ESPOL FÍSICA C Primer Parcial *Fuerza Eléctrica *Campo Eléctrico *Ley de Gauss *Energía Eléctrica *Potencial Eléctrico *Capacitancia *esistencia EICK CONDE ESPOL
FUEZA Y CAMPO ELÉCTICO Ejercicio 1. Dos esferas idénticas que tienen carga de signo opuesto se atraen entre sí con una fuerza de 0.108 N cuando están separadas por 50 cm. Las esferas se conectan súbitamente con un alambre conductor delgado, luego se retiran y las esferas se repelen entre sí con una fuerza de 0.0360 N. Cuáles eran las cargas iniciales de las esferas? F = 0.108 N r = 50 cm F*= 0.0360 N 1 F = K q 1 q r F = K q 1 q r = Kq r 3 q = q 1 q ; como son al principio son cargas diferentes, entonces se restan De se tiene que: q = F r K q = 0.0360 0.5 9 10 9 = 1 10 6 C De 3 se tiene que: q 1 = q + q 3 en 1 F = Kq q + q r r F = Kq q + Kq 0 = Kq + Kq q r F q = Kq ± Kq 4(K) r F K q = 9 109 1 10 6 ± 9 10 9 1 10 6 + 4 9 10 9 0.5 0.108 9 10 9 q = 18000 ± 36000 18 10 9 ; tomamos el valor positivo, ya que estamos trabajando con magnitudes q = 1 10 6 C q 1 = q + q q 1 = 3 10 6 C EICK CONDE
Ejercicio. Una barra delgada de longitud L y carga uniforme por longitud λ esta a lo largo del eje x como se muestra en la figura. Calcule el campo eléctrico en el punto P a una distancia Y de la barra. Por simetría las componentes del campo en x se anulan, entonces: de y = de Cosθ de = K dq r ; Cosθ = Y r ; λ = dq dx dq = λ dx de y = K dq r Cosθ de y = Kλ dx r Y r de y = KλY dx r 3 ; r = x + Y 1 de y = KλY dx x + Y 3 de y = KλY l 0 dx x + Y 3 l x = KλY Y Y + x 0 E y = Kλ l Y Y + l j N C Ejercicio 3. Una línea de carga positiva se forma dentro de un semicírculo de radio igual a 60 cm. La larga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo se describe por medio de la expresión λ = λ 0 Cos θ. La carga total en el semicírculo es de 1 uc. Calcule la fuerza total en una carga de 3 uc situado en el centro de la curvatura. df y = df Cosθ df y = Kq dq Cosθ ; λ = λ 0 Cos θ dq dl = λ 0Cos θ dq = λ 0 Cos θ dl df y = Kq λ 0Cos θ dl Cosθ ; dl = dθ df y = Kq λ 0Cos θ dθ = Kq λ 0Cos θ dθ df y = Kq λ 0 π 0 Cos θ dθ = Kq λ 0 π 0 1 + Cos θ dθ 3 EICK CONDE
F = Kq λ 0 Sen θ θ + π = Kq λ 0 0 π Pero no conocemos el valor de λ 0, entonces: dq = λ 0 Cos θ dl dq = λ 0 Cos θ dl = λ 0 Cos θ dθ π Q = λ 0 0 π Cos θ dθ = λ 0 Senθ 0 = λ 0 λ 0 = Q Kq Qπ F = 4 = 9 109 3 10 6 1 10 6 π 4 0.6 = 0.7068 N F = 0. 7068 j N Ejercicio 4. Una esfera aislante de radio contiene una carga positiva total Q en todo su volumen de modo α ; r < que la densidad volumétrica está dada por: ρ r = α 1 r ; r ; donde α 0 ; r > es una constante positiva donde la unidad es de c m 3 halle α en términos de Q y. ρ = dq dv dq = ρ dv dq = ρ dv ; v = 4 3 πr3 dv = 4πr dr dq = 4ρπr dr = 4π αr dr + α 1 r r dr 0 0 Q = 4πα r3 r 3 + 3 0 3 r4 4 = 4πα 3 4 + 3 3 4 4 3 4 + 4 64 Q = 4πα 3 4 + 3 3 3 3 1 + 3 3 = 4πα 5 3 3 α = 8Q 5π 3 c m 3 4 EICK CONDE
Ejercicio 4. Dos barras delgadas idénticas de longitud A contienen cargas iguales Q + uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las barras descansan a lo largo del eje x con su centro separado a una distancia b > a. Demostrar que la magnitud de la fuerza ejercida por la barra de la izquierda sobre la derecha esta dad por: F = KQ 4a ln b b 4a Vamos a encontrar una expresión de la fuerza que ejerce la da barra sobre una partícula q que pertenece a la 1era barra, para luego generalizarla ( q y la distancia entre q y la barra permanecerá constante) df = Kq dq x ; λ = dq dl Q a = dq dl dq = Q dx a df = KqQ dx ax df = KqQ a F = KqQ d d + a d+a d dx x = KqQ a 1 x d d+a = KqQ a 1 d + a + 1 d Ahora q será un dq de la primera barra y la distancia entre dq y la da barra no será constante 5 EICK CONDE
