Aplicaciones Lineales

Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse como las que preservan la estructura de dichos espacios vectoriales. Al igual que se ha hecho en el Tema 1, nos restringiremos al caso de espacios vectoriales reales, si bien todo lo expuesto será válido (salvo que se especifique lo contrario) para cualquier tipo de espacios vectoriales. 3.1.1 Aplicaciones Lineales Definición: Sean E y F dos espacios vectoriales reales y sea f aplicación f : E F, se dice que f es una aplicación lineal o un homomorfismo si se verifica: f(λ e 1 + µ e 2 ) = λf( e 1 ) + µf( e 2 ), e 1, e 2 E, λ, µ R Alternativamente, la condición anterior equivale a la verificación de las dos condiciones siguientes: f( e 1 + e 2 ) = f( e 1 ) + f( e 2 ), f(λ e) = λf( e) Suele denominarse Hom(E, F ) al conjunto de todas las aplicaciones lineales (homomorfismos) entre los espacios vectoriales E y F. Tipos de aplicaciones lineales. Una aplicación f : E F es un monomorfismo si es lineal y además es inyectiva. Una aplicación f : E F es un epimorfismo si es lineal y además es epiyectiva. Una aplicación f : E F es un isomorfismo si es lineal y además es biyectiva. Si f es una aplicación lineal de E en Em, es decir si el espacio inicial coincide con el final, entonces se dice que f es un endomorfismo de E. Si f es un endomorfismo de E y además es biyectiva, se dice que f es un automorfismo de E. 31

32 APLICACIONES LINEALES Propiedades de las aplicaciones lineales Sea f : E F una aplicación lineal, entonces se verifican las siguientes propiedades: 1. La imagen del vector nulo de E es el vector nulo de F. 2. La imagen de una combinación lineal de vectores de E es la combinación lineal de las imágenes de dichos vectores con idénticos coeficientes, es decir, f(λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ n e n ) = λ 1 f( e 1 ) + λ 2 f( e 2 ) +... + λ n f( e n ) para cualesquiera e i E y λ i R. 3. Si S = { e 1,..., e p } es un sistema ligado de vectores de E, entonces el sistema de vectores S = {f( e 1 ),..., f( e p )} es un sistema ligado de vectores de F. 4. La imagen de un subespacio vectorial V de E es un subespacio vectorial f(v ) de F. Evidentemente denotamos por f(v ) al conjunto formado por todos los vectores de F que son imagen de algún vector de V. 5. La antiimagen f 1 (U) de un subespacio vectorial U del espacio final F (se existe, lo cual sólo está asegurado en el caso de aplicaciones lineales epiyectiva) es un subespacio vectorial del espacio inicial E. 6. La composición de dos aplicaciones lineales es una aplicación lineal. Es decir: sean f : E F y g : F G dos aplicaciones lineales, entonces la aplicación g f : E G, (g f)( e) = g(f( e)) es también una aplicación lineal (obviamente de E en G). Operaciones en Hom(E, F ) En el conjunto de todas las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales reales E y F, que hemos denominado Hom(E, F ) se pueden definir dos leyes de composición (una interna y otra externa) de manera que dicho conjunto posee, a su vez, la estructura de espacio vectorial real: Suma de dos aplicaciones lineales. Sean f y g dos aplicaciones lineales de los espacios vectoriales E y F. Se define la aplicación suma, y se denota por f + g, de la forma siguiente: (f + g)( e) = f( e) + g( e), e E Es trivial demostrar que la suma de aplicaciones linelaes es una aplicación lineal. Producto de un escalar por una aplicación lineal. Sea f : E F una aplicación lineal y sea λ R. Se define la aplicación λ f de la forma: (λ f)( e) = λ f( e), e E Se demuestra de forma directa que λ f es también una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES 33 3.2 Subespacios Núcleo e Imagen Definición: Sea f : E F una aplicación lineal entre los espacios vectoriales E y F. Se llama núcleo de la aplicación lineal y se denota por Kerf (del alemán kernel=núcleo) al subconjunto del espacio vectorial E formado por los vectores de E tales que f( e) = 0. Ker f = { e E / f( e) = 0} Proposición: Sea f : E F una aplicación lineal entre los espacios vectoriales E y F. Entonces el núcleo de f, Ker f, es un subespacio vectorial del espacio E. Definición: Sea f : E F una aplicación lineal entre los espacios vectoriales E y F. Se llama imagen de la aplicación lineal f y se denota por Im f al subconjunto de F formado por los vectores que son imagen por f de alguno de E. Im f = { u F / e E, f( e) = u} Proposición: Sea f : E F una aplicación lineal, entonces la imagen de f, Im f, es un subespacio vectorial del F. Dada una aplicación lineal f de E en F, es habitual llamar nulidad de f a la dimensión del subespacio Ker f y rango de f a la dimensión de Im f. Aplicando la definición, una aplicación f : E F será epiyectiva si Im f = F, tenemos así que f es epiyectiva si y sólo si rango(f) =dim Im f= dim F. Proposición: Sea f : E F una aplicación lineal. Si S = { e 1,..., e n } es un sistema de generadores del espacio E, entonces los vectores: f( e 1 ),..., f( e n ) constituyen un sistema de generadores del subespacio Im f de F, es decir: Im f = f( e 1 ),..., f( e n ). Proposición: Sea f : E F una aplicación lineal. Entonces f es inyectiva si y sólo si Ker f = { 0}. Dem: Comenzaremos demostrando que: f inyectiva Kerf = { 0}. Realizaremos la demostración por la técnica de reducción al absurdo, plantearemos así el hecho de que f sea inyectiva pero Ker f { 0}. Por ser f inyectiva se verifica que si dos vectores e 1 y e 2 del espacio E son diferentes, es decir e 1 e 2, entonces necesariamente f( e 1 ) f( e 2 ). Consideremos un vector cualquiera de E, e E, y dado que estamos considerando Ker f { 0}, tomemos un vector v Kerf tal que v 0. Entonces el vector e = e + v es diferente de e, y sin embargo verifica: f( e ) = f( e + v) = f( e) + f( v) = f( e) + 0 = f( e) por lo que f no podría ser inyectiva. Hemos demostrado por tanto que si f es inyectiva entonces necesariamente Ker f = { 0}. Recíprocamente, demostremos que si Kerf = { 0} entonces f es inyectiva.

