Apunts de Física i Química. 4t d ESO. Departament de Física i Química. IES Ramon Cid. Benicarló

Apunts de Física i Química. 4t d ESO Departament de Física i Química. IES Ramon Cid. Benicarló

ÍNDEX 1 El moviment. Cinemàtica 5 1.1 Introducció................................... 5 1.2 Magnituds cinemàtiques............................ 6 1.2.1 Posició.................................. 7 1.2.2 Desplaçament.............................. 8 1.2.3 Trajectòria............................... 10 1.2.4 Temps.................................. 10 1.2.5 Exercicis proposats........................... 10 1.2.6 Velocitat................................ 11 1.2.7 Acceleració............................... 12 1.2.8 Exercicis proposats........................... 13 1.3 Moviments rectilinis.............................. 14 1.3.1 Moviment rectilini i uniforme (mru)................. 14 1.3.2 Exercicis proposats........................... 19 1.3.3 Moviment rectilini i uniformement accelerat (mrua)........ 20 1.3.4 Exercicis proposats........................... 28 1.3.5 Moviment en vertical. Caiguda lliure................. 30 1.3.6 Exercicis proposats........................... 33 1.4 Moviments circulars.............................. 35 1.4.1 Moviment circular i uniforme (mcu)................. 37 1.4.2 Exercicis proposats........................... 39 1.5 Activitats finals de repàs............................ 39 3

TEMA 1 EL MOVIMENT. CINEMÀTICA 1.1 Introducció Gairebé tots els fenòmens que observem a la natura estan relacionat amb el moviment. Tots els aspectes relacionats amb el moviment els estudia una part de la física que s anomena mecànica. Aquesta disciplina estudia el moviment des de dos punts de vista diferents: La cinemàtica, que no considera les causes que l originen (Tema 1). La dinàmica, que atén a les causes que l originen i que anomena forces (Temes 2 i 3). Però, què és el moviment? Definició 1 (Moviment) Un objecte està en moviment quan la seva posició varia al llarg del temps A partir d aquesta definició podem introduir una sèrie de conceptes clau: Objecte: a l objecte considerat l anomenarem, en general, mòbil. Hi ha dos tipus de mòbils: Mòbils puntuals o partícules: són aquells que, independentment de la seva massa,podem considerar com una partícula o punt ( són els que tractarem aquest curs). En ells solament hi haurà moviment de translació i mai de rotació sobre ells mateixos. Sòlids rígids: són els que estan formats per un conjunt de partícules materials que ocupen una extensió però que conserven la seva posició relativa, és a dir, no es deformen. (cursos posteriors) 5

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Posició: La posició es pot entendre com el lloc que ocupa el mòbil i que canvia quan s està movent. Aquesta manera de entendre-ho no és gaire exacta. Per exemple, podem anar assentats al costat del conductor d un cotxe que circula a 90 km/h. Respecte al conductor no ens estem movent perquè la nostra posició no canvia però si ens fixem en un arbre que hi ha al carrer, la nostra posició canvia respecte ell. Per aquest motiu és important definir un sistema de referència (SR). Un sistema de referència és un punt respecte al que definim la nostra posició en cada instant de temps. A l exemple anterior podem triar diferents sistemes de referència: Si l SR triat és el conductor del cotxe, la nostra posició respecte ell no canvia i, per tant, no hi ha moviment. Si l SR és l arbre extern al cotxe, la nostra posició si que varia i, per tant, hi ha moviment. Hi ha diferents tipus de SR. En aquest curs estudiarem solament els sistemes de referència inercials que són aquells que es pot considerar que estan en repòs o movent-se amb moviment uniform. 1.2 Magnituds cinemàtiques Recordem del curs passat que una magnitud era qualsevol propietat de la matèria que es podia mesurar. Existeixen moltes magnituds diferents però solament ens interessa estudiar les que estan relacionades amb el moviment i que anomenarem magnituds cinemàtiques. Abans hem de saber que hi ha dos tipus de magnituds. Definició 2 ( Magnituds escalars) Aquelles que queden totalment definides donant un número i la seva unitat de mesura corresponent. Per exemple, una massa de 50 kg una o temperatura de 37 C. Definició 3 (Magnituds vectorials) Aquelles que es representen mitjançant vectors (segments orientats, imatge 1.1) i per definir-los hem d indicar: 1. Mòdul: valor numèric de la magnitud amb la seva unitat de mesura. Gràficament ve donat per la longitud del vector. 2. Direcció: recta sobre la que està col locat el vector. 3. Sentit: el que ens indica la fletxa del vector. 4. Punt d aplicació: punt sobre el que comencem a dibuixar el vector 6

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 sentit direcció mòdul punt d aplicació Imatge 1.1: Característiques principals dels vectors Per exemple, la velocitat és una magnitud vectorial i si dic que la meva velocitat és de 90 km/h (mòdul de la velocitat), no estic donant suficient informació. Hauria de dir que vaig a 90 km/h per la N-340 entre Benicarló i Vinaròs, que em dirigeixo a Benicarló i que estic a l altura del Barranc d Oliva. Si analitzem aquestes dades podem concloure que: Mòdul del vector velocitat: 90 km/h. Direcció: N-340 entre Benicarló i Vinaròs. Sentit: Benicarló. Punt d aplicació: Barranc d Oliva. Després d aquest petit recordatori anem a estudiar les magnituds cinemàtiques que necessitem. 1.2.1 Posició La posició és una magnitud vectorial i per definir-la ja hem dit que necessitem un SR que serà el punt d aplicació del vector de posició ( r). L SR que escollirem en cada cas serà aquell que ens faciliti l estudi del moviment. Podem considerar com a SR l origen de coordenades. Definició 4 (Posició) La posició d una partícula P, respecte a l SR triat, queda definida pel vector r que uneix l SR (punt O) amb la partícula P (imatge 1.2). r = (x i + y j) (1.1) El vector de posició és pot representar mitjançant les coordenades cartesianes de la partícula, r(x, y) o amb els vectors unitaris i de l eix X i j de l eix Y. 7

