Análisis Matemático II

Análisis Matemático II Apuntes complementarios de la teoría Campos Escalares Parte I Repaso de conceptos Funciones reales de variable vectorial Límite. Continuidad Derivadas y diferenciales Derivadas de funciones compuestas Máimos y mínimos Pag 1

Sección I Repaso de conceptos I.1 Números reales. La recta real Se supone conocido el conjunto de números reales y sus subconjuntos: Números naturales: 1,, 3,.. se usan para contar. Un conjunto cuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia uno a uno con los números naturales se dice que es un conjunto numerable. Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto castellano es un conjunto numerable. También es numerable el conjunto de todos los polígonos regulares, triángulo, cuadrado, pentágono, etc., aun cuando este conjunto tiene infinitos elementos. En este caso se dice que el conjunto es infinito numerable. El conjunto de los números naturales es un conjunto discreto porque entre dos elementos cualesquiera del conjunto hay una cantidad finita o limitada de elementos. Enteros negativos y el cero: -3, -, -1, 0 surgen para permitir la solución de ecuaciones tales como + b = a donde a y b son números naturales cualesquiera. El conjunto de los números naturales, los enteros negativos y el cero conforman el subconjunto de los enteros, que también es un conjunto discreto. Números racionales; o fracciones tales como /3, -5/4, etc. surgen para permitir la solución de ecuaciones tales como b. = a para a y b enteros cualesquiera con la condición b 0. Los números enteros son un subconjunto de los números racionales. La epresión decimal de un número racional puede tener una cantidad finita o infinita de cifras decimales. En este último caso las cifras se repiten periódicamente, p. ej 3/4 = 0.75 31111/99900 = 3,1434343L = 3,143 El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, esto significa que entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. La demostración es sencilla: si a y b son dos números racionales diferentes entonces el promedio de los mismos (a + b)/ es también un número racional cuyo valor está comprendido entre los valores de a y de b, esto es: siempre es posible encontrar un número racional entre dos números racionales dados. Pero a pesar de ser un conjunto denso se demuestra que el conjunto de los números racionales es un conjunto numerable. Los números racionales no agotan todos los números posibles ya que idealmente es posible construir un número con infinitas cifras decimales no periódicas, por ejemplo siguiendo alguna regla que rompe la periodicidad: 3,131351355135551355551355555. Números irracionales: no pueden ser epresados como el cociente de dos enteros. Su epresión decimal tiene infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. A tal categoría pertenecen los números, e, π, etc. Al igual que en el caso anterior, entre dos números irracionales cualesquiera hay infinitos números irracionales, pero este conjunto denso es infinito no numerable Recta real: los conjuntos de números racionales e irracionales conforman el conjunto de números reales que se denota con el símbolo R Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una línea denominada eje real o recta real. Para eso es suficiente fijar sobre una recta un punto representando al cero y otro (generalmente a la derecha del anterior) representando el uno. Pag

Con esta escala, y considerando que los negativos se representan a la izquierda del cero, es posible hacer corresponder a cada número real un punto de la recta y viceversa, a cada punto de la recta se le puede hacer corresponder un número, es decir que eiste una correspondencia biunívoca entre los elementos de estos dos conjuntos por lo cual es equivalente mencionar números reales o puntos de la recta real. En realidad esto es así porque la recta real es una construcción matemática que se define como un conjunto de puntos tan denso como el conjunto de números reales. * - * -1 * 0 1/ * * 1 * * Figura I.1 I. El plano y el espacio cartesianos Así como los puntos de una recta se pueden poner en correspondencia con los números reales, los puntos de un plano matemático se pueden poner en correspondencia biunívoca con pares ordenados o duplas de números reales (a 1,b 1 ), (a,b ), (a 3,b 3 ),. Para eso se construye un sistema de coordenadas cartesianas consistente en dos ejes reales que se cortan en el punto del plano denominado origen del sistema de coordenadas y al cual se le hace corresponder el par (0,0) y 1 o P1 1 Figura I. Los puntos del plano y las duplas ordenadas de números reales conforman conjuntos o espacios bidimensionales (luego se verá la razón de esta denominación) equivalentes que se denotan por R. Los números de la dupla correspondiente a un punto dado se denominan coordenadas del punto: abcisa la primera componente del par y ordenada la segunda. De modo análogo, los puntos del espacio matemático se pueden poner en correspondencia biunívoca con ternas ordenadas de números reales (a 1,b 1,c 1 ), (a,b,c ), (a 3,b 3,c 3 ),.. Para eso se construye un sistema de coordenadas cartesianas consistente en tres ejes reales que se cortan en el punto del plano denominado origen del sistema de coordenadas y al cual se le hace corresponder la terna (0,0,0) Pag 3

z 1 P 1 * y 1 1 Figura I.3 Los puntos del espacio y las ternas ordenadas de números reales conforman conjuntos o espacios tridimensionales (luego se verá la razón de esta denominación) equivalentes que se denotan por R 3. Los números de la terna correspondiente a un punto dado se denominan coordenadas del punto: abcisa la primera componente de la terna, ordenada la segunda y cota la tercera. Lo que corresponde a plano y espacio cartesianos se puede generalizar a conjuntos ordenados o n-uplas de números reales: (a 1,b 1, c 1, n 1 ), (a,b, c, n ),., (a j,b j, c j, n j ),..A cada n-upla corresponde un punto P de un espacio de n dimensiones y viceversa. Cada punto está caracterizado por un grupo ordenado de n números reales que son sus coordenadas. Este concepto, que puede parecer de competencia eclusiva de la matemática pura, resulta sin embargo útil cuando se requieren más de tres variables para describir el estado de un sistema económico, termodinámico, mecánico, etc., cuando se considera que las variables pueden asumir cualquier valor real. I.3 Conjuntos de puntos en el plano Se acostumbra a definir la pertenencia de un punto (,y) a un dado conjunto S con una epresión tal como las siguientes: S 1 = {(,y) / + y 4} ; S = {(,y) / y > } Estos conjuntos se pueden representar gráficamente en el plano y como se muestra a continuación: y y S 1 S Figura I.4 No todos los conjuntos pueden ser representados claramente aun cuando la epresión que los define no deje lugar a dudas. Por ejemplo si Q denota el conjunto de los números racionales, entonces el conjunto S 3 = {(,y) / єq, yєq} no admite una representación clara. La representación gráfica en el plano de un conjunto dado puede ser también un arco de curva o una curva cerrada o una línea sin etremos, por ejemplo los siguientes: S 31 = {(,y) / y = ; - } es un arco de parábola S 3 = {(,y) / + y = 1} es una circunferencia (línea cerrada) S 33 = {(,y) / y = 3 + 5} es una recta (línea abierta) Pag 4

