CAPíTULO 5 Determinantes 1 El grupo simétrico Sea n N Denotemos por Σ n el conjunto: Σ n = {f : {1,,n} {1,,n} f es aplicación biyectiva} Si f,g Σ n, la aplicación compuesta g f también es un elemento de Σ n, por tanto, la composición es una operación en Σ n Σ n con esta operación tiene estructura de grupo y se denomina grupo simétrico de grado n Sus elementos se llaman también permutaciones del conjunto {1,,n} Evidentemente, es un grupo finito con n! elementos Para describir un elemento σ de Σ n basta con listar las imágenes σ(1),,σ(n) de la forma que podemos representar σ en la forma Ejemplo 51 ( 1 n σ(1) σ(n) Una permutación σ puede representarse de forma aun más abreviada escribiendo σ = (i 1,,i n1 )(i n1+1,,i n2 ) (i nk 1 +1,,i nk ), donde i 1,,i nk son los números 1,,n (aunque no necesariamente en este orden) y se tiene que { is+1 if s n σ(i s ) = l i nl 1 +1 if s = n l Ejemplo 52 La permutación (12)(34) intercambia 1 con 2 y 3 con 4 La parte (i nl +1,,i nl+1 ) de σ se llama ciclo de σ o órbita Normalmente en la escritura anterior omitimos ciclos de longitud 1 Ejemplo 53 Las permutaciones (123)(47)(5)(6), (74)(231)(6) y (123)(47) coinciden Una permutación que consiste solamente de un ciclo de longitud 2 (y los demás son de longitud 1) se llama transposición Esta permutación intercambia dos numeros y el resto deja fijo Proposición 51 Toda permutación se puede escribir como producto de transposiciones 41 )
42 5 DETERMINANTES Ejemplo 54 (1234) = (12)(23)(34) Definición 51 Sea σ Σ n y supongamos que σ = τ 1 τ t con τ 1,,τ t transposiciones Se llama la signatura de σ, y se denota ǫ(σ) al número ( 1) t Se dice que σ es par si ǫ(σ) = 1 y que σ es impar si ǫ(σ) = 1 Ejemplo 55 La signatura de (1234) = (12)(23)(34) es 1 Proposición 52 Sean σ,τ Σ n Entonces, ǫ(σ τ) = ǫ(σ)ǫ(τ) 2 Determinante de n vectores Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n Una n-forma lineal alternada es una aplicación n {}}{ D: V V K que cumple 1 D(v 1,,av i,,v n ) = ad(v 1,,v i,,v n ), para todo a K, i = 1,,n; 2 D((v 1,,v i + u i,,v n ) = D(v 1,,v i,,v n ) + D(v 1,,u i,,v n ); 3 D(v 1,,v n ) = 0 si v i = v j con i j Las dos primeras condiciones se resumen diciendo que D es multilineal o bien lineal en cada factor; el nombre alternada se refiere a la tercera condición Ejemplo 56 El área del paralelogarmo formado por dos vectores en R 2 Definamos por A(V ) el conjunto de todas las n-formas lineales alternadas Es inmediato que A(V ) es un K-espacio vectorial Pasemos a enunciar las propiedades de las n-formas lineales alternadas Proposición 53 Las siguientes propiedades se cumplen: 1 D(v 1,,v i,,v j,,v n ) = D(v 1,,v j,v i,,v n ) 2 Para toda permutación σ S n, D(v σ(1),,v σ(n) ) = ǫ(σ)d(v 1,,v n ) 3 Si un vector v i = 0, entonces D(v 1,,v i,,v n ) = 0; 4 Si v i es una combinación lineal de v 1,,v i 1,v i+1,,v n, entonces D(v 1,,v i,,v n ) = 0 5 D está determinada por el valor D(v 1,,,v n ) que toma sobre una base v 1,,v n de V 6 La dimensión de A(V ) es 1, además si v 1,,v n es una base de V entonces la aplicación que manda D a D(v 1,,v n ) es un isomorfismo entre A(V ) y K Demostración Sea B = {v 1,,v n } una base de V por el último apartado de la proposición anterior existe una única n-forma lineal alternada D tal que D(v 1,,v n ) = 1 Definamos está forma por det B