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Y P (x, y) r j O i X Imatge 1.2: Representació del vector posició de la partícula P En aquest curs estudiarem bàsicament moviments en una dimensió i podrem prescindir de la notació vectorial. D aquesta manera ens referirem a la posició respecte l origen com x si el moviment és horitzontal o y si és vertical. Cada magnitud, tant si és escalar com vectorial, ha d estar acompanyada d una unitat de mesura. La unitat de mesura de la posició en el SI és el metre, m. 1.2.2 Desplaçament Hem indicat que hi ha moviment quan la posició de la partícula canvia a llarg del temps. Per mesurar aquest canvi utilitzem el vector desplaçament, r. Definició 5 (Desplaçament) El vector desplaçament, r, mesura la variació del vector posició de la partícula entres dos instants de temps, t 2 i t 1. Es calcula com: r = r(t 2 ) r(t 1 ) (1.2) Si el moviment té lloc en una dimensió, per exemple a l eix X, prescindirem de la notació vectorial i calcularem el desplaçament com: x = x(t 2 ) x(t 1 ) (1.3) on x(t 2 ) i x(t 1 ) representen les posicions final i inicial, respectivament. Aquest desplaçament pot tenir signe positiu, si la partícula s està movent cap a la dreta i negatiu si es mou cap a l esquerra. Hem de diferenciar entre desplaçament i distància recorreguda ja que són conceptes diferents tot i que, de vegades, coincideixen. Els diferenciarem utilitzant un exemple. Inicialment el mòbil està 2 m a la dreta de l origen i es mou cap a la dreta fins a la posició x 1 = 7 m i després canvia de sentit i segueix movent-se en línia recta fins a 8

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 Y r r(t 1 ) r(t 2 ) O X Imatge 1.3: fig:vector desplaçament SR x 1 x 0 x 2 = 3 x 0 = 2 x 1 = 7 x 2 x 1 situar-se a 3 m a l esquerra de l origen (x 2 = 3 m). Calcularem els desplaçaments i les distàncies recorregudes: Moviment entre x 0 i x 1 : x 1 = x 1 x 0 = 7 2 = 5 m, la distància recorreguda en aquest tram (d 1 = 5 m) coincideix amb el desplaçament. Moviment entre x 1 i x 2 : x 2 = x 2 x 1 = 3 7 = 10 m, la distància recorreguda en aquest tram són d 2 = 10 m. Moviment total entre x 0 i x 2 : x t = x 2 x 0 = 3 2 = 5 m, el desplaçament total és de 5 m cap a l esquerra de la posició inicial però la distància total recorreguda és d t = d 1 +d 2 = 5+10 = 15 m. Cal tenir en compte que les distàncies recorregudes mai poden ser negatives. Per aclarir aquesta diferència podem relacionar posició, desplaçament i distància recorreguda definint la trajectòria. 9

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Y r d r(t 1 ) r(t 2 ) trajectòria O X Imatge 1.4: Diferència entre desplaçament r i distància recorreguda d. 1.2.3 Trajectòria Definició 6 (Trajectòria) La trajectòria és la línia geomètrica que el mòbil descriu en el seu moviment i la distància recorreguda és la distància mesurada sobre la trajectòria entre les posicions indicades. Vegeu la imatge 1.4. En funció de la trajectòria, els moviments poden ser: Rectilinis: si la trajectòria és una línia recta (una dimensió). Circulars: si la trajectòria és una circumferència (dos dimensions). Combinant aquests moviments podem trobar altres tipus com parabòlics, el líptics o qualsevol altre tipus no rectilini. 1.2.4 Temps El temps és un factor determinant a l hora d estudiar el moviment ja que la posició varia amb el temps si hi ha moviment. Hem de diferenciar entre: Instant de temps, t: si ens referim a un moment en concret. Interval de temps, t: si ens referim al temps transcorregut entre un instant inicial, t 0, i un final, t. ( t = t t o ) En el SI el temps es mesura en segons, s. 1.2.5 Exercicis proposats 1. Amb les posicions successives d un mòbil indicades a continuació, calculeu els desplaçaments parcials i total i les distàncies recorregudes: 10

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 (a) x 0 = 2 m; x 1 = 5 m; x 2 = 1 m (b) x 0 = 6 m; x 1 = 0 m; x 2 = 5 m; x 2 = 2 m 2. Raoneu les següents qüestions: (a) Pot ser major el desplaçament que la distància recorreguda? (b) Poden ser iguals? (c) Un mòbil, pot haver recorregut una distància si el desplaçament és zero? 1.2.6 Velocitat Definició 7 (Velocitat) La velocitat és una magnitud vectorial que ens indica la variació de la posició d un mòbil en relació al temps emprat en aquesta variació. En l SI es mesura en m/s. Amb aquesta definició hem de diferenciar entre dos tipus de velocitat: 1. La velocitat mitjana, v m : si ens referim al canvi de posició en un interval finit de temps. En aquest cas es calcula com el quocient entre el desplaçament i l interval de temps considerat. v m = r t = r r 0 (1.4) t t 0 Si el nostre moviment és rectilini i prescindim de la notació vectorial: La velocitat mitjana pot ser positiva o negativa: Positiva indica que el moviment és cap a la dreta. Negativa indica que és cap a l esquerra. v m = x t = x x 0 t t 0 (1.5) 2. Velocitat instantània, v : es pot definir com la però per intervals de temps molt petits, que s apropen pràcticament a zero ( t 0). Equival a parlar de velocitat en un instant ja que el temps inicial i el temps final són pràcticament iguals i, per açò,la seva diferència és quasi bé zero. La manera de calcular-la és amb una tècnica anomenada càlcul infinitesimal i que no estudiarem en aquest curs: r v = lim t 0 t = d r dt (1.6) En una dimensió: 11

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. x v = lim t 0 t = dx dt (1.7) El signe també serà positiu o negatiu segons el sentit del moviment. De vegades, també podem parlar de celeritat o rapidesa. En aquest cas ens referim al mòdul de la velocitat mitjana o instantània i sempre té signe positiu. Exemple 1.1 Considerem el moviment d una partícula per l eix X en diferents trams amb les posicions següents: x 0 = 3 m; x 1 = 7 m; x 2 = 1 m Si els intervals de temps utilitzats a cada tram són t 1 = 2 s i t 2 = 4 s, calculeu les velocitats mitjanes a cada tram i la velocitat mitjana de tot el recorregut. 1r tram: v m = x t = x 1 x 0 = 7 3 = 4 t 1 2 2 = 2 m/s el signe + indica que el desplaçament és cap a la dreta. 2n tram: v m = x t = x 2 x 1 = 1 7 = 8 = 2 m/s t 2 4 4 el signe indica que el desplaçament és a l esquerra. Velocitat mitjana total. Per calcular la velocitat mitjana total, com que hi ha un canvi de sentit, necessitem saber la distància total recorreguda: d 1 = 7 3 = 4 m ; d 2 = 1 7 = 8 m ; d t = 4 + 8 = 12 m t t = 4 + 2 = 6 s ; v m = d t t t = 12 6 = 2 m/s 1.2.7 Acceleració Definició 8 L acceleració és una magnitud vectorial que ens indica la variació de la velocitat instantània d un mòbil en relació al temps utilitzat en fer aquesta variació. Les seves unitats en l SI són m/s 2. Igual que passava amb la velocitat, podem diferenciar entre dos tipus d acceleració: 12