δ-entorno circular de un punto ( 0,y 0 ): se denomina así a un conjunto de puntos (,y) que verifican la condición ( 0 ) + (y y 0 ) < δ, donde δ > 0. Corresponde a los puntos de un círculo de radio δ centrado en ( 0,y 0 ) que no incluye a la circunferencia límite pero sí incluye al punto (o, yo) δ-entorno reducido de un punto ( 0,y 0 ): es una vecindad del mismo que no lo incluye, es decir, un conjunto que verifica 0 < ( 0 ) + (y y 0 ) < δ Punto perteneciente a un conjunto S: un punto ( 0,y 0 ) pertenece a un conjunto S dado cuando se verifican para el mismo las reglas de pertenencia. Si las reglas de pertenencia no se verifican, entonces el punto no pertenece al conjunto. Se pueden distinguir, sin embargo, distintas categorías Punto interior de un conjunto S: un punto ( 0,y 0 ) es un punto interior del conjunto S si eiste al menos un entorno del mismo que está completamente incluido en S. Esto significa que ( 0,y 0 ) está rodeado de puntos todos pertenecientes a S y que además el propio punto pertenece al conjunto. Punto eterior: un punto ( 0,y 0 ) es un punto eterior al conjunto S si eiste al menos un entorno del mismo que no tiene puntos pertenecientes a S. El propio punto y sus vecinos no pertenecen al conjunto. Punto aislado: es un punto que pertenece al conjunto S, pero eiste al menos un entorno reducido del mismo que no tiene ningún punto perteneciente a S Punto frontera : un punto ( 0,y 0 ) es un punto frontera del conjunto S si cualquier entorno del mismo incluye puntos que pertenecen al conjunto y puntos que no pertenecen. El punto frontera puede pertenecer o no al conjunto. Repasando los conjuntos que ya se han definido observamos que el conjunto S 1 (figura I.4) tiene puntos interiores y puntos frontera que conforman la circunferencia de radio, y que también pertenecen al conjunto El conjunto S, de la misma figura, tiene puntos interiores y puntos frontera que conforman la parábola y = que no pertenecen al conjunto. En el caso de los conjuntos S 31, S 3 y S 33, definidos anteriormente, todos los puntos son puntos frontera incluidos en el conjunto. En la figura que sigue se representa el conjunto : S 4 = {(,y) / + y > 4 ^ + y 9} y se indican los distintos tipos de puntos característicos. Punto frontera perteneciente a S Punto interior o o Punto frontera no perteneciente a S S 4 o o Puntos eteriores o Figura I.5 Pag 5

Conjunto abierto de puntos: Un conjunto abierto de puntos es aquel cuyos puntos son todos puntos interiores. Esto corresponde a conjuntos que no tienen fronteras o las que tienen no están incluidas. El conjunto S (figura I.4) es, de acuerdo con esta definición, un conjunto abierto de puntos. Conjunto cerrado de puntos: En distintos tetos se indica que un conjunto cerrado de puntos es aquel que incluye a todos los puntos interiores y a todos los puntos frontera. Es decir que un conjunto de puntos se considera cerrado cuando tiene fronteras y todas están incluidas en el conjunto. Esta definición se ajusta perfectamente al caso del conjunto S 1 (figura I.4), y también al caso de los conjuntos S 31 y S 3. Pero se debe tener en cuenta que esta definición está pensada para conjuntos que están completamente rodeados por fronteras incluidas. Cuando se considera un conjunto similar al S pero con la frontera y = incluida en el conjunto, tal como S 6 = {(,y) / y }, no es posible clasificar a este conjunto como cerrado ya que se puede avanzar en algunas direcciones sin encontrar nunca un cierre. En este caso, y también en el caso de S 4 (figura I.5), el conjunto no es abierto ni cerrado. El hecho de que un conjunto de puntos sea abierto o cerrado, que incluya o no a alguna de sus fronteras, tiene mucha importancia en la determinación de etremos absolutos en funciones de múltiples variables. Se suele denominar con el nombre de Recinto a un conjunto cerrado de puntos. Conjuntos coneos: Un conjunto coneo de puntos es aquel en el cual dos puntos cualesquiera del conjunto se pueden conectar mediante una línea curva o quebrada totalmente perteneciente al conjunto. Conjuntos simple y múltiplemente coneos: Un conjunto coneo es simplemente coneo si cualquier curva simple cerrada perteneciente al mismo se puede ir reduciendo hasta un punto de modo que pase siempre por puntos que pertenecen al conjunto. Esto significa que no hay huecos en el conjunto. En caso contrario el conjunto coneo se denomina múltiplemente coneo. Algunos autores resaltan un caso particular de conjunto simplemente coneo y al que denotan con el nombre de conveo: es aquel en el cual dos puntos cualesquiera del conjunto pueden conectarse mediante un segmento de recta totalmente perteneciente al mismo Conjunto coneo Conjunto coneo Conjunto disconeo Figura I.6 Pag 6

Simplemente coneo doblemente coneo triplemente coneo Figura I.7 Todos los conceptos enunciados para conjuntos de puntos en un plano se pueden etender sin dificultad para el caso de conjuntos en el espacio, en este caso las fronteras (en general) son superficies cuya representación gráfica es objeto del próimo capítulo. Los conceptos lógicos y matemáticos, sin embargo, pueden ser etendidos a espacios R n I.4 Espacios vectoriales Los puntos de un plano cartesiano o del espacio cartesiano se pueden considerar también en correspondencia con un vector cuyo origen está en el origen de coordenadas y su etremo es el punto dado. A cada punto corresponde un único vector y a cada vector corresponde un único punto. Las coordenadas del punto se interpretan como componentes del vector asociado. Este concepto se generaliza sin dificultad para el caso de más de tres variables. Es decir que en lugar de considerar al espacio como un conjunto de puntos, también se lo puede considerar como un conjunto de vectores, un espacio vectorial, cuya definición aiomática es la siguiente: Se denomina espacio vectorial V a un conjunto no vacío de elementos a, b, c,. llamados vectores, donde están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación por un escalar (*) que satisfacen los siguientes aiomas Para todo (a, b, c) perteneciente a V y para todo (α, β) perteneciente a R a. Ley de cierre bajo la adición a + b pertenece a V b. Ley de cierre bajo el producto α*a pertenece a V c. Conmutatividad a + b = b + a d. Asociatividad (a + b) + c = a + (b + c) e. Eistencia del elemento neutro para la suma. Eiste 0 perteneciente a V tal que a + 0 = a f. Eistencia del elemento opuesto. Eiste (-a) perteneciente a V tal que a + (-a) = 0 g. Propiedad distributiva 1 α*(a + b) = α*a + α*b h. Propiedad distributiva (α + β)*a = α*a + β*a i. El escalar 1 es neutro en el producto 1*a = a j. Propiedad asociativa del producto (α.β)*a = α*(β*a) Ejemplos: Las n-uplas de números reales constituyen un espacio vectorial mediante la definición de la adición como (a 1,b 1, c 1, n 1 ) + (a,b, c, n ) = (a 1 +a,b 1 +b, c 1 +c, n 1 +n ) y del producto por un escalar en la forma α*(a 1,b 1, c 1, n 1 ) = (α.a 1, α.b 1, α.c 1, α.n 1 ) Pag 7

