UNIVERSIDAD DE ORIENTE UNIDAD DE CURSOS BÁSICOS NÚCLEO BOLÍVAR CÁTEDRA: MATEMÁTICAS IV CABLE COLGANTE PROFESOR: CRISTIAN CASTILLO BACHILLERES: CASANOVA, EMILY GARCÍA, MIGUEL GUTIÉRREZ, YEISON MARTÍNEZ, CESAR CIUDAD BOLÍVAR, MARZO DE 2010
Cable colgante Considérese un cable o una cuerda que cuelga de dos pontos, A y B como se muestra en la figura, no necesariamente del mismo nivel. Se asume que el cable es flexible de modo que debido a su carga (la cual puede ser debido a su propio peso, o a fuerzas externas actuantes, o una combinación de éstas) toma la forma como en la figura. Sea P1 la posición mas baja del cable, y escoja los ejes X y Y como en la figura, donde Y pasa por P1. Se considera aquella parte del cable entre el punto P1 y cualquier punto P2 en el cable con coordenadas(x,y). Esta parte estará en equilibrio debido a la tensión T2 en P2. Sobre el cable actúan tres fuerzas: el peso del segmento P1P2 y las tensiones T1 y T2 en los puntos P1 y P2, respectivamente. Si W es la densidad lineal del cable (expresada en fuerza/longitud) y S la longitud del arco del segmento P1P2, entonces su peso será WS. La tensión T2 se puede descomponer en las direcciones horizontal y vertical, y las correspondientes cantidades escalares son T2cos(θ) y T2sen(θ). Para el equilibrio, la suma algebraica de las fuerzas en la dirección X( u horizontal) debe ser igual a cero, y la suma algebraica de las fuerzas en la dirección Y( o vertical) debe ser igual a cero. Otra manera de decirlo es que la suma de las fuerzas hacia la derecha debe ser igual a la suma de las fuerzas hacia la izquierda, y la suma de fuerzas hacia arriba debe ser igual a la suma de las fuerzas hacia abajo.
Las fuerzas en la dirección X son T1 hacia la izquierda y T2cos(θ) hacia la derecha, mientras que las fuerzas en la dirección Y son WS hacia abajo y T2sen(θ) hacia arriba. De donde: (1) Dividiendo, y usando el hecho que tangente es igual a la derivada de Y con respecto a X(dy/dx), y eso es igual a la pendiente de la tangente en P2, tenemos: (2) (3) En esta ecuación, T1 es una constante, puesto que es la tensión en el punto más bajo, pero tanto Y como S dependen de X. Como S es la longitud del arco entre el segmento P1P2 esta definida por: Como una ecuación diferencial no puede tener dos o más variables dependiente con respecto a una variable independiente, entonces sustituimos S en la ecuación (3) quedando: (3) nos queda: Ahora se deriva de acuerdo al 2do teorema fundamental del cálculo, la ecuación La cual es una Ecuación Diferencial no lineal de 2do Orden
Para resolver esta ecuación diferencial se utiliza la técnica de reducción de orden, que consiste en sustituir por u. Tenemos que ; Sustituyendo la ecuación (3) queda: Como sustituimos teniendo así: ; Ecuación Diferencial de Variables separables. Condiciones iniciales: = 0 Como = se despeja. Ecuación Diferencial de Variables separables.
; ; Vemos así que la forma del cable colgante está definido por:
Ejercicios 1. Un cable flexible de peso despreciable soporta un puente uniforme, como se muestra en la figura. Las dimensiones son como se indican: P el punto mínimo de la curva APB. Usando un conjunto apropiados de ejes, determine una ecuación para la curva APB. Solución: Q= WS (1) Como el peso del cable es constante, en este caso la ecuación es: Como Como
Como Entonces, la ecuación de la curva queda dada por:
2. Un cable pesa 0.5 Lb/ft cuelga de dos soportes que están a un mismo nivel y a 100 ft de separación. Si la pendiente del cable en uno de los soportes es 12.5. a) encuentre la tensión del cable en su punto más bajo, b) determinar una ecuación para la curva en la cual el cable cuelga. Condiciones iniciales X=0 y u(o)=0 Despejando u nos queda:
Condiciones iniciales Y(o)=0 y X=0 Solución general que describe la forma de un cable colgante Como W es 0,5lb/ft y la pendiente 12/5 a una distancia de 50ft, se sustituye en la ecuación anterior A) Tensión en el punto mas bajo del cable B) Se sustituyen los valores obtenidos en la solución general para obtener la curva que describe la forma que adopta el cable quedando