. Flujo de un campo eléctrico uniforme El número de líneas de fuerza es proporcional a la intensidad del campo eléctrico. La superficie representarse mediante un vector perpendicular a la misma. El flujo se define como: Φ = E S N m 2 C 32
6 Teorema de Gauss 6.1. Flujo del campo eléctrico Flujo de un campo eléctrico no uniforme d S E Se divide la superficie en elementos diferenciales donde podemos considerar que el campo eléctrico a su través es prácticamente constante. Se define el flujo elemental como: dφ = E d S El flujo total: Φ = S dφ = S E d S 33
6 Teorema de Gauss 6.2. Teorema de Gauss Relaciona el flujo a través de una superficie cerrada con la carga contenida en su interior. E d S Φ = S E d S = EdS = E ds Sustituyendo el valor del campo en los puntos de la superficie e integrando ds: Φ = E ds = k q r 2 4πr2 = 4πkq = q ε 0 El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es independiente de la forma de la superficie e igual a la carga contenida dividida por 0. 34
6 Teorema de Gauss 6.3. Calculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss Se elige la superficie cerrada de área conocida, de modo que el campo sea perpendicular a ella (superficie gaussiana). Se evalúa el flujo a través de ella. Se iguala el flujo obtenido a la expresión del teorema de Gauss. Campo creado en el exterior de una esfera uniformemente cargada E r d S Φ = E ds = E4πr 2 Φ = q ε 0 E4πr 2 = q ε 0 E = 1 4πε 0 q r 2 35
6 Teorema de Gauss 6.3. Calculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss Campo originado por una placa uniformemente cargada E E q = σs = σl 2 Φ = ES 1 + ES 2 = 2ES = 2El 2 S 2 l S 1 Φ = q ε 0 = σl2 ε 0 l σ = q S 2El 2 = σl2 ε 0 E = σ 2ε 0 36
6 Teorema de Gauss EJERCICIO 12 Si se coloca de forma vertical una superficie plana cargada uniformemente y se cuelga de ella, mediante un hilo de seda de masa despreciable, una esfera de 2 g con una carga de 4 nc, observamos que el ángulo que forma el hilo es de 35º. Cuál es la densidad superficial de carga de dicha superficie? 37
6 Teorema de Gauss 6.4. Protección frente a campos externos Conductor en equilibrio electrostático E E neto en interior = E E int = 0 E int El flujo a través de una superficie gaussiana interior pero muy próxima a la superficie es cero. Todo exceso de carga en un conductor aislado en equilibrio electrostático se reparte por su superficie. Jaula de Faraday En el interior de una superficie conductora, se está protegido frente a los campos externos. 38