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 1. Acceleració mitjana, a m : quan ens referim a un interval de temps. Si el moviment és en una dimensió: a m = v t = v v 0 (1.8) t t 0 a m = v t = v v 0 t t 0 (1.9) 2. Acceleració instantània, a: es defineix com l acceleració mitjana però per intervals de temps pràcticament zero. Igual que la velocitat instantània, ho calcularem en cursos posteriors però ho expressarem matemàticament utilitzant derivades: v a = lim t 0 t = d v dt (1.10) En moviments rectilinis: v a = lim t 0 t = dv dt (1.11) Per entendre el signe de l acceleració no hem de pensar en el sentit del moviment sinó en el mòdul de la velocitat. D aquesta manera el signe serà positiu si la velocitat augmenta (el mòbil accelera) i negatiu si la velocitat disminueix (el mòbil frena). El signe de l acceleració pot resultar una mica diferent de deduir en alguns casos que ja estudiarem més endavant. 1.2.8 Exercicis proposats 3. Un ciclista circula a 7 m/s per una carretera recta i accelera durant 30 s fins arribar a 12 m/s. Calcula: (a) L acceleració mitjana del ciclista. (b) Si el mateix ciclista arriba a un encreuament a 15 m/s i frena fins aturar-se en 3 s, quina ha estat l acceleració mitjana durant la frenada? 4. Un cotxe circula per una carretera rectilínia. Quan el cronòmetre indica 5 minuts està en la posició 30 Km i quan indica 40 minuts en la posició 100 km. Calculeu la velocitat mitjana del cotxe i expresseu el resultat en m/s i km/h. 5. A partir dels moviments, per trams, indicats a continuació, calculeu les velocitats mitjanes en cada interval i la velocitat mitjana de tot el recorregut. (a) x 0 = 0 m; x1 = 4 m; x 2 = 8 m; t 1 = 2 s; t 2 = 3 s (b) x 0 = 2 m; x 1 = 8 m; x 2 = 5 m; t 1 = 5 s; t 2 = 1 s 13

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. 1.3 Moviments rectilinis Com ja sabem, els moviments rectilinis són aquells en els que la trajectòria és una línia recta. Tenen lloc en una dimensió i, per aquest motiu, podrem prescindir de la notació vectorial i així simplificarem la resolució dels problemes. Per l estudi dels diferents moviments rectilinis seguirem l esquema següent: Descripció de les característiques principals del moviment. Deducció de les equacions del moviment ( posició i velocitat). Representació dels gràfics (x t, v t i a t). 1.3.1 Moviment rectilini i uniforme (mru) Descripció del moviment Per René Descartes (1596-1650) i per Galileo Galilei (1564-1642) l mru era el moviment ideal a la natura i, degut a aquesta idealitat, és molt estrany trobar-lo però és molt important per poder entendre moviments més complexes. Definició 9 (mru) L mru és el moviment que té lloc amb velocitat constant, és a dir, el mòbil recorre distàncies iguals en temps iguals. Com sabem, la velocitat és una magnitud vectorial i quan a la definició parlem de velocitat constant volem dir que no variarà ni el seu mòdul ni la seva direcció ni el seu sentit i, per tant, les velocitats mitjana i instantània coincidiran en tot moment de forma que l acceleració serà nul la. Equacions del moviment rectilini i uniforme Per l mru solament deduirem una equació, l equació de posició, ja que com la velocitat és constant no tenim cap equació que relaciona la velocitat amb el temps. L equació de posició és una expressió matemàtica que relaciona la posició del mòbil amb el temps. Considerem les següents magnituds cinemàtiques: x 0 és la posició inicial del mòbil x és la posició final del mòbil v és la velocitat del mòbil t 0 és l instant inicial, és a dir, el temps que marcarà el rellotge quan comence el moviment. Aquest temps normalment valdrà zero. t és l instant final, és a dir, el temps que marcarà el rellotge quan acabe el moviment 14

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 Per tant, tindrem: v = x t = x x 0 t t 0 (1.12) Si t 0 = 0 v = x x 0 x = x 0 + vt (1.13) t Aquesta equació resulta incompleta. Necessitem establir un criteri de signes per la velocitat: Criteri de signes: 1. Considerarem +v quan el mòbil s allunya de l origen (SR) ja que, en aquest cas x sempre serà major que x 0. 2. Considerarem v quan el mòbil s apropa a l origen ja que x serà major que x 0. Per tant l equació de posició per l mru la podem expressar: Representacions gràfiques de l mru x = x 0 ± vt (1.14) Estudiarem les representacions gràfiques de les diferents magnituds cinemàtiques implicades en cada moviment i que col locarem a l eix d ordenades,respecte del temps que col locarem a l eix d abscisses. En el cas concret de l mru estudiarem 2 gràfics: el gràfic posició-temps(x t) i el gràfic velocitat-temps(v t). 1. Gràfic v t. La representació gràfica de la velocitat respecte el temps en l mru sempre serà una recta horitzontal ja que la velocitat és constant (vegeu la figura 1.5). En aquest gràfic té un interès especial el càlcul de l àrea entre la recta horitzontal i l eix d abscisses. Aquesta àrea és un rectangle i podem veure que el seu valor coincideix amb el desplaçament x. Aquest fet l utilitzarem a l mrua per deduir l equació de posició. En el gràfic es pot veure el següent: Àrea zona ombrejada = àrea rectangle = base altura = v t x = x 0 + vt x x 0 = vt x = vt 2. Gràfic x t. Àrea = x Si observem l equació de posició x = x 0 + vt, veiem que és semblant a l equació d una recta (y = mx+n) per tant, la representació gràfica de la posició respecte al temps serà una recta on la velocitat serà el pendent de la recta i la posició inicial serà l ordenada a l origen. Segons el signe de la velocitat i segons el valor de x 0 podem trobar diferents tipus de gràfics(vegeu la figura 1.6): 15

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. velocitat v O t temps Imatge 1.5: Gràfic v t d un mru. La zona ombrejada representa x. posició (a) x 0 (b) O t temps Imatge 1.6: Gràfic x t per l mru. La recta (a) indica una velocitat positiva i la recta (b) una velocitat negativa. Exemple 1.2 Un mòbil que inicialment està a 3 m de l origen circula a 2 m/s, calculeu: 1. L equació del moviment. 2. La posició i la distància recorreguda després de 5 s. 3. Representeu els gràfics del moviment. 1. Equació de posició: x = x 0 + vt = 3 + 2t. Com en la velocitat no es dóna cap informació suposem que el mòbil es desplaça cap a la part positiva de l eix X. 2. Posició als 5 s: x = 3+2 5 = 13 m Distància recorreguda: x = x x 0 = 13 3 = 10 m 3. Gràfic v t. La velocitat és constant = 2 m/s. 16