El conjunto de todas la matrices de m filas por n columnas, bajo las operaciones de adición y producto por un escalar definido para matrices también constituye un espacio vectorial El conjunto V() = {a 0 + a 1 +a +.. + a n n } donde los a i pertenecen a R y n pertenece a naturales, es el conjunto de polinomios de hasta grado n en la variable. Este conjunto constituye un espacio vectorial bajo las reglas conocidas de suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar. Se observa que la definición aiomática de vector incorpora, junto a flechas y segmentos orientados, otros elementos muy diferentes pero que comparten las mismas propiedades matemáticas, por ejemplo: Dado un espacio vectorial V = {a 1, a, a 3, } un subconjunto de k vectores del mismo se dice que es linealmente independiente si entre ellos no eiste ninguna relación de la forma α 1 *a 1 + α *a + α 3 *a 3 +. + α k *a k = 0 salvo la combinación trivial con todos los α i = 0 Un subconjunto de k vectores U = { u 1, u, u 3,, u k } incluido en V constituye una base de V cuando: - Los vectores u 1, u, u 3,, u k son linealmente independientes - Cualquier vector v perteneciente a V puede ser obtenido o epresado como una combinación lineal de los k vectores u i es decir v = α 1 *u 1 + α *u +. + α k *u k En un espacio vectorial puede haber diferentes bases (infinitas) pero todas tienen la misma cantidad de elementos. Este número k, la cantidad de elementos de cualquiera de sus bases, constituye la dimensión del espacio y se escribe dim V = k y el espacio se denota también por R k Si U = { u 1, u, u 3,, u k } es una base de V entonces cualquier vector de V tiene una única representación en relación a esta base v = α 1 *u 1 + α *u +. + α k *u k y los números α i constituyen las coordenadas del vector v en relación a la base U Teniendo en cuenta que estos conceptos pueden ser aplicados a otros espacios vectoriales, se volverá a insistir en los mismos sobre el final del curso, para el tema de funciones ortogonales. I.5 Funciones En el curso previo de análisis matemático fue estudiado y desarrollado el concepto de función. En una forma simple se puede decir que una función f asocia a cada elemento de un conjunto de partida A (denominado dominio de f) con uno y sólo uno de los elementos de un conjunto de llegada B (denominado imagen de f o imagen de A a través de la función f) B A Figura I.8 En el caso general A y B pueden ser conjuntos de cualquier naturaleza, sin embargo por su generalidad, es muy importante el caso en que A y B son Pag 8

subconjuntos del conjunto R de los números reales. En este caso, las funciones de R en R se denominan funciones reales de variable real. Se acostumbra a designar con la letra a los elementos del conjunto de partida y con la letra y o bien con f() a los elementos del conjunto de llegada. Obsérvese que la función no es f(). La función f puede ser entendida como una máquina que cuando recibe un elemento del conjunto de partida lo procesa de acuerdo con reglas inherentes a la misma y genera un único elemento y = f() del conjunto de llegada. El concepto de función puede ser etendido sin dificultad a los casos en que el conjunto de partida o dominio es un subconjunto de R m y el conjunto de llegada o imagen es un subconjunto de R n. Tenemos así los siguientes tipos básicos de funciones: a) m = 1, n > 1. Funciones vectoriales de variable real. El conjunto de partida es un subconjunto de los números reales. La variable independiente se denomina parámetro y se suele representar con las letras t, p, λ, etc. El conjunto de llegada es un espacio vectorial de dimensión n. El resultado de la función es un vector r(t) definido también por las ecuaciones paramétricas 1 = f 1 (t) = f (t) r(t) 3 = f 3 (t).. n = f n (t) = (t) En el caso particular de n =, las ecuaciones r(t) y = y(t) corresponden a una curva plana, p. ej., la trayectoria de un tiro oblicuo donde el parámetro t es el tiempo y el vector r(t) es el que va desde el origen de coordenadas a cada punto de la curva. Cualquier curva plana y = f() puede ser interpretada como una función de este tipo. Es suficiente con tomar a como parámetro y se tiene = r() y = f() = (t) En el caso particular de n = 3, las ecuaciones r(t) y = y(t) z = z(t) corresponden a una curva alabeada en el espacio, como p. ej., la trayectoria del vuelo de un pájaro. Una recta en el espacio está definida por ecuaciones paramétricas de este tipo: = 0 + α.t r(t) y = y 0 + β.t z = z 0 + γ.t donde P 0 = ( 0,y 0,z 0 ) es un punto conocido de la recta y (α,β,γ) son las componentes de un vector con la misma dirección de la recta Pag 9

Aunque este tipo de funciones fue objeto de estudio en cursos previos, volveremos sobre las mismas en la introducción a integrales curvilíneas. b) m > 1, n = 1. Funciones reales de variable vectorial o campos escalares. El conjunto de partida es un espacio vectorial con m variables independientes mientras que el resultado de la función es un número real. Algunos ejemplos: Una función que describe la temperatura en cada punto de un ambiente T = f(,y,z) La ley de estado de los gases ideales T = p.v/k con las variables independientes p y v La ecuación de un plano en el espacio z = a + by + c. Paraboloide z = a + by + c Una ecuación que describe una propiedad variable de un sólido particular p. ej. la densidad δ(,y,z) = a + by + cz El estudio de estas funciones ocupará la mitad del presente curso. c) m > 1, n > 1. Funciones vectoriales de variable vectorial o campos vectoriales. Tanto los elementos del conjunto de partida como los del conjunto de llegada son vectores. Cada una de las n componentes del vector de llegada es una función de las m componentes del vector de partida. Ejemplo de funciones de este tipo son: La velocidad de la corriente de agua en una sección transversal de un río o arroyo con un flujo estacionario v(,y) = v (,y)i + v y (,y)j + v z (,y)k La fuerza gravitatoria ejercida por la tierra (masa M) sobre una partícula de masa m situada por encima de la superficie cuando el sistema de coordenadas se considera en el centro de la tierra F(,y,z) = [-GMm/( + y + z ) 3/ ].(i + yj + zk) El estudio de estas funciones ocupará el tercer cuarto del presente curso. I.6 Ejercitación En los ejercicios 1 a 6 hacer un bosquejo del conjunto indicado, dar la ecuación de las fronteras o describirlas, e indicar si el conjunto es abierto, cerrado o ninguno de estos. 1. S = {(,y) є R : 4; 1 y 5}. S = {(,y) є R : + y < 4} 3. S = {(,y) є R : 0 < + y 4} 4. S = {(,y) є R : 1 < 4} 5. S = {(,y) є R : = 0; y = 1/n con n є N} 6. S = {(,y) є R : 0 y + ; y} Pag 10

