CUESTIONES ) Sabiendo que el vector a tiene de modulo 6 y dos de sus cosenos directores son cosα / y cosβ /3. Calcular: a) Las componentes del vector a. 0.4) b) Las componentes de un vector b tal que a b î - 3 / ) ĵ y a b 3 /. 0.6) : a) a x a a y a cos α 6 ½ 3 cos β 6 /3 a z 6 3 3 a 3 î + ĵ + 3 ˆk b) El producto vectorial de los vectores a y b es: a b î - 3 / ) ĵ Además si calculamos el producto vectorial: a b î ĵ ˆk 3 3 b z - 3 b y ) î + 3 b x 3 b z ) ĵ + 3 b y b x ) ˆk b x b y b z iualando las componentes î, ĵ y ˆk de ambos productos escalares se obtienen tres ecuaciones: b z - 3 b y ) 3 b x 3 b z 3/ ) 3 b y b x 0 3) Si resolvemos este sistema de 3 ecuaciones con 3 incónitas lleamos a una indeterminación, es decir hay infinitos vectores b que cumplen la condición del producto vectorial. Por este motivo necesitamos una cuarta ecuación, que es la del producto escalar: a b 3 / 3 î + ĵ + 3 ˆk ) b x î + b y ĵ + b z ˆk ) 3 b x + b y + 3 b z 3 / 4) De la ecuación 3) obtenemos que b x 3/ b y, sustituyendo este valor en la ecuación 4) nos queda 3 3/ b y + b y + 3 b z 3 / 3/ b y + 3 b z 3 / Si despejamos b y : b y 3 /3-3 /3)b z e introducimos este valor en la ecuación ): b z - 3 [ 3 /3-3 /3)b z ]
b z 3/3 + 46/3 b z 6/3 b z + 46/3 b z + 3/3 7/3 b z 36/3 b z / Sustituyendo este valor de b z en la ecuación ): ½ - 3 b y 3 b y 0 b y 0 Introduciendo este valor de b y en la ecuación 3) se obtiene directamente que b x 0 ) El muón es una partícula inestable cuya masa es unas 07 veces la masa del electrón. Estas partículas se desinteran con una vida media τ; esto sinifica que si tenemos un numero de muones N en reposo en el laboratorio, cuando ha pasado un tiempo τ solo nos quedan la mitad de los muones N/). Siuiendo el mismo razonamiento, cuando ha pasado un tiempo nτ nos quedaran N/ n ). Sabemos que los muones en reposo en el laboratorio tienen una vida media de.5 0 6 s, que se producen en la atmósfera a una altura de 60 Km y que tienen una velocidad cercana a la de la luz v 0.999 c) Que fracción de los muones llean a la superficie terrestre? Explica por que. ) La velocidad de los muones es v 0.999 c 0.999*3 0 8 m/s.9949 0 8 m/s El tiempo que tardan en alcanzar la superficie terrestre es iual al espacio dividido por la velocidad: t 60 0 3 /.9949 0 8 0-4 s Tierra 60 km Si dividimos este tiempo por la vida media τ.5 0 6 s) encontramos cuantas vidas medias pasan hasta llear a la Tierra t / τ 0-4 /.5 0 6 33 t 33τ si se producen N muones, solo llearían a la superficie N/ 33 0-40 N Sin embaro se observa que llean muchos mas. La explicación radica en que los muones viajan a velocidades cercanas a la de la luz, y por lo tanto para ellos el tiempo que tardan en alcanzar la Tierra tiempo propio t ) es diferente al observado por nosotros t). La relación es t γt con - v c - 0.999c) c - 0.999. El tiempo propio es t t / γ 0-4 /. 9.09 0-6 s Si calculamos de nuevo a cuanta vidas medias corresponde este tiempo: t / τ 9.09 0-6 /.5 0 6 6 t 6τ Si se producen N muones, solo llearían a la superficie N/ 6 /64) N
3) La ráfica muestra la enería potencial ravitatoria para un objeto de masa m cercano a la superficie de un planeta; y 0 corresponde al nivel del suelo. Suponer que la enería mecánica del sistema es de 0. kj, a partir de la ráfica p J) determinar 300 a) La altura máxima que alcanza el objeto. 0.) b) La enería cinética del objeto cuando la enería cinética es p y) 00 iual a la potencial. 0.) c) La posición del objeto cuando la εc εp. 0.) d) La fuerza sobre el objeto en cualquier posición. 0.) e) La aceleración de la ravedad del planeta si la masa del objeto es m 0. k. 0.). 00 3 y m) La enería mecánica es la suma de las enerías cinética y potencial Em Ec + Ep) y es la máxima enería que puede tener el objeto. La enería mecánica es 0. kj 00J. Ep J) 300 00 00 Em Ec Ep y) a) En la posición de máxima altura, el objeto estará en reposo y la enería cinética será cero; por lo que toda la enería mecánica es enería potencial. Esa situación se corresponde a una posición y m 3 y m) b) Como Ec + Ep Em 00 J, si la enería cinética es iual a la enería potencial c) En la ráfica se observa que esta situación se alcanza en y m Ec Ep 00 J d) La fuerza es F -Ep E P x i + E P y j +E P z k En este caso como la Ep no depende ni de x ni de z, Fx Fz 0, y únicamente tiene componente y. La fuerza es la pendiente de la curva Epy), y como es una recta, la pendiente es la misma y la fuerza no depende de la posición: Fy -dep/dy - 00 0) / 0) - 00 N e) Aplicando la seunda ley de Newton F ma a F/m -00 j /0. a -9.8 j m/s 4) Calcular la posición del centro de masas de la placa homoénea de la fiura. ) R 4R 3