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 velocitat (m/s) v temps (s) Per al gràfic x t haurem de fer una taula de valors donant valors a t i calculant x a partir de l equació de posició: x = 3 + 2t posició (m) t(s) 0 1 2 x(m) 3 5 7 x 0 = 3 m temps (s) Exemple 1.3 Dos pobles, A i B, estan separats 5 km. Per A passa, dirigint-se cap a B, un cotxe a 72 km/h. Al mateix temps, passa per B i dirigint-se a A, un altre cotxe que circula a 108 km/h. Calculeu: 1. Les equacions del moviment de cada cotxe. 2. Calculeu, gràfica i analíticament, l instant en que es trobaran, la seva posició i la distància recorreguda per cadascun. En la resolució d exercicis de trobada de mòbils sempre seguirem els punts següents: 1. elegirem la posició inicial d un dels mòbils com SR, generalment el situat a l esquerra. 2. deduirem les equacions de posició de cada mòbil i sabent que en el moment de la trobada estaran en la mateixa posició respecte l origen, les igualarem. 17

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Dades: SR A V A V B 5000 m B Els dos mòbils circulen amb mru i amb velocitats v A = 72 km/h = 20 m/s i v B = 108 km/h = 30 m/s Resolució: 1. En els dos mòbils utilitzarem l equació de posició del mru x = x 0 ± vt A: En aquest cas x 0 = 0 ja que inicialment està a l origen i es mou cap a la dreta, per tant: x A = 20t. B: Inicialment està a 5000 m de l origen i es mou cap a l esquerra, per tant: x B = 5000 30t 2. Sempre hem de resoldre l exercici primer analíticament per tenir una idea del temps que triguen a trobar-se: x A = x B 20t = 5000 30t 50t = 5000 t = 100 s Posicions (han de ser iguals): x A = 20t = 20 100 = 2000 m x B = 5000 30t = 5000 30 100 = 2000 m Distàncies recorregudes: d A = x A = 2000 m (coincideixen perquè surt de l origen) d B = x = 5000 2000 = 3000 m Gràficament representarem el gràfic x t dels dos mòbils en els mateixos eixos i el punt de trobada serà aquell en el que es creuen les rectes corresponents als dos mòbils. Hem de fer dues taules de valors i com sabem que el temps serà de 100 s (resultat de l apartat anterior) donarem valors al temps d aquest ordre. x A = 20t ; x B = 5000 30t t (s) 0 50 100 150 x A (m) 0 1000 2000 3000 x B (m) 5000 3500 2000 500 18

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 x(m) x A 2000 x B 100 t(s) Al gràfic podem llegir el temps de trobada, 100 s, i la seva posició, 2000 m. Les distàncies recorregudes es poden llegir al gràfic o calcular-les com ho hem fet abans. 1.3.2 Exercicis proposats 1. Un nen camina per un carrer recte a 3,6 km/h. Calculeu: (a) La seva velocitat en unitats del SI. (b) L equació del moviment si surt a 5 m de l origen. (c) La posició i distància recorreguda als 4 minuts. (d) Representeu els gràfics del moviment. 2. Un ciclista surt de l origen i recorre 1 km amb velocitat constant per una carretera recta. Si triga 200 segons a recórrer aquesta distància, calculeu: (a) La velocitat que duu i l equació del moviment. (b) La posició als 2 minuts. (c) El temps que triga a recórrer 1200 m. 3. Un mòbil es mou amb línia recta i velocitat constant. Després d 1 segon la seva posició és x=-1 m i als 6 s és x=-5 m. Amb aquestes dades construïu el gràfic x t i calculeu la velocitat del moviment. 4. Un mòbil que està a 20 m de l origen s apropa a 4 m/s. Calculeu l equació del moviment, el temps que triga a arribar a l origen i la posició després d 1 minut. Representeu els gràfics del moviment. 5. Dos cotxes separats 400 km circulen en sentits contraris per trobar-se. El primer circula a 90 km/h i el segon, que surt 15 minuts després, circula a 144 km/h. Calculeu: (a) El temps que triguen a trobar-se, la posició i la distància recorreguda per cadascun. 19

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. (b) Representa gràficament el moviment del cotxes i assenyala el punt de trobada. 6. Un cotxe que inicialment passa per l origen, circula a 54 km/h cap a la dreta. Una moto, que després de 4 s passa per un punt situat a 500 m de l origen, circula a 18 km/h. Calculeu el temps que triguen a trobar-se, la posició i la distància recorreguda per cada mòbil si: (a) Circulen en el mateix sentit. (b) Circulen en sentits contraris. 1.3.3 Moviment rectilini i uniformement accelerat (mrua) Descripció del moviment A diferència de l mru, l mrua és un dels moviments més comuns a la natura. Galileu, experimentant amb plans inclinats, es va adonar que la Terra proporcionava una acceleració constant a tots els cossos. Definició 10 (mrua) El moviment rectilini i uniformement accelerat (mrua) és aquell moviment de trajectòria rectilínia que té lloc amb acceleració constant, és a dir, la velocitat augmenta o disminueix en la mateixa quantitat en intervals iguals de temps. L acceleració és una magnitud vectorial però com el moviment té lloc en una sola dimensió, aquesta serà constant en mòdul, direcció i sentit, per tant les acceleracions mitjana i instantània coincidiran en tot moment i, a més, podrem prescindir de la notació vectorial. Equacions del moviment Tindrem dos equacions per estudiar el moviment: Equació de velocitat: expressarà matemàticament la variació de la velocitat amb el temps. Equació de posició: expressarà matemàticament la variació de la posició amb el temps i que deduirem a partir del gràfic v t. Equació de velocitat A partir de les següents magnituds, i sabent que a l mrua l acceleració roman constant: a: acceleració v 0 : velocitat inicial v: velocitat t: temps inicial (que normalment considerem zero) 20

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 t: temps final a = x t = v v 0 t t 0 v = v 0 + a(t t 0 ) (1.15) Aquesta equació resulta incompleta sense especificar els criteris de signes: Considerarem +a quan v > v 0, és a dir, quan el sentit del vector a sigui el mateix que el del vector v 0. Considerarem a quan v < v 0 o tinguin sentits contraris, és a dir, quan a tingui sentit contrari a v 0. En general, l equació de velocitat serà: v = v 0 + at (1.16) Per deduir l equació de posició necessitem el gràfic v t de l mru (recordem que a l mru vam deduir que l àrea sota de la recta del gràfic v t representava el desplaçament, x, i aquesta serà la propietat que utilitzarem per obtenir l equació de posició). Podem observar que l equació de velocitat és semblant a l equació duna recta (y = mx + n) on el pendent seria l acceleració i la v 0 seria l ordenada a l origen. Per tant podem obtenir 3 possibles gràfics, tal i com es pot veure a la imatge 1.7. v(m/s) (a) (b) (c) t(s) Imatge 1.7: Gràfic v t per a un mrua. (a) i (b) representen un moviment amb a > 0 i (c) amb a < 0. Equació de posició Una vegada deduïda l equació de velocitat i el gràfic v t resulta senzill deduir l equació de posició. Hi ha diferents maneres de fer-ho, utilitzant el teorema de la velocitat mitjana, amb càlcul integral i a partir del gràfic v t. Nosaltres ho farem a partir del gràfic v t. Considerarem un mrua amb a > 0 i v 0 0 i les magnituds cinemàtiques següents: 21