df = KQ dq x x + a ; dq = Qdx a df = KQQ dx ax x + a df = KQ a x sup dx x x + a x inf = 1 x x + a = A x + B x + a KQ a b b a dx x x + a 1 = A x + a + Bx 1 = A + B x + aa 1 = aa A = 1 a 0 = A + B B = 1 a F = KQ a b b a A x + B x + a dx = KQ a b 1 1 ln x a a ln x + a b a F = KQ 4a ln b ln b + a ln b a ln b a + a F = KQ 4a ln b b + a ln b a b = KQ 4a ln b b + a b a b F = KQ 4a ln b b + a b a F = KQ b 4a ln b 4a N Ejercicio 5. Una carga de 8 uc se coloca en x = 4m, y = 0, donde se deberá colocar una carga de 4 uc para que el campo eléctrico sea nulo en el origen. E 8 uc = E 4 uc K 4 uc x = K 8 uc x 4 x = 8 4 x = 8 x = ± 8 Tomamos el valor negativo, debido a que la carga1 se encuentra a la izquierda del origen x = [m] 6 EICK CONDE
Ejercicio 5. Una línea de carga empieza en x = +x 0 y se extiende hasta el infinito positivo. Si la densidad de carga lineal es λ = λ 0x 0 x Determine el campo eléctrico en el origen. de = Kdq dq x ; λ = dl λ 0 x 0 x = dq dl dq = λ 0x 0 x dx de = Kλ 0x 0 x 3 dx de = Kλ 0 x 0 + dx x 3 x 0 = Kλ 0 x 0 lim t + x 0 t dx x 3 E = Kλ 0 x 0 lim 1 t t + x = Kλ 0 x 0 lim 1 x t + 0 t + 1 x 0 E = Kλ 0 x 0 i N C Ejercicio 6. Se lanzan protones a una rapidez inicial v i = 9. 55 10 3 m/seg dentro de una región donde se presenta un campo eléctrico uniforme E = 70j N/C como se muestra en la figura, los protones van a incidir sobre un blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.7 mm del punto donde se lanzaron los protones. Determinar: a) Los ángulos de lanzamiento θ que darán como resultado del impacto. b) El tiempo total de vuelo para cada trayectoria. Para a) F = m p a F e = m p a Eq p = m p a a = Eq p m p = 70 1.6 10 19 1.67 10 7 = 6.89 10 10 m/seg x máx = v 0x t v t v = x máx v 0x y máx = v 0y t v + 1 gt v = v 0y x m áx v 0x + 1 g x máx v 0x x máx y máx = v 0Senθ v 0 Cosθ x máx + 1 g v 0 Cosθ 7 EICK CONDE
Pero sabemos que al final del impacto las coordenadas son 0, x máx x máx 0 = Senθ Cosθ x máx + 1 g v 0 Cos θ x máx = Senθ v 0 Cos θ a Cosθ Senθ = a x máx v 0 = Senθ v 0 Cosθ a = 6.89 1010 1.7 10 3 9.55 10 3 Senθ = 0.9594 θ = 73.6 θ 1 = 36. 81 = Senθ v 0 a θ = 90 θ 1 θ = 53. 19 Para b) t 1 = x máx v 0x1 = x máx v 0 Cosθ 1 = t 1 = 1. 66 10 7 seg t = x máx v 0x = x máx v 0 Cosθ = t 1 =. 10 7 seg 1.7 10 3 9.55 10 3 Cos 36.81 1.7 10 3 9.55 10 3 Cos 53.19 Ejercicio 7. Tres cargas puntuales están alineados a lo largo del eje x como se muestra en la figura. Encuentre el campo eléctrico en la posición (0,.0) y en la posición (.0, 0) Para (0,.0) E 1 = Kq 1 r 1 E = Kq r E 3 = Kq 3 r 3 = 9 109 4 10 9.06 = 8.46 N/C = 9 109 5 10 9.0 = 11.5 N/C = 9 109 3 10 9.15 = 5.84 N/C θ 1 = Tan 1 0.5 = 75.96 θ = Tan 1 0.8 = 68.19 8 EICK CONDE
E 1x = E 1 Cosθ 1 =.05 i N/C E x = E Cos90 = 0 E 3x = E 3 Cosθ =.17 i N/C E 1Y = E 1 Senθ 1 = 8.0 j N/C E Y = E Sen90 = 11.5 j N/C E 3Y = E 3 Senθ = 5.4 j N/C E p = 4.8 i + 8.47 j N/C E p = 9. 97 N/C Para (.0, 0) E 1 = Kq 1 r 1 E = Kq r E 3 = Kq 3 r 3 = 9 109 4 10 9.5 = 5.76 N/C = 9 109 5 10 9.0 = 11.5 N/C = 9 109 3 10 9 1. = 18.75 N/C E = 5.76 i + 11.5 i + 18.75 i N/C E = 4.4 i N/C E = 4. 4 N/C 9 EICK CONDE
LEY DE GAUSS Ejercicio 1. Una esfera pequeña cuya masa es 1.1 mg contiene una carga 19.7 ηc cuelga en el campo gravitatorio de la tierra de un hilo de seda que forma un ángulo de 7.4 con una lámina grande no conductora y uniformemente cargada. Calcule la densidad de carga uniforme ς para la lámina. + F x = 0 + F y = 0 F e = T Senθ F e = mg Senθ Cosθ T Cosθ = mg T = mg Cosθ Eq = mg Tanθ E. da = q enc ς = q enc A enc EdA Cos(0) = q enc E da = ςa E A = ςa E = ς ς q = mg Tanθ ς = mg Tanθ q = 1.1 10 6 Tan 7.4 8.85 10 1 (9.8) 19.7 10 9 ς = 5. 11 10 9 C/m Ejercicio. Un cilindro infinitamente largo de radio a lleva una carga uniforme por unidad de volumen ρ 0 ρ 0 > 0 y está rodeado por un cilindro conectado de radio b coaxial al cilindro como se muestra en la figura. Mediante la utilización de una superficie gaussiana apropiada. Determine el campo eléctrico para r < a, a < r < b, r > b 10 EICK CONDE
