La forma canónica de matrices y endomorfismos

CAPíTULO 6 La forma canónica de matrices y endomorfismos 1 Planteamiento del problema En lo que sigue V denotara un K-espacio vectorial y f : V V un endomorfismo de V El problema de encontrar dos bases B 1 y B 2 de V tales que M B1B 2 (f) sea lo más sencilla posible ya ha sido resuelta en un tema anterior Sabemos que si r es el rango de f, simple existen B 1 y B 2 bases tales que M B1B 2 (f) = ( IdMr(K) 0 0 0 ) y además, conocemos un método para encontrar dos de estas bases Como f es una aplicación de V en V parece natural estudiar las matrices M BB (f) El problema que se plantea es el de hallar ( lo más sencillo ) posible En este caso no podremos IdMr(K) 0 conseguir matrices del tipo (salvo en casos muy excepcionales), 0 0 sin embargo, en la mayoría de los casos si se pueden conseguir matrices diagonales Otro problema relacionado con éste es el siguiente: dada una matriz A M n (K), bajo qué condiciones existe una base B tal que M BB (f) = A? Estos problemas pueden plantearse en términos de matrices del siguiente modo: 1) Dada A M n (K), hallar P GL n (K) tal que P 1 AP sea la más sencilla posible 2) Dadas A y B M n (K), bajo qué condiciones existe P GL n (K) tal que B = P 1 AP? Ejemplo 61 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales 2 Valores y vectores propios Sea W V, f EndV Se dice que W es un subespacio f-invariante si f(w) W, es decir, si para todo w W, f(w) W Observar que si W es f- invariante, podemos considerar la aplicación f W : W W que manda w W a f(w) Claramente, f W End(W) Ejemplo 62 49

50 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS Proposición 61 Sea f EndV, V = W 1 W k con W 1,,W k subespacios f-invariantes Sean B i bases de W i y B = k i=1 B i Entonces, la matriz M BB (f) es una matriz diagonal por bloques A 1 0 0 0 A 1 0, donde 0 0 A k A i = M BiB i (f Wi ) En particular, si dimw i = 1 para todo i, resulta que la matriz M BB (f) es diagonal Esto nos lleva de forma natural a considerar subespacios f-invariantes de dimensión 1 Supongamos que W = w es uno de ellos Entonces, w 0 y f(w) W = w, luego existe λ K tal que f(w) = λw Esto nos siguiente la siguiente definición Definición 61 Sea f EndV y λ K Se dice que λ es un valor propio de f si existe v 0 tal que f(v) = λv En este caso, se dice que v es un vector propio de f asociado al valor propio λ Por definición, todo vector propio es no nulo A continuación definimos el concepto de valor propio para matrices: Definición 62 Sea A M n (K) Se dice que λ es un valor propio de A si existe una matriz columna X no nula tal que AX = λx Proposición 62 Sea f EndV, B la base de V, A = M BB (f) y λ K Entonces, λ es un valor propio de f si y sólo si λ es un valor propio de A 3 Repaso de propiedades de anillos de polinomios También se da en el curso de Conjuntos y Numeros Definición 63 Sea K un cuerpo y P = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 0, con a n 0, un polinomio sobre K Diremos que P tiene grado n y escribiremos gr P = n Si P = 0 escribiremos formalmente gr P = Lema 63 Si K es un cuerpo y P,Q K[x], entonces 1 gr(p + Q) máx(grp,grq), 2 gr(pq) = grp + grq Demostración Las propiedades 1 y 2 se siguen fácilmente de la definición de grado Lema 64 Si K es un cuerpo, entonces K[x] posee la propiedad de división: si P y Q K[x] con Q 0, entonces existen dos polinomios C y R tales que P = QC + R con grr < grq Demostración Los polinomios C y R, tales que P = QC + R con grr < grq, se obtienen al dividir R por Q

4 POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ 51 Definición 64 Si f es un polinomio de gardo 1, se dice que f es irreducible sobre K si f no se puede factorizar de la forma f(x) = p(x)q(x) con grp, grq 1 Ejemplo 63 Sea a K Entonces el polinomio x a es irreducible Proposición 65 Todo polinomio de K[x] se puede descomponer como producto de polinomios irreducibles, además esta descomposición es única salvo el orden de los factores y multiplicación por elementos de K \ {0} Ejemplo 64 Proposición 66 (Teorema de Ruffini) Sean P K[x] y a K Entonces P(a) = 0 si y sólo si existe Q K[x] tal que P = (x a)q Corolario 67 Sea K un cuerpo y P K[x] un polinomio de grado n Entonces P tiene como máximo n raíces Definición 65 Se dice que un cuerpo K es algebraicamente cerrado si todo polinomio de K[x] de grado positivo tiene una raíz Proposición 68 Sea K un cuerpo Las siguientes condiciones son equivalentes: 1 K es algebraicamente cerrado; 2 los polinomios irreducibles sobre K tienen grado 1 3 todo polinomio sobre K se factoriza como producto de polinomios lineales Teorema 69 (Fundamental de Álgebra) El cuerpo C es un cuerpo algebraicamente cerrado Definición 66 Sea p K[x] un polinomio y λ una raíz de p Decimos que m es la multiplicidad de λ como raíz de p si p(x) = (x λ) m q(x) y λ no es raíz de q(x) La denotamos por m p (λ) Si λ no es una raíz escribiremos m p (λ) = 0 Proposición 610 El polinomio p K[x] se factoriza como producto de polinomios lineales si y sólo si grp = λ K m p(λ) 4 Polinomio característico de una matriz A continuación estudiamos cómo hallar los valores propios de una matriz Esto nos permitirá hallar los vectores propios de cualquier endomorfismo (basta fijar una base cualquiera y considerar la matriz asociada respecto de dicha base) Definición 67 Sea A M n (K) Se llama polinomio característico de A al polinomio p A (x) = det(xid n A) Proposición 611 Sea A M n (K), p A (x) su polinomio característico y λ K Entonces λ es un valor propio de A si y sólo si λ es raíz de p A (x) En particular, A tiene a lo sumo n valores propios distintos

