Tea 6. Oscilaciones de sisteas con varios grados de libertad Priera parte: Sistea de dos asas un uelle. Ecuaciones del oviiento Nuestro sistea está forado por dos asas, en general diferentes,, unidas por un uelle de constante recuperadora longitud en reposo L. Definios sus posiciones a través de las coordenadas x x referidas a un sistea de ejes fijos, no estando definidas respecto al punto de equilibrio coo se realizaba hasta ahora. Las ecuaciones del oviiento son donde, d x ( ) + x x L F d x ( ) + x x L F F F son las fuerzas exteriores que actúan sobre cada una de las asas. aos a suponer que el capo exterior es constante, es decir, la aceleración producida por la fuerza exterior es la isa para cada asa F F g Entonces, el oviiento del centro de asa del sistea el oviiento relativo de las asas quedan desligados entre sí, pueden estudiarse independienteente. El oviiento del sistea será la sua de los oviientos del centro de asa relativo.. Moviiento del centro de asa La posición del centro de asa es x + x xc + satisface la ecuación del oviiento d x c d x d x + + ( F+ F) ( g + g ) g + + Es decir, el centro de asa se ueve bajo la acción exclusiva del capo exterior. No se ve influido por la fuerza elástica del uelle.
Integrando esta ecuación obteneos la velocidad del centro de asa c c, + gt su posición xc xc, + c,t + gt una vez conocidos los datos iniciales de velocidad posición x, + x, xc, + c, +,, + Coo el capo exterior es conservativo, la energía del centro de asa se conserva en el tiepo, definida por la sua de la energía cinética del centro de asa de su energía potencial Ec ( + ) c ( + ) gxc toando coo referencia de la energía potencial el origen de coordenadas. 3. Moviiento relativo La posición relativa de las asas queda definida por la coordenada x x x x satisface la ecuación del oviiento d x d x d x + ( x L ) µ donde µ es la asa reducida del sistea, definida por µ + ( x x L ) La solución general del oviiento relativo es un MAS x L + Acos t + φ de frecuencia de oscilación ( ) µ aplitud A fase inicial φ, que quedan definidos por las condiciones iniciales x x, x, L + Acosφ dx,, Asinφ
de donde se obtiene fácilente,, A ( x, x, L) + arccos x x φ L A,, Coo todo MAS, el oviiento relativo conserva su energía, sua de la energía cinética relativa energía potencial elástica 4. Conclusión dx E ( ) µ x L A + Para estudiar un sistea de dos asas un uelle en un capo exterior constante, lo ás conveniente es dividir el oviiento en dos contribuciones que conservan la energía por separado, el oviiento del centro de asa en el capo exterior constante (oviiento uniforeente acelerado) el oviiento relativo sobre el que actúa sólo la fuerza elástica (MAS). Una vez hecho esto, el oviiento general del sistea se obtiene coo sua de estos dos de la fora siguiente. Teneos que despejar las coordenadas x x de las definiciones de centro de asa posición relativa + x x + x ( ) x x x resultando para la posición de la asa para la posición de la asa c x xc + x + x xc x + Por últio, introduciendo la dependencia teporal para x c x obteneos x x + t + gt + L + A t + ( cos( φ) ) c, c, + x x + t + gt L + A t + ( cos( φ) ) c, c, +
Probleas Resueltos 7. Un uelle ideal de asa despreciable, constante recuperadora longitud natural L unido en sus extreos a dos asas puntuales M, se encuentra suspendido del techo por el extreo de la asa. En el instante t, se suelta la asa de fora que el sistea cae por acción de la gravedad peraneciendo siepre el uelle en posición vertical. a) Escribir las ecuaciones del oviiento de cada una de las asas, la ecuación de oviiento del centro de asa, la ecuación que describe la variación teporal de la elongación del uelle b) Calcular la frecuencia de oscilación del sistea c) Resolver las ecuaciones para las posiciones de las asas t t > x M M x Toaos un sistea de referencia ligado al techo, siendo x x las posiciones de las asas M respecto al techo. Así, la gravedad actúa en la dirección del oviiento se toa con signo positivo. Las ecuaciones del oviiento son d x M ( x x L) + Mg d x ( x x L) + g de donde obteneos, de acuerdo con lo expuesto en la parte teórica, la ecuación para el oviiento del centro de asa d x c d x d x M + + M ( g + Mg) g + M con la solución a conocida xc xc, + c,t + gt una vez conocidos los datos iniciales de velocidad posición