Para r < a E. da = q enc EdA Cos(180) = q enc ρ = q enc V enc q enc = ρ V enc E da = ρ V enc E πrl = ρ 0 πr l E = ρ 0r N/C ; radialmente hacia adentro Para a < r < b E. da = q enc EdA Cos(180) = q enc ρ = q enc V enc = Q t V enc Q t = ρv enc E da = ρ V enc E πrl = ρ 0 πa l E = ρ 0a r N/C ; radialmente hacia adentro Para r > b Como el conductor está conectado a tierra, suben electrones para neutralizar la carga +Q total por lo tanto la carga encerrada es nula, entonces. E = 0 11 EICK CONDE
Ejercicio 3. Para la configuración mostrada en la figura suponga que a = 5 cm, b = 0 cm, c = 5 cm. Suponga también que se mide el valor del campo eléctrico en un punto a 10 cm del centro igual a 3. 6 10 3 N/C radialmente hacia adentro en tanto que le campo eléctrico en un punto a 50 cm del centro es. 0 10 N/C radialmente hacia afuera. A partir de esta información encuentre la carga neta sobre la esfera conductora hueca. a < r < b E. da = q enc = Q aislante EdA Cos(180) = Q aislante E da = Q aislante E 4πr = Q aislante Q aislante Q aislante = 4Eπr = 4π 3.6 10 3 0.1 8.85 10 1 = 4 ηc r > c E. da = q enc EdA Cos(0) = Q ext E da = Q ext E 4πr = Q ext Q ext = 4Eπr = 4π.0 10 0.5 8.85 10 1 Q ext = 5.56 ηc Q conductor = Q ext Q aislante = 5.56 ηc ( 4 ηc) Q conductor = 9. 56 ηc 1 EICK CONDE
Ejercicio 4. Una masa de 1 g se la expone a un cilindro que tiene una densidad de carga ρ = Ar donde A es una constante. Calcular la carga de la esfera que esta colgando de un hilo aislante, donde θ = 0 + F x = 0 + F y = 0 F e = T Senθ F e = mg Senθ Cosθ T Cosθ = mg T = mg Cosθ q = mg Tanθ E E. da = q enc EdA Cos(0) = Q Total E da = Q Total E πr l = Q Total ρ = dq dv dq = ρdv ; V = πr l dv = πrl dr Q Total = ρπrl dr = Aπr l dr Q Total = Aπl Q Total = Aπl 3 0 1 (C) r dr = Aπl r3 1 3 0 E πr l = Aπl 3 E = A 3 r q = mg Tanθ E = 3r mg Tanθ A = 3 8.85 10 1 1.5 1 10 3 9.8 Tan(0) A q = 1.4 10 3 A ; pero como el campo es positivo y además existe una fuerza de atracción, entonces: 1. 4 10 3 q = A C 13 EICK CONDE
Ejercicio 5. Considere un cilindro no conductor de longitud infinita con su núcleo hueco. El radio interior es a, el radio exterior es b, y la región solida tiene carga uniformemente distribuida por unidad de volumen de densidad ρ. Para a) a) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo eléctrico a una distancia r desde el eje del cilindro donde r > b (Exprese los resultados en función de a, b, ρ, r). b) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo eléctrico a una distancia r desde el eje del cilindro donde a < r < b E. da = q enc ; ρ = q enc V enc = Q Total V Total Q Total = ρ V Total Q Total = ρ πb l πa l = ρπl b a (C) EdA Cos(0) = q enc E da = Q Total E πrl = ρπl b a E = ρπl b a r ; radialmente hacia afuera Para b) E. da = q enc ρ = q enc V enc ρ = dq dv dq = ρdv ; V = πr l πa l = πl r a dv = πrl dr q enc = πρl rdr q enc = ρπl r a (C) a r = ρπl r r a EdA Cos(0) = q enc E da = q enc E πrl = ρπl r a E = ρπl r a r ; radialmente hacia afuera 14 EICK CONDE
ENEGÍA Y POTENCIAL ELÉCTICO FÍSICA C ESPOL Ejercicio 1. Un bloque de 4 Kg con una carga Q con 50 uc se conecta a un resorte para el cual k= 100 N/m, el bloque esta sobre una pista horizontal sin fricción, el sistema está inmerso en un campo eléctrico uniforme de magnitud E = 5 10 5 V/m y su dirección es como se indica en la figura. Si el bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no está deformado (x = 0). Para a) a) Que distancia máxima se alargará el resorte. b) Cuál será la posición de equilibrio del resorte. c) Muestre que existe M.A.S y determine su periodo. E i = E f 0 = U elástica + U eléctrica 0 = 1 k x máx + QEd = 1 k x máx QEx máx 0 = 1 kx máx QE x máx = QE k = 50 10 6 5 10 5 100 x máx = 0. 5 m Para b) + F x = 0 F eléctrica F elástica = 0 F eléctrica = F elástica QE kx equilibrio = 0 QE = kx equilibrio x equilibrio = QE k = 50 10 6 5 10 5 100 x equilibrio = 0. 5 m 15 EICK CONDE