52 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS Ejemplo 65 A continuación definimos el concepto de polinomio característico de un endomorfismo Definición 68 Sea f End(V ), B una base de y A = M BB (f) Se llama polinomio característico de f al polinomio característico de A Si B es otra base diferente, la matriz A = M B B (f) no tiene porque coincidir con A = M BB (f) Sin embargo, p A (x) = p A (x) Por lo tanto, el polinomio característico de un endomorfismo no depende de la base B fijada para calcularlo Definición 69 Sean A y B M n (K) Diremos que A y B son matrices semejantes si existe P GL n (K) tal que B = P 1 AP Las matrices asociados a un mismo endomorfismo son todos semejantes La relación de semejanza es una relación de equivalencia Proposición 612 Sea f EndV and W un subespacio f-invariante Entonces p fw (x) divide a p f (x) 5 Diagonalización de endomorfismos Definición 610 Sea f EndV Diremos que f es diagonalizable si existe B base tal que M BB (f) es una matriz diagonal En otras palabras, f es diagonalizable si y sólo si existe una base B formada por vectores propios de f Definición 611 Sea A M n (K) Decimos que A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D semejante a A La relación entre estos dos conceptos es clara Proposición 613 Sea f EndV, B base, A = M BB (f) Entonces, f es un endomorfismo diagonalizable si y sólo si A es una matriz diagonalizable Definición 612 Sea f EndV y λ K un valor propio de f Se llama subespacio propio asociado a λ a: V (λ) = {v V f(v) = λv}, es decir, V (λ) está formado por el 0 y las vectores propios asociados a λ Ejercicio 61 Demostrar que V (λ) es un subespacio vectorial de V y es f- invariante Lema 614 Sea f End(V ) y v 1,,v k k vectores propios de f asociados a valores propios distintos Entonces, el sistema es libre Corolario 615 Sea f End(V ) y λ 1,,λ k K los distintos valores propios Entonces la suma V (λ 1 ) + + V (λ k ) es directa Teorema 616 Sea f End(V ) Entonces, f es diagonalizable si y sólo si V es la suma directa de los distintos subespacios propios de f

5 DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS 53 Lema 617 Sea f End(V ) y λ K un valores propio de f Entonces dim V (λ) m p (λ) Corolario 618 Sea f End(V ) y λ K una raíz simple de p f (x) Entonces dim V (λ) = 1 Teorema 619 Sea f End(V ) Entonces, f es diagonalizable si y sólo si p f (x) se descompone en K como producto de polinomios lineales y para cualquier valor propio λ de f la dimensión de V (λ) coincide con la multiplicidad m(λ) de λ como raíz del polinomio p f (x) Ejemplo 66 La aplicación lineal f : R 2 R 2, f(x,y) = (x + y, y) no es diagonalizable Conclusiones 1 Sea f EndV un endomorfismo diagonalizable y sea B una base tal que M BB (f) = D es una matriz diagonal Entonces los elementos en la diagonal de D son los valores propios de f y cada uno de ellos aparece tantos veces como su multiplicidad como raíz de p f (x) En particular, si B es otra base tal que D = M B B (f) es diagonal, entonces D y D coinciden, salvo el orden en que aparecen los elementos de la diagonal 2 Sea A M n (K) una matriz diagonalizable Entonces, si D es una matriz diagonal similar a A, entonces los elementos de diagonal de D son los valores propios de A Cada uno de ellos repetido tantas veces como su multiplicidad como raíz de p A (x) Ejercicio 62 Sea f End R 3 definido mediante f(x, y,z) = (2x 5y 3z, x 2y 3z,3x + 15y + 12z) Estudiar cuáles de los siguientes subespacios son f-invariantes: a) W 1 = (3,0, 2),(1, 2,4) ; b) W 2 = (1,0,0),(0,1,1) ; c) W 3 = {(x,y, z) R 3 x + 5y + 2z = 0} En los casos en que W i sea f-invariante, obtener una base de R 3 prolongando una de W i y encontrar la matriz asociada a f respecto de dicha base Ejercicio 63 Consideremos el endomorfismo de R 3 f(x, y,z) = ( 2y + 4z, x y + z, 3x 3y + z) Probar que R 3 es la suma directa de los subespacios f-invariantes U = {(x,y, z) R 3 x y + z = 0} y W = {(x,0,x) x R} y asociar a f una matriz diagonal por bloques Ejercicio 64 Sea f : R 3 R 3 el endomorfismo definido por f(x,y, z) = (3x y + z, 2x + 4y 2z, 2x + 2y) a) Encontrar, si es posible, una base de R 3 respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal

54 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS b) Estudiar si las siguientes matrices pueden estar asociadas a f y, en caso afirmativo, hallar una base respecto la cual lo estén: 2 1 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0, 0 2 1, 0 1 3 0 0 3 0 0 3 0 4 6 Ejercicio 65 Estudiar si las matrices A = son diagonalizables sobre los cuerpos Q, R y C 3 1 1 2 2 1 1 0 2 y B = 1 1 0 5 0 1 5 0 0 Ejercicio 66 Para cada una de las siguientes matrices reales, calcula el polinomio característico y decide si son o no diagonalizables En caso de ser diagonalizable, encuentra una matriz P tal que P 1 (Matriz Dada)P sea diagonal: A = C = 3 1 1 1 1 1 0 0 2 5 3 0 9 0 3 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2, B =, D = 5 6 6 1 4 2 3 6 4 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2 Ejercicio 67 Sea V un C-espacio vectorial de dimensión finita y f : V V un endomorfismo diagonalizable Demuestra que V = Ker(f) Im(f) Ejercicio 68 Para qué valores de los parámetros son diagonalizables sobre R las siguientes matrices? 1 2 2 a a b 0 0 0 1 A = 0 1 a, B = 0 1 0, C = 0 b 0 0 0 1 0 0 4 a 0 0 Ejercicio 69 Sean α y β números complejos y f : C 2 C 2 el endomorfismo definido por f(x,y) = (x+αy,βx+y) Estudia la diagonalizabilidad de f en función de α y β Ejercicio 610 Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y f : V V un endomorfismo Demuestra: a) f es biyectiva si y sólo si 0 no es valor propio de f b) λ es valor propio de f si y sólo si λ es valor propio de f c) Si f 2 = f, entonces {valores propios de f} {0,1} Puede ser {valores propios de f} = {0,1}? Tiene que ser {valores propios de f} = {0,1}? d) Si f 2 = f y f es biyectiva, entonces 1 es el único valor propio de f e) Si f 2 = Id, entonces {valores propios de f} {1, 1}, Ejercicio 611 Sean A y B matrices cuadradas de orden n Demuestra: a) A y A t tienen el mismo polinomio característico b) Si λ es valor propio de A, entonces λ 2 es valor propio de A 2

5 DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS 55 c) Si λ 2 es valor propio de A 2, entonces λ o λ es valor propio de A d) AB y BA tienen los mismos valores propios e) Si det(b) 0, entonces AB y BA tienen el mismo polinomio característico Ejercicio 612 Sea V un C-espacio vectorial de dimensión finita y f : V V un endomorfismo diagonalizable Demuestra que V = Ker(f) Im(f) Ejercicio 613 Definimos la exponencial de una matriz real, suponiendo que las series involucradas convergen, como 1 exp(a) := n! An n=0 ( ) ( ) 1 1 e e a) Comprueba que exp = 0 1 0 e ( ) ( ) a 0 a 1 b) Calcula que exp y exp 0 b 0 b c) Encuentra cambios de base que permitan escribir en una de las maneras ( ) 1 1 tratadas en b) las aplicaciones lineales dadas por las matrices A = y 4 3 B = ( 0 2 1 0 ), y utiliza esto para calcular exp(a) y exp(b) Ejercicio 614 a) Demuestra que si f End(V ) es diagonalizable y F es un subespacio invariante por f, entonces f F es también diagonalizable b) Demuestra que si f,g End(V ) conmutan (es decir, f g = g f), los subespacios de autovectores con autovalor λ de g (es decir, los Ker(g λi)) son invariantes por f y recíprocamente c) Se dice que f,g End(V ) son simultáneamente diagonalizables si existe una base de V con respecto a la cual las matrices de f y de g son ambas diagonales Demuestra que f y g son simultáneamente diagonalizables si y sólo si f y g son diagonalizables y conmutan [Sugerencia: utiliza los dos apartados anteriores] d) Diagonalizar simultáneamente los endomorfismos de R 3 : f(x, y, z) = (x+y+z, 2x+5y+2z, 2x 5y 2z) y g(x, y, z) = ( 2y 2z, 0,2y+2z) Ejercicio 615 Se llama sucesión de Fibonacci a la sucesión definida por los valores iniciales a 1 = a 2 = 1 y la relación de recurrencia a n = a n 1 + a n 2 para n 3, es decir: 1,1,2,3,5,8,13, ( ) an+1 a n a) Sea A = ( 1 1 1 0 ) Demostrar por inducción que A n = a n a n 1 para n 2 b) Encontrar P inversible tal que P 1 AP = D sea diagonal y utilizar esta igualdad para calcular A n (notar que A n = PD n P 1 ) Obtener una formula explícita para a n comparando este resultado con (a) Ejercicio 616 Sea f EndV Demostrar que si el polinomio característico p f (x) de f es irreducible, entonces los únicos subespacios f-invariantes de V son {0} y V

