Sergio Alberino, Pablo D. Folino,

IV Seminario de Inteligencia Artificial y Robótica Análisis i de estabilidad d del Control dewma-pid Sergio Alberino, Pablo D. Folino, Claudio Verrastro, Juan Carlos Gomez alberino@gmail.com; pfolino@gmail.com; cverra@cae.cnea.gov.ar; juanca@inti.gob.ar Ilustración: Hernán Juárez www.secyt.frba.utn.edu.ar/gia/ JuanCaJuanCa

PMIR: Plataforma Móvil de Inspección Robotizada Plataforma para la experimentación de Hardware y algoritmos de control. Reproducible y de bajo costo.

PMIR En 2010 se incorporó a la Plataforma un brazo mecánico de 5 grados de libertad

Placas de desarrollo Las placas se pueden poner y sacar fácilmente en los distintos SLOTS del RACK y hasta pueden reprogramarse in situ.

Control de motores: Placa de desarrollo Control de motores de corriente continua, con microcontrolador, por medio de Modulación de Ancho de Pulsos (PWM)

Diagrama del control de posición

Control de posición: Respuesta al Escalón Unitario Transitorio Permanente

Ecuaciones del lpid P.I.D. (Proporcional Integral Derivativo) y(t) = K.e(t) + K/Ti e(t) dt + K.Td. d(e(t))/dt, Referencias: K = Constante del control proporcional. Td = Contante tiempo diferencial. Ti = Constante de tiempo de integración. e(t)= Error de posición (salida actual salida deseada).

Ventajas del lpid P.I.D. (Proporcional Integral Derivativo) Las partes Proporcional y derivativa aumentan la estabilidad La parte derivativa mejora la velocidad de respuesta La parte integral aumenta la exactitud al reducir el error en el estado permanente

P.I.D. Discreto y[n]= K. e[n] + K/Ti. i[n] + K Td. d[n] d[n] = (e[n] - e[n-1])/ts i[n] = Ts.Σ e[n] e[n]: e[n-1]: i[n]: d[n]: Ts : Error de posición (pos. actual pos.deseada). Error de posición del ciclo anterior. Sumatoria de los errores de posición. Diferencia de los errores de posición. Intervalo de muestreo.

Problema: Efecto Wind-up Como el termino integral se calcula como acumulación de muestras, cuando el sistema se encuentra lejos del valor de consigna esta suma puede saturar y producir un efecto denominado Wind-up. La mayoría de los controladores PID incluyen métodos denominados anti Wind-up para evitar este efecto, habilitando la integral solo cuando el sistema se encuentra cerca del valor de consigna (SET POINT)

Control de caudal Caudalímetro ruidoso

Problema: Oscilaciones indeseadas Al calcularse el término derivativo como diferencia entre error actual y el anterior, en presencia de ruido se producen saltos en el valor de la derivada. d[n] = (e[n] - e[n-1])/ts

Solución: Usar solo P-I Utilizar solo un PI, eliminando la Derivada. Pero de esa manera se pierden las ventajas propias del término derivativo: Reducción del sobre-impulso y del tiempo de establecimiento

Solución: filtro PasaBajos El filtro reduce las oscilaciones, pero disminuye también el tiempo de respuesta y puede afectar a la estabilidad del sistema.

Filtrado dinámico

Promedio Móvil Ponderado Exponencialmente Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) Donde las muestras mas recientes tienen una ponderación mayor que las antiguas Este promedio móvil tiene características de un filtro pasa bajos

Promedio Móvil Ponderado Exponencialmente Ej: N=10 y K=1 El retardo introducido por el filtro será τ = N. Ts

Características del error Se supone Ruido superpuesto a la señal de entrada de tipo Gaussiano, con valor medio cero y varianza σ 2 conocida (o estimada). A la salida del un filtro EWMA de Longitud N resulta

Solución Propuesta Controlador dewma-pid Filtrado de longitud variable según el estado en que se encuentra el sistema

Solución propuesta: dewma-pid Transitorio Permanente

Controlador dewma-pid

La variable proporcional P[n] La variable derivativa D[n] D[n] = P [n] - P [n-1]

La variable Integral I[n] Donde I[n], Para N=1 (transitorio) Para N>>1 (permanente) I[n] e I[n] Np.e Por lo que funciona como una sumatoria acotada

Criterio de cambio de Np Donde σ es el desvío estándar del ruido y fn es el factor de adaptación con Donde σ es el desvío estándar del ruido y fn es el factor de adaptación con el cual se incrementa o decrementa Np (Se usa 1.01 a 1.1, pero puede ser 2)

En régimen transitorio: PD En régimen transitorio Np tiende a la unidad : N 1 U[t]= (Kp + Ki ). e[n] + Kd. (e[n]-e[n-1]) K

En régimen permanente En el régimen permanente Np crece y el término derivativo se hace despreciable. Para un error ξ, pequeño pq y distinto de cero, y Ts=1 queda: U[s]= (Kp + Ki. Np). ξ,

Estabilidad

Análisis de Estabilidad Las fórmulas recursivas simplifican la implementación en el microcontrolador, pero dificulta el estudio de la estabilidad con las herramientas clásicas de análisis, por lo que se procedió a expresar la función de transferencia en términos de la frecuencia discreta z.

Análisis de Estabilidad Para el análisis de la estabilidad del sistema se considera una planta de segundo orden genérica (con dos polos, Pp1 y Pp2, representados en el plano Z)

Análisis de Estabilidad Para el análisis de la estabilidad del sistema se con-sidera una planta de segundo orden genérica éi (con dos polos, Pp1 y Pp2, representados en el plano Z) e(z)

Criterio de Jury Permite determinar la existencia de raíces inestables, sin tener que hallar el valor numérico de esas raíces. Para que el sistema sea estable todas las raíces del polinomio característico deben estar dentro del círculo unitario (Criterio de Schur-Cohn).