Para c) F = ma F eléctrica F elástica = m d x dt QE k x equilibrio + x = m d x dt QE kx equilibrio 0 kx = m d x dt kx = m d x dt Es M. A. S k m x = d x dt ω x = d x dt ω = k m ; T = π ω ω = k m ; T = π m k = π 4 100 T = 1. 6 seg Ejercicio. Una carga de -3 uc esta fijo en un determinado punto desde una distancia de 4,5 cm, una partícula de 7, gr y carga -8uC es disparada con una velocidad inicial de 65 m/seg directamente hacia la carga fija Qué distancia recorre la partícula antes de que su velocidad sea cero. ΔK = U eléctric a 1 m v f 1 m v i = qed ; pero el campo no es uniforme, ya que varia con el radio, entonces 1 m v i = q E dx 0 x 1 m v i = q x KQ r dx 1 m v i = KQq 1 r f r r0 0 1 m v i = q r f KQ r ( dr) r 0 1 m v i = KQq 1 r 0 1 r f 16 EICK CONDE
1 = 1 m v i r f r 0 KQq r f = 1 r 0 m v i KQq 1 = 1 0.045 7. 10 3 65 9 10 9 3 10 6 8 10 6 1 r f = 0.007 ; el resultado nos queda negativo debido a que dr es un vector, pero sabemos que dx = - dr, entonces x final = 0. 007 m Ejercicio 3. Considere que una carga de +3 uc es colocada en el punto A. Cuánto trabajo se requiere para llevarla desde el punto A hasta el punto B del rectángulo de dimensiones cm x 10 cm? ΔU = W ; ΔV = ΔU q ΔU = ΔV q = V B V A q V A ΔU = q K q 1 a + K q q 1 K b b + K q = qk q 1 a a + q b q 1 b + q a V B ΔU = 3 10 6 9 10 9 1 10 6 5 0.0 + 0.1 5 0.1 + 0.0 ΔU = 7.56 J W = 7. 56 J Ejercicio 4. Una carga puntual q es colocada en reposo en el punto p sobre el eje de un anillo con carga uniforme q y radio. Cuando la carga se libera, esta se mueve a lo largo del eje x, conforme lo muestra la figura. Encuentre una expresión para la velocidad final que adquiere esta carga puntual luego de moverse una distancia x, desprecie efectos gravitacionales. 17 EICK CONDE
E i = E f U i + K i = U f + K f K i K f = U f U i K f K i = ΔU ΔU = ΔK ΔV = ΔU q = ΔK q ΔV = 1 q m v f v i = m v f q V = K q r dv = K dq + d dv = K dq V = + d Kq + d V q V p = m v f q ; V q = Kq ; V p = + ( + x) Kq + Kq + ( + x) Kq = m v f q v f = Kq m 1 1 + ( + x) m/seg Ejercicio 5. Cuál de las siguientes premisas es correcta? a) Si el campo eléctrico es cero en algún punto del espacio, el potencial eléctrico debe ser también cero en dicho punto b) Si el potencial eléctrico es cero en algún punto del espacio, el campo eléctrico debe ser cero también en dicho punto c) Las líneas del campo eléctrico apuntan hacia las regiones donde el potencial es más alto d) En electroestática, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. Para a) E = dv ; Por esta definición nos dice, que si el campo eléctrico es cero, el potencial eléctrico no necesariamente es dr cero, si no que puede ser una constante Para b) V = K Q r (Potencial debido a una carga puntual) V 1 = K q 1 d ; V = K q d Si el campo eléctrico es cero, el potencial eléctrico es cero 18 EICK CONDE
Para c) Las líneas del campo eléctrico apuntan donde el potencial decrece Para d) La superficie de un conductor es una superficie equipotencial Ejercicio 6. Si tenemos una carga positiva de 1 C en el centro de una esfera de radio Cuál es el flujo a través de la superficie de la esfera. E. da = Q enc ɸ Total = Q enc 1 ɸ ε Total = 0 8. 85 10 1 Nm /C Ejercicio 7. Un alambre doblado en forma de semicírculo de radio a mantiene una carga eléctrica uniformemente a lo largo de su longitud, con densidad λ. Calcule el potencial eléctrico el el punto O V = K Q r dv = K dq a dv = Kλ a = K λdl a dl V = Kλ a l Total V = Kλ a πa V = Kλπ V Ejercicio 8. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el anillo mostrado en la figura la cual tiene una densidad de carga ς = α/ donde α es una constante positiva. dx ecordar que: = ln x + x + a x + a 19 EICK CONDE