34 APLICACIONES LINEALES Una vez más supongamos lo contrario, es decir: Kerf = { 0} y f no inyectiva. Entonces existirán al menos dos vectores e y e, tales que e e que cumplan: f( e) = f( e ). Pero entonces el vector e e es diferente del vector nulo, y verifica: f( e e ) = f( e) f( e ) = 0 por lo que pertenecería al núcleo, aun siendo diferente de 0. Tenemos en definitiva que f debe ser necesariamente inyectiva. Q.E.D. Teorema: Sea f : E F una aplicación lineal. Entonces se verifica: dim Ker f + dim Im f = dim E Nota: se da por sobre-entendido que los espacios vectoriales (en particular E) son de tipo finito. Demostración: Consideremos una base del subespacio núcleo Ker f: B Ker f = { e 1,..., e p }, y así dim Ker f = p. Aplicando el teorema de la base incompleta siempre es posible encontrar q = n p vectores de E: { u 1,..., u q } que formen base de un suplementario de Ker f. De esta forma B = { e 1,..., e p, u 1,..., u q } es una base del espacio vectorial E (evidentemente dim E = n = p + q). El subespacio Im f estará entonces generado por las imágenes de los vectores de la base anterior: Im f = f( e 1 ),..., f( e p ), f( u 1 ),..., f( u q ) = f( u 1 ),..., f( u q ) puesto que los vectores e i Kerf. Demostraremos a continuación que los vectores {f( u 1 ),..., f( u q )} forman un sistema libre. Tomemos una combinación lineal igualada al vector nulo: λ 1 f( u 1 ) +... + λ q f( u q ) = 0, pero por ser f lineal tendremos que: f(λ 1 u 1 +... + λ q u q ) = 0 λ 1 u 1 +... + λ q u q Ker f. Hemos demostrado así que la combinación lineal: λ 1 u 1 +... + λ q u q pertenece simultáneamente a Ker f y a (Kerf) S, entonces necesariamente es igual al vector nulo de E, y dado que los vectores u j son linealmente independientes, entonces λ 1 = λ 2 =... = λ q. Tenemos entonces que dim Im f = q, y en consecuencia dim Im f = n dim Ker f. Q.E.D. Consecuencias del teorema anterior. A partir del resultado anterior podemos llegar a las siguientes conclusiones: Si dim E < dim F, entonces ninguna aplicación lineal f : E F podrá ser epiyectiva, ya que dim Im f siempre será menor que dim F. Si dim E > dim F, entonces ninguna aplicación lineal f : E F podrá ser inyectiva, ya que dim Ker f 0 para poder verificarse el Teorema anterior. Sólo podrán establecerse isomorfismos (aplicaciones lineales biyectivas) entre espacios vectoriales de igual dimensión. 3.3 Ecuaciones y matriz de una aplicación lineal Sea f : E F una aplicación lineal entre los espacios vectoriales E y F y sean B = B E = { e 1, e 2,..., e n } y B = B F = { v 1, v 2,..., v m } bases de E y F respectivamente.