56 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS Ejercicio 617 Sea V un C-espacio vectorial de dimensión finita y f : V V un endomorfismo Demuestra que f es diagonalizable si y sólo si todo subespacio invariante por f admite un complementario también invariante por f Da un ejemplo que demuestre que esto es falso si sustituimos C por R 6 Polinomio mínimo Si f EndV, podemos considerar para cada i 1 el endomorfismo f i = f f (i veces) Si definimos además f 0 = Id V, tenemos perfectamente definido f i para todo i 0 Esto permite, dado un polinomio p(x) K[x], definir p(f) EndV del siguiente modo: si p(x) = a 0 + a k x k, entonces p(f) = a 0 Id V +a 1 f + + a k f k Notemos que, como p(f) es un endomorfismo, tiene sentido escribir p(f)(v) para los v V Ejemplo 67 Sea f : R 2 R 2, f(x,y) = (x+y, x y) Entonces f 2 2f+2 = 0 Proposición 620 Sean p,q K[x], λ K y f EndV Entonces se tiene 1 (p + q)(f) = p(f) + q(f) 2 (λp)(f) = λp(f) 3 (pq)(f) = p(f) q(f) Puesto que el producto de polinomios es conmutativo: pq = qp, se deduce que los endomorfismos p(f) y q(f) siempre conmutan: p(f) q(f) = q(f) p(f)(notemos que dos endomorfismos no conmutan en general) Si A M n (K) y p K[x], también podemos hablar de la matriz p(a) Si p(x) = a 0 + a k x k, entonces p(a) = p(x) = a 0 Id+a 1 A + + a k A k Ejercicio 618 Sea f EndV, p K[x] y B una base de V Demostrar que M BB (p(f)) = p(m BB (f)) Ejemplo 68 Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n > 0 Entonces, el K-espacio vectorial EndV tiene dimensión n 2 Sea f EndV y sea m el primer número natural tal que f m es la combinación lineal de Id V,f,,f m 1 : f m = a 0 Id V a 1 f a m 1 f m 1 Esta combinación lineal nos proporciona un polinomio m f = a 0 + a 1 x + + a m 1 x m 1 + x m mónico de grado m tal que m f (f) = 0 Este polinomio se llama polinomio mínimo de f Vamos a usar la siguiente propiedad importante de m f : si p K[x] es otro polinomio sobre K tal que p(f) = 0, entonces m f divide a p Ejemplo 69 Sea A M n (K) y sea m el primer número natural tal que A m es la combinación lineal de Id n,a,,a m 1 : A m = a 0 Id n a 1 A a m 1 A m 1

7 EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON 57 Esta combinación lineal nos proporciona un polinomio m A = a 0 + a 1 x + + a m 1 x m 1 + x m mónico de grado m tal que m A (A) = 0 Este polinomio se llama polinomio mínimo de A Proposición 621 Sea f EndV y B una base de V Entonces m MBB(f) = m f 7 El Teorema de Cayley-Hamilton En esta sección demostramos que el polinomio característico de un endomorfismo lo anula Necesitaremos la siguiente proposición cuya demostración se verá en el curso de la teoría de Galois Proposición 622 Sea K un cuerpo y p K[x] un polinomio sobre K Existe un cuerpo L que contine a K tal que p se descompone sobre L como producto de polinomios lineales: p(x) = α(x a 1 ) (x a n ), α,a 1,,a n L Notemos que como el cuerpo C de números complejos es algebraicamente cerrado, cualquier polinomio sobre C se descompone como producto de polinomios lineales Así que en el caso de polinomios racionales, reales o complejos sabemos que existe un cuerpo más grande donde cualquier polinomio se descompone Teorema 623 (Teorema de Cayley-Hamilton Versión matricial) Si A M n (K), entonces p A (A) = 0 Demostración Argumentamos por inducción sobre n 1 Si n = 1, entonces A = λ y p A (x) = x λ Es entonces claro que p A (A) = 0 Si n > 1, usando la proposición anterior, tomamos un cuerpo L que contenga a K en que p A tenga al menos una raíz λ Consideramos A como una matiz de M n (L) Entonces λ es un valor propio de A Sea B la base canónica de L n y f End(L n ) tal que M BB (f) = A Sea B 1 una base de L n cuyo primer vector es un vector propio de f correspondiente al valor propio λ Entonces λ 0 donde C M n 1 (L) Entonces E = M B1B 1 (f) = C 0 p A (x) = p E (x) = (x λ)p C (x), Sea P la matriz de paso de B a B 1 Entonces A = PEP 1 Notemos que p A (A) = p A (PEP 1 ) = Pp A (E)P 1 = Pp E (E)P 1