Anillo de radio : V = KQ x + dv = Kdq ; ς = dq r + da dq = ςda dv = KςdA r + ; A = πr da = πrdr dv = Kςπrdr r + = Kπrdr r + α r dv = Kπα a b dr = Kπα ln r + r + b r + a V = Kπα ln b + b + ln a + a + V = Kπα ln b + b + a + a + V Ejercicio 9. Un alambre que tiene densidad lineal de carga uniforme λ se dobla de la forma indicada en la figura. Encuentre el potencial eléctrico en el punto O. λ = dq dl dq = λdr dv 1 = K dq r = K λdr r 3 dr 3 dv 1 = Kλ = Kλ ln r r V 1 = Kλ ln (3) dv = K dq = K λdl dv = Kλ dl = Kλ l Total V = Kλ π V Total = Kλ ln 3 + Kλπ V 0 EICK CONDE
Ejercicio 10. Un cilindro conductor de radio a tiene una carga uniformemente distribuida es su superficie ρ Determine: a) El valor del campo eléctrico fuera del cilindro. b) La diferencia de potencial entre puntos ubicados a una distancia 1 y, fuera del cilindro medidos desde el eje del cilindro ( > 1 ). Para a) E. da = q enc ρ = q enc V enc q enc = ρv enc = ρ πal EdA Cos(0) = q enc E da = ρπal E πrl = ρπal E = ρa r N/C ; radialmente hacia afuera Para b) ΔV = Ed ΔV = A B V B V A = E. ds V B V A = ρa A B E( dr) = r dr r r 1 = V B V A = ρa ln r r 1 r 1 r ρa dr r ρa ln r ln r 1 Ejercicio 11. Dos cascarones conductores esféricos y concéntricos están conectados por medio de un alambre delgado como se muestra en la figura, si una carga Q se pone en el sistema Cuánta carga queda sobre cada esfera? a = 0.4 m b = 0.5 m Q = 10 uc 1 EICK CONDE
Cuando se une por un alambre el potencial en la superficie de las dos esferas son iguales. V 1 = V ; Q = q 1 + q K q 1 a = K q b Q q a = q b q 1 a = q b Q = q 1 + a b q = Q 1 + a b 1 = 10 10 6 1 + 0.4 1 0.5 q = 5. 55 10 6 C ; q 1 = 4. 44 10 6 C Ejercicio 1. Una esfera solida aislante de radio tiene una densidad de carga volumétrica uniforme con carga total Q. a) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera, es decir (r > ). Considere V = 0 en el infinito. b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera (r < ) Para a) V = E. dr E. da = q enc EdA Cos(0) = Q E da = Q E 4πr = Q E = 1 4π V r> V r= = Edr r Q KQ r E = r r KQ V r> = r dr = KQ 1 r r V r> = KQ r V Para b) E. da = q enc ρ = Q Total V Total = q enc q V enc = Q Total V enc V enc q enc = Q Total 4 3 π3 EdA Cos(0) = q enc E da = Qr3 3 4 3 πr3 EICK CONDE
E 4πr = Qr3 3 E = 1 Qr 3 KQr3 E = 4π 3 3 r< V r< V r= = Edr V r< = r< KQr 3 dr = E 1 dr 3 r KQr 3 dr 3 V r< = KQ KQ r r 3 V r< = KQ KQ 3 r V r< = KQ 1 r V Ejercicio 13. El flujo del campo creado por un dipolo eléctrico formados por cargas (+q) y (-q) a través de una superficie cerrada que rodea el dipolo y situado en el vacio es igual a: E. da = q enc ɸ ε Total = +q 0 + q ɸ Total = 0 Ejercicio 14. Los tres grandes planos de la figura (que pueden considerarse de superficie infinita, ya que sus áreas son muchos mayores que la separación de 1 m entre ellos; en el espacio entre ellos está el vacio) están cargados uniformemente con unas densidades de carga. ς A = 3. 54 10 6 C/m ; ς B = 7. 08 10 6 C/m ; ς C = 10. 6 10 6 C/m a) Determinar el campo eléctrico en puntos; 0 < y < 1, 1 < y < b) Determinar las diferencias de potencial V B V A, V C V B c) Con que velocidad en la dirección del OY se debe lanzar el protón desde un punto de. coordenadas (0.5, -0.5, 0.5)m para que llegue al plano B con velocidad cero. 3 EICK CONDE
