UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #5: FUERZAS ESPECIALES DE LA MECÁNICA PARTE II- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Fuerzas de contacto o Fuerza en cuerdas. o Fuerza elástica. o Fuerza entre superficies sólidas. o Fuerza de fricción en fluidos. Temas 1 I. Fuerza de contacto 1. Fuerza en cuerdas En el módulo # 3, en donde se discutió sobre el concepto de fuerza y sus características se decía que la función de la cuerda es la de "tirar" (hacer tracción) sobre los objetos. Por la experiencia en la vida cotidiana se puede concluir que una cuerda no se puede utilizar para empujar los objetos. Las cuerdas cuando están desempeñando sus funciones físicas fundamentales (halar cuerpos, transmitir ondas) lo hacen en TENSIÓN: ellas no se pueden someter ni a flexión, ni a compresión como una barra sólida, la cual se puede someter a tracción (tensión), flexión y compresión. La observación diaria hace concluir que por más que se trate de mantener una cuerda larga en posición horizontal (tensionándola), esto no es posible. Siempre se curva ("se cuelga") por la acción de la atracción que le ejerce el planeta tierra, es decir, por su peso, y este efecto es más notorio entre más larga sea la cuerda. No sobra decir que esa curva se le conoce con el nombre de catenaria, Figura 1. Sin embargo, para muchas aplicaciones se desprecia la masa (y por ende el peso) de las cuerdas, por lo que se puede obviar este hecho: este será el caso en este curso. Figura 1 Se denominan cuerdas ideales a aquellas que para la situación física en particular se les pueda despreciar tanto su masa como los efectos de rozamiento. En estos casos se puede asumir que las fuerzas de tensión sobre la cuerda en sus extremos serán iguales en magnitud, Figura 2. Esta afirmación se aplica así se encuentre la cuerda acelerada: esto se demostrará en el módulo de dinámica. En la Figura 3 se adelanta un análisis sobre esto: la cuerda ideal se puede asimilar como un trencito donde sus vagones tienen masa
despreciable y están en ausencia de fuerza de fricción, y por lo tanto, la fuerza en el primer vagón se transmite en intensidad íntegramente al último vagón. 2 Figura 2 Figura 3 En la Figura 4 (b) se ilustra el análisis sobre un pedazo de cuerda del sistema físico de la Figura 4 (a): las magnitudes de las fuerzas en los extremos del pedazo de cuerda se pueden considerar iguales bajo la suposición de cuerda ideal. Cabe preguntarse si bajo la suposición de cuerda ideal, se seguirá cumpliendo que las tensiones de la cuerda en sus extremos son iguales en magnitud cuando esta cambia de dirección al pasar por una polea. En la Figura 4 (c) se ilustra esta situación: se puede demostrar que la "propiedad" de transmisión "íntegra" de la magnitud de la fuerza a través de una cuerda se mantiene cuando ésta pasa a través de una polea, si se puede despreciar la fricción en el eje de la polea y ésta se encuentra en equilibrio de rotación: esto se demostrará en el módulo de estática del cuerpo rígido (en la Figura 5 se adelanta un análisis sobre esto). Si la polea está acelerada angularmente, es decir, no rota con velocidad angular constante, la tensión se transmitirá íntegramente si esta se considera polea ideal, es decir, de masa despreciable y fricción en su eje también despreciable: esto se demostrará en el módulo de dinámica del cuerpo rígido. (a) (b) (c) Figura 4
3 Figura 5 2. Fuerza elástica (resortes) Al aplicar una fuerza sobre un resorte, tal y como se ilustra en la Figura 6, el resorte se estira. (a) (b) (c) Figura 6 Experimentalmente se verifica que para alargar el resorte dentro de ciertos límites, se necesita ejercer sobre él una fuerza F proporcional a dicho alargamiento x (o deformación x, o elongación x), es decir, si se duplica la fuerza se duplica la deformación x y así sucesivamente. Esto se puede escribir matemáticamente como sigue: F = kx donde F y x son las magnitudes de los vectores fuerza (fuerza que ejerce el señor para estirar el resorte) y elongación (medida a partir de la posición O cuando el resorte poseía su longitud natural) tal y