58 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS Pero p E (E) = (E λ Id n )p C (E) = 0 0 C λ Id n 1 0 p C (λ) 0 p C (C) 0 Aplicando la hipótesis inductiva (p C (C) = 0), obtenemos 0 p C (λ) 0 0 0 0 p E (E) = C λ Id n 1 = 0 0 0 0 0 Por lo tanto P A (A) = 0 Teorema 624 (Teorema de Cayley-Hamilton Versión para endomorfismos) Si F EndV, entonces p f (f) = 0 Demostración Sea B una base de V y A = M BB (f) una matriz asociada a f Entonces, la matriz asociada a p f (f) es p f (A) = p A (A) = 0 Luego, p f (f) = 0 8 El Teorema de descomposición primaria Proposición 625 Sea f EndV y U un subespacio f-invariante Definamos g = f U EndU Entonces p g divide a p f Corolario 626 Sea f EndV Si dos subespacios f-invariantes U y W de V tienen polinomio primos mínimos coprimos, entonces U W = {0} Existe un método para construir subespacios f-invariantes Proposición 627 Sea f EndV Si g EndV conmuta con f, entonces Ker g y Im g son f-invariantes Supongamos ahora que el polinomio mínimo de f, m f (x) se descompone en producto de dos factores primos ente sí: m f (x) = p(x)q(x) Consideremos los subespacios f-invariantes Ker p(f) y Ker q(f) Los polinomios p(x) y q(x) son anuladores de la restricción de f a estos subespacios Por tanto, Ker p(f) Ker q(f) = {0} Como Im p(f) = p(f)(v ) Ker q(f) obtenemos n = dim Imp(f)+dim Kerp(f) dim Ker q(f)+dim Kerp(f) = dim(kerq(f) Ker p(f)) Por lo tanto V = Kerq(f) Ker p(f) En particular, m f = p(x)q(x) divide a m fker q(f) m fker p(f) También p(x) divide a m fker p(f) y q(x) divide a m fker q(f) Concluimos que m fker p(f) = p(x) y m fker q(f) = q(x) Si p ó q se descompone en producto de polinomios coprimos, entonces podemos obtener más descomposiciones Tenemos de esta forma el siguiente teorema

9 TRIANGULARIZACIÓN DE LAS MATRICES 59 Teorema 628 Si el polinomio mínimo de f EndV es m f (x) = m 1 (x) n1 m r (x) nr, donde m 1 (x),,m r (x) son factores irreducibles, el espacio V es suma directa de subespacios invariantes V = V 1 V r, de forma que el polinomio mínimo de la restricción de f a V i es m i (x) ni Esta descomposición es única V i = Ker(m i (f) ni ) La descomposición de V en suma directa de subespacios invariantes reduce el estudio del comportamiento de f al estudio del comportamiento de sus restricciones a cada uno de los subespacios Si escribimos la matriz de f en una base de E formada por bases de cada uno de los subespacios, obtenemos una matriz diagonal A 1 0 0 0 A 2 0 por bloques A = El estudio de A se reduce al de las 0 0 A k matrices A i, que son precisamente las matrices asociadas con las restricciones de f a cada uno de los subespacios en que se descompone V Ejemplo 610 9 Triangularización de las matrices Como aplicación de la descomposición primaria, vamos a caracterizar los endomorfismos que pueden representarse por una matriz triangular Definición 613 Una matriz A M n (K) se dice triangular superior si a ij = 0 para i > j, es decir, si los elemntos por debajo de la diagonal principal son todos nulos Definición 614 Un endomorfismo f se dice triangularizable si, respecto de una cierta base, tiene matriz asociada una matriz triangular Definición 615 Una matriz A se dice triangularizable si es similar a una matriz triangular La demostración de la siguiente proposición es ya estándar Proposición 629 Sea f EndV y B una base de V Entonces f es triangularizable si y sólo si M BB (f) es triangularizable En esta sección demostramos el siguiente teorema Teorema 630 Sea V un K-espacio vectorial y f EndV Entonces, f es triangularizable si y sólo si p f se descompone sobre K como producto de polinomios lineales