Para a) 0 < y < 1 E = ς A ς B ς C E = 1 10 6 ς ε A ς B ς C = 0 8.85 10 1 3.54 7.08 10.6 E = 800 i KN/C 1 < y < E = ς A + ς B ς C E = 1 10 6 ς ε A + ς B ς C = 0 8.85 10 1 3.54 + 7.08 10.6 E = 0 N/C Para b) Como el potencial apunta donde el campo decrece, entonces V B > V A V B V A = +Ed V B V A = +800 10 3 (1) V B V A = 800 KV V C V B = Ed V C V B = 0 V Para c) V = U q = K q V = m q v f v i V = m q v i V B V i = m p q p v i E i = ς A ς B ς C E i = 1 10 6 ς ε A + ς B + ς C = 0 8.85 10 1 3.54 + 7.08 10.6 E i = 100 i KN/C V A > V i V i V A = E i d V i V A = 100 10 3 (0.5) V i V A = 0.6 10 6 V V i = 0.6 10 6 + V A 4 EICK CONDE
V B V A = 800 KV V B = 800 10 3 + V A 800 10 3 + V A 0.6 10 6 + V A = m p q p v i v i = 1.4 10 6 q p m p = 1.4 10 6 1.6 10 19 1.67 10 7 v i = 0. 01638 10 9 m/seg Ejercicio 15. La figura de abajo muestra una placa conductora de espeso W y dos láminas dieléctricas, todas muy grandes (infinitas), se muestra una vista lateral. La placa conductora tiene carga uniformemente distribuida en sus dos superficies, ς Metal, las láminas dieléctricas tiene carga uniformemente distribuida de densidades ς A y ς B. Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto A W = 3cm. ς A =. 5 uc/m ς B = +7. 5 uc/m ς Metal = +. 0 uc/m E A = E A = Campo para un conductor ς Metal ς A ς B Campo para un diel éctrico 10 3.5 10 3 7.5 10 3 8.85 10 1 8.85 10 1 8.85 10 1 E A = 0. 339 10 9 i N/C 5 EICK CONDE
Ejercicio 16. La figura de abajo muestra tres planos, todas de áreas muy grandes. Las dos placas delgadas (láminas) están hechos de material aislante y tienen carga uniformemente distribuidas de densidades ς A y ς B respectivamente. La placa metálicas tiene ancho W, y esta inicialmente descargada. d 1 = 4 cm d = 1 cm W = 3 cm ς A =. 5 uc/m ς B = +7. 5 uc/m ς Metal = 0 a) Cuál es la magnitud del campo eléctrico E A en el origen (el punto marcado con A en el origen)? b) Cuál es el signo de la densidad superficial de carga ς, sobre la superficie izquierda de la placa metálica? c) Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre las láminas no conductoras, esto es, entre (x = d 1 ) y (x = d ) Para a) E = ς A ς B E = 1 10 6 ς ε A ς B = 0 8.85 10 1.5 7.5 E = 0. 8 10 6 i N/C Para b) Entran en negativas y salen de las positivas Es positivo E conductor = ς ς = E = 0.8 10 6 8.85 10 1 ς =. 478 10 6 C/m Para c) 10 6 E = ς A ς B =.5 + 7.5 8.85 10 1 E = 0.56 10 6 N/C E = 0.56 10 6 N/C V B > V A V B V A = +E d V B V A = 0.56 10 6 0.1 V B V A = 0. 068 10 6 V 6 EICK CONDE
CAPACITANCIA Ejercicio 1. Suponga que todos los capacitores se encuentran descargados antes de ensamblar el circuito. Si definimos el potencial en el alambre inferior como cero. Determine el valor del potencial V b en el punto b indicado en la figura. C 4 = C + C 3 C 4 = 5 uf 1 C 5 = 1 C 1 + 1 C 4 = C 4+C 1 C 4 C 1 C 5 = 5 6 uf C 5 = Q V Q = VC 5 = 1 5 6 = 10 uc ΔV = Q C 4 = 10 5 ΔV = V Q = 10 uc ΔV = V b V = V b V = V b = V Ejercicio. Seis capacitores idénticos de 5Pf de capacitancia son conectados a una batería de 9 voltios como se muestra en el diagrama. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B marcados en el circuito. Determine la energía total almacenada en los seis capacitores. 7 EICK CONDE
1 C 4 = 1 C 1 + 1 C 3 = C 3 + C 1 C 3 C 1 C 4 = 10(10) 10 + 10 C 4 = 5pF C 5 = C 4C C 4 + C = 5(10) 5 + 10 C 5 = 10 3 pf C 5 = Q 9V Q = C 5 9V = 9 10 3 Q = 30 uc C 4 = Q ΔV ΔV ab = Q = 30 ab C 4 5 ΔV ab = 6 V U Total = 1 C 5V = 1 10 3 10 1 9 U Total = 1. 35 10 10 J Ejercicio 3. Encuentre: a) La capacitancia equivalente entre los puntos a y b para el grupo de capacitores conectados, como se indica en la figura si C 1 = 5. 0 uf, C = 10. 0 uf, C 3 =. 0 uf b) Si V ab = 60 voltios, Cuál es la energía almacenada en C 3? Para a) 1 C 4 = 1 C 1 + 1 C = C 1 + C C 1 C C 4 = 5(10) 5 + 10 C 4 = 10 3 uf C 5 = C + C C 5 = 0 uf C 6 = C 4 + C 3 + C 4 = 10 3 + C 6 = 6 3 uf C 7 = C 7C 5 C 7 + C 5 = 6/3 (0) 6/3 + 0 8 EICK CONDE C 7 = C eq = 60 43 uf
