TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA.

CURSO 2012/2013 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA FÍSICA Y QUIMICA 1º BACHILLERATO CIENCIAS Y TECNOLOGÍA Profesor: José Criado Ferrándiz TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA. 1. EL PROBLEMA DEL MOVIMIENTO... 3 2. LA POSICIÓN DE LOS CUERPOS... 3 Expresión del vector de posición... 4 Relación entre coordenadas polares y cartesianas... 4 La posición de un cuerpo en el espacio... 4 2.1 LA POSICIÓN EN FUNCION DEL TIEMPO: MOVIMIENTO.... 5 2.2 DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO... 6 3. LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS... 6 3.1 VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA... 7 El vector velocidad instantánea... 8 Dirección y sentido del vector velocidad instantánea... 8 El módulo de la velocidad de un cuerpo... 8 4. LA ACELERACIÓN DE LOS CUERPOS... 8 4.1 LA ACELERACIÓN MEDIA... 8 4.2 LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA... 9 La aceleración instantánea como derivada de la velocidad... 9 4.3 LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA 11 La aceleración tangencial... 11 La aceleración centrípeta... 11 1

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IES CARMEN PANTION. PRIEGO DE CORDOBA 1. EL PROBLEMA DEL MOVIMIENTO El problema del movimiento o reposo de los cuerpos es relativo y depende del sistema de referencia elegido. Un objeto se mueve cuando su posición varía con respecto a un punto o un sistema de referencia elegido, que se considera fijo. En esta definición se introducen dos conceptos claves para la comprensión de los movimientos: La posición de un móvil. El sistema de referencia con respecto al que se determina dicha posición. A la hora de analizar los movimientos de la mayoría de los cuerpos, se considera que estos se mueven como un único punto. Ese punto, dotado de la masa del cuerpo, se denomina punto material. 2. LA POSICIÓN DE LOS CUERPOS Para determinar la posición en el plano, se debe utilizar dos coordenadas, cada una de las cuales corresponde a una dirección determinada y referidas a un punto fijo o sistema de referencia. Estas coordenadas se pueden dar de dos formas: Dando las coordenadas x e y, que se denominan coordenadas cartesianas del punto o posición ocupada por el cuerpo. Dando la distancia r y el ángulo θ, donde r es la distancia al origen en línea recta, y θ es el ángulo que forma dicha recta con cualquiera de los ejes de referencia. Se denominan coordenadas polares del punto. La posición de un cuerpo con respecto a un punto de referencia queda definida por el vector que une dicho punto de referencia con el lugar ocupado por el cuerpo o vector de posición. 3

1º BACH C-T TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA. Expresión del vector de posición El vector de posición, de la siguiente forma:, se expresa en función de las dos coordenadas Cartesianas Para dar carácter vectorial a las componentes cartesianas, se multiplican x e y por los respectivos vectores unitarios direccionales (vectores de módulo 1 ). En este caso, son las componentes rectangulares del vector de posición. La unidad de medida de la posición, como la de cualquier longitud, en el sistema internacional es el metro (m). otro. Relación entre coordenadas polares y cartesianas Si se conoce uno de estos dos tipos de coordenadas, es posible calcular fácilmente el Cálculo de coordenadas cartesianas a partir de las polares. A partir de las coordenadas r y θ, se puede calcular x e y: Cálculo de coordenadas polares a partir de las cartesianas. El valor de r se deduce aplicando el teorema de Pitágoras, pues se trata de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son x e y: El ángulo θ se puede calcular a través de su tangente, ya que: tan x y La posición de un cuerpo en el espacio El vector de posición en el espacio vendrá dado entonces por: Donde son los vectores unitarios en las tres direcciones de los ejes. 4