60 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS Demostración Es claro que el polinomio de una matriz triangular se descompone como producto de polinomios lineales Por eso es cierto también para endomorfismos triangularizables Ahora suponemos que p f (x) = (x λ 1 ) n1 (x λ t ) nt Sabemos que V = V 1 V t, con V i = Ker(f λ i ) ni Al tomar bases B 1,,B t de V 1,,V t y considerar B = t i=1 B i, tenemos que A 1 0 0 0 A 2 0 M BB (f) =, 0 0 A t con A i = M BiB i (f Vi ) Así para conseguir que M BB (f) sea triangular superior, basta que lo sean matrices A i Vamos a ver que esto se puede conseguir con una elección adecuada de las bases B i Debemos probar, pues, que si λ es valor propio de f y V = Ker(f λ Id V ) m con m N, entonces existe una base de K respecto de lo cual la matriz asociado a f V es triangular Para ello basta tomar la cadena de subespacios L 0 = {0} L 1 = Ker(f λ Id V ) = V (λ) L m = Ker(f λ Id V ) m = V y formar una base de V partiendo de una base de L 1 y, en cada paso, prolongando una base de L i a una base de L i+1 En efecto, si v L i+1, entonces 0 = (f λ Id V ) i+1 (v) = (f λ Id V ) i (f λ Id V )(v) Luego, w = (f λ Id V )(v) L i y por lo tanto f(v) = λv + +w con w L i Concluimos que la matriz asociada a f será de la forma λ Id a1 0 λ Id a2 0 0 λid am en particular triangular Corolario 631 Sea A M n (K) Entonces A es triangularizable si y sólo si p A se descompone como producto de factores lineales sobre K Ejemplo 611 Probar que el siguiente endomorfismo de R 4 es triangularizable y hallar una base en la que la matriz asociada es triangular: f(x,y, z,t) = (x + y, x + y + t, x + z,y + z + t)

10 ENDOMORFISMOS NILPOTENTES 61 10 Endomorfismos nilpotentes Para los endomorfismos cuyo polinomio característico se descompone, hemos visto que se puede encontrar una matriz asociada triangular, pero que no está únicamente determinada En este apartado veremos que de entre todas las matrices triangulares asociadas posibles, podemos seleccionar una muy sencilla, con un gran número de ceros, que llamaremos forma canónica de Jordan de f Si p f (x) = (x λ 1 ) n1 (x λ t ) nt, entonces V = V 1 V t, con V i = Ker(f λ i ) ni Al tomar bases B 1,,B t de V 1,,V t y considerar B = t i=1 B i, tenemos que A 1 0 0 0 A 2 0 M BB (f) =, 0 0 A t con A i = M BiB i (f i ), donde f i = f Vi Si llamamos g i = f i λ i Id Vi, tenemos que M BiB i (f i ) = λ Id+M BiB i (g i ) Esto nos lleva a estudiar las clase de endomorfismos que introducimos en la siguiente definición Definición 616 Sea f EndV Decimos que f es nilpotente si existe k N tal que f k = 0 Al menor de los k que verifica esta última condición lo llamamos índice de nilpotencia de f Definición 617 Sea A M n (K) Decimos que A es nilpotente si existe k N tal que A k = 0 Al menor de los k que verifica esta última condición lo llamamos índice de nilpotencia de A Proposición 632 Sea f EndV y B una base de V Entonces f es nilpotente si y sólo si M BB (f) lo es y, en tal caso sus índices de nilpotencia coinciden Definición 618 Sea K un cuerpo y λ K Llamamos bloque de Jordan correspondiente a λ de tamaño r r a la matriz de M r (K): λ 1 0 0 0 λ 0 0 J r (λ) = 0 0 λ 1 0 0 0 λ Definición 619 Decimos que una matriz cuadrada J es una matriz de Jordan si es diagonal por bloques de Jordan, es decir existen r 1,,r s N y λ 1,,λ s K tales que J r1 (λ 1 ) 0 0 0 J r2 (λ 2 ) 0 J = 0 0 J rs (λ s )

62 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS Teorema 633 Sea f EndV un endomorfismo nilpotente Entonces, existe una base de V respecto de la cual la matriz asociada a f es de Jordan, con todos los bloques de Jordan correspondiente a 0 Demostración Sea k el índice de nilpotencia de f y denotemos L i = Kerf i para i = 0,,k Tenemos entonces la siguiente cadena de subespacios: Notemos que {0} = L 0 L 1 L 2 L k = V f(v) L i 1 f i 1 (f(v)) = 0 f i (v) = 0 v L i Denotemos l i = diml i para 0 i k y pongamos d i = l i l i 1 para 1 i k Observamos que d i es la dimensión de cualquier complemento de L i 1 en L i Además, d k 1 En el proceso de la construcción de la base B respecto de la cual M BB (f) es una matriz de Jordan vamos a utilizar necesarios veces la siguiente propiedad: (*) Si {u 1,,u r } L i es libre y u 1,,u r L i 1 = {0}, entonces {f(u 1 ),,f(u r )} L i 1, es libre y f(u 1 ),,f(u r ) L i 2 = {0} (para i 2) Por una observación anterior, si u 1,,u r L i entonces f(u 1 ),,f(u r ) L i 1 Por otro lado si λ 1 f(u 1 )++λ r f(u r ) L i 2, entonces f(λ 1 u 1 ++λ r u r ) L i 2 y por lo tanto λ 1 u 1 + + λ r u r L i 1 que implica λ 1 = λ 2 = = λ r = 0 De esta implicación se deduce tanto que f(u 1 ),,f(u r ) L i 2 = {0} como que {f(u 1 ),,f(u r )} es libre Construimos ahora la base B Comenzamos por tomar una base de un complementario de L k 1 en L k, que tendrá d k elementos (recordar que d k 1): v 1,,v dk Aplicando la propiedad (*), tenemos que {f(v 1 ),,f(v dk )} L k 1 es un sistema libre tal que f(v 1 ),,f(v k ) L k 2 = {0} Por lo tanto, se puede extender hasta obtener una base de un complementario de L k 2 en L k 1 : f(v 1 ),,f(d k ),v dk +1,,v dk 1 Continuando de este modo, obtenemos al final una base de un complementario de L 0 = {0} en L 1 : f k 1 (v 1 ),,f k 1 (d k ),f k 2 (v dk +1),,f k 2 (v dk 1 ),,f(v d3+1),,f(v d2 ),v d2+1,,v d1