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. x 0 : posició inicial x: posició final a: acceleració v 0 : velocitat inicial v: velocitat t: temps inicial (que normalment considerem zero) t: temps final x: desplaçament (àrea sota la recta del gràfic v-t) Per calcular l àrea podem dividir la superfície total en dos parts, un rectangle d àrea A 1, (zona ombrejada) i un triangle d àrea A 2 (vegeu imatge 1.8 ): v(m/s) v 0 A 2 A 1 t(s) Imatge 1.8: Càlcul de la posició de manera gràfica per a un mrua. x = A 1 + A 2 = base altura + De l equació de velocitat: base altura 2 = v 0 t + (v v 0)t 2 (1.17) i substituint a l expressió anterior: v = v 0 + at v v 0 = at (1.18) x = v 0 t + a t t 2 x x 0 = v 0 t + at2 2 (1.19) x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 (1.20) Aquesta equació resulta incompleta sense el criteri de signes. 22

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 Hi ha possibilitat de ±v 0, si s apropa o s allunya de l origen (dreta o esquerra) i de ±a. Com a conclusió podem dir: Si el moviment és accelerat: utilitzarem +v 0 i +a si els vectors v 0 i a es dirigeixen cap a fora de l origen (s allunyen) i els posarem als dos signe si s apropen. Si el moviment és de frenada aquest curs solament estudiarem si s allunyen de l origen i, en aquest cas posarem +v 0 i a. En general, l equació de posició per l mrua serà: x = x 0 ± v 0 t ± 1 2 at2 (1.21) Representacions gràfiques de l mrua. Gràfic x t Podem veure que l equació de posició és de 2n grau, llavors el gràfic x t tindrà la forma d una paràbola. Ens podem trobar 4 casos diferents segons l acceleració sigui positiva o negativa o segons s apropi o allunyi de l origen però, en aquest curs, solament estudiarem dos d ells: 1. mrua on el mòbil s allunya de l origen (+v 0 ) accelerant (+a). x(m) a > 0 t(s) Imatge 1.9: Gràfic x t d un mrua (a > 0). 2. mrua on el mòbil s allunya de l origen (+v 0 ) frenant ( a). Representacions gràfiques de l mrua. Gràfic a t L acceleració a l mrua és una magnitud constant, per tant, el gràfic a t serà una línia recta horitzontal. Exemple 1.4 23

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. x(m) a < 0 t(s) Imatge 1.10: Gràfic x t d un mrua (a < 0). acceleració (m/s 2 ) a temps (s) Un cotxe circula per una carretera recta a 8 m/s i en 4 s la seva velocitat augmenta fins 72 km/h. Calculeu: 1. L acceleració, suposada constant i les equacions del moviment. 2. La distància recorreguda en aquest temps. 3. Dibuixeu els gràfics del moviment i calculeu la posició i la velocitat del cotxe als 2,5 s. Resoleu gràfica i analíticament. Resolució: 1. Com que v 0 < v és un mrua amb a < 0. Utilitzem l equació de velocitat de l mrua i aïllem a: v = v 0 + at 20 = 8 + 4a 12 = 4a a = 3 m/s 2 Amb el valor de l acceleració ja podem deduir les equacions del moviment: 24

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 2. Recordem que d = x x 0. v = v 0 + at v = 8 + 3t x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 x = 0 + 8t + 3t2 2 x = 8t + 1, 5t2 Com que x 0 = 0 només hem de calcular el valor de v als 4 segons. x = 8t + 1, 5t 2 = 8 4 + 1, 5 4 2 = 56 m 3. Per dibuixar els gràfics a t, v t i x t necessitem una taula de valors on, a partir de les equacions del moviment, calculem els valors de x i v per diferents valors de t. t(s) 0 1 2 2,5 3 4 v(m/s) 8 11 14 15,5 17 20 x(m) 0 9,5 22 29,4 37,5 56 Les representacions gràfiques de v i x davant el temps prendrien la forma següent: x(m) v(m/s) v 0 = 8 t(s) t(s) Exemple 1.5 Un cotxe pot arribar, partint del repòs, a una velocitat de 100 km/h en 10,5 s. Si és un mrua, calculeu l acceleració i la distància recorreguda en aquest temps. Dades: v 0 = 0 m/s v = 100 km/h = 27, 78 m/s t = 10, 5 s Resolució: v = v 0 + at 27, 78 = 0 + a10, 5 a = 2, 65 m/s 2 x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 x = 0 + 0 10, 5 + 1 2 2, 65 10, 52 = 145, 83 m 25

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Exemple 1.6 Un motorista circula amb una velocitat de 54 km/h i en 50 m la redueix fins 36 km/h. Calculeu l acceleració i el temps que triga en reduir-la. Dades: v 0 = 54 km/h = 15 m/s v = 36 km/h = 10 m/s x = 50 m Resolució: En aquest cas v < v 0, per tant farem servir les equacions de l mrua però amb a. v = v 0 at 10 = 15 at at = 5 x = x 0 + v 0 t 1 2 at2 50 = 0 + 15t 1 2 at2 Tenim un sistema de dos equacions amb dos incògnites, a i t, que resoldrem pel mètode de substitució: at = 5 a = 5 t 50 = 0 + 15t 1 2 at2 50 = 15t 5t2 2t 50 = 15t 2, 5t t = 4 s a = 5 t = 5 4 = 1, 25 m/s2 Exemple 1.7 A partir de les dades mostrades al gràfic següent calculeu, per cada tram, el tipus de moviment, la distància recorreguda i l acceleració i la distància total recorreguda. 26

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 v(m/s) 40 35 30 25 20 15 10 5 1 2 3 4 5 6 t(s) Al gràfic podem diferenciar 4 trams A, B, C i D. 1. Tram A: v 0 = 0 m/s ; v = 20 m/s ; t = 2 s Per tant tenim un mrua amb a > 0 v = v 0 + at 20 = 0 + a 2 a = 10 m/s 2 x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 x A = 0 + 0 2 + 1 2 10 22 = 20 m 2. Tram B: En aquest tram, d 1 segon de duració, la velocitat és constant (v = 20 m/s). Per tant, tindrem un mru. 3. Tram C: x = x 0 + vt x B = 0 + 20 1 = 20 m Per tant tenim un mrua amb a > 0 v 0 = 20 m/s ; v = 30 m/s ; t = 1 s 4. Tram D: v = v 0 + at 30 = 20 + a 1 a = 10 m/s 2 x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 x C = 0 + 20 1 + 1 2 10 12 = 25 m v 0 = 30 m/s ; v = 30 m/s ; t = 1 s 27