Para b) U 3 = 1 C 3 V C3 C 7 = Q Q = C V 7 V ab = 60 ab 43 60 Q = 15600 43 uc C 6 = Q V V C6 = Q = (15600/43) C6 C 6 (6/3) V C6 = V C3 = 1800 43 (V) U 3 = 1 10 3 1800 43 U 3 = 1. 75 J Ejercicio 4. Un condensador esférico, formado por dos esferas conductores, de radios r y, se carga a una diferencia de potencial V 0. Enseguida, se introduce entre las esferas un dieléctrico líquido de constante k, hasta llenar la mitad del volumen interior. a) Cómo están conectados los dos condensadores? Explique por que b) Encuentre la capacitancia equivalente del condensadores c) Determine el cabio en la energía electroestática del sistema, debida a la introducción del dieléctrico. Para a) Tienen la misma diferencia de potencial Estan conectados en paralelo Para b) Capacitancia de condensador esférico de radio interior a y radio exterior b C = ab K e (b a) ; K e = constante eléctrica C eq = C 1 + C ab C eq = K e (b a) + ab K e (b a) k ab C eq = K e (b a) k + 1 F 9 EICK CONDE
Para c) U = 1 CV U 0 = 1 CV 0 = 1 U f = 1 C eq V f = 1 ab K e (b a) V 0 (Antes de introducir el dieléctrico) ab K e (b a) k + 1 V 0 k (Despues de introducir el dieléctrico) U 0 > U f Ejercicio 5. Dos capacitores son conectados a una batería como se muestra en la figura. Los capacitores son idénticos. La única diferencia es que el espacio entre sus placas esta en vacío (k = 1) en el caso de C 1 y una lamina dieléctrica (k > 1) en el caso de C Para a) a) Compare las cargas sobre el capacitor C 1 y sobre le capacitor C b) Compare las magnitudes del campo eléctrico entre las placas de los capacitores c) Compare la diferencia de potencial entre las placas de los capacitores C 1 = C 1 ; C = kc ; V 1 = V = V C 1 = Q 1 V ; C = Q V Q 1 = C 1 V ; Q = KC 1 V Q 1 > Q Para b) E 1 = Vd ; E = E conductor E diel éctrico E 1 > E Para c) V 1 = V = V El circuito está conectado en paralelo V 1 = V 30 EICK CONDE
Ejercicio 6. Dos placas metálicas paralelas y cargadas de área A separadas por una distancia d. A = 0. m d = 0.03 m ) Un conductor de espesor d/ es insertado entre las placas como se muestra abajo. La capacitancia total a) Se incrementa b) Disminuye c) No cambia A C 1 = d = ε A 0 (d/4) A ; C = d = ε A 0 (d/4) 1 C eq = 1 C 1 + 1 C C eq = C 1C C 1 +C C eq = A (d/4) ε A 0 (d/4) A (d/4) + ε A 0 (d/4) = A d C eq = 8 85 10 1 (0.) 0.03 Se incrementa C eq = 1.18 10 10 (F) ii) El conductor es reemplazado con un dieléctrico de espesor d/ y constante k = 5, como se muestra. Cuál es la capacitancia total del sistema? a) C = 3. 54 10 10 F b) C =. 95 10 10 F c) C = 7. 08 10 10 F d) C = 9. 83 10 10 F e) C = 4. 9 10 10 F C eq = C 1C C 1 + C = KA/d A /d A d + kε A 0 d 4kε 0 A = Ad (k + 1) = ka d(k + 1) C eq = (5) 8 85 10 1 (0.) 0.03(5 + 1) C eq = 9. 83 10 10 F 31 EICK CONDE
ESISTENCIA Ejercicio 1. El siguiente circuito contiene 7 resistores idénticos de resistencia = 10Ω y una batería de voltaje ε = 18V. Todos los resistores tienen resistencia de 10 ohmios. a) Calcule la caída de voltaje a través de 5 b) Cuál es la corriente a través de 4? Para a) 1 = 1 + 1 = 3+ 4 8 3 4 3 8 = 3 4 = 10(10) 4 3 + 4 10+10 8 = 5Ω 9 = 5 + 6 + 7 = 10 + 10 + 10 9 = 30Ω 10 = 8 + 10 = 15Ω V = I I 9 = V 9 = 18 30 I 9 = 0.6 A I 9 = I 6 = I 5 = I 7 V 5 = I 9 5 = 0.6 10 V 5 = 6 V Para b) I 10 = V = 18 10 15 I 10 = 1. A I 10 = I 8 = I ; V 8 = I 8 8 = 1. 5 V 8 = 6V V 8 = V 3 = V 4 ; I 4 = V 4 4 = 6 10 I 4 = 0. 6 A Ejercicio. Una típica tostadora eléctrica puede generar 100 watts en su resistencia (elemente calefactor) cuando se conecta a una fuente de 10 voltios. El elemento calefactor es un alambre delgado de nicromio de 4 metros de longitud y sección transversal de 0.33 mm V = I ; P = VI P = V V = V = V P = ρ l A V P = ρ l A ρ = AV Pl = 0.33 10 6 10 100(4) ρ = 9. 9 10 7 Ωm 3 EICK CONDE
