MOMENTO RESPECTO A UN EJE Objetivos del día de hoy: Los estudiantes serán capaces de determinar el momento de una fuerza alrededor de un eje usando: Actividades en clase: a) Análisis escalar, y, Revisión de la tarea b) Análisis vectorial. Prueba de lectura Aplicaciones Análisis Escalar Análisis Vectorial Prueba conceptual Solución grupal de problemas Prueba de atención
PRUEBA DE LECTURA 1. Al determinar el momento de una fuerza con respecto a un eje específico, el eje debe estar a lo largo. A) del eje X B) del eje Y C) del eje Z D) de cualquier línea en el espacio 3-D E) de cualquier línea en el plano XY 2. El producto escalar triple u (r F) resulta en: A) una cantidad escalar (+ ó -) B) una cantidad vectorial C) cero D) un vector unitario E) un número imaginario
APLICACIONES Con la fuerza P, una persona crea un momento M A usando esta llave de mango flexible. La totalidad de M A actúa para voltear al objeto? Cómo calcularía la respuesta para esta pregunta?
APLICACIONES (continuada) La camisa A de este soporte puede proveer un momento máximo resistente de 125 N m con respecto al eje X. Cómo determinaría usted la magnitud máxima de F antes de que el giro respecto al eje X ocurriera?
ANÁLISIS ESCALAR Recuerde que el momento de una fuerza escalar con respecto a cualquier punto O es M O = F d O donde d O es la distancia perpendicular (o más corta) a partir del punto hasta la línea de acción de la fuerza. Este concepto se puede extender para encontrar el momento de una fuerza respecto a un eje. Hallar el momento de una fuerza con respecto a un eje, puede ayudar a resolver lo tipos de preguntas que acabamos de considerar.
ANÁLISIS ESCALAR (continuada) En la figura de arriba, el momento respecto al eje Y sería M y = F z (d x ) = F (r cos θ). Sin embargo, a menos que la fuerza se pueda fácilmente descomponer, y d x sea encontrada rápidamente, dichos cálculos no son siempre triviales, y el análisis vectorial puede resultar mucho más fácil (y menos proclive a ocasionar errores).
ANÁLISIS VECTORIAL Nuestra meta es encontrar el momento de F (la tendencia a rotar el cuerpo) respecto al eje a. Primero calcule el momento de F respecto a cualquier punto arbitrario O que yazca en el eje a usando el producto cruz. M O = r F Ahora, encuentre la componente de M O a lo largo del eje a usando el producto punto. M a = u a M O
ANÁLISIS VECTORIAL (continuado) M a también se puede obtener como: La ecuación de encima también se conoce como el producto triple escalar. En esta ecuación, u a representa al vector unitario dirigido a lo largo del eje a, r es el vector de posición desde cualquier punto en el eje a hasta cualquier punto A en la línea de acción de la fuerza, y F es el vector de fuerza.
A B EJEMPLO Dado: Una fuerza se aplica a la herramienta como se muestra. Hallar: La magnitud del momento de esta fuerza respecto al eje X del valor. Plan: 1) Use M x = u (r F). 2) Primero, encuentre F en su forma vectorial cartesiana. 3) Note en este caso que u = 1 i. 4) El vector r es el vector de posición desde O hacia A.
EJEMPLO (continuado) Solución: u = 1 i r OA = {0 i + 0.3 j + 0.25 k} m F = 200 (cos 120 i + cos 60 j + cos 45 k) N = {-100 i + 100 j + 141.4 k} N Ahora encuentre M x = u (r OA F ) M x = 1 0 0 0 0.3 0.25-100 100 141.4 = 1{0.3 (141.4) 0.25 (100) } N m M x = 17.4 N m CR
PRUEBA CONCEPTUAL 1. La operación vectorial (P Q) R es igual a: A) P (Q R). B) R (P Q). C) (P R) (Q R). D) (P R) (Q R ).
PRUEBA CONCEPTUAL (continuada) 2. La fuerza F está actuando a lo largo de DC. Empleando el producto triple escalar para determinar el momento de F respecto a la barra BA, usted podría emplear cualquiera de los siguientes vectores de posición, excepto. A) r BC B) r AD C) r AC D) r DB E) r BD
SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL Dado: La fuerza F = 30 N actúa en el soporte. = 60, = 60, = 45. A Hallar: El momento de F respecto al eje a-a. Plan: u a r OA O 1) Hallar u a y r OA 2) Encontrar F en su forma vectorial cartesiana. 3) Usar M a = u a (r OA F)
SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL (continuado) Solución: u a = j r OA = { 0.1 i + 0.15 k} m A r OA F = 30 {cos 60 i + cos 60 j + cos 45 k} N F = { 15 i + 15 j + 21.21 k} N u a O
SOLUCIÓN DE PROBLEMA GRUPAL (continuado) Ahora encuentre el producto triple, M a = u a (r OA F) M a = 0 1 0-0.1 0 0.15 15 15 21.21 N m M a = -1 {-0.1 (21.21) 0.15 (15)} = 4.37 N m A r OA Ma u a O
1. Para encontrar el momento de la fuerza F respecto al eje X, el vector de posición en el producto triple escalar debe ser. A) r AC B) r BA C) r AB D) r BC 2. Si r = {1 i + 2 j} m y F = {10 i + 20 j + 30 k} N, entonces el momento de F respecto al eje Y es N m. A) 10 B) -30 PRUEBA DE ATENCIÓN C) -40 D) Ninguna de las anteriores