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Per tant tenim un mrua amb a < 0 v = v 0 at 0 = 30 a 1 a = 30 m/s 2 x = x 0 + v 0 t 1 2 at2 x D = 0 + 30 1 1 2 30 12 = 15 m La distància total recorreguda serà la suma de les distàncies recorregudes en cada tram: x T = i x i = 20 + 20 + 25 + 15 = 80 m 1.3.4 Exercicis proposats 1. Un cotxe, partint del repòs, recorre 20 m amb una acceleració de 4 m/s 2. Després continua amb mru durant 30 m més, calculeu: (a) La velocitat en acabar el primer tram del moviment. (b) El temps total del moviment. (c) Dibuixeu els gràfics a t, v t i x t. 2. Dos pobles, A i B, estan separats una distància de 25 km. Des d A surt, cap a B, un cotxe amb una acceleració de 2 m/s 2 i, des de B passa cap a A, 2 segons més tard, una bicicleta amb una velocitat constant de 18 km/h. Calculeu: (a) La distància d A a la que es trobaran. (b) Les velocitats del cotxe i de la bicicleta en aquest moment. 3. Un cotxe que es mou a 240 km/h veu a la policia a 500 m de distància. Si vol reduir la velocitat i passar pel davant de la policia a 50 km/h, amb quina acceleració haurà de frenar i quant temps trigarà en fer-ho? 4. Un cotxe i un camió estan a 50 m de distància. El camió es mou amb mru a 54 km/h i el cotxe, que inicialment està parat, arrenca amb una acceleració d 1, 6 m/s 2 en el mateix sentit que el cotxe. Calculeu: (a) El temps que triga el cotxe a atrapar al camió. (b) La posició i la distància recorreguda per cadascun. 5. Un cos es mou seguint una trajectòria rectilínia. Inicia el moviment amb una acceleració constant de 0, 8 m/s 2 i quan arriba a 8 m/s, recorre 24 m amb aquesta velocitat. Tot seguit comença a frenar i s atura després de 8 m més. Calculeu: (a) La distància i el temps que dura tot el moviment. (b) Dibuixeu els gràfics a t, v t i x t de tot el moviment. 28

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 6. Una persona està a punt de perdre el tren. En un desesperat intent, corre amb una velocitat constant de 6 m/s. Quan està a 32 m de la última porta del tren, aquest arrenca amb una acceleració constant de 0, 5 m/s 2. Agafarà el tren o perdrà el bitllet, el temps i l alè? 7. A partir del gràfic següent, identifica el tipus de moviment a cada tram i calcula la distància total recorreguda: v(m/s) 70 60 50 40 30 20 10 2 4 6 t(s) 8. Expliqueu el significat de cadascun dels gràfics següents: x(m) v(m/s) t(s) t(s) 9. Un cotxe comença a pujar un pendent a 60 km/h. Arriba a la part alta a 20 km/h. Si la seva velocitat ha disminuït de manera uniforme, trobeu la longitud del pendent si el temps utilitzat ha estat de 10 minuts. 10. Una nena surt del col legi i comença a córrer de manera que, en 1 minut i mig corre a 5,4 km/h. Dos segons després, surt del mateix col legi el seu germà en un patinet i amb una acceleració de 0, 5 m/s 2. Escriu les equacions del moviment dels dos nens i calcula: (a) El temps que triga el nen en agafar a la nena. (b) La distància del col legi a la que es trobaran. (c) La velocitats dels dos en aquest moment. 29

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. 1.3.5 Moviment en vertical. Caiguda lliure Definició 11 (Caiguda lliure) És el moviment d un cos que es deixa caure o que es llança cap amunt o cap avall. A partir dels experiments de Galileu coneixem la caiguda lliure. Es tracta d un moviment del tipus mrua, vertical i cap avall per tots els cossos, independentment de la seva massa. És a dir, tots els cossos, independentment de la massa, cauen amb la mateixa acceleració, i per tant, si cauen des de la mateixa altura,arriben al terra a la vegada. Podem concloure que la Terra dona a tots els cossos una acceleració constant de 9, 8 m/s 2 (acceleració de la gravetat que considerarem constant per altures sobre la superfície terrestre molt petites comparades amb el radi de la Terra). Per tant, podem estudiar la caiguda lliure amb les equacions de l mrua però amb algunes consideracions: Com a SR agafarem el terra i la posició respecte al terra la designarem com y0 = posició o altura inicial i y = posició o altura final. Com el moviment és en una dimensió, prescindirem de la notació vectorial. L acceleració de la gravetat és un vector, g, que està orientat cap al centre de la Terra (cap avall). Per tant, li assignarem sempre signe negatiu. D aquesta manera les equacions del moviment seran: y = y 0 ± v 0 t 1 2 gt2 (1.22) ± v = ±v 0 gt (1.23) Els signes de v i v 0 vindran donats pel sentit dels vectors v i v 0, tal i com es pot apreciar a la imatge. +v 0 v 0 SR També hem de tenir en compte que hi ha algunes dades que els problemes poden no especificar però que hem d entendre: Són diferents els conceptes deixem caure o llancem. El primer cas implica que la v 0 = 0 i en el segon cas v 0 0. Si ens demanen l altura màxima (y max ) hem de saber que en aquest punt v = 0 ja que el mòbil s aturarà per canviar el sentit del vector velocitat. 30

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 En arribar al terra l altura o posició respecte al nostre SR és zero (y = 0). Per tant y max v = 0 i arribar al terra és el mateix que dir que y = 0. Exemple 1.8 Deixem caure un objecte des de 100 m d altura. Escriviu les equacions del moviment i calculeu: 1. El temps que triga en arribar a terra. 2. La velocitat en aquest moment. Les dades que tenim són: Deixem caure, per tant v 0 = 0 y 0 = 100 m Arriba a terra, per tant y = 0. Per calcular el temps de caiguda i la velocitat fem servir les equacions de caiguda lliure. A l arribar a terra y = 0, per tant: y = 100 0 t 1 2 9, 8t2 y = 100 4, 9t 2 v = 0 9, 8t v = 9, 8t 0 = 100 4, 9t 2 t = 4, 52 s I amb el temps de caiguda es pot calcular la velocitat amb que arriba a terra: v = 9, 8 4, 52 = 44, 27 m/s El signe negatiu indica que l objecte està baixant quan toca terra. Exemple 1.9 Llancem,verticalment i cap amunt, des de 10 m d altura un objecte a 200 m/s. Escriviu les equacions del moviment i calculeu: 1. El temps que està pujant i l altura màxima assolida. 2. El temps que roman a l aire i la velocitat en arribar al terra. Les dades que tenim són: 31