11 FORMA CANÓNICA DE JORDAN 63 Disponemos todos los vectores que hemos ido obteniendo del siguiente modo v 1 v dk f(v 1 ) f(v dk ) v dk +1 v dk 1 f k 2 (v 1 ) f k 2 (v dk ) f k 3 (v dk +1) f k 3 (v dk 1 ) v d3+1 v d2 f k 1 (v 1 ) f k 1 (v dk ) f k 2 (v dk +1) f k 2 (v dk 1 ) f(v d3+1) f(v d2 ) v d2+1,,v d1 La última fila forma una base de L 1 Si le unimos la penúltima obtenemos una base de L 2 Así sucesivamente, al unir todas las filas obtenemos una base de L k = V Si consideramos una columna arbitraria, está formada por los vectores v i,f(v i ),,f r 1 (v i ) El último vector está en L 1 = Ker f Por lo tanto dichos vectores generan un subespacio f-invariante La matriz asociada a la restricción de f a dicho subespacio, con respecto a la base {f r 1 (v),,f(v i ),v i } es exactamente el bloque de Jordan J r (0) Por lo tanto si B es la unión de las bases {f r 1 (v),,f(v i ),v i } de dichos subespacios f-invariantes, M BB (f) es una matriz de Jordan en la que todos los bloques de Jordan corresponden al valor 0 Ejemplo 612 Considerar el endomorfismo de R 4 siguiente: f(x,y, z,t) = ( 2y 4z + 9t, 2y 4z 10t, y + 2z + 5t, 0) Probar que es nilpotente, hallar una base en que la matriz asociada a f es de Jordan y encontrarla 11 Forma canónica de Jordan Teorema 634 Sea f EndV y supongamos que p f se descompone sobre K como producto de factores lineales Entonces, existe una base B tal que M BB (f) es de Jordan Demostración Sea p f (x) = ±(x λ 1 ) n1 (x λ t ) nt con λ 1,,λ t los distintos valores propios de f Sabemos que V = V 1 V t con V i = ker(f λ i Id) ni Como g i = f λ i Id Vi es nilpotente, existe una base B i de V i tal que M BiB i (g i ) es una matriz de Jordan con bloques de Jordan correspondientes al 0 Entonces A i = M BiB i (f Vi ) es una matriz de Jordan con bloques de Jordan correspondientes a λ i Si B = B 1 B t, M BB (f) es una matriz de Jordan asociada a f Corolario 635 Sea A M n (K) y supongamos que p A se descompone sobre K como producto de factores lineales Entonces, A es similar a una matriz de Jordan Comentario 1 Al igual que con cualquier otra forma triangular de un endomorfismo, los valores que aparecen en la diagonal de una matriz de Jordan asociada a f son los valores propios de f, repetidas tantas veces como indica su multiplicidad en p f (x)

64 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS En particular, los bloques de Jordan que aparezcan serán correspondientes a valores propios de f 2 El número de bloques de Jordan correspondientes a un valor propio λ y sus tamaños son invariantes de f Concretamente el número de bloques de Jordan de tamaño r r correspondiente al valor propio λ es igual a 2 dim ker(f λ Id V ) r dim ker(f λ Id V ) r+1 dim ker(f λ Id V ) r 1 3 Dos matrices de Jordan son similares si y sólo si salvo el orden en que aparecen los bloques de Jordan son iguales Ejercicio 619 Dado el endomorfismo de R 3 f(x,y, z) = (4x + y 3x, 7x 2y + 5z,3x + y 2z), calcular p(f) para los siguientes polinomios p(x) R[x]: p(x) = x 2 + x + 1, p(x) = p f (x), p(x) = x 21 + x 20 + 1 A 1 0 0 0 A 1 0 Ejercicio 620 a) Si A es una matriz diagonal por bloques 0 0 A k qué relación existe entre el polinomio mínimo de A y de bloques A i? 0 4 0 0 b) Calcular el polinomio mínimo de la matriz A = 1 4 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2, R: Ejercicio 621 Hallar los polinomios mínimos de las siguientes matrices sobre 6 3 2 9 4 4 4 2 1, 1 2 2 2 3 2 2 2 1 Ejercicio 622 a) Construye una matriz real A tal que p A (x) = m A (x) = (x 1)(x 3) b) Construye una matriz real B tal que p B (x) = (x 1) 2 (x 3) y m B (x) = (x 1)(x 3) c) Construye una matriz real C tal que p C (x) = m C (x) = (x 1) 2 (x 3) Ejercicio 623 Determina la matriz de Jordan (sobre el cuerpo R ó C en el que el polinomio característico descomponga en factores lineales) de las siguientes matrices, dando en cada caso una base de Jordan y el polinomio mínimo a) 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 b) 2 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 c) 3 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 1