APLICACIONES LINEALES 35 Todo vector e E podrá escribirse entonces en coordenadas con respecto a B: e = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n E e = x i e i = (x 1,..., x n ) B mientras que su imagen, f( e), pertenece a F, de manera que puede escribirse como: m f( e) = y 1 v 1 + y 2 v 2 +... + y m v m F = y j v j = (y 1,..., y m ) B Si conocemos las imágenes de los vectores de la base B: f( e 1 ) = a 11 v 1 + a 12 v 2 +... + a 1m v m f( e 2 ) = a 21 v 1 + a 22 v 2 +... + a 2m v m f( e i ) =... f( e n ) = a n1 v 1 + a n2 v 2 +... + a nm v m m a ij v j, i = 1,..., n entonces, aplicando las propiedades básicas de las aplicaciones lineales, tendremos: f( e) = f(x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n ) = x 1 f( e 1 ) + x 2 f( e 2 ) +... + x n f( e n ) = = x 1 (a 11 v 1 + a 12 v 2 +... + a 1m v m ) + x 2 (a 21 v 1 + a 22 v 2 +... + a 2m v m ) +... + +x n (a n1 v 1 + a n2 v 2 +... + a nm v m ) = (a 11 x 1 + a 21 x 2 +... + a n1 x n ) v 1 + (a 12 x 1 + a 22 x 2 +... + a n2 x n ) v 2 +... + +(a 1m x 1 + a 2m x 2 +... + a nm x n ) v m Dado que las coordenadas de un vector en una base son únicas concluimos con el siguiente resultado que establece las ecuaciones de la aplicación lineal f en las bases B y B de los espacios E y F (en forma de sistema de ecuaciones y en forma de ecuación matricial): y 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2 +... + a n1 x n y 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2 +... + a n2 x n... y m = a 1m x 1 + a 2m x 2 +... + a nm x n y 1 y 2.. y m = a 11 a 21... a n1 a 12 a 22... a n2......... a 1m a 2m... a nm x 1 x 2.. x n La matriz M: M = M(f; B E, B F ) = a 11 a 21... a n1 a 12 a 22... a n2......... a 1m a 2m... a nm recibe el nombre de matriz asociada a la aplicación lineal f en las bases B = B E y B = B F, y donde cabe resaltar que la colocación de los elementos de la matriz no es la habitual, puesto que se corresponde con el hecho de que la columna j-ésima está determinada por las coordenadas en la base B de la imagen del vector e j, es decir f( e j ).