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Llancem cap amunt, per tant v 0 = +200 m/s y 0 = 10 m Considerant el signe + de la v 0, les equacions del moviment seran: y = 10 + 200t 1 9, 8t2 2 v = 200 9, 8t Arribar a l altura màxima implica que v = 0. 0 = 200 9, 8t t = 20, 41 s y = 10 + 200 20, 41 4, 9 20, 41 2 = 2050, 82 m Per tant, l altura màxima assolida és de 2050, 82 m i tarda 20, 41 s en arribar a aquesta altura màxima. Si hem de calcular el temps que tarda en arribar a terra tenim que y = 0. y = 10 + 200t 4, 9t 2 0 = 10 + 200t 4, 9t 2 4, 9t 2 200t 10 = 0 Hem de resoldre l equació de 2n grau: t = +200 (( 200) 2 4 4, 9 ( 10)) 2 4, 9 = 200 ± 200, 48 9, 8 = 40, 87 s Només hem agafat la solució positiva, ja que el temps no té senti físic considerar-lo negatiu. Per calcular la velocitat amb que arriba a terra: Exemple 1.10 v = +200 9, 8t v = +200 9, 8 40, 87 = 200 m/s Dos nois llancem una pedra, verticalment i cap amunt, cadascun. El primer està al terra i la llança a 60 m/s i el segon està enfilat a una escala de 10 m d altura i la llança dos segons més tard i a 70 m/s. Calculeu el temps, la velocitat i l altura a la que es trobaran les dues pedres. Estan pujant o baixant? Hem de plantejar les equacions per a cada pedra: Pedra A: Pedra B: y A = 0 + 60t 4, 9t 2 v A = +60 9, 8t y B = 10 + 70 (t 2) 4, 9t 2 v B = +70 9, 8(t 2) 32

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 B: +v 0 =70 m/s A: +v 0 =60 m/s 10 m SR Si han de trobar-se ha de complir-se que y A = y B. Igualem les equacions i resolem: L altura on es trobaran serà: I les velocitats: 60t 4, 9t 2 = 10 + 70(t 2) 4, 9(t 2) 2 60t 4, 9t 2 = 10 + 70t 140 4, 9(t 2 4t + 4) 60t 70t 19, 6t = 10 140 19, 6 29, 6t = 149, 6 t = 5, 055 s y A = y B = 60 5, 055 4, 9 5, 055 2 = 178, 1 m v A = 60 9, 8 5, 055 = +10, 46 m/s v B = 70 9, 8 (5, 055 2) = +40, 061 m/s Com les dues velocitats són positives això ens indica que els dos cossos estan pujant en el moment de trobar-se. 1.3.6 Exercicis proposats 1. Deixem caure una pedra des de 200 m d altura, calculeu: (a) La velocitat en arribar a terra. (b) La velocitat i l altura després de 3 s. 2. Si llancem una pedra des del terra i cap amunt a 15 m/s i després d 1 segon en deixem caure una altra des de 20 m d altura, calculeu: (a) L altura a la qual es creuen. (b) La velocitat de cada pedra i el sentit del moviment en aquest moment. 33

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. 3. Tenim 3 boles iguals a 16 m d altura. Simultàniament, deixem caure la primera, llancem la segona verticalment i cap amunt a 20 m/s i la tercera la llancem verticalment i cap avall a la mateixa velocitat. Calculeu la velocitat de cada pedra en el moment d arribar a terra i el temps implicat en cada cas. 4. Una pedra en caiguda lliure passa pel davant d un observador situat a 300 m del terra. Després de 2 s passa pel davant d un altre observador que està a 200 m d altura, calculeu: (a) El temps que triga a arribar a terra. (b) La velocitat en arribar a terra. 5. Es llança un cos cap amunt i després de 2 s està a 40 m d altura. Calculeu la velocitat amb què l hem llançat i l altura màxima que assoleix. 6. Des del terrat d un edifici de 15 m llancem, verticalment i cap amunt, una pedra i triga 8 segons en arribar al carrer, calculeu: (a) La velocitat amb què l hem llançat. (b) L altura màxima a què arriba. (c) La velocitat en arribar a terra. 7. Des d una altura de 40 m llancem, verticalment i cap amunt,un objecte a 25 m/s, calculeu: (a) L altura màxima. (b) La velocitat quan està a 45 m d altura. Interpreteu el resultat. (c) L altura quan la seva velocitat sigui 28 m/s. 8. Amb quina velocitat hem de llançar, verticalment i cap amunt, un cos perquè arribi fins una altura màxima de 100 metres? 9. Llancem, verticalment i cap amunt, una pilota des de la nostra mà que està a 1 m del terra. Després de 5 s arriba al terra. Calculeu: (a) La velocitat de llançament. (b) L altura màxima. (c) El temps que triga en passar per la posició inicial. 10. Llancem un objecte cap amunt a 20 m/s i 1 segon després un altre amb la mateixa velocitat. A quina altura es creuaran i quina velocitat portaran?. Indica el sentit del moviment dels objectes. 11. Un individu situat a 60 m d altura veu pujar i passar pel davant seu un cos llançat des del terra i després de 8 segons el veu baixar. Amb quina velocitat l han llançat? 34

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 1.4 Moviments circulars Definició 12 (Moviment circular) El moviment circular és el moviment que té com a trajectòria una circumferència. És un moviment en el pla, és a dir, en dos dimensions. Per simplificar l estudi d aquest moviment podem agafar com a SR el centre de la circumferència. Podem determinar la posició del mòbil en funció de les coordenades cartesianes (x, y) de manera molt senzilla, però aquest tipus de coordenades compliquen l estudi del moviment circular. Per aquest motiu utilitzarem coordenades polars. En aquest sistema de coordenades, la posició es determina a partir de : La distància al centre de la circumferència (SR), és a dir, el radi, R, de la circumferència i que mesurarem en metres, m. L angle format per aquest radi i l eix d abscisses, ϕ, i que mesurarem en radiants, rad. Aquest moviment, tot i que té lloc en 2 dimensions, l estudiarem prescindint de la notació vectorial. radi = R ϕ B ϕ 0 A Imatge 1.11: Moviment circular. Per estudiar el moviment circular necessitem definir noves magnituds cinemàtiques: 1. Desplaçament i angle girat: considerem un mòbil que inicialment està en la posició A de la circumferència i es mou fins al punt B. Podem mesurar el camí que ha recorregut de dues maneres: (a) Increment de l angle girat, ϕ = ϕ ϕ 0 (rad). Aquest valor tindrà signe positiu si gira en contra de les agulles d un rellotge. 35