como se ilustran en las Figuras 6 (b) y 6 (c). La constante de proporcionalidad k es la denominada constante de rigidez del resorte y se expresa en el SI en N.m -1. La fuerza F que ejerce el resorte sobre la mano, es igual y opuesta a la fuerza F que ejerce la mano sobre el resorte (ley de acción y reacción), es decir, se cumple la siguiente relación vectorial: F = - kx [1] 4 el signo MENOS indica que la fuerza que ejerce el resorte sobre la mano del señor se opone a su deformación (desplazamiento medido desde O). Esta ley experimental es conocida como Ley de Hooke y a la fuerza se le denomina fuerza recuperadora o fuerza hookeana. Gráfica F vs x en la deformación de un resorte: En la Figura 7 se ilustra la gráfica F vs x en la deformación de un resorte (F corresponde a la magnitud de la fuerza deformadora y x a la correspondiente deformación, siendo cero cuando el resorte posee la longitud natural). Figura 7 El resorte cumple la ley de Hooke en una porción de su deformación (corresponde a la sección rectilínea de la gráfica). Si se sobrepasa este límite entra a la denominada región plástica, en la cual el resorte se queda deformado y no recupera su longitud natural cuando cesa la fuerza deformadora. Si se sigue tratando de deformar llega al denominado punto de ruptura (es decir se rompe ). En este curso se trabajarán los resortes en su primera zona, en donde su comportamiento se dice que es lineal, es decir, en la zona que obedece la ley de Hooke. El dinamómetro Esta propiedad de linealidad entre la fuerza y la deformación del resorte es empleada para diseñar un instrumento que sirve para medir fuerzas, conocido con el nombre de dinamómetro. Para ello se utiliza un resorte y una escala graduada para medir su elongación, Figura 6. Conocida la constante de rigidez del resorte es posible lograr una calibración de la escala (por eso a la práctica de laboratorio cuyo objetivo es medir la constate de rigidez de un resorte se le conoce con el nombre de calibración del resorte, la cual se puede realizar a través de un método estático y otro dinámico). Si por ejemplo, el resorte tiene una constante de rigidez igual a 25,0 N/cm, significa que por cada cm que éste se elongue, debe corresponder a una fuerza de 25,0 N. Así, si el dinamómetro se estira 3,00 cm la fuerza tendrá un valor de 75,0 N. En la
Figura 8 un señor está tirando de un bloque y a la vez el dinamómetro está midiendo la fuerza que está ejerciendo: observando la figura con cuidado, se puede afirmar que si la constante de elasticidad es de 10,0 gf/división, la fuerza que está ejerciendo el señor es aproximadamente igual a 50,0 gf. 5 Figura 8 En la Figura 9 se ilustran algunos dinamómetros que se usan comúnmente en los laboratorios. (a) (b) (c) Figura 9 3. Fuerza de contacto entre superficies sólidas Cuando las superficies de dos cuerpos están en contacto hay la presencia de dos fuerzas: la fuerza normal (siempre) y la fuerza de rozamiento (en el caso en el que alguno de los cuerpos se le está tratando de desplazar respecto al otro o si hay movimiento de un cuerpo respecto al otro). Este es el tema que se abordará en esta sección. Fuerza Normal Cuando un objeto descansa sobre una mesa, la fuerza de gravedad que le ejerce el planeta tierra (o sea el PESO) no desaparece. Pero por qué el cuerpo no se cae? La razón es que la mesa ejerce una fuerza (N) hacia arriba que equilibra la fuerza de gravedad (P). De alguna manera la mesa se comprime ligeramente
bajo el cuerpo y, por su elasticidad, lo empuja hacia arriba, como se indica en la Figura 10. La fuerza que ejerce la mesa es perpendicular a su superficie y se le denomina fuerza Normal N. 6 Figura 10 La fuerza normal NO necesariamente será igual en magnitud al peso. Por ejemplo, si en el caso de la situación física representada en la Figura 10, un señor se apoya sobre el objeto, Figura 11, la fuerza normal N, tendría que equilibrar a la fuerza de gravedad (peso P del objeto) y a la fuerza que ejerce el señor sobre el objeto (F). La fuerza normal tiene un comportamiento especial: si aumenta F de la situación de la Figura 11, aumenta también N, hasta llegar a un límite donde la mesa (en este caso) llega a un punto de ruptura y se quiebra. Figura 11 Hay situaciones donde representar la fuerza normal puede suscitar algunas dudas para asignarle la dirección. En las Figura 12 (a) y (b) se ilustran dos de estos casos: N 1 y N 2 son las respectivas normales. En 12 (a) las direcciones de las normales son orientadas por la pared y el piso; en 12 (b) las direcciones de éstas son orientadas por los planos inclinados.
