Ing. Rubén Darío Estrella, MBA

Septiembre 2014 Ing. Rubén Darío Estrella, MBA Cavaliere dell ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro rubendarioestrella@hotmail.com / rubenestrella@atalayadecristo.org www.atalayadecristo.org

En muchas ocasiones prácticas, el ritmo al que una cantidad cambia respecto a otra no suele ser constante, es decir, la expansión o contracción puede fluctuar, entonces es preferible representar estas situaciones a través de instrumentos matemáticos no lineales como la Parábola, la Hipérbola, la Elipse o la Circunferencia. Sobre todo las porciones de ellos que se enmarcan dentro del primer cuadrante del Sistema Cartesiano.

Ecuación Centro (h,k) y radio r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Si el centro es el origen x 2 + y 2 = r 2 Forma General x 2 +y 2 +Dx+Ey+F =0 (x+d/2) 2 +(y+e/2) 2 =(D 2 +E 2-4F)/4 (D 2 +E 2-4F) > 0 es una circunferencia. Centro (-D/2, -E/2) Radio r = ½ (D 2 +E 2-4F)

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b (x-h) 2 /a 2 + (y-k) 2 /b 2 = 1 Ax 2 +By 2 +Dx+Ey+F =0

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b (x-h) 2 /a 2 - (y-k) 2 /b 2 = 1 Ax 2 -By 2 +Dx+Ey+F =0

En una función lineal la variable dependiente y cambia en proporción directa con el cambio de la variable independiente x. La pendiente de una función lineal es la tasa constante de cambio de la variable dependiente si la variable independiente se acrecienta una unidad. En las funciones no lineales, la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción directa o exacta con los cambios de la variable independiente. Por ejemplo si verificamos el comportamiento de la siguiente función nos podremos dar cuenta: Y = f(x) = x²

x y x y 0 0 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 3 9 1 5

Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes. b) Hacer el gráfico. c) Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar beneficio? d) Qué precio corresponde a la utilidad máxima?

Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. Comience estableciendo la relación deseada en palabras: Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete) U = q * bu bu = Pu - Cu Cu = US$2 Pu = Cu + bu Pu = Cu + (Cu*150%) = 2 + 3 = US$5 Bu = x 2 Utitlidad por casete

Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. Comience estableciendo la relación deseada en palabras: - Como el propósito es expresar la utilidad como una función del precio, la variable independiente es el precio y la variable dependiente es la utilidad. Sea x el precio al cual se venderá cada casete y U(x) la utilidad mensual correspondiente. - Se sabe cada mes se venden 4,000 casetes cuando el precio es US$5 y que se venderán 400 casetes menos cada mes por cada aumento de US$1 en el precio. Podríamos expresar el aumento con: x 5 Cantidad vendida = 4,000 400 (x - 5) m = (6-5)/(3600-4000) q = 4,000 400x + 2,000 m = 1/-400 q = 6,000 400x 1/-400(x-4000) = (y-5) q = (400) (15 x) x 4000 = - 400y + 2000 x + 400y 6000 = 0 x = 6000 400y x = (400) (15-y)

Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. Cantidad vendida = 4,000 400 (x - 5) q = 4,000 400x + 2,000 q = 6,000 400x q = (400) (15 x) Bu = x 2 Utitlidad por casete Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete) U = (6,000 400x) * (x 2) = -400x²+6,800x-12,000 Ax 2 +Bx+C=0 U = (400) * (15-x) * (x 2)

x U(x) 2 0 3 4,800 4 8,800 5 12,000 6 14,400 7 16,000 8 16,800 9 16,800 10 16,000 11 14,400 12 12,000 13 8,800 14 4,800 15 0

Utilidad Función de Utilidad U=(400)*(15-x)(x-2) 18,000 16,000 14,000 12,000 10,000 8,000 Función de Utilidad U=(400)*(15-x)(x-2) 6,000 4,000 2,000 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Precio

Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. c) Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar beneficio? El intervalo o margen de tolerancia sería [2 < x < 15], es decir, que si se desea beneficio se tendrá que vender a un precio mayor que US$2 y menor que US$15. Y = Ax² + Bx + C Función Cuadrática -400x²+6,800x-12,000 X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática = -6,800 ± (6,800)² - 4*(-400)*-12000 2A 2 * (-400) X1 = (- 6,800 + 5200)/-800 = 2 X2 = (-6,800-5,200)/-800 = 15

Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. d) Qué precio corresponde a la utilidad máxima? La gráfica es la parábola que abre hacia abajo. La utilidad máxima ocurrirá en el valor de x que corresponde al punto más alto en la gráfica de utilidad. Este es el vértice de la parábola del cual se sabe que ocurre cuando U = (6,000 400x) * (x 2) = -400x²+6,800x-12,000 Y = Ax² + Bx + C Función Cuadrática X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática 2A

Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. d) Qué precio corresponde a la utilidad máxima? U = (6,000 400x) * (x 2) = -400x²+6,800x-12,000 Y = Ax² + Bx + C Función Cuadrática X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática 2A Si A < 0, la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la función cuadrática tiene un valor máximo igual a C (B²/4A) cuando x = -B/2A. x = -B = -6,800 = US$8.5 2A 2(-400) La utilidad se maximiza cuando el fabricante cobra US$8.5 por cada casete, y la utilidad máxima mensual es: U = -400x²+6,800x-12,000 U = -400(8.5)² + 6,800(8.5) - 12,000 = US$16,900

Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada US$1 de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes. b) Hacer el gráfico. c) Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar beneficio? d) A qué precio se optimizarán los beneficios?

Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes. Comience estableciendo la relación deseada en palabras: Utilidad = (cantidad vendida) * (utilidad por artículo) U = q * bu Cu = US$3 Bu = Pu Cu = 15-3 = US$12 Bu = x 3 Utitlidad por artículo Como el propósito es expresar la utilidad como una función del precio, la variable independiente es el precio y la variable dependiente es la utilidad. Sea x el precio al cual se venderá cada casete y U(x) la utilidad mensual correspondiente.

Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes. Comience estableciendo la relación deseada en palabras: Se sabe cada mes se venden 200 artículos cuando el precio es US$15 y que se venderán 20 artículos más cada mes por cada disminución de US$1 en el precio. Podríamos expresar la disminución con: 15 x Cantidad vendida = 200 + 20 (15 - x) m = (14-15)/(220-200) = -1/20 q = 200 + 300 20x -1/20 (x-200) = y - 15 q = 500 20x -x + 200 = 20y - 300 q = (20) (25 x) - x 20y + 500 x = 500 20y Bu = x 3 Utitlidad por artículo Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete) U = (500 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500 U = (20) * (25-x) * (x-3)

x U(x) 3 0 4 420 5 800 6 1,140 7 1,440 8 1,700 9 1,920 10 2,100 11 2,240 12 2,340 13 2,400 14 2,420 15 2,400 16 2,340 17 2,240 18 2,100 19 1,920 20 1,700 21 1,440 22 1,140 23 800 24 420 25 0

Utilidad Función de Utilidad U=(20)*(25-x)*(x-3) 3,000 2,500 2,000 1,500 Función de Utilidad U=(20)*(25-x)*(x-3) 1,000 500 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Precio

Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. c) Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar beneficio? El intervalo o margen de tolerancia sería [3 < x < 25], es decir, que si se desea beneficio se tendrá que vender a un precio mayor que US$3 y menor que US$25. Y = Ax² + Bx + C Función Cuadrática -20x²+560x-1,500 X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática = -560 ± (560)² - 4*(-20)*-1500 2A 2 * (-20) X1 = (- 560 + 440)/-40 = 3 X2 = (- 560-440)/-40 = 25

Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. d) A qué precio se optimizarán los beneficios? La gráfica es la parábola que abre hacia abajo. La utilidad máxima ocurrirá en el valor de x que corresponde al punto más alto en la gráfica de utilidad. Este es el vértice de la parábola del cual se sabe que ocurre cuando U = (500 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500 Y = Ax² + Bx + C X = - B ± B²-4AC 2A Si A < 0, la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la función cuadrática tiene un valor máximo igual a C (B²/4A) cuando x = - B/2A.

Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. d) A qué precio se optimizarán los beneficios? Si A < 0, la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la función cuadrática tiene un valor máximo igual a C (B²/4A) cuando x = -B/2A. x = -B = -560 = US$14 2A 2(-20) La utilidad se maximiza cuando el fabricante cobra US$14 por cada artículo, y la utilidad máxima mensual es: U = (500 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500 U = -20(14)² + 560(14) - 1,500 = -3,920+7,840-1,500 = US$2,420

Caso III. Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían 112.5, 250.0 y 600.0 unidades (en miles), respectivamente. a) b) c) Formule el modelo de la oferta. Cuál sería la menor oferta? Cuál sería la oferta si el precio fuera US$70?

Caso III. Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían 112.5, 250.0 y 600.0 unidades (en miles), respectivamente. a) Formule el modelo de la oferta. Determine la función cuadrática que pasa por los puntos: (precio, cantidad ofertada) ( p, q) (25, 112.5) (30, 250.0) (40, 600.0) q = f(p) q = ap² + bp + c

Caso III. Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían 112.5, 250.0 y 600.0 unidades (en miles), respectivamente. a) Formule el modelo de la oferta. q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones: (25,112.5) 112.5 = a(25)² + b(25) + c o 625a + 25b + c = 112.5 (30,250.0) 250.0 = a(30)² + b(30) + c o 900a + 30b + c = 250.0 (40,600.0) 600.0 = a(40)² + b(40) + c o 1,600a + 40b + c = 600.0 Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de: a = 0.5, b = 0 y c = -200 En consecuencia, la función cuadrática de la oferta viene dada por: q = ap² + bp + c q = f(p) = 0.5p² - 200

a b c y 625 25 1 112.5 900 30 1 250 1600 40 1 600 a b c 112.5 25 1 250 30 1 a = 600 40 1 => numerador -375 625 25 1 => denominador -750 900 30 1 1600 40 1 a=0.5

PARA OBTENER EL NUMERADOR: - DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS CAMBIA SE MULTIPLICAN 112.5 25 1 SE MULTIPLICAN SIGNO DIAGONALES 250 30 1 DIAGONALES -18,000 = 18,000 = 600 40 1 = 3,375-4,500 = 4,500 = 112.5 25 1 = 10,000-6,250 = 6,250 = 250 30 1 = 15,000 SE SUMAN LOS (+) SE SUMAN LOS (-) 3,375 10,000 15,000 = 28,375-18,000-4,500-6,250 = -28,750 EL NUMERADOR = -375

PARA OBTENER EL DENOMINADOR: - DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS CAMBIA SE MULTIPLICAN 625 25 1 SE MULTIPLICAN SIGNO DIAGONALES 900 30 1 DIAGONALES -48,000 = 48,000 = 1600 40 1 = 18,750-25,000 = 25,000 = 625 25 1 = 36,000-22,500 = 22,500 = 900 30 1 = 40,000 SE SUMAN LOS (+) SE SUMAN LOS (-) 18,750 36,000 40,000 = 94,750-48,000-25,000-22,500 = -95,500 EL DENOMINADOR = -750

a b c y 625 25 1 112.5 900 30 1 250 1600 40 1 600 a b c 625 112.5 1 900 250 1 b = 1600 600 1 => numerador 625 25 1 => denominador -750 900 30 1 1600 40 1

PARA OBTENER EL NUMERADOR: - DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS CAMBIA SE MULTIPLICAN 625.00 112.50 1.00 SE MULTIPLICAN SIGNO DIAGONALES 900.00 250.00 1.00 DIAGONALES -400,000.00 = 400,000.00 = 1,600.00 600.00 1.00 = 156,250.00-375,000.00 = 375,000.00 = 625.00 112.50 1.00 = 540,000.00-101,250.00 = 101,250.00 = 900.00 250.00 1.00 = 180,000.00 SE SUMAN LOS (+) 156,250.00 540,000.00 180,000.00 = 876,250.00 SE SUMAN LOS (-) -400,000.00-375,000.00-101,250.00 = -876,250.00 EL NUMERADOR = 0.00

a b c y 625 25 1 112.5 900 30 1 250 1600 40 1 600 a b c 625 25 112.5 900 30 250 c = 1600 40 600 => numerador 625 25 1 => denominador -750 900 30 1 1600 40 1