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. (b) Espai recorregut, que coincideix amb el tros de l arc girat sobre la circumferència. El designem per la lletra s i es mesura en metres. Aquestes dues magnituds es relacionen amb la definició de radiant: Definició 13 (Radiant) Un radiant és l angle que comprèn un arc de longitud igual al radi. R ϕ s s = ϕ R ϕ = 1 rad s = R Imatge 1.12: Relació entre angle, radi i longitud d arc 2. Velocitat lineal i velocitat angular: podem trobar aquests dos tipus de velocitats segons ens referim a la longitud de l arc o a l angle girat en un interval de temps: (a) Velocitat angular, ω: ω = ϕ t (rad/s) (1.24) Aquesta velocitat també es pot mesurar en rpm (revolucions o voltes per minut) i, per operar, haurem de passar a l SI. Ho podem veure a l exemple següent: (b) Velocitat lineal, v: ω = 60 rpm = 60 voltes minut v = s t 2π rad 1 volta 1 minut = 2π rad/s 60 s (m/s) (1.25) Aquestes dues velocitats es relacionen a partir de la definició de radiant: v = ω R (1.26) 36

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 1.4.1 Moviment circular i uniforme (mcu) Descripció del moviment Definició 14 (mcu) El moviment circular uniforme (mcu) té com a trajectòria una circumferència i descriu arcs, s, i angles, ϕ, iguals en temps iguals, és a dir, les velocitats lineal i angular es mantenen constants. La direcció del vector velocitat canvia a cada instant de temps, per aquest motiu apareix un tipus d acceleració que s anomena acceleració normal i que estudiarem en cursos posteriors. Equacions del moviment circular i uniforme Tenint el compte les diferents magnituds podem obtenir dues equacions de posició segons partim de la velocitat lineal o de l angular. Les magnituds implicades i les seves unitats a l SI són: ϕ: angle (rad) ϕ 0 : angle inicial (rad) ω: velocitat angular (rad/s) v: velocitat lineal (m/s) s: espai (m) t: temps (s) t 0 : temps inicial que normalment es considera zero Les equacions seran les següents: 1. A partir de la velocitat angular: 2. A partir de la velocitat lineal: ω = ϕ t = ϕ φ 0 t t 0 ϕ = ϕ 0 + ωt (1.27) ω = s t = s s 0 t t 0 s = s 0 + vt (1.28) Una altra manera de caracteritzar l mcu és a partir de dos noves magnituds: 1. El període, T (s): temps utilitzat en fer una volta completa a la circumferència que descriu. 2. Freqüència, f (Hz): nombre de voltes que dona en 1 s. 37

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Aquestes magnituds estan relacionades entre elles i amb la velocitat angular: T = 1 f (1.29) f = 1 T (1.30) Exemple 1.11 ω = 2π T = 2πf (1.31) La roda d una bicicleta gira a 45 rpm, calculeu: 1. El període i la freqüència del moviment. 2. Si la roda té 38 cm de radi, calculeu la velocitat d un punt de la perifèria i la distància que recorre en 7 min. 3. L angle descrit en aquest temps. 4. El nombre de voltes que donarà en 2 km de recorregut. Dades: 1. ω = 45 (rpm) = 45 voltes minut ω = 2π T T = 2π rad 1 volta 1 minut = 1, 5 rad/s 60 s sπ 1, 5π = 1, 33 s f = 1 T = 1 = 0, 75 Hz 1, 33 2. Els 7 minuts han de passar-se a segons i els centímetres a metres: t = 7 min = 420 s v = ωr = 1, 5π 0, 38 = 1, 79 m/s s = s 0 + vt = 0 + 1, 79 420 = 752, 1 m 3. s = ϕr ϕ = s R = 752, 1 0, 38 4. Els kilòmetres han de passar-se a metres. = 1979, 2 rad s = ϕr ϕ = s = 5263, 16 rad R 5263, 16 rad 1 volta 2π rad = 837, 66 voltes 38

Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. Tema 1 1.4.2 Exercicis proposats 1. La freqüència del moviment de la roda d una moto és 15 Hz. Si el radi de la roda és 32 cm, calculeu: (a) La velocitat angular. Doneu el resultat en rad/s i rpm. (b) La velocitat lineal d un punt de la perifèria. (c) El nombre de voltes que dóna i la distància que recorre en 15 min. 2. Amb una onda formada per una corda de 75 cm fem girar una pedra amb mcu de manera que triga 2 s en fer una volta completa, calculeu: (a) La velocitat angular de la pedra en unitats de l SI. (b) Els espais lineal i angular que recorre en 5 min. (c) El període i la freqüència. 3. Calculeu la velocitat angular de les agulles que giren en un rellotge. 4. Un satèl lit gira a 500 km d altura sobre la superfície de la Terra i triga 1,57 h en donar una volta completa al voltant de la Terra. Calculeu les velocitats lineal i angular si el radi de la Terra és de 6370 km. 5. Tenen tots el punts que giren en un disc la mateixa velocitat lineal independentment de la distància al centre del disc? I angular? 6. Un ciclista utilitza una bicicleta de muntanya amb unes rodes de 26 polsades de diàmetre i circula a 25 km/h (1 polsada=2,54 cm), calculeu: (a) El radi de les rodes en unitats de l SI. (b) Les voltes que donen en 5 min. (c) La seva velocitat angular. (d) El període i la freqüència del moviment. 1.5 Activitats finals de repàs 1. Un cotxe que inicialment circula a 25 m/s accelera durant 9 s amb una acceleració de 0, 25 m/s 2, després es mou amb velocitat constant durant 45 s i, finalment, frena fins que s atura en 5 s més. Calculeu: (a) El tipus de moviment, acceleració i distància recorreguda en cada tram. (b) La velocitat mitjana en tot el recorregut. (c) Representeu els gràfics a t, v t i x t. 2. Dos cases, A i B, estan en un mateix carrer recte però separades 400 m. De la casa A surt una moto cap a B amb una acceleració de 0, 5 m/s 2. Deu segons després surt de B cap a A una persona caminant amb velocitat constant de valor 5,4 km/h. (a) Escriviu les equacions del moviment dels dos mòbils. 39

Tema 1 Dept. de FiQ. IES Ramón Cid. (b) Calculeu el temps, velocitats, posicions i distàncies recorregudes en el moment de trobar-se. 3. Llancem un cos, verticalment i cap amunt, des del terra a 35 m/s i 6 s després en llancem un altre des del mateix lloc però a 25 m/s. Calculeu l altura a la qual es trobaran i la velocitat en aquest moment. Justifiqueu els signes. 4. Des d una altura de 50 m llancem dos cossos, un verticalment i cap amunt i l altre cap avall. Calculeu la velocitat amb què hem llançat cada cos si en els dos casos triguen 1,5 s en arribar a terra. 5. Un volant de 50 cm de radi gira a 180 rpm, calculeu: (a) La velocitat angular en unitats de l SI. (b) La freqüència i el període del moviment. (c) La velocitat lineal d un punt de la perifèria. (d) Si considerem un punt que està a 20 cm del centre del volant, com variaran els apartats anteriors? 40