3 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Y DE UN ENDOMORFISMO 43 Proposición 54 Sean B 1 = {v 1,,v n } y B 2 = {u 1,,u n } dos bases de un K-espacio vectorial V Entonces, det B2 (w 1,,w n ) = det B2 (v 1,,v n ) det B1 (w 1,,w n ) Corolario 55 Sea D una n-forma lineal alternada no nula Entonces, w 1,,w n V es libre si y sólo si D(w 1,,w n ) 0 3 Determinante de una matriz y de un endomorfismo Sea A M n (K) y B la bese estándar de K n Denotemos por,,a n las n columnas de A Se llama determinante de A al elemento det A = det B (,,A n ) de K Usaremos también la notación a 11 a 1n det A = a n1 a nn Proposición 56 Tenemos la siguiente formula: det A = σ Σ n ǫ(σ)a σ(1)1 a σ(n)n La definición de determinante como n-forma lineal alternada nos permite traducir las propiedades de n vectores en propiedades de los determinantes de las matrices (la Proposición 53) La proposición siguiente nos da una propiedad que no se obtiene como traducción de ninguna propiedad de los determinantes de n vectores Proposición 57 Sea A M n (K) Entonces deta = det t A, es decir det A = σ Σ n ǫ(σ)a 1σ(1) a nσ(n) Notemos que det t A = det B (,,A n ), donde,,a n son filas de A y B es una base de estándar de K n Sea f : V V un endomorfismo Entonces para toda n-forma lineal alternada D, la aplicación n {}}{ ˆf(D): V V K que manda (v 1,,v n ) a D(f(v 1 ),,f(v n )) es una n-forma lineal alternada tenemos, pues, una aplicación ˆf : A(V ) A(V ) que resulta ser lineal Ahora bien, A(V ) es un espacio de dimensión 1 y toda la aplicación lineal de A(V ) en si misma consiste en multiplicación por una escalar de K En particular, ˆf = aid, para algún a K Llamaremos determinante del endomorfismo f a este escalar a y lo denotaremos por detf (detf = a)
44 5 DETERMINANTES Proposición 58 Sea f : V V un endomorfismo y B una base cualquiera Entonces, detf = det M BB (f) Proposición 59 Sean f,g dos endomorfismos de un K espacio vectorial V Entonces, ĝ f = ˆfĝ y det g f = detg det f Corolario 510 Sean A,B M n (K) Entonces detab = det A detb Ejercicio 51 Demostrar que un endomorfismo f : V V es un isomorfismo si y sólo si det f 0 4 Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna Sea A M n (K) Se llama adjunto del elemento a ij al elemento de K, A ij = ( 1) i+j D ij, donde D ij es el determinante de la matriz (n 1) (n 1) que se obtiene eliminando la i-ésima fila y la j-ésima columna de A Teorema 511 Sea A M n (K) Entonces, 1 deta = a i1 A i1 + + a in A in (desarrollo del determinante de A por los elementos de la i-ésima fila) 2 deta = a 1j j + + a nj A nj (desarrollo del determinante de A por los elementos de la j-ésima columna) Demostración 1 Demostraremos el caso i = n El caso general se demuestra de forma análoga Sea B = {e 1,,e n } la base canónica de K n deta = = a A n 1 n1 + + a A n 1 nn A n 1 a n1 e 1 + + a nn e n e 1 e n = ( 1) n 1 a n1 A n 1 e n Todas los determinantes son de forma (c ij ) es una matriz de este tipo, detc = σ Σ n ǫ(σ)c 1σ(1) c nσ(n) = Por tanto, + ( 1) n 2 a n2 ( B 0 0 1 A n 1 e n + + a nn A n 1 e n ) con B M n 1 (K) Si C = σ Σ n 1 ǫ(σ)c 1σ(1) c n 1σ(n 1) = det B deta = a n1 A n1 + a nn A nn
5 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45 Sea A M n (K) Se llama matriz adjunta de A a la matriz ada = (A ij ) Teorema 512 Sea A M n (K) Entonces, A tada = t ada A = det A Id n En particular, si A GL n (K), A 1 = 1 det A (t ada) Demostración Sea B = t ada Entonces b ij = A ji Sea C = AB Tenemos: D 1 c ij = a i1 A j1 + + a in A jn =, donde D k = A k si k j y D j = A i Entonces, si i = j, c ij = det A y si i j, c ij = 0 D n 5 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Teorema 513 Sea AX = B un sistema de ecuaciones con A GL n (K) Entonces, el sistema es compatible determinada y su única solución x 1,,x n es la dada por x i = detc i deta, donde C i es la matriz que se obtiene de la matriz A sustituyendo la i-ésima columna por la columna B Una submatriz de una matriz A es cualquier matriz que se obtiene de A eliminando ciertas filas y columnas Un menor de A es una submatriz de A cuadrada Teorema 514 Sea A M n m (K) Entonces, el rango de A coincide con el tamaño mayor de un menor con determinante no nulo Ejercicio 52 Sean σ y φ las siguientes permutaciones de Σ 8 : σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 1 3 2 8 7 6 ) ( 1 2 3 4 5 6 7 8, φ = 3 5 2 6 1 7 4 8 1 Descomponer como producto de ciclos disjuntos ambas permutaciones 2 Calcular el signo de σ y φ 3 Calcular σ 2 φ 2 y (σφ) 2 4 Calcular σ 1, φ 1, σ 1 φ 1, φ 1 σ 1 y (σφ) 1 Ejercicio 53 Calcula los siguientes determinantes usando, en su caso, el método indicado: ) a) 1 0 0 7 0 1 2 3 2 1 1 1 0 3 2 1 (desarrollo por una fila o columna), b) 2 0 0 3 5 1 1 2 1 2 0 1 3 1 1 4 1 1 1 0 2 3 1 3 0,