En los ejercicios 7 a 9 hallar, cuando sea posible, un punto eterior y un punto interior al conjunto dado. Analizar si el conjunto es coneo. 7. S = {(,y) є R : y 1} 8. S = {(,y) є R : + y = 1} 9. S = {(,y) є R : (y + )(y + 4) > 0} 10. Definir un conjunto coneo cuyos puntos sean todos puntos frontera. 11. Definir un conjunto que sea doblemente coneo. Pag 11

Sección II Funciones reales de variable vectorial II.1 Funciones de dos o más variables independientes Ya se ha visto que el conjunto de n-uplas de números reales conforman un espacio vectorial que denotamos por R n, y que es equivalente a un espacio de puntos o de vectores donde los conjuntos ( 1,,, n ) representan las coordenadas de los puntos o las componentes de los vectores en relación a un dado sistema de referencia, de manera que cada elemento del conjunto puede ser también referenciado como un punto P, o como un vector p. Si D es un conjunto incluido en R n, toda relación f que hace corresponder a cada elemento de D uno y solo un número real f : D R es una función real de n variables independientes también denominada función real de variable vectorial, función de punto o campo escalar y que se suele escribir como z = f( 1,,, n ) o bien z = f(p) y también z = f(p) El conjunto D, también denominado conjunto de partida, es el dominio de la función. A cada elemento de D (punto o vector) corresponde un número real que se denomina imagen de ese punto a través de la función f. Todas las imágenes de los puntos del dominio conforman un conjunto de números reales que es el conjunto imagen, rango o recorrido de la función. El caso más sencillo es el de funciones de dos variables independientes que se ve a continuación, pero las propiedades de las mismas y los conceptos principales se pueden etender sin dificultad al caso de funciones de tres o más variables. II. Funciones reales de dos variables independientes Las funciones de dos variables se epresan usualmente como z = f(,y) donde f indica la serie de operaciones a que deben someterse las componentes del par (,y) para obtener el resultado z, por ejemplo: z = 4 + y + 3; z = ln(4 y ); z =.y ; etc. El conjunto de todos los pares (,y) que reemplazados en la definición de la función dan por resultado un número real para z, conforman un conjunto que se denomina campo de definición o dominio natural de la función. El dominio natural de z = 4 + y + 3 es todo el plano R que es un conjunto simplemente coneo y abierto. El dominio natural de z = ln(4 y ) es el conjunto D = {(,y) / + y < 4} porque sólo dan resultado real los logaritmos naturales de números positivos. Este conjunto, que también es simplemente coneo y abierto, se representa en la figura II.1(a) El dominio natural de la función z =.y es el conjunto D = {(,y) /.y 0}, está conformado por el primer y tercer cuadrante del plano y incluyendo a los ejes coordenados, ya que las raíces pares de números negativos no dan un resultado real. Este conjunto se representa en la figura II.1(b) Pag 1

y y (a) Figura II.1 (b) El dominio de una función puede restringirse a un subconjunto del dominio natural, ya sea porque la naturaleza del problema que involucra a la función así lo eige, o porque eisten otros condicionamientos, o porque se pretende estudiar la función en determinado subconjunto. Por ejemplo, si z = 10 / ( + y + 1) representa la temperatura en cada punto (,y) de una placa plana material, el campo de definición es todo el plano, pero si la placa es un círculo de radio a entonces el dominio debe restringirse a ese círculo ya que no tiene sentido la temperatura de la placa en puntos eteriores a la misma. II.3 Representación gráfica de la función de dos variables El conjunto de los puntos cuyas coordenadas son (,y,f(,y)) conforman, por lo general, una superficie en el espacio tridimensional que puede ser representada gráficamente utilizando la técnica de la perspectiva. En las figuras siguientes se puede observar la representación gráfica de las funciones básicas de dos variables. planos: la ecuación general de un plano es A + By + Cz = D donde A, B, C, D son números reales no todos nulos. Salvo que sean planos paralelos a los planos z o yz, siempre se puede despejar z = a + by + c planos paralelos a los planos coordenados: z = ; y = ; = (figura II. a,b.c) z z z y y (a) (b) (c) Figura II. Planos paralelos a los planos coordenados Pag 13

planos inclinados respecto de los tres ejes: z = 3 + y; z = -3 - y + 6 Una forma simple para efectuar la representación gráfica (y casi obligada cuando el punto (0,0,0) pertenece al plano), se tiene trazando las rectas que son intersección de plano dado con los planos coordenados z (y = 0) e yz ( = 0). En el caso de z = 3 + y estas rectas son z = 3 (en el plano z) y z = y (en el plano yz), todos los segmentos que tienen sus etremos en puntos de estas rectas pertenecen al plano dado. Ver figura II.3(a). En otros casos, como en z = -3 - y + 6, se puede simplificar la representación gráfica determinando la intersección del plano dado con los ejes coordenados ( 0,0,0); (0,y 0,0) y (0,0,z 0 ). El triángulo determinado por estos tres puntos pertenece al plano dado. En el caso de la función dada se observa que estos puntos son: (,0,0), (0,3,0) y (0,0,6). Ver figura II.3(b) z z (0,0,6) z=y z=3 z = 3 + y (a) y (,0,0) (b) (0,3,0) y z = -3 - y + 6 Figura II.3 Planos inclinados Superficies cilíndricas: cuando en la epresión de la función falta una de las variables, esto podría dibujarse como una curva en el plano de las dos variables que figuran en la ecuación, es decir para el valor cero de la variable faltante. Pero como la relación es válida para cualquier valor de la variable faltante, entonces la superficie está conformada por las infinitas curvas que se obtienen deslizando la primera en forma paralela al eje de la variable faltante. En la figura siguiente se muestran tres superficies de este tipo. El ejemplo es válido para planos que son paralelos a uno de los ejes coordenados. (a) z = 4 - (b) = cos(y) (c) figura II.4 Superficies cilíndricas z = y Pag 14