d) g) 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 0 4 2 1 1 4 1 1 1 3 0 11 FORMA CANÓNICA DE JORDAN 65 e) h) 2 1 2 1 4 2 4 2 2 1 2 1 4 2 4 2 2 2 1 1 0 2 1 3 2 2 1 1 0 2 1 3 i) f) 6 3 9 3 4 2 6 2 2 1 3 1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 4 3 1 1 1 1 0 0 0 0 2 Ejercicio 624 Estudiar si las siguientes matrices son triangularizables sobre Q y, en caso afirmativo, dar una matriz de paso a una forma de Jordan: 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 3 2 1 1 0 1 1 0 1 0, 1 0 1 2 0 0 1 1, 10 5 8 9 3 1 1 3 0 1 1 1 1 2 1 0 2 1 3 4 Ejercicio 625 Sea V = C 10 y f EndV con un único valor propio λ Denotemos n i = dim Ker(f λ Id) i Hallar la forma canónica de Jordan de f en los siguientes casos: a) n 1 = 3, n 2 = 5, n 3 = 7, n 4 = 9 y n 5 = 10; b) n 1 = 3, n 2 = 6, n 3 = 9, y n 4 = 10; c) n 1 = 2, n 2 = 4, n 3 = 6, n 4 = 8, n 5 = 9 y n 6 = 10 Determinar el polinomio característico y mínimo en cada caso Es posible que se den valores n 1 = 2, n 2 = 4, n 3 = 7, n 4 = 9 y n 5 = 10? Ejercicio 626 Consideremos el endomorfismo f de R 4 definido por f(x,y,z,t) = (7x+3y+11z 2t, 2x 4y 5z 4t, 3x 4z+3t, 2x+3y+5z+3t) a) Determinar si f tiene asociada una matriz de Jordan En tal caso, hallar su forma de Jordan J y una base B tal que M BB (f) = J b) Estudiar si las siguientes matrices pueden estar asociadas a f y, en caso afirmativo, encontrar una base respecto lo cual lo estén: 0 2 1 0 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0 2 3, 0 2 1 3 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0 2 3 Ejercicio 627 Sea R[x] 2 el R-espacio vectorial de polinomios de grado 2 y f : R[x] 2 R[x] 2 el endomorfismo definido por f(p) = P +P (donde P denota la derivada) a) Encuentra la forma canónica de Jordan de f y una base de Jordan b) Demuestra que f 1 es una expresión polinómica en f [Sugerencia: Utiliza P f (x)] c) Utiliza b) para encontrar la matriz de f 1 en la base 1,x,x 2 [Observación: Por supuesto se puede hacer sin utilizar b), pero se trata de aprender otras técnicas]

66 6 LA FORMA CANÓNICA DE MATRICES Y ENDOMORFISMOS Ejercicio 628 Calcular la forma canónica de Jordan y una matriz de paso para la matriz n n a b 0 0 0 0 a b 0 0 0 0 0 a b 0 0 0 0 a Ejercicio 629 Calcular p(a) para las siguientes matrices A y polinomio p(x): 3 1 1 a) 1 2 1, p(x) = x n ; 1 1 1 1 1 0 b) 1 1 0, p(x) = x n + x n 1 + + 1 1 1 2 Ejercicio 630 Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita Probar que f EndV es diagonalizable si y sólo si m f se descompone como producto de factores lineales sobre K y todas sus raíces son simples Ejercicio 631 Decidir razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 1) Sean f EndV y p, q K[x] Entonces p(f) = q(f) si y sólo si p = q 2) Sea f EndV Entonces los valores propios de f coinciden con las raíces en K de m f 3) Si A M n (K), A es triangularizable si y sólo si m A se descompone como producto de factores lineales sobre K 4) Si un bloque de Jordan J r (λ) es diagonalizable, entonces r = 1 Ejercicio 632 En un bosque maderero, los árboles están clasificados en dos tamaños Un censo que se hace cada 5 años reclasifica un 30 % de los árboles de tamaño menor, que pasan a ser de tamaño grande Entre cada dos censos se corta un 10 % de los árboles de tamaño grande y se repuebla con el mismo número de árboles de tamaño pequeño Aumenta el número de árboles con el tiempo? Si inicialmente había 1000 árboles de tamaño pequeño y ninguno grande, cuántos árboles de tamaño grande hay pasados 20 años? [Sugerencia: si x n representa el número de árboles pequeños e y n ) representa el número de árboles grandes después ( ) ( ) xn xn 1 de n períodos de 5 años, se tiene = A para una cierta matriz A que convendrá diagonalizar] y n y n 1