46 5 DETERMINANTES c) 2 0 2 4 0 3 9 6 1 2 1 0 0 3 4 2 (reducción a matriz triangular), d) 1 1 0 1 2 x 0 1 0 1 y 1 0 1 1 1 Ejercicio 54 Demuestra, sin calcularlos, que los determinantes de las siguientes matrices son nulos (en algún caso conviene hacer alguna transformación) 1 2 3 x y 2x + 3y sen 2 a 1 cos 2 a a) 1 2 3, b) 4 3 17, c) sen 2 b 1 cos 2 b, 3 1 4 z t 2z + 3t sen 2 c 1 cos 2 c d) 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 Ejercicio 55 Calcula, utilizando menores, el rango de las siguientes matrices con coeficientes en R a) 2 1 3 2 4 4 2 5 1 7 2 1 1 8 2, b) 1 2 3 2 1 0 1 1 2,, c) 1 2 3 1 4 0, d) 4 3 5 2 3 8 6 7 4 2 4 3 8 2 7 4 3 1 2 5 8 6 1 4 6 Ejercicio 56 Calcula para los distintos valores de a, y utilizando menores, el rango de la matriz 1 1 2 0 2 a 2 4 a 1 a 1 2 a 2 con coeficientes en R 1 x x 2 x 3 Ejercicio 57 Demuestra que (x 1) 3 divide al polinomio 1 1 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16 Ejercicio 58 a) Calcula el determinante de f : C C definida por f(z) = z z, donde si z = x + iy,z = x iy es su conjugado, y vemos C como un R-espacio vectorial [OBSERVACION: f es R-lineal, luego la pregunta tiene sentido] b) Calcula el determinante de g : C 2 C 2 definida por f(z 1,z 2 ) = (z 1 +z 2,z 1 + iz 2 ) visto como un homomorfismo de C-espacios vectoriales y también visto como un homomorfismo de R-espacios vectoriales c) Consideramos el subespacio E =< sen(x), cos(x) > del R-espacio vectorial de las funciones de R en R Calcula el determinante del endomorfismo de E definido por la derivación
5 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 47 Ejercicio 59 Sea A una matriz cuadrada cuyo determinante vale 9 Determina, si es posible, el determinante de las matrices A 5,A 1 y 7A Ejercicio 510 a) Calcula el determinante del endomorfismo f de Mat 2x2 (K) definido por ( ) ( ) a b a + 5b b + 3c + 2d f = c d c d d b) Calcula la matriz A de f con respecto a la base { ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 1 B = v 1 =,v 2 =,v 3 = 0 1 1 0 0 1 así como el determinante de A ) ( 1 1,v 4 = 1 1 Ejercicio 511 Estudiar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a) Si A M n (R) y a ij 0 para todo i, j 0, entonces det A 0 b) Si A M n (R), entonces det(a t A) 0 c) La aplicación det: M n (K) K es lineal d) Si A M n (R), A 2 Id Mn(R) e) Si A M n (K) y B es la matriz cuyas columnas son las de A escritas en el orden inverso, entonces deta = det B ó det A = detb Ejercicio 512 El determinante de Vandermonde Sean x 1,,x n K Demuestra la igualdad 1 x 1 x n 1 1 1 x 2 x n 1 2 = (x j x i ) i<j 1 x n x n 1 n Ejercicio 513 1 Basándose en el problema anterior, demostrar que dada dos series de n elementos, a 1,,a n y b 1,,b n de un cuerpo K, donde a i son todos distintos, existe un único polinomio f(x) K[x] con coeficientes en K y de grado n 1 tal que f(a i ) = b i para todo i = 1,,n (Sugerencia: observar que las condiciones f(a i ) = b i originan un sistema lineal) 2 Hallar el único polinomio f de grado menor o igual que 2 cuya gráfica y = f(x) pasa por los puntos ( 1,2), (1,1) y (2,1) Ejercicio 514 Calcular los siguientes determinantes de orden n: 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0, 1 1 0 1, 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 )}
48 5 DETERMINANTES 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2, 1 n n n n n 2 n n n n n 3 n n n n n n 1 n n n n n n Ejercicio 515 Sean a,b, c K Calcular el siguiente determinante de orden n: a b b b b c a b b b c c a b b c c c a b c c c c a