La placa se puede suponer como una placa semicircular de radio 4R a la que le hemos restado una placa semicircular concéntrica de radio R y una placa circular de radio R. Por simetría, el centro de masas de la placa circular esta en el centro. El centro de masas de una placa semicircular de radio R podemos determinarlo por el teorema de Pappus Guldin, que para un cuerpo de revolución dice que el volumen de un cuerpo de revolución V) es iual al área eneratriz A) multiplicada por la distancia recorrida por el centro de masas del área cuando se enendra el volumen: V π y CM A Aplicándolo a una placa semicircular de radio R:, y cm A / πr ) y V 4/3 πr 3 y G 4 3 V A 3 R 4R R 3 Ahora descomponemos la placa en la suma de tres placas, y como son homoéneas, en luar de utilizar masas, utilizamos áreas: y y y y - - x x x x Α /) π4r) 8 πr Α /) πr) πr Α 3 πr x cm 0 x cm 0 x cm3 0 y cm 4 4R)/3π 6R/3π y cm 4 R)/3π 8R/3π y cm3 3R A i x cmi x cm A i 8 R 0 - R 0 - R 0 8 R - R - R 0 5 R 0 y cm A i y cmi A i 8 R 6R /3 - R 8R/3 - R 3R 8 R - R - R.777 R 4
PROBLEMAS. Un esquiador de 80 k de masa deja una rampa de salto con una velocidad de 0 m/s formando 5 con la horizontal ver fiura). La inclinación del costado de la montaña es de 50 y la resistencia del aire es despreciable. Halle: a) La distancia a la que cae el esquiador a lo laro del costado de la montaña. 0.5) b) Las componentes de la velocidad justamente en el instante en el que cae. 0.5) Si la rampa de descenso posee un rozamiento despreciable y consta de un tramo recto de lonitud d y una inclinación de 5º con la vertical seuido de un cuarto de circunferencia de radio 5 m determinar: c) la lonitud de descenso d que permite al esquiador salir con la velocidad indicada de 0 m/s. 0.5) d) Repetir el apartado anterior si cuando se realiza el salto está presente un viento horizontal hacia la izquierda que ejerce sobre el esquiador una fuerza horizontal de 00 N. 0.5) Nota: Si no se sabe hacer los apartados a) y b) con una pista inclinada 50º y se resuelven con una pista horizontal las puntuaciones de dichos apartados serán de 0.) + 0.). d 5 5 m 5 50 0 m/s a) Si ponemos el orien de coordenadas en la posición en la que el esquiador sale de la rampa, en ese momento ponemos a cero el cronómetro, y orientamos los ejes X e Y hacia la derecha y hacia arriba, las ecuaciones del movimiento parabólico del esquiador serán θ 5º): x t) v 0 cos t v x t) v 0 cos y t) v 0 sen t t v y t) v 0 sen t Por otro lado cuando el esquiador entre en contacto con el suelo de la ladera tenemos que β 50º): x suelo v 0 cos t suelo y suelo v 0 sen t t suelo y suelo x suelo t ) * + t suelo.877 s x suelo 7.79 m y suelo 33. m La distancia recorrida a lo laro de la montaña será: d x suelo + y suelo 43.4 m b) La velocidad cuando el esquiador entre en contacto con el suelo de la ladera será: v x ) v 0 cos t suelo 9.659 m/s v y ) v 0 sen t suelo t suelo 5.6 m/s 5
c) De la fiura se obtiene que: h d + R)cos Rsen Aplicando la conservación de la enería entre la posición inicial y final: h θ d R β θ E sist. 0 E pot. + E cinet. 0 rav. My + Mv 0 ) 0 Mh + Mv 0 M +, d + R)cos* Rsen* -. + Mv 0 d v cos* + R tan* ) R.6 m d) Ahora tenemos que tener en cuenta que el viento realiza un trabajo sobre el sistema variando la enería de éste: E sist. W viento F viento r F viento, x x F viento E pot. rav. ) d + R + E cinet. F viento d + R)sen + Rcos )sen + Rcos M d + R)cos Rsen + Mv F viento d + R)sen + Rcos d v + Rsen + ) / * + F viento M, -. Rcos 0 cos ) F viento, * + M -. sen / 0 R 3.477 m Como es de esperar el resultado es mayor que el del apartado anterior. 6