7 (a) (b) Figura 12 La fuerza de Fricción Los efectos de fricción en la mayor parte de los casos prácticos tienen mucha importancia. Existe fricción entre dos superficies sólidas debido a que en escala microscópica la superficie es bastante áspera aunque ella parezca lisa. Las fuerzas de rozamiento o de fricción, son las fuerzas que dos superficies en contacto ejercen una sobre la otra y que se oponen al deslizamiento de una superficie sobre la otra. Sea por ejemplo un objeto reposando sobre la mesa: en principio las únicas fuerzas que actúan sobre él, son la fuerza de atracción que le ejerce el planeta (peso P) y la fuerza normal que le ejerce la mesa (N), Figura 13 (a). Supóngase ahora que se trata de deslizarlo, para lo cual se aplica una fuerza F muy leve y no se logra, Figura 13 (b): Qué ha pasado? Se debe concluir que apareció una fuerza opuesta e igual a la fuerza aplicada. Esta fuerza es la fuerza de rozamiento f. Si se continúa aumentando esta fuerza F lentamente, el cuerpo continúa aun en reposo, Figura 13 (c) (lo que significa que la fuerza de fricción f aumentó en la misma proporción) hasta llegar a un valor crítico de la fuerza F, en donde el cuerpo está que comienza a moverse (movimiento inminente): en ese valor crítico de F, la fuerza de fricción f adquiere su valor máximo, Figura 13 (d). Cuando el cuerpo comienza a deslizarse, Figura 13 (e), se observa que incluso si se disminuye un poco la fuerza aplicada F se logra mantener el cuerpo en movimiento.
8 Figura 13 A la fuerza de fricción cuando el cuerpo está en reposo, se le denomina fuerza de fricción estática. Mientras que a la fuerza de fricción cuando el cuerpo está en movimiento se le denomina fuerza de fricción dinámica o cinética. Es posible demostrar experimentalmente los siguientes comportamientos de la fuerza de fricción para velocidades no muy altas (en este curso se considerará que siempre se está en este rango): La fuerza de fricción es aproximadamente independiente de la superficie de contacto siempre y cuando no cambien los materiales. Por ejemplo, el bloque ilustrado en la Figura 14 tiene los mismos efectos de fricción en la situación 14 (a) y en la 14 (b). Figura 14
La fuerza de fricción estática para movimiento inminente (la fuerza de fricción estática máxima) es proporcional a la fuerza Normal (N). Es decir: f s = μsn [2] donde s, corresponde al coeficiente de rozamiento estático para los materiales en contacto. La fuerza de fricción dinámica es proporcional a la fuerza Normal. Es decir: 9 f = μ N [3] k k donde k, corresponde al coeficiente de rozamiento dinámico o cinético para los materiales en contacto. En la Figura 15 se ilustra la gráfica F vs f del experimento descrito en la Figura 13: en la primera sección de la gráfica hay reposo relativo entre las superficies en contacto sin movimiento inminente; luego se llega a movimiento inminente; luego se pasa a una segunda sección de la gráfica que corresponde a movimiento relativo entre las superficies. Figura 15 En la siguiente tabla se ilustran los coeficientes de rozamiento para diferentes materiales.