superficies de revolución: toda función de la forma z = f( + y ) tiene la particularidad de que es una función constante para todos los puntos (,y) que están a una misma distancia del eje z. En efecto, si caracterizamos esa distancia con la variable r, entonces + y = r y resulta z = f(r ). La superficie se puede obtener trazando en el plano yz la curva que resulta de poner = 0 en la función y luego haciendo rotar esta curva alrededor del eje z. Algunos ejemplos son z = + y ; z = cos ( + y ); z = ln( + y ); etc. En la figura siguiente se han graficado las dos primeras funciones indicadas (a) z = + y (b) z = cos( + y ) Figura II.5 Superficies de revolución superficies cuádricas: estas corresponden a ecuaciones de la forma A + By + Cz + D = 0 de las cuales se puede despejar a una de la variables como dos funciones opuestas de las restantes: y y z = c. ± 1± ± y z = c. ± 1± ± la utilización de los signos ± a b a b dentro del integrando indica que se deberá usar uno u otro dependiendo de los signos de A, B, C y D en la ecuación original. Estas superficies son simétricas respecto de los planos coordenados y del origen de coordenadas También son superficies cuádricas las que corresponden a ecuaciones de la forma A + By + Cz = 0, en las que z está claramente definida como una función implícita de e y que se puede despejar directamente : z = a + by. Estas superficies son simétricas respecto de los planos coordenados pero no respecto del origen de coordenadas Las ecuaciones y gráficas de los tipos generales de cuádricas se ven a continuación. y z elipsoide: + + = 1 a b c Cuando los semiejes a, b y c son iguales a = b = c = R se tiene un caso particular que corresponde a una superficie esférica de radio R: + y + z = R y z hiperboloide de una hoja: + = 1 a b c y z hiperboloide de dos hojas: + = 1 a b c Pag 15

y z cono elíptico: + = 0 a b c paraboloide elíptico: paraboloide hiperbólico: z = a z = a y + b y b elipsoide hiperboloide de una hoja hiperboloide de dos hojas cono elíptico paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico (silla de montar) Figura II.6 Líneas de contorno. Curvas de nivel: estas curvas ofrecen otro modo representar una superficie alabeada en el espacio tridimensional mediante un mapa plano. La intersección de la superficie z = f(,y) con un plano paralelo al plano y, es decir z = k, donde k pertenece al rango de f(,y), es una curva en el espacio denominada línea de contorno y conformada por el conjunto de puntos que satisface simultáneamente las ecuaciones z = f(,y) z = k La proyección de las curvas de contorno sobre el plano y son las curvas de nivel, dadas por las ecuaciones f(,y) = k. Cada curva de nivel es el subconjunto de puntos del dominio de la función para los cuales la función es constante. Mediante el estudio de las curvas de nivel se puede tener una idea bastante clara de la forma de la superficie: puntos más elevados o más sumidos, pendientes más pronunciadas, suaves o abruptas; pero para esto es imprescindible que cada curva tenga indicado el nivel al que Pag 16

corresponde. Algunos autores se refieren en forma indistinta al conjunto de curvas como curvas de nivel, curvas de contorno o mapa de contorno. En la figura siguiente se muestran las curvas de nivel correspondientes a un paraboloide de revolución. superficie líneas de contorno curvas de nivel Figura II.7 Las funciones de tres o más variables independientes no admiten una representación gráfica en el plano. En el caso de tres variables, w = f(,y,z), los conjuntos de puntos (,y,z) para los cuales el valor de la función es constante, responden a la ecuación f(,y,z) = k, que define a una de las variables como función implícita de las otras dos y se puede representar como una superficie en el espacio denominada superficie de nivel. II.4 Ejercitación 1. Para la función f(, y) = y + y determinar cada valor: a) f(,1) b) f(3,0) c) f(1,4) d) f(a,a 4 ) e) f(1/, 4 ) f) f(,-4) g) cuál es el dominio natural de la función?. Para la función g(,y,z) = sen(yz) determinar cada valor a) g(1,π,) b) g(,1,π/6) c) g(4,,π/4) d) g(π,π,π) 3. Determinar F(g(t), h(t)) si F(,y) =.y, g(t) = t.cost y h(t) = sec t En los ejercicios 4 a 8 bosquejar la gráfica de la función propuesta 4. f(,y) = 6 5. f(,y) = 6 y 6. f(, y) = 16 - - y 7. f(,y) = 3 y Pag 17

8. -( + y f(, y) = e ) En los ejercicios 9 a 11, bosquejar las curvas de nivel z = k para los valores de k indicados 9. z = ½ ( + y ) k = 0; ; 8 10. z = /y k = -4; -1; 0; 1; 4 + y 11. z = k = 0; 1; ; 4 + y 1. Sea T(, y) = + y + 1 la temperatura en un punto (,y) del plano. Trazar las curvas isotermas correspondientes a los valores T = 1/10; 1/5; 1/; 0 En los ejercicios 13 a 15, describir geométricamente el dominio natural de la función de tres variables indicada 13. f(,y,z) = + y + z -16 14. f(, y,z) = 144-16 - 9y -144z 15. f(,y,z) = ln( + y + z ) y 16. Dada la función f(, y) = bosquejar en un mismo gráfico el dominio natural y + y las curvas de nivel que pasan por los puntos (1,-) y (3,-4) Pag 18