PARA OBTENER EL NUMERADOR: - DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS CAMBIA SE MULTIPLICAN 625.00 25.00 112.50 SE MULTIPLICAN SIGNO DIAGONALES 900.00 30.00 250.00 DIAGONALES -5,400,000.00 = 5,400,000.00 = 1,600.00 40.00 600.00 = 11,250,000.00-6,250,000.00 = 6,250,000.00 = 625.00 25.00 112.50 = 4,050,000.00-13,500,000.00 = 13,500,000.00 = 900.00 30.00 250.00 = 10,000,000.00 SE SUMAN LOS (+) 11,250,000.00 4,050,000.00 10,000,000.00 = 25,300,000.00 SE SUMAN LOS (-) -5,400,000.00-6,250,000.00-13,500,000.00 = -25,150,000.00 EL NUMERADOR = 150,000.00

Caso III. Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían 112.5, 250.0 y 600.0 unidades (en miles), respectivamente. a) Formule el modelo de la oferta. q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones: 112.5 = a(25)² + b(25) + c o 625a + 25b + c = 112.5 250.0 = a(30)² + b(30) + c o 900a + 30b + c = 250.0 600.0 = a(40)² + b(40) + c o 1,600a + 40b + c = 600.0 Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de: a = 0.5, b = 0 y c = -200 En consecuencia, la función cuadrática de la oferta viene dada por: q = ap² + bp + c q = f(p) = 0.5p² - 200

p q(p) 20 0 25 113 30 250 35 413 40 600 45 813 50 1,050

Cantidad ofrecida, en miles Oferta q=0.5p-200 1,200 1,000 800 600 Oferta q=0.5p-200 400 200 0 20 25 30 35 40 45 50 Precio en dólares

Caso IV. En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios comprendidos entre $5 y $45. Tres puntos de datos escogidos para ajustar la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y (20, 900). a) Formule el modelo de la demanda. b) Cuál sería la mayor demanda? c) Cuál sería la demanda si el precio fuera US$50?

Caso IV. En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios comprendidos entre $5 y $45. Tres puntos de datos escogidos para ajustar la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y (20, 900). a) Formule el modelo de la demanda. Determine la función cuadrática que pasa por los puntos: (precio, cantidad demanda) ( p, q ) ( 5, 2025) (10, 1600) (20, 900) q = f(p) q = ap² + bp + c

Caso IV. En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios comprendidos entre $5 y $45. Tres puntos de datos escogidos para ajustar la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y (20, 900). a) Formule el modelo de la demanda. q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones: 2,025 = a(5)² + b(5) + c o 25a + 5b + c = 2,025 1,600 = a(10)² + b(10) + c o 100a + 10b + c = 1,600 900 = a(20)² + b(20) + c o 400a + 20b + c = 900 Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de: a = 1, b = -100 y c = 2,500

Caso IV. En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios comprendidos entre $5 y $45. Tres puntos de datos escogidos para ajustar la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y (20, 900). a) Formule el modelo de la demanda. q = ap² + bp + c Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de: a = 1, b = -100 y c = 2,500 En consecuencia, la función cuadrática de la demanda viene dada por: q = p² - 100p + 2,500

p q(p) 5 2,025 10 1,600 15 1,225 20 900 25 625 30 400 35 225

Cantidad demanda en miles Demanda q=p-100p+2500 2,500 2,000 1,500 1,000 500 0 5 10 15 20 25 30 35 Precio en dólares

Caso V. El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para los modelos de la oferta y demanda de las funciones anteriores, con sólo determinar el precio de mercado que iguale a la cantidad ofrecida y la cantidad demandada. Modelo de la Oferta q o = f(p) = 0.5p² - 200 Modelo de la Demanda q d = f(p) = p² - 100p + 2,500 q o = q d 0.5p² - 200= p² - 100p + 2,500 (-1) -0.5p² + 100p 2,700 = 0 (-1) Modelo que permitirá determinar el punto de equilibrio (p,q) del mercado viene dado por: 0.5p² - 100p + 2,700 = 0