MATERIALES Acero sobre acero. 0,74 0,57 Aluminio sobre acero 0,61 0,47 Cobre sobre acero 0,53 0,36 Latón sobre acero 0,51 0,44 Cobre sobre vidrio 0,68 0,53 Goma sobre concreto seco 1,0 0,80 Goma sobre concreto húmedo 0,30 0,25 s k 10 Fuerza de fricción por rodadura: Observar la rueda de la Figura 16. Si ella RUEDA SIN DESLIZAR, el punto de contacto entre la rueda y el suelo tiene velocidad instantánea nula. Esto es debido a que en ese punto la velocidad de traslación de la rueda y su velocidad de rotación son iguales en magnitud y de sentidos opuestos, de tal forma que su suma vectorial se anula (esto se analizará con todo el detalle en el módulo de dinámica de cuerpo rígido). Por tanto la fuerza de fricción que actúa en el punto de contacto A, es una fuerza de fricción estática, y si no hay deslizamiento inminente (es decir, a menos que se insinúe que la rueda va a comenzar a deslizar) no es posible emplear la expresión f = μ N s s Figura 16 Resumiendo sobre la fuerza de contacto entre sólidos: En la Figura 17 se ilustra un caso general de la fuerza de contacto entre sólidos: esta es la resultante de la fuerza de fricción (que corresponde a la componente tangencial a las superficies en contacto) y la fuerza normal.
11 Figura 17 4. Fuerza de fricción en los fluidos Un sólido moviéndose en el seno de un líquido, Figura 18, experimenta una fuerza de resistencia f como consecuencia del rozamiento, que es proporcional a su rapidez V (siempre que ésta sea pequeña), a la viscosidad del fluido y al radio r del sólido supuesto esférico: f = 6πrηV [4] Esta se conoce como la ley de Stokes. Figura 18
Taller 1. Si la constante de elasticidad de un resorte homogéneo cuya longitud es L cm es igual a k N.m -1 y éste se divide en cuatro resortes iguales, cuál será la constate de rigidez de cada uno? 2. En la Figura 19 se ilustra dos arreglos de resortes cuyas constantes de rigidez son: k 1 = 8,00 kn/m, k 2 = 12,00 kn/m, k 3 = 16,00 kn/m, k 4 =6,00 kn/m, k 5 = 24,00 kn/m y k 6 = 3,00 kn/m. Para cada uno los arreglos de resortes determinar la constante de rigidez equivalente, en otras palabras, cuál debe ser el valor de la constante de rigidez del resorte que reemplace a cada uno de estos dos arreglos de resortes. Rp, 3,69 kn.m -1 y 7,80 kn.m -1 12 Figura 19 3. Con base en la ley de Hooke, explique cómo construiría un dinamómetro. 4. En general, la fuerza normal no es igual al peso. Dar un ejemplo en que ambas fuerzas tengan la misma magnitud, y uno en que no sea así. 5. Al deslizar una caja de libros sobre un piso horizontal con una velocidad constante, por qué se ejerce una fuerza menor si se tira con un ángulo sobre la horizontal que si se tira con el mismo ángulo bajo la horizontal? 6. Mantener horizontalmente una regla de madera sobre los índices y juntar suavemente los dedos. la regla se desliza suavemente sobre los dedos? no, se desliza primero sobre un dedo y luego sobre el otro y así sucesivamente. Por qué se alterna el deslizamiento? 7. Cómo cree usted que varíe el valor de la fuerza de fricción por deslizamiento si hacemos los experimentos en la Luna en lugar de realizarlos en la Tierra? FIN