. Dos bloques de masas y m están conectados entre sí por una cuerda liera que pasa sobre dos poleas idénticas sin fricción, cada una T de las cuales tiene un momento de inercia I y radio R ver fiura). a) Encuentre la aceleración en cada bloque y las tensiones en la cuerda en función de, m, I y R. ) b) A partir de la expresión obtenida para la aceleración discuta si se corresponde con el sentido común que indica que el sistema se aceleraría hacia el bloque más pesado. 0.) c) Qué pasaría si las poleas no tuviesen masa? Discútalo y halle de nuevo aceleraciones y tensiones. 0.5) d) Calcular numéricamente los valores de las tensiones y de las aceleraciones de los apartados a) y c) para 3 k, m k, I 0 3 k m y R 5 cm verificando que los valores obtenidos son coherentes. 0.3) m T a) Vamos a tomar el sentido positivo del movimiento unidimensional del bloque hacia abajo. Para el bloque tomamos el sentido positivo de movimiento hacia arriba. Dado que la cuerda que los une tiene lonitud fija las aceleraciones de los dos cuerpos son iuales a a a. Para las poleas tomamos el sentido positivo de iro antihorario. En la periferia de las poleas la aceleración tanencial también será a con lo que su aceleración anular será: a, donde R es el radio de la R polea. Teniendo en cuenta que la tensión de la cuerda que tira de los cuerpos y es diferente para cada uno de ellos debido a que las poleas poseen momento de inercia no son poleas ideales sin masa) y dibujando el diarama de fuerzas para los dos bloques y para las poleas y aplicando la seunda ley de Newton para traslación y rotación respectivamente: T a T m a R p T R p T T a T m m a a T R R I R a R T R I R Tenemos cuatro ecuaciones con cuatro incónitas cuya solución es: m + I T R + m + I R + I T R + m + I m R m a m + m + I R m + + m ) I R + m + I R 7
b) Si la aceleración es positiva de la expresión del resultado se deduce que es mayor que m lo que está de acuerdo con nuestra elección del sentido positivo con el bloque bajando y el subiendo. c) Si las poleas no tuviesen masa basta con hacer I 0 en los resultados anteriores. Sólo tendríamos una tensión a lo laro de la cuerda y su valor, junto con la aceleración, sería: a m + m T m + m d) Sustituyendo los valores numéricos tenemos para el apartado a): T 8.9 N T 3.3 N a 3.5 m/s 6. N Los valores numéricos verifican: que T es menor que el peso del bloque, con lo cual este bloque acelera hacia abajo, que T es mayor que el peso del bloque, con lo cual este bloque acelera hacia arriba, que la aceleración es inferior a la de la ravedad lóico ya que no caen libremente sino que hay una cuerda uniendo los bloques y tirando de ellos) y que la diferencia T es iual a la diferencia T, ya que las dos poleas son iuales y se aceleran por iual. Y para el apartado c): a 4.9 m/s T 4.7 N Los valores numéricos verifican: que T es menor que el peso del bloque, con lo cual este bloque acelera hacia abajo, que T es mayor que el peso del bloque, con lo cual este bloque acelera hacia arriba, que la aceleración es inferior a la de la ravedad. 8
3. Tenemos un tanque con aua en su parte inferior y una capa de aceite de rosor a en su parte superior ver fiura). Si dejamos flotando en dicho tanque un bloque cúbico de hielo de lado a. a) Determinar la lonitud de hielo que sobresale por encima de la superficie. 0.8) Si estando en equilibrio desplazamos lieramente una pequeña distancia x) el bloque de hielo hacia abajo y soltamos: b) demostrar que la fuerza neta sobre el bloque obedece a la ley de Hooke es de tipo elástico) y que por lo tanto el movimiento posterior del bloque será armónico simple. 0.4) c) Calcular el periodo de las pequeñas oscilaciones del bloque de hielo. 0.8) Datos: densidad del hielo 0.9 /cm 3, densidad del aceite 0.95 /cm 3. a a a) Si llamamos s a la lonitud de hielo que sobresale por encima de la superficie tenemos que por equilibrio electrostático: M hielo E líquido E aceite + E aua hielo a) aceite a) a + aua a) a s) desalojado )a aua hielo a) aceite a+ aua a s) s aceite + aua hielo b) Si se aparta el bloque del equilibrio desplazándole una pequeña distancia x hacia abajo el empuje va a aumentar. Si llamamos E al empuje anterior que equilibraba al peso y E al empuje en esta nueva situación, tenemos que la fuerza neta sobre el bloque será ascendente y de valor: F neta E líquido desalojado M hielo E líquido desalojado + aua a ) x ) M hielo * + aua a ) s 0.a, - x La fuerza neta tiene sentido contrario al desplazamiento y es proporcional a éste, es por lo tanto una fuerza de tipo elástica o que obedece a la ley de Hooke, con lo que el movimiento que el bloque va a realizar será un movimiento armónico simple. c) El periodo de las oscilaciones será: F neta aua a) x k x k elástica elástica T M hielo T M hielo k elástica ) 3 ) hielo a aua a hielo a ) aua 9