IES CARMEN PANTION. PRIEGO DE CORDOBA Las coordenadas polares en tres dimensiones se denominan coordenadas esféricas y requieren ser definidas mediante una distancia y dos ángulos; el que forma el vector con su proyección sobre el plano inferior (ángulo α) y el que forma dicha proyección con cualquiera de los ejes, X o Y, del plano inferior (ángulo β). 2.1 LA POSICIÓN EN FUNCION DEL TIEMPO: MOVIMIENTO. Si un cuerpo se desplaza 5 m cada segundo en una dirección determinada (por ejemplo X). Al cabo de 1 s estará a 5 m del punto de partida; en 2 s se encontrará a 10 m; a los 3 s, a 15 m, y así sucesivamente. Su posición cambia con el tiempo, es decir, la posición es función del tiempo ejemplo, se expresa de la siguiente forma: x = 5tm En esta expresión se ha supuesto que el cuerpo solo se mueve en la dirección X. Para ser más rigurosos, también se puede escribir su posición en forma vectorial de esta manera: La ecuación que expresa el vector de posición como una función del tiempo se denomina ecuación de posición. El hecho de que el factor tiempo, t, aparezca en la expresión de la posición indica que el cuerpo está en movimiento. Si el cuerpo que se mueva en dos dimensiones y avance, por ejemplo, 5 m cada segundo en la dirección X y 3 m en el mismo tiempo en la dirección Y en ese caso, su ecuación de posición se expresará así: Al dar diversos valores al tiempo, se pueden representar las distintas posiciones que va ocupando el cuerpo. Si se unen dichas posiciones mediante una línea, se obtiene la trayectoria que sigue el cuerpo en su movimiento. La distancia del cuerpo al origen en cualquier momento sería el módulo del vector de posición en ese instante, es decir, distancia al origen: 5

1º BACH C-T TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA. 2.2 DESPLAZAMIENTO, TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO Cuando se habla del movimiento de los cuerpos/ con frecuencia se emplean indistintamente y con escaso rigor ciertos términos que es preciso distinguir: Desplazamiento significa lo mismo que «variación de posición», es decir es la diferencia entre la posición final y la inicial. Dado que las posiciones se representan mediante vectores, el desplazamiento será un vector cuyo origen es la posición inicial y cuyo extremo es la posición final del cuerpo. Suele simbolizarse como. Así: A efectos prácticos, el valor del desplazamiento es la distancia medida en línea recta entre la posición final y la inicial. Trayectoria es la línea geométrica que el cuerpo describe en su movimiento. Espacio recorrido (s) es la distancia medida sobre la trayectoria entre la posición final y la inicial. 3. LA VELOCIDAD DE LOS CUERPOS Un posible criterio para diferenciar los movimientos: la rapidez con que se desplazan o cambian de posición. Asi Se define velocidad como la rapidez con que cambia la posición de un cuerpo. En física se emplea el término rapidez para indicar la relación entre la variación de cierta magnitud y el tiempo que ha tardado en producirse dicha variación. 6

IES CARMEN PANTION. PRIEGO DE CORDOBA Según esto, se puede expresar matemáticamente la velocidad como: Por tanto, la velocidad de un cuerpo se puede definir también como el cociente entre el desplazamiento producido y el tiempo empleado en realizarlo. donde t0 es el tiempo inicial, es decir, el tiempo en el que se empieza a realizar una medida, y ro es la posición inicial. La posición es una magnitud vectorial y, por consiguiente, su variación (desplazamiento) se expresa igualmente de manera vectorial. El vector velocidad tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento. Por tanto, tiene la dirección y sentido del movimiento. La unidad utilizada en el sistema internacional para medir la velocidad es el metro por segundo (m/s). 3.1 VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA La velocidad media de un cuerpo es la relación entre el desplazamiento efectuado y el tiempo invertido en realizarlo: Se trata de la misma definición que se ha utilizado para introducir el concepto de velocidad. En términos físicos, la velocidad instantánea se define como la velocidad media en el límite en que el intervalo de tiempo se hace casi cero: Esta expresión es lo que en matemáticas se conoce como deriva [de una función, en este caso la función es la posición, vector de posición, y la variable de la función es el tiempo, t, r(t)]. Es decir La velocidad instantánea de un cuerpo se obtiene derivando su ecuación de posición: 7

1º BACH C-T TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA. El vector velocidad instantánea Si el movimiento se realiza en el espacio y las tres componentes del vector de posición cambian con el tiempo, el vector velocidad instantánea tiene también tres componentes en las distintas direcciones espaciales. Se habla, por tanto, de componentes del vector velocidad instantánea, que se calculan derivando las respectivas componentes del vector de posición. De este modo Dirección y sentido del vector velocidad instantánea La velocidad instantánea no es más que la velocidad media calculada en un intervalo muy pequeño de tiempo, al utilizar intervalos muy pequeños de tiempo, los desplazamientos serán mucho menores, su dirección se va aproximando a la de la tangente a la curva en ese punto. De hecho, cuando el intervalo se convierte en instante, la dirección del desplazamiento es la de la tangente. Dado que la velocidad es proporcional en todo momento al vector desplazamiento, se puede decir que: El vector velocidad instantánea tiene la dirección de la tangente a la trayectoria en cualquier punto y el sentido del movimiento. El módulo de la velocidad de un cuerpo El módulo de un vector que viene dado en función de sus componentes se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras. Así pues: Y en tres dimensiones: 4. LA ACELERACIÓN DE LOS CUERPOS La magnitud que nos da una idea de cómo varía la velocidad es la aceleración. 4.1 LA ACELERACIÓN MEDIA La aceleración de un cuerpo mide la rapidez con que varía su velocidad. Teniendo en cuenta el significado del término rapidez en física, la aceleración se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma: 8

