Matrices.
Elementos de una matriz. Renglón. Columnas. A=[a ij ] A-Nombre de la matriz. a-número. i-renglón. j-columna. i j-orden de la matriz.
Ejercicio. Indica el orden de la matriz. Indica el valor de los elementos. a 21= a 22= a 33= a 43= a 34= a 13=
Diagonal Principal. La matriz tiene que ser cuadrada. En ella se encuentran: Diagonal principal. a 11 a 22 a 33 a nn
Tipos de matrices.
Matriz cuadrada. 2 2 De orden 2 3 3 De orden 3 Tiene el mismo número de renglones y columnas. i=j=n
Matriz renglón. De orden 1 4 Solo hay filas. Matriz de orden 1 n.
Matriz columna. B= De orden 3 1 Solo hay columnas. Matriz de orden n 1
Matriz escalar. A=[3] A=3 De orden 1 1 De orden 1 1 Solo es un número. Se quitan corchetes.
Matriz cero. Todos los elemntos son cero.
Matriz diagonal. Matriz cuadrada. De orden "n". Diagonal principal es diferente a cero.
Matriz identidad. Matriz diagonal. De orden "n". Elementos distintos de cero son 1. Se denota como In # de orden identidad.
Matriz triangular superior. A= Matriz cuadrada. De orden "n". i>j Los elementos son cero abajo de la diagonal principal.
Matriz triangular inferior. A= Matriz cuadrada. De orden "n". i<j Los elementos son cero arriba de la diagonal principal.
Matriz simétrica. Matriz cuadrada. De orden "n". Los elementos a ij =a ji.
Matrices iguales. Son iguales. Tienen el mismo orden. Sus elementos son iguales.
Determina los siguientes valores. Ejercicios.
Operaciones con matrices.
Multiplicación o división por un escalar. Normal: A=[a ij ] Multiplicado por un escalar (x): xa=[xa ij ] Dividiendo por un escalar (x): A/2=[a ij /2] Cada elemento de la matriz se multiplica o divide por el escalar. Escalar.
Ejercicios. Determina. 5A= B/2= -C=
Suma o resta. Solo pueden sumarse o restarse si tienen el mismo orden. Se hace sumando o restando los elementos correspondientes.
Ejercicios. A+B= A-B= 2A-B/2=
Ecuaciones.
Multiplicación de matrices. El número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de renglones de la matriz B. A B=C A=[a ij ] de orden m n B=[b ij ] de orden n p C=[c ij ] de orden m p
Ejercicios. A³= B²= AB=
Ecuaciones de 2 o más variables. Forma normal. 2x+3y=7 3x-y=5 Con matrices. 11x=22 X=22/11 X=2 3(2)-y=5 y=1 Se obtiene buscando convertir esa matriz a matriz identidad.
Método de Gauss-Jordan. 1.-Tomas la primera columna. 2.-Buscas convertir el uno. Tienes dividir todo el renglón entre el número que deseas convertir en uno. 3.-Buscas convertir los ceros Tienes que multiplicar el renglón en donde ya hay un uno por el número que quieres convertir en cero cambiándole el signo y se lo sumas a todo el renglón en donde está el cero. 4.-Tomas la segunda columna 5.-Buscas convertir el uno 6.-Buscas convertir los ceros 7.-Sigues hasta acabar con la matriz y convertirla en identidad. R1 2 R1(-3)+R2 R2(-11/2) R2(-3/2)+R1 Matriz identidad: X Y
Ejercicios. p-q+r-s=3 p+q+r+s+5=0 p-3q=r+s+9 1+p+q-r+s=0 Si da: Infinito de puntos. No tiene solución.
Matriz inversa. Al multiplicarla la matriz original por la matriz identidad se crea la inversa. R1(-2)+R2 R2 7
Ejercicios.
Determinante de una matriz.
2 2. Este método solo sirve para matrices de orden 2
Método de Sarrus. 1.-Copia los dos primeros renglones abajo. 2.-Se empieza desde la diagonal principal. 3.-Hasta acabar con las diagonales. 4.-Y luego de derecha a izquierda hasta acabar con las diagonales. -62-267= -329 (6)(-4)(7)= -168 (-3)(5)(-6)= 90 (2)(1)(8)= 16 (-6)(-4)(2)= 48 (8)(5)(6)= 240 (7)(1)(-3)= -21 = -62 = 267
Método de cofactores. Tomas el primer renglón y el primer numero de la columna. Dejas un determinante vacío. Primer renglón segunda columna ( pones el signo que le toca ). Determinante vacía. Eliminando el primer renglón y el numero en donde lo tomas y copias la matriz en la determinante vacía. Resuelves. + - + - + - - + - + - + + - + - + - - + - + - + + - + - + - - + - + - +
Ejercicios.
Solución de ecuaciones. Utilizando determinantes.
Regla de Cramer. Para resolver el siguiente sistema 6x-y=-2-3x+2y=7 Se crea una matriz con los coeficientes de las variables ordenadas 6-1 A= -3 2 Y se obtiene el determinante A = 12-3=9 Se crean tantas matrices adicionales como variables vaya sustituyendo las columnas de la variable correspondiente por los términos independientes -2-1 Ax = 7 2 Variable x y columna x sustituidas Se obtiene el determinante Ax = -4+7 = 3
6-2 Ay = -3 7 Ay = 42-6= 36 Se dividen los determinantes de la siguiente forma para obtener el valor de las variables Ax Ay X= A y= A 3 1 36 X= 9 = 3 y= 9 = 9 Comprobación 1 6 3-4 = -2 1 3 3 +2(4) =7
A través de la matriz inversa 6x y = -2-3x + 2y = 7 6-1 x -2-3 2 y 7 A X = C A-1 Ax = A-1C Ix = A-1C x = A-1C 6-1 1 0 R1 6 A= -3 2 0 1 1-1/6 1/6 0 0 3/2 1/2 1 R2 (2/3) 1-1/6 1/6 0-3 2 0 1 R1(3)+R2 1-1/6 1/6 0 R2(1/6)+R1 0 1 1/3 2/3 1 0 2/9 1/9 0 1 1/3 2/3
Matriz inversa a través de la matriz adjunta y el determinante 1 A-1 = A adj A adj A = Ac t matriz transpuesta Matriz adjunta matriz de cofactores
Obtenga B-1 Usando la adjunta y B 2 1 B = 4 6 1 6-1 B-1= 8-4 2 bc11 = +(2) B = 8 bc12 = -(1) bc13 = -(4) bc22 = +(6) + - Bc = - + 6 1 adj B= -4 2 6-4 cambias Bc = -1 2
Obtenga las matrices inversas usando adjuntas y determinantes -3 2 C= 9-6 C = 0 1 2 3 D= 4 4 6 3 2 3 D = 0