x c, c, Mx + x M + M + M +,,,, La ecuación de oviiento para la elongación del uelle x x x está dada por d x d x d x x x L x L + M µ donde µ es la asa reducida del sistea, definida por µ M + con la solución conocida x L + Acos t + φ ( ) ( ) ( ) siendo la frecuencia de oscilación de las asas respecto del centro de asa, dada por la expresión + µ M Adeás, la aplitud A fase inicial φ están relacionadas con los datos iniciales en la fora,, A ( x, x, L) + arccos x x φ L A,, Las posiciones de las asas pueden expresarse en función de la coordenada del centro de asa de la coordenada de la posición relativa, a través de las ecuaciones x xc + x M + M x x x c M + Introduciendo las soluciones teporales halladas anteriorente para obteneos la solución del sistea x xc, + c,t + gt + ( L + Acos( t + φ) ) M + M x xc, + c,t+ gt ( L + Acos ( t+ φ) ) M + x c x,
Sólo nos falta calcular cuáles son las condiciones iniciales para las posiciones de las dos asas, el problea quedará resuelto. Inicialente, la asa está en reposo unida al techo, por lo cual x,, la asa M se encuentra en equilibrio en el otro extreo del uelle. Es decir, la fuerza elástica debe contrarrestar inicialente su peso: x L Mg con lo cual (, ) x Mg L +,, De aquí, obteneos x c, c, M Mg L + M + Mg A φ arccos º Por tanto, las posiciones de las asas en el instante t arbitrario están dadas por sus coordenadas de posición respecto del techo M Mg Mg x L + + gt + L + cos t M + M + µ g M L + + cost + gt M Mg M Mg x L + + gt L + cost M + M + µ gm ( cost) + gt
7. Dos asas 3 /4 unidas por un uelle de constante elástica se encuentran en equilibrio reposo sobre un suelo horizontal. Se lanza una asa 3 /4 con velocidad en la dirección del eje que une las asas de anera que choca con se adhiere a ella. Despreciando el rozaiento, calcular la aplitud el período con que oscilan las asas después del choque. En el choque se conserva el oento lineal, pero no la energía cinética. Sin ebargo, la energía cinética incidente se transfora en energía cinética del sistea (energía cinética del centro de asa) en energía interna (energía elástica alacenada por el uelle). Por tanto, después del choque, el sistea se overá con una velocidad del centro de asa c oscilará en torno al centro de asa con una aplitud A, debiéndose satisfacer la le de conservación del oento lineal 3 c 4 + + 4 4 la le de conservación de la energía del sistea 3 c A 4 + + + 4 4 Obteneos c 8 A 7 3 Por últio, de la teoría general, sabeos que la frecuencia de oscilación de un sistea de dos asas un uelle está dada por µ siendo µ la asa reducida del sistea µ + con lo cual el período del oviiento de oscilación respecto del centro de asa es π T π
7.3 Dos asas, unidas por un uelle de constante elástica pueden deslizar sin rozaiento por un plano horizontal estando la asa apoada sobre una pared vertical. Manteniendo la asa apoada contra la pared vertical se desplaza la asa hasta que el uelle se coprie una distancia d. Si desde esta posición se libera al sistea, calcular a) La distancia que se ha desplazado la asa cuando la asa se epieza a over b) La velocidad del centro de asa a partir de ese instante c) La aplitud de oscilación de la posición relativa de las asas a partir de ese instante En el instante inicial el uelle está copriido la fuerza elástica creada tiende a separar las dos asas. La asa se aleja de la pared, sobre la asa actúa la noral en la pared, copensando la fuerza elástica de fora que se antenga apoada contra la pared. Una vez que la asa se ueve una distancia d alejándose de la pared, el uelle epieza a estirarse así, la fuerza elástica tiende a acercar a las asas, provocando el oviiento de. Por tanto, cuando se ueve una distancia d, la asa epieza a overse. Una vez que abas asas están en oviiento, podeos utilizar los resultados obtenidos para el oviiento de dos asas unidas a un uelle, sin la presencia de un capo externo. La velocidad del centro de asa es constante, el oviiento del centro de asa es unifore, la oscilación respecto del centro de asa se produce con una frecuencia µ siendo µ la asa reducida del sistea 3 µ + ó µ 3 Sea t el instante en el que la asa se pone en oviiento. Esto es, es el instante a partir del cual el oviiento del sistea puede definirse coo la cobinación del oviiento unifore del centro de asa ás la oscilación libre respecto del centro de asa. Si en este tiepo, las posiciones velocidades de las asas respecto a un sistea ligado a la pared son respectivaente, x,, x,,,,, entonces la velocidad del centro de asa la aplitud de oscilación están dadas por (según lo visto en la parte teórica), +, c, 3
