REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No.. 001 HOLOGRAMAS GENERADOS POR COMPUTADOR 1 John Fredy Barrera Ramírez, Rodigo Henao, 3 Andrzej Kolodziejczyk 1, Universidad de Antioquia, A.A 16 Medellín-Colombia 3 Warsaw University of Technology, Koszykowa 75,00-66 Warsaw, Poland RESUMEN Haciendo uso de la descripción matemática de un frente de onda o la representación de un objeto por medio de un arreglo de puntos, se puede generar mediante un programa de computación la amplitud de transmitancia de un holograma y graficarlo sobre un papel. A través de una reducción en material holográfico de la salida grafica del computador se registra el holograma que puede estar codificado ya sea como elemento de fase o de amplitud. INTRODUCCIÓN La holografía generada por computador permite crear hologramas de Fresnel y de Fourier, por medio de algoritmos que realizan la transformada rápida de Fourier y la transformada de Fresnel en cada caso. Para un posterior registro de los hologramas se requiere la información de la amplitud y la fase, pero la codificación simultanea de estas requiere tecnología avanzada y causa perdida de luz. Por tal motivo se usa el algoritmo de Saxton-Gerchberg para introducir la información de amplitud en la fase, de modo tal que al codificar solo la información de fase se pueda lograr una posterior reconstrucción del campo del objeto. CONSIDERACIONES TEÓRICAS El frente de onda de un holograma de fase se puede representar como: U r = exp i Φ r [1] Dicho frente de onda puede codificarse en un elemento difractivo por medio de la T Φ r π función compleja periódica de periodo, la función T Φ r define la transmitancia compleja del elemento difractivo que gracias a su periodicidad puede ser desarrollada en la siguiente serie de Fourier: Donde A n T ( Φ)= A ( ) [] π exp n inφ n 1 = π T 0 ( Φ) exp( inφ) dφ [3] Son los coeficientes que corresponden a los diferentes ordenes de difracción de la transmitancia T ( Φ), donde el primer orden reconstruye nuestro campo de interés 364
REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No., 001 r = exp i Φ U r. La eficiencia de difracción η de la estructura difractiva se relaciona con el primer orden y es igual a η = A 1 busca adoptar métodos de codificación que permiten alcanzar un, en la holografía sintética se, es decir, crear un elemento difractivo que me permita dirigir toda la energía incidente en el primer orden de difracción. Para el registro de los hologramas generados por computador la codificación [1] más simple y comúnmente utilizada es la binaria de fase o de amplitud [1,], pues no requiere el uso directo de la micro-litografía y su registro consiste en realizarle un proceso de reducción en material holográfico a la transmitancia del holograma calculada por el computador o un posterior blanqueado a dicha reducción, logrando registrar el holograma como un elemento de amplitud o de fase respectivamente. CODIFICACIÓN BINARIA DE AMPLITUD Para esta codificación la transmitancia tiene la forma: A 1 1 1, 0,π ) T (φ) = 0, π,π ) [4] Mediante las ecuaciones (3) y (4) puede calcularse fácilmente la eficiencia de difracción para los primeros ordenes, en la tabla 1 se encuentra consignado él calculo para los primeros ordenes, donde n indica el orden de difracción y asociada. η = A n la eficiencia η = An 0 ± 1 ± 3 n ± 5 5% 10.1% 1.1% 0.4% Tabla No.1. Eficiencia de difracción para un elemento binario de amplitud. A la reconstrucción del orden deseado le corresponde una eficiencia de difracción 10.1%, que aunque baja es superior a la eficiencia de los hologramas de amplitud que se generan ópticamente (6.5%). Los otros órdenes de difracción representan ruido para la holografía sintética, en especial el orden cero es una onda plana sobre el eje óptico con una alta eficiencia de difracción ( η = 5% ), que en el momento de la reconstrucción dificultando la inspección del holograma. Para desviar el orden cero del eje óptico se introduce una onda inclinada durante la obtención de la transmitancia del holograma. CODIFICACIÓN BINARIA DE FASE En este caso la transmitancia es de la forma: 1, 0, π ) T ( φ ) = 1, π, π ) [5] 365
REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No.. 001 La eficiencia de difracción se obtiene usando las relaciones (3) y (5), en la tabla se muestra él cálculo de la eficiencia de difracción para los primeros ordenes. = n n ± 1 ± 3 ± 5 η A 40.5% 4.4% 1.6% Tabla No.. Eficiencia de difracción para un elemento binario de fase. La estructura binaria de fase tiene amplitud cero para el orden de difracción cero, lo que significa que en el momento de la reconstrucción este orden no me representa ruido sobre el eje óptico. La eficiencia de difracción del orden de interés es de un 40.5% cuatro veces mayor que la obtenida en una codificación binaria de amplitud. Para aumentar la eficiencia de difracción de los hologramas de fase se debe acudir a una codificación de varios niveles de