Caso V. El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para los modelos de la oferta y demanda de las funciones anteriores, con sólo determinar el precio de mercado que iguale a la cantidad ofrecida y la cantidad demandada. Modelo de la Oferta q o = f(p) = 0.5p² - 200 Modelo de la Demanda q d = f(p) = p² - 100p + 2,500 Modelo que permitirá determinar el punto de equilibrio (p,q) del mercado viene dado por: 0.5p² - 100p + 2,700 = 0 X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática 2A p = - (-100) ± (100)²-4(0.5)(2,700) 2(0.5) p = 100 ± 4,600 = 100 ± 67.82 1 p 1 = $167.82 p 2 = $32.18

Caso V. El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para los modelos de la oferta y demanda de las funciones anteriores, con sólo determinar el precio de mercado que iguale a la cantidad ofrecida y la cantidad demandada. Modelo de la Oferta q o = f(p) = 0.5p² - 200 Modelo de la Demanda q d = f(p) = p² - 100p + 2,500 Modelo que permitirá determinar el punto de equilibrio (p,q) del mercado viene dado por: 0.5p² - 100p + 2,700 = 0 p 1 = $167.82 p 2 = $32.18 Los dos valores de p que satisfacen la ecuación son p 1 = 167.82 y p 2 = 32.18. El precio de 167.82 se encuentra fuera del dominio relevante del modelo de la demanda y, por tanto, carece de significado. Si sustituimos p = $32.18 en los modelos de la Oferta y la Demanda obtenemos: Modelo de la Oferta q o = f(p) = 0.5p² - 200 Modelo de la Demanda q d = f(p) = p² - 100p + 2,500 Oferta q o = f(32.18) = 0.5(32.18)² - 200 = 317.77 Demanda q d = f(32.18) = (32.18)² - 100(32.18) + 2,500 = 317.55

Demanda Oferta p q(p) q(p) 5 2,025-188 10 1,600-150 15 1,225-88 20 900 0 25 625 113 30 400 250 35 225 413 40 100 600 45 25 813

Cantidad en miles Punto de Equilibrio entre la Oferta y la Demanda 2,200 2,000 1,800 1,600 1,400 1,200 1,000 800 600 Función de la Demanda Función de la Oferta 400 200 0-200 5 10 15 20 25 30 35 40 45-400 Precio en dólares [Punto de equilibrio en (32.18,317.77)]

p 0.5p^2-200 p^2-100p +2500 PRECIO OFERTA DEMANDA 20 0.00 900.00 21 20.50 841.00 22 42.00 784.00 23 64.50 729.00 24 88.00 676.00 25 112.50 625.00 26 138.00 576.00 27 164.50 529.00 28 192.00 484.00 29 220.50 441.00 30 250.00 400.00 31 280.50 361.00 32 312.00 324.00 33 344.50 289.00 34 378.00 256.00 35 412.50 225.00 36 448.00 196.00 37 484.50 169.00 38 522.00 144.00 39 560.50 121.00 40 600.00 100.00 41 640.50 81.00 42 682.00 64.00 43 724.50 49.00 44 768.00 36.00 45 812.50 25.00 46 858.00 16.00 47 904.50 9.00 48 952.00 4.00 49 1,000.50 1.00 50 1,050.00 0.00