IES CARMEN PANTION. PRIEGO DE CORDOBA La aceleración así definida se denomina aceleración media. En el SI, la unidad de aceleración es el metro por segundo al cuadrado (m/s 2 ). Esta definición encierra dos aspectos muy importantes que debes tener en cuenta: ' Dado que la velocidad es un vector, varía cuando lo hace cualquiera de sus atributos. Es decir, no solo hay aceleración cuando varía el valor (módulo) de la velocidad, sino que también existe aceleración cuando cambia la dirección o el sentido de la velocidad (y, por tanto, del movimiento), aunque el módulo de la velocidad no experimente modificación alguna. Variación de velocidad no siempre significa «aumento» de velocidad; también puede ser «disminución». En ambos casos, se trata de un movimiento con aceleración. En muchos textos de física, cuando la aceleración es negativa y, por tanto, la velocidad disminuye, se dice que el movimiento es decelerado. Conviene hacer una aclaración en este punto: el módulo de cualquier magnitud vectorial es positivo por definición. En consecuencia, la utilización de signos positivos o negativos acompañando al valor de la aceleración solo indica el sentido en el que esta actúa. 4.2 LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA En términos físicos, la aceleración instantánea es la aceleración media en el límite en que el intervalo de tiempo es prácticamente cero. La aceleración instantánea como derivada de la velocidad La aceleración instantánea se obtiene derivando la velocidad con respecto al tiempo. Es decir: A partir de la ecuación de posición se obtiene la aceleración instantánea derivando dos veces dicha ecuación con respecto al tiempo. Según la notación empleada habitualmente en física, esto se expresaría de la siguiente forma: 9

1º BACH C-T TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA. que se lee «derivada segunda de la posición con respecto al tiempo dos veces» 10

IES CARMEN PANTION. PRIEGO DE CORDOBA 4.3 LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y LA ACELERACIÓN CENTRÍPETA La aceleración tangencial El término aceleración implica cambios en la velocidad, mientras que tangencial indica que la dirección en la que actúa es la tangente a la trayectoria y, por tanto, tiene la misma dirección que el vector velocidad. La aceleración tangencial, at, solo produce cambios en el módulo de la velocidad. En consecuencia, se puede definir también como un vector con los siguientes atributos: Módulo. Su valor equivale a la rapidez con que cambia el módulo de la velocidad. Así: Dirección. Es tangente a la trayectoria en todo punto (y coincide, por tanto, con la del vector velocidad). Sentido. Es el mismo que el del movimiento si el módulo de la velocidad aumenta y contrario al movimiento si el módulo de la velocidad disminuye. Por tanto, empleando la notación vectorial: donde u t, es un vector unitario en la dirección tangencial. La aceleración centrípeta La aceleración centrípeta, ac, aparece cuando los movimientos son curvilíneos (por ejemplo, circulares, elípticos... ) y solo produce cambios en la dirección de la velocidad sin afectar a su módulo. Como vector, la aceleración centrípeta tiene las siguientes características: Módulo. Se determina dividiendo el cuadrado del valor de la velocidad entre el radio de la curva descrita: Dirección. Es radial (coincide con la dirección del radio de la curva descrita). Sentido. Es siempre hacia el centro de la curva. Así pues, la aceleración centrípeta se expresa en notación vectorial como: 11

1º BACH C-T TEMA 8: LA DESCRIPCION DE LOS MOVIMIENTOS: CINEMÁTICA. En la expresión, u r, es el vector unitario en la dirección radial. El signo negativo indica que está dirigida hacia el centro de la curvatura. Los dos tipos de aceleraciones son perpendiculares entre sí. Su composición vectorial permite obtener la aceleración total, cuya expresión será: 12