Ejercicio 3. Si nosotros incrementamos la longitud del alambre de nicromio del problema anterior (manteniendo el voltaje y el área constante). Qué sucedería con la potencia por el elemento calefactor? P = V ; P = A ρl V constante Sí aumenta longitud, aumenta resistencia, entonces la potencia disipada disminuye Ejercicio 4. Cuando dos resistores idénticos son conectados en paralelo entre los terminales de una batería, la potencia entregada por la batería es de 10 watts. Si estos resistores fueran conectados en serie entre los terminales de la misma batería, Cuál sería ahora la potencia entregada por la batería? eq = ; P 0 = V P 0 = V eq 10 = V 5 = V eq = ; P f = V P f = V eq P f = V P f = 5 P f =. 5 W Ejercicio 5. Se desea colocar un foco con resistencia intercalándolo en el circuito mostrado abajo. Se requiere que le foco experimente el máximo brillo, máximo potencia disipada. En donde se debería intercalar el foco. a) En serie con la fuente ε 1 b) En serie con la fuente ε c) Entre los puntos a y b ΔV 1 = V A V B ΔV 1 = 6 6 = 1V I 1 = ΔV 1 = 1 1 10 I 1 = 1. A I = V ε = 6 10 I = 0.6 A I 3 = V ε 3 = 6 1 I = 0.5 A I Total = 1. + 0.6 + 0.5 =.3 A En serie con la fuente ε 33 EICK CONDE
Ejercicio 6. La batería ε 1 tiene un valor de 0 voltios. El valor de ε no es especificado. El valor de esta fuente se ajusta de tal forma que no fluya corriente a través de ella. Las cuatro resistencias son iguales pero sus valores no son especificados. Para a) a) Si 0 W son disipados en 3 Cuánta potencia es disipada en? b) Encuentre el valor de ε de tal forma que no fluya corriente a través de esta batería. 5 = eq = + = 5 V = I I = V eq = 0 (5/) I = 8 V 3 = I 3 = 8 V 3 = 8V P 3 = V 0 = 64 3 = 16 5 Ω V 5 = I 5 5 = 8 V 5 = 4V = ; V = V 5 = 4V P = V = 4 (16/5) Para b) P = 5 W ΔV 6 = V A V B ΔV 6 = ε 1 +ε ΔV 6 = ε 1 ε I = ΔV 6 6 = ε 1 ε 6 Para que no fluya corriente a través de ε, las corrientes tienen que ser iguales ε = ε 1 ε 4ε = ε 1 ε 5ε = ε 1 5ε = 0 ε = 4 V 34 EICK CONDE
Ejercicio 7. Un capacitor esférico es construido de placas metálicas y concéntricas, de radios int y ext respectivamente. El espacio entre las placas esta inicialmente lleno de aire. Una batería es conectada a las dos placas como se muestra en la figura, estableciéndose una diferencia de potencial V batería entre ella. Como resultado, cargas iguales de signos opuestos +Q y Q aparecen sobre las placas. int = 5 cm ext = 8 cm V batería = 7 KV Para a) a) Calcule la magnitud de la carga Q sobre las placas. b) Si el potencial eléctrico se define como cero en el infinito, Cuál es la magnitud del potencial V en un punto ubicado a 3 cm desde el centro de la esfera. c) Si el espacio entre las placas esféricas se llena con un material dieléctrico de constante dieléctrica k = 5, mientras se mantiene constante el voltaje de la batería, determine la magnitud de la carga Q sobre las placas. d) Suponga ahora que le espacio entre las placas esféricas es cubierto en su totalidad con un material cuya resistividad es ρ = 10 4 Ωm, determine el valor de la corriente entre las placas del capacitor (sugerencia determine el valor de la resistencia del material colocado entre las placas del capacitor) C = Q ΔV ; C = ab K e (b a) Q ΔV = int ext K e ( ext int ) int ext Q = ΔV K e ( ext int ) = 7 103 0.05 (0.08) 9 10 9 (0.08 0.05) Q = 0. 1037 uc Para b) ΔV = Eds ΔV = E( dr) r p ΔV = Edr ext V p V = E 1 dr carga encerrada es cero int r p + E dr + E 3 dr ext int caraga encerrada es cero int V p = E dr = V int V ext V p = V bater ía V p = 7 KV ext 35 EICK CONDE
Para c) Q = Para d) int ext K e ( ext int ) V bater ía Q = 0. 5185 uc = ρ l A ; l r d = ρ dr A = ρ dr 4πr ext d = ρ dr ρ 4π r = 4π 1 ext = 104 int 4π 1 0.08 + 1 0.05 int I = V bater ía = 7 103 5.968 103 I = 1. 17 A = 5.968 KΩ 36 EICK CONDE