Sección III Límite. Continuidad III.1 Concepto de Límite en funciones de varias variables Sea f(,y) una función con dominio D, y sea (a,b) un punto interior o un punto frontera de D. Se dice que f(,y) tiene el límite L cuando (,y) tiende a (a, b), y se escribe: lim f(, y) = L, si para cada ε positivo y tan pequeño como se quiera, eiste un δ-entorno (, y) (a,b) reducido del punto (a,b), 0 < (-a) + (y-b) < δ, tal que f(,y) - L < ε para todo (,y) que pertenece a D y está incluido en ese entorno. En el caso general de funciones de n variables independientes, se considera una función f(p) n con dominio D R y un punto Q, que es un punto interior o un punto frontera de D (significa que Q puede pertenecer o no a D, pero que cualquier entorno reducido de Q incluye puntos de D). Se dice que f(p) tiene límite L cuando P tiende a Q, y se escribe lim f(p) = L, si para cualquier ε positivo y tan pequeño como se quiera, se puede hallar un δ también positivo, tal que se puede mantener la relación f(p) - L < ε para todo P perteneciente a D cuya distancia, al punto Q es menor que δ pero no nula, es decir 0 < PQ < δ Este límite se denomina doble o simultáneo, ya que implica una aproimación de todas las variables independientes a las coordenadas del punto Q. Es importante tener en cuenta las siguientes consideraciones: El valor de la función en el punto Q no interesa. La función podría incluso no estar definida en el punto. Lo que interesa es el comportamiento de la función f(p) a medida que P se aproima a Q. P Q Para estudiar este comportamiento se pueden utilizar distintas trayectorias de aproimación hacia el punto Q que deben estar incluidas en el dominio de la función. Las trayectorias usuales son rectas o parábolas. Por ejemplo, en el caso de dos variables: y-b=m(-a), y-b= k(-a) o bien (-a)=k(y-b) Si el límite eiste debe ser único. Si por alguna de esas trayectorias el límite no eiste o para distintas trayectorias da valores diferentes entonces el límite simultáneo no eiste. Por esta razón, el estudio por diferentes trayectorias es utilizado fundamentalmente para demostrar la ineistencia del límite y no para su determinación. Las funciones polinómicas, como por ejemplo, f(,y) = a 3 + b y + cy + dy 3 + e tienen límite en cualquier punto del plano y ese límite coincide con el valor de la función en el punto. De las funciones racionales f(,y) = p(,y)/q(,y), donde p y q son polinomios, se puede asegurar que tienen límite, ecepto para los puntos donde el denominador se anula, ahí puede ser que el límite eista o no. Pag 19

Limites iterados o reiterados: Para el caso de dos variables se calculan del modo siguiente: L = lim lim f(, y) L 1 a a,y b = lim lim f(, y) y b y b, a Si ambos límites eisten y también eiste el límite doble o simultáneo L, entonces se verifica que L 1 = L = L Si los límites iterados eisten y son distintos, entonces el límite simultáneo no eiste. Si los límites iterados eisten y son iguales o si alguno de ellos no eiste, entonces no se puede afirmar nada acerca de la eistencia del límite simultáneo. Ejemplo 1: Calcular el límite, si eiste, de f(,y) = ( y ) /( + y) cuando (,y) tiende a (0,0). Desarrollando la diferencia de cuadrados del numerador y teniendo en cuenta que el término ( + y) es tan pequeño como se quiera pero no nulo, y que por lo tanto puede simplificarse, se llega al límite de una función polinómica y ( + y)( - y) lim = lim = lim - y = 0 (, y) (0,0) + y (, y) (0,0) + y (, y) ((0.0) Ejemplo : Demostrar que no eiste el límite de f(,y) = ( y ) / ( + y ) cuando (, y) (0,0). Calculamos los límites iterados y 0 L = lim lim lim 1 1 0 = 0,y 0 y 0 + 0 = y 0 y L = lim lim lim 1 + y 0 = = y 0, 0 y 0 0 + y + Los límites iterados eisten pero son distintos, por lo tanto el límite simultáneo no eiste Ejemplo 3: Demostrar que no eiste el límite de f(,y) = sen(.y)/( + y ) para (,y) (0,0) Se verifica que los límites iterados son iguales: L 1 = L = 0, pero esto no es garantía de la eistencia del límite simultáneo. Utilizando una aproimación por rectas y = m se tiene: sen(m ) m sen(m ) m lim f(, y) = lim f(,m) = lim = lim = (, y) (0,0) 0 0 0 (1+ m ) 1+ m m 1+ m El límite doble o simultáneo no eiste ya que la función tiende a un valor que depende de la inclinación de la recta utilizada. III. Continuidad en un punto Decir que una función f(p) es continua en un punto Po de su dominio, significa que cuanto más se aproima P a Po por cualquier trayectoria del dominio de la función, tanto más se aproima f(p) a f(po). En lenguaje matemático esto puede epresarse por: Lim f(p) = f(po) P Po. La función está definida en Po. El límite de la función cuando P tiende a Po por cualquier trayectoria incluida en el dominio de la función eiste. El límite es igual a f(po) Pag 0

III.3 Continuidad en un conjunto Una función es continua en un conjunto S, cuando es continua en cada uno de los puntos del conjunto. Por supuesto que si el conjunto S no está completamente incluido en el dominio natural de la función, entonces no será continua en S. Así, considerando la función f(, y) = + y se puede afirmar que no es continua en todo el plano, porque hay puntos del mismo donde no está definida. Es continua en todos los puntos del dominio natural D = {(,y): + y 0} incluyendo los puntos de la frontera, y entonces es continua en cualquier otro conjunto S que esté completamente incluido en D. Se ha visto anteriormente que la función f(,y) = ( y ) / ( + y ) no es continua en (0,0) porque no eiste el límite cuando (,y) tiende a (0,0), pero es sencillo probar que la función es continua en el conjunto S = {(,y): + y > 0} III.4 Teoremas sobre continuidad de funciones compuestas: si g(p) es una función de n variables continua en Po y f(u) es una función de una variable que es continua en u o = g(po), entonces la función compuesta de n variables F(P) = f(g(p)) es continua en Po. Por ejemplo sea g(p) = + y que es continua en todo R y sea f(u) = 1/u, que es continua para todo u ecepto u = 0. El teorema implica que la función 1/( + y ) es continua en todo R ecepto el origen de coordenadas (donde u = 0), pero cuidado que, aunque en este caso es evidente, no niega la continuidad en este punto, sólo afirma la continuidad en el resto de los puntos. Otro ejemplo: sea g(p) = y continua en todo el plano y f(u) = sen(u) también continua para todo u. Entonces la función F(,y) = sen(y) es continua en todo el plano. Si la función u = φ (,y) es continua en (a,b), siendo u o = φ (a,b), y la función v = ψ(,y) es continua en (a,b), siendo v o = ψ(a,b). Dada la función f(u,v) continua en (u o,v o ) se puede afirmar que la función compuesta F(,y) = f(φ(,y),ψ(,y)) es continua en (a,b). Por ejemplo sea φ(,y) = sen (y) continua en todo R, sea ψ(,y) = + y también continua en todo R y f (u,v) = u/v continua para todo (u,v) ecepto v = 0. El teorema implica que F(,y) = (sen(y))/(+y) es continua en todo R ecepto el origen de coordenadas, pero cuidado que no niega la continuidad en ese punto, sólo afirma la continuidad en los restantes. Este teorema se puede etender sin dificultad al caso de más de dos variables independientes. Si una función f(,y) es continua en ( o,y o ), entonces la función de una variable f (,y o ) es continua en o y la función de una variable f( o,y) es continua en y o. Esta propiedad se etiende a todos los puntos (,y) donde la función es continua. Sin embargo la propiedad recíproca no es válida, una función puede ser continua respecto de (con y constante), puede ser continua respecto de y (con constante), pero no ser continua respecto de (,y). Por ejemplo dada la siguiente función partida; 0 si (,y) = (0,0) f(,y) ( + y) /( - y) si (,y) (0,0) se observa que f(,0) es continua en = 0 porque lim f (,0) = f (0,0) = 0 del mismo modo se observa que f(0,y) es continua en y = 0 porque lim f (0, y) = f (0,0) = 0 0 y 0 Pag 1