,, A ( x, x, L) + Por tanto, para resolver el problea sólo teneos que deterinar las posiciones velocidades de las asas en el instante t. Para la asa es fácil a que se encuentra en reposo junto a la pared: x,, Para la asa, debeos conocer su le de oviiento antes de que se ueva. Antes del instante t, sobre actúa la fuerza elástica de un uelle de constante, con un extreo fijo en la pared, a través de. Coo parte del reposo, cuando el uelle está copriido una distancia d, su posición respecto de la pared antes de t viene dada por x L dcost siendo la frecuencia de oscilación libre del uelle cuando sólo actúa sobre Su velocidad viene dada por dx dsint De aquí, a podeos obtener la posición velocidad de la asa en el instante t, cuando el uelle alcanza su longitud natural, coienza a estirarse. En ese instante x, L con lo cual cos t sen t d, Conocidos a los datos iniciales, la velocidad del centro de asa es c d d 3 3 la aplitud de oscilación es A d Coo se puede coprobar en este ejeplo, la energía no se conserva. Inicialente, la energía es igual a la energía elástica de copresión Ei d cuando la asa se pone en oviiento, la energía es sua de la energía cinética del centro de asa, la energía elástica del centro de asa
5 Ef 3 d d d d d 3 + + 3 6 El defecto de energía (cinética en este caso) es igual al trabajo de la fuerza noral en la pared sobre el sistea, necesario para antener en reposo a la asa durante el oviiento inicial de la asa. 7.4 Un uelle de constante, al que está enganchado una asa M cuelga verticalente estando el sistea en equilibrio. Una partícula de asa con una velocidad golpea desde abajo a la asa M. Deterinar la aplitud del oviiento subsiguiente después del choque suponiendo que éste es elástico o totalente inelástico (las asas quedan unidas). Cuando el choque es elástico se conserva el oento lineal la energía. Si v son las velocidades de M después del choque, se satisface M + v v+ M Resolviendo estas ecuaciones obteneos la velocidad con que sube inicialente la asa M + M Ya que se produce en el punto ás bajo de la traectoria, esta es la velocidad áxia del oviiento de M. La energía cinética correspondiente será la energía cinética áxia del oviiento debe coincidir con la energía potencial elástica áxia (nos olvidaos de la energía potencial gravitatoria, a que nos referios a desplazaientos respecto del punto de equilibrio). Por tanto, la aplitud A satisface A M ó M M A M + Cuando el choque es totalente inelástico, sólo se conserva el oento lineal, la velocidad de abas asas después del choque satisface + M ( ) M + Sin ebargo, ahora la posición de equilibrio no es la isa antes después del choque. Toando coo referencia el nuevo punto de equilibrio, la energía total después del choque, es decir, la energía cinética después del choque ás la energía potencial elástica respecto del nuevo punto de equilibrio, es igual a la energía potencial elástica áxia. Por un lado, el punto de equilibrio se encuentra a una distancia
g del punto de equilibrio inicial ( l L ) Mg Entonces, la aplitud de oscilación de abas asas satisface en este caso de donde obteneos g ( + M) + A g A + ( + M) g Problea Propuesto 7.5 Dos asas longitud natural L, se sitúan de fora vertical. En el equilibrio, la asa, unidas por un uelle de constante elástica está en contacto con el plano horizontal, la asa se encuentra en equilibrio a una cierta altura H e. Se desplaza hacia abajo la asa hasta que se encuentra a una altura H, se abandona el sistea sin velocidad inicial. Deterinar a) La altura inicial de equilibrio H e de la asa b) El valor áxio de H para que la asa despegue del suelo c) La posición velocidad de la asa cuando despega la asa, suponiendo que se satisface el apartado b d) La posición del centro de asa en cualquier instante, una vez que despega Solución: g a) He L 4g b) H < L g z, L + c) g 9g, H L + g H L + / d) zc z, +,t gt 3 3