36 APLICACIONES LINEALES En forma compacta es posible resumir el razonamiento anterior a la expresión: ( ) m ( m ) f(u) = f x i e i = x i f( e i ) = x i a ij v j = a ij x i v j de donde: y j = a ij x i Y = M(f; B, B )X Propiedades de las matrices asociadas a aplicaciones lineales. 1. Dadas las aplicaciones lineales f, g : E F con matrices asociadas M(f) = M(f; B, B ) y M(g) = M(g; B, B ) con respecto de las bases B y B de E y F, se verifica entonces que la matriz asociada a la aplicación lineal suma (con respecto a las mismas bases) no es más que la suma de ambas matrices: M(f + g) = M(f) + M(g). 2. Dada la aplicación lineal f : E F con matriz asociada M(f) respecto de las bases B y B, se verifica que la matriz asociada a la aplicación lineal λf es: M(λf) = λm(f). 3. Dadas las aplicaciones lineales f : E F con matriz asociada M(f) = M(f; B, B ) respecto de las bases B y B, y g : F G con matriz asociada M(g) = M(g; B, B ) respecto de las bases B, B y B de los espacios vectoriales E, F y G respectivamente, se verifica que la matriz asociada a la composición de f y g es el producto de las matrices correspondientes, es decir: M(g f) = M(g) M(f). 3.4 Cambio de base en un espacio vectorial Sean B = { e 1,..., e n } y B = { e 1,..., e n} dos bases del espacio vectorial E. Dado un vector e E, podremos entonces escribir e en coordenadas tanto en la base B como en la base B : e = x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n (x 1,..., x n ) B e = x j e j = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n (x 1,..., x n) B Y supongamos conocidas las coordenadas de los vectores de la base B con respecto a B: e 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 +... + a 1n e n e 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 +... + a 2n e n... e n = a n1 e 1 + a n2 e 2 +... + a nn e n

APLICACIONES LINEALES 37 Si tomamos ahora la expresión: e = x 1 e 1 +... + x n e n, y sustituimos en ella las expresiones anteriores, tendremos una expresión que depende únicamente de los vectores e i, con i = 1,..., n. Usando un razonamiento completamente similar al realizado en la sección anterior, se concluya fácilmente que deben verificarse las siguientes ecuaciones: x 1 = a 11 x 1 + a 21x 2 +... + a n1x n x 2 = a 12 x 1 + a 22x 2 +... + a n2x n... x n = a 1n x 1 + a 2nx 2 +... + a nnx n x 1 x 2.. x n = a 11 a 21... a n1 a 12 a 22... a n2......... a 1n a 2n... a nn que reciben el nombre de ecuaciones del cambio de base de B a B en el espacio vectorial E. La matriz A: a 11 a 21... a n1 a 12 a 22... a n2 A =......... a 1n a 2n... a nn que permite escribir las ecuaciones como una sóla ecuación matricial se llama matriz de cambio de base de B a B. Si denominamos X y X a las correspondientes matrices columna tendremos finalmente: A X = X Tal y como ha sido construida, es evidente que la matriz de cambio de base tiene como columnas a los vectores de la base B expresados en coordenadas con respecto a la base B. Dado que las columnas son linealmente independientes, se trata de una matriz de rango N y, en consecuencia, se trata de una matriz invertible. Tendremos entonces que: A 1 X = X es decir, la matriz del cambio de base inverso no es más que la inversa de la matriz de cambio de base. Alternativamente, la matriz de cambio de base puede ser definida de una forma más técnica como la matriz asociada al endomorfismo identidad o aplicación identidad (que hace corresponder a un vector de E el mismo vector como imagen) cuando se utiliza una base en el espacion inicial y otra en el final (aunque ambos espacios sean el mismo), desde ese punto de vista tendríamos: A = M(id; B, B). Matrices asociadas a una aplicación lineal y cambios de base: Sea f : E F una aplicación lineal y consideremos las bases B E y B F de los espacios E y F respectivamente. Definimos así la matriz M: M = M(f; B E, B F ), M X = Y x 1 x 2.. x n

38 APLICACIONES LINEALES siendo X la matriz columna de coordenadas de un vector cualquiera de E en la base B E e Y la matriz columna de coordenadas de la imagen de X en la base B F. De manera similar tomaremos dos bases nuevas, B E y B F, en E y F respectivamente. Tendremos así una nueva matriz, M, de la forma: M = M(f; B E, B F ), M X = Y Queremos conocer cuál es la relación que existe entre las matrices M y M. Sea A E es la matriz de cambio de base de B E a B E en E, y sea A F la correspondiente al cambio de base en F, de B F a B F en F. Entonces: y en consecuencia: X = A E X, Y = A F Y M X = Y M A E X = A F Y A 1 F M A E X = Y M = A 1 F M A E Tenemos por tanto que la matriz asociada a f en las bases nuevas no es más que la inversa de la matriz de cambio de base del espacio final por la matriz original por la matriz de cambio de base en el espacio inicial.