Sin embargo la función f(,y) no es continua en (0,0). Para probar que el límite no eiste se considera una trayectoria y = g() = /(1+ m ) con m 0. (,y) + 1 m ( m ) f(, y) + + lim = limf(,g()) = lim = lim = (0,0) 0 0 0 - m(1+ m) 1+ m 4 m III.5 Superficies correspondientes a funciones continuas Si una función z = f(,y) es continua en un recinto esto significa que la superficie que la representa por encima de ese recinto se puede recorrer sin necesidad de dar saltos para pasar de un punto a otro. III.6 Ejercitación En los ejercicios 1 a 4 determinar el límite indicado o demostrar que no eiste 3 1. ( 3 y - y ) lim (,y) (1,3) [ ]. cos (y) - sen( y/3) lim (, y) (, π ) 3. lim (, y) (0,0) sen( + y ) 3 + 3y 4. lim (, y) (0,0) + y 4 4 - y En los ejercicios 5 a 9 definir el conjunto donde la función dada es continua 5. 3 + y - 5-1/ f(, y) = 6. f(, y) = ln(1- - y ) 7. f(, y) = (4 - - y ) + y + 1 8. f(, y) + 3y + y = 9. f(, y) = - y + 1 y - 10. Demostrar que no eiste 11. Demostrar que no eiste lim (, y) (0,0) lim (, y) (0,0) y + y y 4 + y (usar trayectorias de aproimación parabólicas) 1. Demostrar que y lim = 0 (,y) (0,0) + y 13. Determinar g() para que la siguiente función partida sea continua en todo el plano - 4y f(, y) = cuando y pero f(,y) = g() cuando = y - y Pag

14. Cada una de las funciones indicadas toma el valor que se deduce de su epresión cuando (,y) (0,0) pero se le asigna el valor 0 en (,y) = (0,0). Cuáles son continuas en (0,0) y cuáles son discontinuas en ese punto? a) d) f(, y) f(, y) y = b) + y - y = y e) + y f(, y) f(, y) y = c) + y y = f) 4 + y f(, y) f(, y) 7/3 = + y y = + y 4 Pag 3

Sección IV Derivadas y diferenciales IV.1 Derivadas parciales Derivada parcial respecto de Sea f(,y) una función con dominio D. Para cada punto P(,y) perteneciente a D eiste un valor de la función. Los tres valores (,y,f(,y)) pueden ser interpretados como las coordenadas de un punto en R 3. Si f(,y) es continua en un subconjunto S incluido en D, entonces los puntos (,y,f(,y)) pueden ser representados gráficamente en S como una superficie uniforme cuya proyección (sombra) sobre el plano y es justamente el subconjunto S. Si consideramos solamente los puntos (,y) para los cuales y = y 0, es decir los puntos (,y 0 ) del dominio, entonces la función es z = f(,y 0 ), una función de la variable únicamente que puede ser representada como una curva plana en R 3 cuyos puntos satisfacen simultáneamente las ecuaciones z = f(,y) y = y 0 y que, gráficamente, se interpreta como la intersección de la superficie z = f(,y) con el plano y = y 0. Dado que f(,y 0 ) es una función de una variable, en este caso, es posible calcular su derivada en un punto 0. Esta derivada se denomina derivada parcial de f(,y) en el punto ( 0,y 0 ) y, de acuerdo con la definición, es: f f(0 +,y0) - f( 0, y ) = f (, y ) lim 0 0 0 = 0 ( o, yo) Así, dada f(,y) = 3 y + y es f(,y 0 ) = 3 y 0 + y 0 para calcular la derivada parcial respecto de aplicamos las reglas conocidas de derivación para funciones de una variable f resultando: = 6y0 + y0 y entonces f ( 0,y 0 )= 6 0 y 0 + y 0 (, yo) La derivada parcial respecto de de una función f(,y) es también una función de las mismas variables, f (,y), que se calcula considerando que en f(,y) y es una constante, que la única variable independiente es, y aplicando las reglas de derivación para funciones de una variable. Así resulta para la función f(,y) = 3 y+y que f/ = f (,y) = 6y + y Pag 4

Derivada parcial respecto de y De modo análogo, si se consideran solamente los puntos (,y) para los cuales = 0, es decir los puntos ( 0,y) del dominio, entonces la función es z = f( 0,y), una función de la variable y únicamente que puede ser representada como una curva plana en R 3 cuyos puntos satisfacen simultáneamente las ecuaciones z = f(,y) = 0 y que, gráficamente, se interpreta como la intersección de la superficie z = f(,y) con el plano = 0. Dado que f( 0,y) es una función de una variable, y en este caso, es posible calcular su derivada en un punto y 0. Esta derivada se denomina derivada parcial de f(,y) en el punto ( 0,y 0 ) y, de acuerdo con la definición, es f f( 0, y0 + y) - f(0, y ) = f (, y ) lim 0 y 0 0 = y y 0 y ( o, yo) Así, dada f(,y) = 3 y + y es f( 0,y) = 3 0 y + 0 y para calcular la derivada parcial respecto de y aplicamos las reglas conocidas de derivación para funciones de una variable f resultando: = 30 + 0y y y entonces f y ( 0,y 0 )= 3 0 + 0 y 0 (o, y) La derivada parcial respecto de y de una función f(,y) es también una función de las mismas variables, fy(,y), que se calcula considerando que en f(,y) es una constante, que la única variable independiente es y, y aplicando las reglas de derivación para funciones de una variable. Así resulta para la función f(,y) = 3 y+y que f/y = f y (,y) = 3 + y Interpretación geométrica de las derivadas parciales Al igual que en el caso de funciones de una variable, f ( 0,y 0 ) es la pendiente de la recta tangente a la curva z = f(,y 0 ) en el punto 0 como se puede observar en la figura. Los puntos de esta recta son los que verifican simultáneamente las ecuaciones z z 0 = f ( 0,y 0 ).( - 0 ) y = y 0 Para obtener las ecuaciones paramétricas de esa recta tangente paralela al plano z elegimos como parámetro t = - 0 con lo cual resultan las siguientes ecuaciones: Pag 5