fase que solo es posible mediante la micro-litografía. GENERACIÓN DE LOS HOLOGRAMAS BINARIOS En el caso de los hologramas de Fresnel [4] se debe iluminar el objeto con una onda plana monocromática, luego recuperar el campo en el plano deseado para utilizar el algoritmo de Saxton-Gerchberg y finalmente codificar la información de fase como un elemento ya sea de fase o de amplitud, obteniéndose así la transmitancia del holograma. Para generar los hologramas de Fourier [5] se debe efectuar la transformada de Fourier de del holograma de Fresnel, lo cual se logra multiplicando por la transmitancia de una lente positiva. PROCESO EXPERIMENTAL A la transmitancia del holograma que es obtenida como la salida grafica del computador se le realiza una reducción en material holográfico, logrando de esta forma registrar el holograma como un elemento binario de amplitud, el cual es representado por zonas oscuras y transparentes dependiendo del valor de la fase en esos puntos. La obtención de un holograma codificado como un elemento binario de fase consiste en realizarle un proceso de blanqueado al holograma binario de amplitud, en este caso las zonas oscuras del elemento de amplitud son representadas por una diferencia de grosor en la película, el cual me introduce un desfase de π. La reconstrucción consiste en iluminar el holograma con una onda plana y colocar el plano de observación a la distancia utilizada durante la generación, en el caso de los hologramas de Fresnel. En cuanto a los hologramas de Fourier se refiere, luego de iluminar el holograma se debe utilizar una lente positiva para realizar la transformada de Fourier. 366
REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No., 001 RESULTADOS EXPERIMENTALES Fig. No.1a Fig. No.1b En la Fig. 1a se tiene la reconstrucción experimental de un holograma de Fourier bajo codificación binaria de amplitud y en la Fig. 1b bajo codificación binaria de fase En el plano de reconstrucción de un holograma de Fourier se obtienen dos imágenes una invertida con respecto a la otra como se puede observar en las Fig. 1a y Fig. 1b correspondientes a los ordenes +1 y 1 de difracción. Es decir que si codifico mi holograma de Fourier como un elemento binario de fase en el plano de reconstrucción obtengo dos imágenes con un 40.5% de eficiencia de difracción cada una, es decir en este plano tengo un 81% de la energía incidente. Mientras que en los de Fresnel solo tengo el orden +1 en el plano de reconstrucción para la codificación binaria de fase y el orden 0 y +1 para la codificación binaria de amplitud. Para eliminar uno de las dos ordenes de difracción se debe inclinar adecuadamente la onda de referencia en el momento de la generación o utilizar una codificación de mas niveles. Fig. No. a Fig. No. b En la Fig. a se observa la reconstrucción experimental de un holograma de Fresnel bajo codificación binaria de amplitud y en la Fig. b bajo codificación binaria de fase. 367
REVISTA COLOMBIANA DE FISICA, VOL. 33, No.. 001 CONCLUSIONES Esta forma de realizar hologramas de Fresnel y Fourier es una gran alternativa pues no requiere el uso de instrumentación óptica para su generación, además su registro bajo codificación binaria de amplitud o fase se realiza fácilmente por medio de una reducción en material holográfico o de un blanqueado de elemento de amplitud, respectivamente. La eficiencia de difracción es de un 40.5% para la codificación binaria de fase y de un 10.1% para la codificación binaria de amplitud, que son relativamente bajas comparadas con la de un elemento tipo kinoformo, el cual con una codificación de 16 niveles tiene una eficiencia difractiva de un 98.7%, pero superiores a la de los hologramas generados ópticamente. Se debe optimizar el blanqueado pues el orden cero de los hologramas codificados como elementos binarios de fase no desaparece totalmente, lo cual genera ruido sobre el eje óptico como se puede observar en las Fig. 1b y Fig. b, además hay muy poca diferencia en la reconstrucción experimental de los hologramas binarios de fase y amplitud como se puede observar comparando las Fig. 1a y Fig. a con las Fig. 1b y Fig. b. Lo cual indica que la eficiencia de difracción aumenta muy poco al pasar de un elemento de amplitud a uno de fase por medio del blanqueado. REFERENCIAS [1] Wai-Hon Lee, Computer-Generated holograms- techniques and applications, vol. 16, Progress in Optics, pp. 11-9, 1978. [] Olof Bryngdahl, Frank Wyrowski, Digital Holography-Computer-Generated Holograms, vol. 8, Progress in Optics, pp. 1-86, 1990. [3] H. M Smith, R. A. Bartolini, K. Biedermann, J. Bordogna, R. C. Duncan, S. A. Keneman, D. Meyerhofer, H. M. Smith, D. L. Staebler, J. C. Urbach, Topics in applied Physics: Holographic Recording materials. Vol. 0, Springer-Verlag, pp. 1-71, (1977). [4] Markus Duelli, Li Ge, Robert W. Cohn, J. Opt. Soc. Am. A 17, pp. 1594-1605, 000. [5] F. Wyrowski, O. Bryngdahl,, J. Opt. Soc. Am. A 5 1058 (1988). 368