1,200.00 1,000.00 800.00 600.00 0.5p^2-200 OFERTA p^2-100p +2500 DEMANDA 400.00 200.00 0.00

Caso VI. La figura a continuación muestra las ubicaciones relativas de tres ciudades a lo largo de una carretera costera. Se trata de lugares muy populares de veraneo y su población crece muchísimo en los meses de verano. Las tres ciudades piensan que su servicio de rescate y de atención médica es insuficiente durante la temporada vacacional. Han decidido apoyar de modo conjunto un servicio de atención en casos de urgencia que enviará camiones de rescate y paramédicos bien adiestrados. La pregunta básica se refiere a la ubicación del servicio. Al elegir la ubicación, se ha aceptado que la distancia entre el servicio y las ciudades deberá ser lo más corta posible, a fin de garantizar tiempos rápidos de respuesta. Otra consideración es el tamaño de la población veraniega de cada ciudad, pues ésta es una medida de la posible necesidad de los servicios de respuesta ante las urgencias. Cuanto más grande sea la población veraniega de una ciudad, mayor será el deseo de situar el servicio cerca de ella. Los analistas han decidido que el criterio para seleccionar la ubicación es reducir al mínimo la suma de los productos de las poblaciones veraniegas de cada ciudad y elevar el cuadrado la distancia existente entre la ciudad y el servicio. Esto puede expresarse de la siguiente manera: d j ² = (x xj) ² + (y yj) ² d j ² = (x xj) ² 3 Minimice S = p j * d j ² J=1 Donde p j es la población veraniego de la ciudad j, expresada en miles, y d j es la distancia entre la ciudad j y el servicio de rescate. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*==========*========== MILLAS 0 12 20 30 Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S.

Caso VI. Los analistas han decidido que el criterio para seleccionar la ubicación es reducir al mínimo la suma de los productos de las poblaciones veraniegas de cada ciudad y elevar el cuadrado la distancia existente entre la ciudad y el servicio. Esto puede expresarse de la siguiente manera: 3 Minimice S = p j * d j ² J=1 Donde p j es la población veraniego de la ciudad j, expresada en miles, y d j es la distancia entre la ciudad j y el servicio de rescate. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*==========*========== MILLAS 0 12 20 30 Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S. Sea x la ubicación del servicio en relación el punto cero de la escada de la figura anterior y sea x j la ubicación de la ciudad j. La distancia entre la ciudad j el servicio se calcula por medio de la ecuación d j = x - x j. Cuando x se define como la ubicación desconocida del servicio propuesto, S se expresará en función de x. La función se define así: 3 S= f(x) = p j * (x - x j )² J=1

Caso VI. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*==========*========== MILLAS 0 12 20 30 Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S. Sea x la ubicación del servicio en relación el punto cero de la escada de la figura anterior y sea x j la ubicación de la ciudad j. La distancia entre la ciudad j el servicio se calcula por medio de la ecuación d j = x - x j. Cuando x se define como la ubicación desconocida del servicio propuesto, S se expresará en función de x. La función se define así: 3 S= f(x) = p j * (x - x j )² J=1 S = [150 * (x-12)²] + [100 * (x-20)²] + [200 * (x-30)²] S = [150 * (x²-24x+144)] + [100 * (x²-40x+400)] + [200 * (x²-60x+900)] S = 150x²-3,600x+21,600 + 100x²-4,000x+40,000 + 200x²-12,000x+180,000 El Modelo de Ubicación viene definido por la función: S = 450x² - 19,600x + 241,600

Caso VI. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*==========*========== MILLAS 0 12 20 30 Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S. Sea x la ubicación del servicio en relación el punto cero de la escada de la figura anterior y sea x j la ubicación de la ciudad j. La distancia entre la ciudad j el servicio se calcula por medio de la ecuación d j = x - x j. Cuando x se define como la ubicación desconocida del servicio propuesto, S se expresará en función de x. La función se define así: 3 S= f(x) = p j * (x - x j )² J=1 El Modelo de Ubicación viene definido por la función: S = 450x² - 19,600x + 241,600 Nótese que esta función es la forma cuadrática, y se graficará como una parábola que es cóncava hacia arriba. S será minimizada en el vértice de la parábola o donde: x = -B = -(-19,600) = 21.78 2A 2(450) Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*=[=]========*========== MILLAS 0 12 20 30 Ubicación óptima del servicio El servicio de respuesta a urgencias se instalará a 21.78 millas a la derecha del punto cero, o sea a 1.77 millas a la derecha de la ciudad 2.

Modelo de Ubicacion 450x^2-19600x + 241600 300,000.00 250,000.00 200,000.00 150,000.00 100,000.00 50,000.00 -