Ecuaciones

Análisis Gráfico de la Estabilidad

Controladores múltiples Es condición necesaria para asegurar la estabilidad global del sistema (aunque no suficiente), verificar que cada bloque controlador, por separado, no presenta inestabilidad al actuar sobre la planta que se desea controlar.

Estabilidad en el sentido de Lyapunov En 1892, el matemático yfísico ruso Alexander Mikhailovich Lyapunov, propone que un sistema es estable si toda condición inicial finita origina una trayectoria acotada, es decir, si la energía se disipa continuamente el sistema se estabiliza en un punto de equilibrio 36

Estabilidad en el sentido de Lyapunov Modelo de Variable Estado 37

Estabilidad en el sentido de Lyapunov 38

Estabilidad en el sentido de Lyapunov + Positiva - Negativa Para hallar la solución para esta ecuación se suele fijar Q como una matriz hermítica positiva, como puede ser la matriz Identidad (I), y a partir de allí determinar los coeficientes de P. 39

Estabilidad en el sentido de Lyapunov P =[ 1/2*(-1+a2)^2/(-a3+a2*a3+a1), -1/2*(-3*a3+3*a2*a3+2*a1)/(-a3+a2*a3+a1), 1/2*(-1+a2)/(-a3+a2*a3+a1)] [-1/2*(-a3+a2*a3+2*a1)/(-a3+a2*a3+a1), -1/2*a3^2/(-a3+a2*a3+a1), 1/2*a3/(-a3+a2*a3+a1)] [1/2*(-1+a2)/(-a3+a2*a3+a1), -1/2*a3/(-a3+a2*a3+a1), 1/2/(-a3+a2*a3+a1)]; Debe ser: DET(P) = 1/2/ (a3 - a2.a3 - a1) > 0 DET(P)N = ½.N2 / ( -P1.P2. N 2 + P1.P2.N - N.Ko.Kd + P1 2.N2.P2-2. P1 2.N.P2 + P1.N.Ko.Kd + P1 2.P2 - P1.Ko.Kd + P2 2. N2.P1 2.P2 2.N.P1 + P2.N.Ko.Kd + P1.P2 2 Ko.Kd.P2 + P1 2.P2 2. N 2 - P1 2.P2 2.N + 2.P1.P2.N.Ko.Kd Ko.Kd.P1.P2 + Ko2.Kd2 - P1* N 2 P2* N 2 - N 2 + N) > 0 40

Estabilidad en el sentido de Lyapunov el determinante de P depende de: P=f(Pp1 = f (Pp1, Pp2, Ko, Kd, N) Nmax Nmax 41

Conclusiones

Conclusiones Se presentó un método de control basado en un filtro EWMA con una constante de promediación (N) que se modifica dinámicamente (dewma) y toma un valor pequeño para el régimen transitorio, aumentando a medida que el sistema evoluciona hacia el valor de consigna. La constante de promediación N puede utilizarse como indicador del estado del sistema.

Conclusiones El análisis para distintos valores de N indica que se mantendrá estable si se cumplen las condiciones presentadas (Determinación de un Nmaximo) El nivel de promediación variable garantiza a su vez que de darse una condición de inestabilidad, el sistema evolucionará hacia un valor de N que garantice la estabilidad, si es que el sistema es estable con un controlador PD (N=1).

Preguntas? www.secyt.frba.utn.edu.ar/gia/ 45

Modelo en simulink

Bloque definido por el usuario

Rutina en pseudo C % Cálculo del término proporcional ----------------------------------------------- if((abs( e ) < ( 1.5 * sigma ))); % Tengo que aumentar N? N = N*fN; if( N > NMax ) N = NMax; end else if((abs( e ) > ( 3 * sigma ))); % Tengo que disminuir N? N = N/fN; if( N < 1 ) N = 1; end end; end; PN = PN + (e - PN)/N; % Cálculo del término derivativo ------------------------------------------------- d=pn-pnanterior; % Cálculo del término integral --------------------------------------------------- Ni = N; i = i + (e )- (i/ni); % DEWMAPID ----------------------------------------------------------------------- y = Kp * PN + Kd * d/ts+ Ki * i* ts; % calcula la acción de control.

Dinámicos: Parámetros para la comparación Tiempo de crecimiento (Rise Time) Tiempo de establecimiento (Settling Time), Sobre-impulso (Overshoot) Estáticos: Error en el régimen permanente (Steady State Error), Índice de Fletcher & Powell: (performance)

Parámetros para la comparación

Salida del sistema

Salida del sistema

Salida del sistema

Salida del Controlador

Salida del Controlador

comparación

comparación x 2 X 10 3

Resultados Experimentales

Resultados Experimentales Se realizaron mediciones desde la placa de control utilizando un dewma PID y un PID clásico ajustados experimentalmente sobre la misma planta. Los datos son enviado cada 20mseg a un software de PC que los representa gráficamente. El ruido de medición es simulado por medio de una p función RANDOM, en el microcontrolador de la placa de control.

Banco de prueba

Interfaz para medición

PID clásico En rojo: Posición En Azul: salida del controlador En Verde: N

dewma PID

PID clásico con ruido

dewma PID con ruido

Mas Conclusiones La constante de promediación N puede utilizarse como indicador del estado del sistema. sste Se logra un menor desgaste de los actuadores mecánicos junto con un ahorro de energía (menor consumo de la batería). Se hace innecesaria una rutina anti-wind-up