= 0 + t y = y 0 z = f( 0,y 0 ) + f ( 0,y 0 ).t Análogamente, f y ( 0,y 0 ) es la pendiente de la recta tangente a la curva z = f( 0,y) en el punto y 0 como se puede observar en la figura. Los puntos de esta recta son los que verifican simultáneamente las ecuaciones z z 0 = f y ( 0,y 0 ).(y - y 0 ) = 0 cual resultan las siguientes ecuaciones : = 0 y = y 0 + t z = f( 0,y 0 ) + f y ( 0,y 0 ).t Para obtener las ecuaciones paramétricas de esa recta tangente paralela al plano yz elegimos como parámetro t = y - y 0 con lo Una simple interpretación física Sea un volumen V de un gas encerrado en un cilindro que está tapado por un émbolo de peso despreciable. Si el comportamiento del gas se aproima al de los gases ideales y hay n moles del mismo dentro del cilindro, entonces p.v = n.r.t donde R es la constante de Raoult: R = 8.31 J/K.mol n es la cantidad de moles, constante dado que se considera que no hay escape ni incorporación de gas en el cilindro V es el volumen medido en m 3 p es la presión en el seno del gas. p a es la presión atmosférica media = 1,013.10 5 Pa T es la temperatura absoluta del gas medida en K Si el émbolo, de peso despreciable, puede desplazarse libremente entonces, dadas las condiciones antes mencionadas, debe ser p = p a y la ecuación de estado del gas encerrado es p a.v = nrt. La derivada parcial del volumen respecto de la temperatura, con presión constante es V/T p=pa = n.r/p a. Este número indica la razón de cambio del volumen respecto de la temperatura cuando la presión es constante e igual a p a. Supóngase ahora que se traba o inmoviliza el émbolo cuando el volumen del gas alcanza un dado valor V o. La ecuación de estado del gas a partir de ese momento es entonces p.v o = nrt. La derivada parcial de la presión respecto de la temperatura con volumen constante es p/t V = V0 = nr/v o. Este número indica la razón de cambio de la presión respecto de la temperatura cuando el volumen es constante. Pag 6

Derivadas parciales en funciones de tres o más variables independientes El concepto de derivada parcial se etiende sin dificultad funciones de más de dos variables independientes. Así, para el caso de tres variables es f f( +, y0,z0) - f(,y0,z ) = f (,y,z ) lim 0 0 0 = 0 (, yo,zo) y en forma análoga para las otras dos derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Por lo general las derivadas parciales de una función f(,y) son también funciones de las mismas variables independientes y, como tales, admiten a su vez derivadas parciales que se denominan derivadas parciales segundas, terceras, y así sucesivamente. La notación para las derivadas de orden superior y la forma en que crece la cantidad posible de derivadas a medida que aumenta el orden de derivación se ve a continuación: 3 f/ 3 = f f/ = f 3 f/ y = f y f/ = f 3 f/y = f y f/y = f y 3 f/y = f yy f(,y) 3 f/y = f y f/y = f y 3 f/yy = f yy f/y = f y 3 f/y = f yy f/y = f yy 3 f/y 3 = f yyy Por supuesto que algunas funciones tienen derivadas nulas para algún orden de derivación. Por ejemplo f(,y) = + 3y tiene primeras derivadas constantes y segundas derivadas nulas. Pero aún en el caso de funciones continuamente derivables, no todas las derivadas de orden n son distintas entre sí. Así por ejemplo si f(,y) = ( + y) -1 resulta f = -( + y) - f = ( + y) -3 f y = 4( + y) -3 f y = -( + y) - f yy = 8( + y) -3 f y = 4( + y) -3 Se observa que las derivadas segundas f y y f y, denominadas derivadas segundas cruzadas o mitas, son iguales. Este resultado no es casual sino que se da siempre bajo las condiciones epresadas en el siguiente teorema Teorema de Schwartz: Si las derivadas f y y f y son continuas en un conjunto abierto S, entonces son iguales en cada punto de S El teorema, bajo las condiciones eigidas, implica la igualdad de todas las derivadas mitas n f/ m y n-m sin importar el orden en que se calculan las derivadas sucesivas. También es válido para el caso de funciones de más de dos variables independientes, es decir que, por Pag 7

ejemplo, son iguales todas las derivadas mitas n f/ p y q z n-p-q de una función de tres variables. IV. Diferenciabilidad Aproimación lineal en funciones de una variable Sea f() una función de una variable real que es derivable en en un punto 0 y en un entorno del mismo. Por el teorema del valor medio es f = f ( 0 + θ. ). donde θ es un número comprendido entre 0 y 1 Dado que se supuso f() derivable en un intervalo abierto que incluye a 0, f () es continua en ese intervalo entonces la diferencia f ( 0 + θ. ) - f ( 0 ) = ε( ) es un infinitésimo para tendiendo a cero. De aquí podemos despejar f ( 0 + θ. ) = f ( 0 ) + ε( ) y reemplazarlo en la epresión anterior f = f ( 0 ). + ε( ). El segundo miembro del incremento consta de dos partes. La segunda parte es un infinitésimo de orden superior al primero; significa que a medida que tiende a cero se hace despreciable frente al primero. La primera parte es la parte principal del incremento y se denomina diferencial de la función y se escribe df = f ( 0 ).d. El incremento de la variable independiente se escribe indistintamente d o, ya que la diferencial de una variable independiente coincide con su incremento. Lo anterior indica que en un pequeño entorno de 0, el incremento de la función puede ser aproimado por su diferencial f df = f ( 0 ). Como así también la función misma puede ser aproimada por una función lineal f() f( 0 ) + f ( 0 ).( 0 ) que es la recta tangente a la gráfica y = f() en el punto 0. Aproimación lineal en funciones de dos variables. Diferenciabilidad En consonancia con lo anterior, se dice que una función de dos variables es diferenciable en el punto ( 0,y 0 ) de su dominio, cuando su incremento a partir de ese punto puede epresarse fundamentalmente como una combinación lineal de los incrementos de las variables independientes, es decir cuando: f = f( 0 +, y 0 + y) - f( 0, y 0 ) = A. + B. y + ε 1 (, y). + ε (, y). y donde A y B son constantes, ε 1 (, y) y ε (, y) son infinitésimos para (, y) tendiendo a (0,0). Si una función es diferenciable en un punto ( 0, y 0 ) entonces es continua en ese punto En efecto, a partir de la definición de diferenciabilidad es inmediato que lim f(, y) = f(0, y0), el límite eiste y es igual al valor de la función en el punto. (, y) ( 0,y0 ) La propiedad recíproca no siempre es verdadera, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en ese punto. Si una función es diferenciable en un punto ( 0, y 0 ) entonces tiene derivadas parciales Pag 8