TEMA. ONES ESTACIONÀRIES. Introducció Fins ara hem estudiat les ones quan es propaguen sempre per un medi infinit, obert i sense límits. En la immensa majoria dels casos això no és real. Per exemple:. Una habitació tancada. es ones sonores es propaguen i reboten a les parets.. Ones sísmiques. Es propaguen per l interior de la Terra que té una grandària finita. 3. Una corda que oscil la lligada a una paret. En aquests casos es poden produir el que anomenem ones estacionàries. es ones estacionàries són un cas particular d interferència de dues ones que iatgen en sentits oposats molt interessant i que coné estudiar.
. Reflexió d ones unidimensionals Abans d endinsar-nos en les ones estacionàries ens coné respondre dues preguntes:. Què li passa a un pols d ona que en iatjar per una corda, es troba l extrem lligat a la paret?. I si l extrem es lliure? Respondrem la pregunta a partir de dues animacions. Animació extrem lligat Animació extrem lliure 3. Ones estacionàries Considereu una corda de longitud com la de la figura i que està lligada pels dos extrems. Per l extrem esquerra es generen ones a traés d un cigonyal connectat a un pistóque fa oscil lar la corda tensa. ψ es ones generades arribaran a l extrem fix de la dreta, es reflectiran i interferiran amb elles mateixes. El resultat d aquesta superposició és una ona que sota certes freqüències de ibració es pot considerar estacionària. Veiem això amb més detall. Animació Ona estacionària. Corda amb extrems lliures.
3. Ones estacionàries Matemàticament l explicació anterior es pot escriure de la següent forma: Ψ Ona incident Ona reflectida Ψ = A cos( ωt + kx) Ona interferència Ψ = Ψ + Ψ A cos( ωt + kx) Ψ = A (cos( ω3 t cos( ω3 t + kx)) =...(*) α Amb l ajut de la relaciótrigonomètrica: I que α β α + β = kx = ωt β α β α + β cosα cosβ = sin sin (*) Ψ = A sin ( kx ) sin ( ωt ) ona interferència que s obté s ha d arreglar perquè els arguments no siguin negatius Ψ = A sin 3. Ones estacionàries ( sin( ωt) = A sin(kx) sin( ωt) = A sin(kx) cos ωt + π Caracterísitiques de les ones estacionàries ona interferència que obtenim té les següents característiques:. a freqüència de ibraciócoincideix amb la de l ona incident ψ.. amplitud de l ona interferència està modulada i al : A ' = A sin(kx) 3. Quan es forma una ona estacionària (anomenat estat estacionari) apareixen punts de la corda que no ibren mai. Aquests punts s anomenen nodes. Per determinar la sea posició cal igualar A a zero. A' = 0 A sin(kx) = 0 sin(kx) = 0 π kx = ± nπ x = ± nπ x = ± n n = 0,,... Posiciódels nodes en la corda 3
3. Ones estacionàries Estats estacionaris de ibració. Es produeixen per a certes freqüències de ibració. Animació d ones estacionàries f = f = f =Hz ; =m/s ; =m r harmònic n harmònic = = Nodes n= n= n= x=0 X= x=0 x= Freqüència / = = = f f 3r harmònic t harmònic 3 = 3 = x = n n= n= n=3 n= n= n=3 n= x = 0 x= 3 x= 3 x = 0 x = 3 3 3 = = f3 3 f 3 = = f f Exemples Tenim una corda de longitud = 0,5 m i de massa m = 0,05 kg sotmesa a una tensió T = 00 N. Trobeu la elocitat de propagació de les ones, la freqüència fonamental de ibració i la del tercer harmònic. Considereu una corda de longitud lligada pels dos extrems en la que es generen ones estacionàries l equació de les quals e donada per: π Ψ = 0, sin(3x) cos t + Determineu la longitud de la corda i la elocitat de propagació de les ones, sabent que la coda ibra segons el 5èharmònic.
. Ones estacionàries Considereu una corda de longitud com la de la figura i que està lligada per un extrem. Per l extrem de la dreta es generen ones a traés d un cigonyal connectat a un pistóque fa oscil lar la corda tensa. ψ es ones generades arribaran a l extrem lliure de l esquerra, es reflectiran i interferiran amb elles mateixes. El resultat d aquesta superposició és una ona que sota certes freqüències de ibració es pot considerar estacionària. Veiem això amb més detall. Matemàticament l explicació anterior es pot escriure de la següent forma: Ψ + kx) Ona incident Ona reflectida Ψ Ona interferència Ψ = Ψ + Ψ + kx) + A cos( ωt Ψ = A (cos( ω3 t + kx) + cos( ω3 t ) =...(*) α Amb l ajut de la relaciótrigonomètrica: I que. Ones estacionàries α β α + β = kx = ωt β α β α + β cosα + cosβ = cos cos (*) Ψ = A cos ( kx ) cos ( ωt ) 5
. Ones estacionàries Caracterísitiques de les ones estacionàries ( kx) cos( t) Ψ = A cos ω ona interferència que obtenim té les següents característiques:. a freqüència de ibraciócoincideix amb la de l ona incident ψ.. amplitud de l ona interferència està modulada i al : A ' = A cos(kx) 3. Quan es forma una ona estacionària (anomenat estat estacionari) apareixen punts de la corda que no ibren mai. Aquests punts s anomenen nodes. Per determinar la sea posició cal igualar A a zero. A' = 0 A cos(kx) = 0 cos(kx) = 0 n + π n + (n + ) kx = π x = π x = n = 0, ±, ±... Posiciódels nodes en la corda. Ones estacionàries Estats estacionaris de ibració. Es produeixen per a certes freqüències de ibració. f = f = Nodes Freqüència / r harmònic = x= = 3r harmònic 3 = 3 n + x = n= x=/3 x= 3 3 = = f3 3 f 3 5è harmònic 5 = 5 n= n= /5 x=3/5 x= 5 5 = = f5 5 f 5 6
ACTIVITATS -PG. 3 -PG. 3 -PG. 36 FU 3 IBRE DE TEXT MOODE 3,, 5 6 7, 8, 9, 0,,, 3, 7, 9 ACTIVITATS ACTIVITATS Índex d applets http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/lentiscal/-cd- Fiisca-TIC/-5VibracionesyOndas/ondas/ondas6.htm extrem lliure.swf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/estacionarias/estaciona rias.html#actiidades 7