Ayudantía 7 - Solucionario Física General III (FIS130) Hidrodinámica Pregunta 1 Considere el agua que fluye con rapidez de 3 [m/s] sometida a una presión de 00 [KPa], por una cañería horizontal que más adelante se estrecha hasta la mitad de su diámetro. a) Cuál es la velocidad del flujo en la porción de menor sección transversal? b) Cuál es la presión en la porción más estrecha de la cañería? c) Qué relación existe entre la masa del agua que fluye por unidad de tiempo a través de cada sección? 1 a) A partir de la ecuación de continuidad se tiene que el caudal en la sección 1 debe ser igual al caudal de la sección : Q 1 = Q Entonces: A 1 v 1 = A v v = A π 1 v A 1 = 4D 4 D π v 1 = 4 3[m/s] = 1[m/s] 4 b) Para encontrar la presión en la porción más estrecha de la cañería se debe aplicar la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y marcados en la figura de arriba: Como h 1 = h entonces: P 1 + ρgh 1 + 1 ρv 1 = P + ρgh + 1 ρv P 1 + 1 ρv 1 = P + 1 ρv P = P 1 + 1 ρ(v 1 v ) P = 00 10 3 [Pa] + 1 1000 [kg/m3 ] (9 144)[m /s ] = 13500 [Pa] c) Para considerar la relación en la parte a) se debe considerar que el fluido o flujo es incompresible, es decir que no varía su densidad. Si nos imaginamos un volumen fijo que encierra los puntos 1 y de la tubería, tal como se muestra en la siguiente figura:
Si la masa de flujo que entra en un tiempo t es mayor de la que sale del volumen (línea roja segmentada) se tendrá que la masa se empezará a acumular masa dentro del volumen, aumentando así su densidad (el volumen del flujo dentro de este volumen imaginario no cambia). Lo mismo ocurre en el caso contrario, en donde el fluido dentro del volumen imaginario disminuiría su densidad. Pero como el flujo es considerado incompresible, se tiene que la masa de agua que entra por unidad de tiempo al volumen imaginario debe ser igual a la que sale: ρq 1 = ρq
Pregunta Para sacar agua de un recipiente se utiliza un sifón como el mostrado en la figura. El sifón posee un diámetro de 40 [mm] en su cuerpo y 5 [mm] en su salida. Calcule la rapidez de flujo del sifón y la presión en los puntos A, B, C, D y E. (Considere ρ agua = 1000 [ kg m 3], g = 9.81 [m s] y las distancias en la figura en [mm]). Para poder encontrar la rapidez en cada punto mencionado, se utiliza la ecuación de Bernoulli, pero para ello se necesita conocer a priori las presiones en cada punto a evaluar. Como no se conocen las presiones en los puntos B, C, D y E, no se puede implantar la ecuación de Bernoulli en estos puntos, pero se conocen la presión tanto en el punto A como a la salida de la boquilla de la tubería, la cual será la presión atmosférica (P o ) puesto a que están abiertos a la atmósfera. Denominando como punto F a la boquilla de salida de la tubería se tiene que la ecuación de Bernoulli aplicada a estos puntos es: P A + ρgh A + 1 ρv A = P F + ρgh F + 1 ρv F Donde v A = 0 pues el estanque tiene un área transversal más grande que la tubería. Por otro lado si consideramos como origen la del punto F se tiene que h F = 0, entonces la ecuación de Bernoulli queda: P o + ρgh A = P o + 1 ρv F ρgh A = 1 ρv F v F = gh A = 9.81 [m/s ] 3 [m] = 7.67 [m/s] Luego, considerando al agua como un fluido incompresible se tiene que el caudal entre E y F debe ser igual: Q E = Q F v E = v F D F D E v E A E = v F A F v E = v F A F A E = 7.67 [m/s] (5 [mm] 40 [mm] ) =.997[m/s]
Finalmente, como el área transversal en B, C y D es igual a E se tiene que las rapideces en estos puntos son iguales que en el punto E. v B = v C = v D = v E =.997[m/s] Puesto a que ahora se tiene las rapideces para todos los puntos, se podrá encontrar las presiones para los puntos B, C, D y E. Bernoulli entre A y B: P A + ρgh A + 1 ρv A = P B + ρgh B + 1 ρv B Bernoulli entre B y C: P o = P B + 1 ρv B P B = P o 1 ρv B = 1 1000 [kg m 3] (.997 [m s ]) = 4494 [Pa] P B + ρgh B + 1 ρv B = P C + ρgh C + 1 ρv C P B + ρg(h B h C ) = P C P C = 4494 [Pa] + 1000 [ kg m 3] 9.81 [m s] (3 4.)[m] = 1666[Pa] Puesto a que la velocidad en B y en D es igual, se tendrá que la presión solo variará por efecto de la diferencia de altura y como ambos puntos tienen la misma altura se tiene que la presión en D es igual a la de E. Bernoulli entre D y E: P D = P B = 4494 [Pa] P D + ρgh D + 1 ρv D = P E + ρgh E + 1 ρv E P E = P D + ρgh D P E = 4494 + 1000 [ kg m 3] 9.81 [m s] 3[m] = 4939 [Pa]
Pregunta 3 Se tiene un estanque cilíndrico de gran diámetro elevado a 3 [m] sobre el suelo. Si el estanque posee un orificio en la parte más baja de diámetro d = 0 [cm] como se muestra en la figura, a qué distancia (horizontal) del borde del estanque caerá el agua cuando la altura en el estanque sea h = [m] (considere las distancia en [mm]). Para conocer la distancia horizontal que alcanza el agua cuando la altura de ésta sea de [m] se debe conocer la velocidad con que sale el agua cuando ésta se encuentra a dicha altura. Para ello se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y que aparecen en la siguiente figura: 1 P 1 + ρgh 1 + 1 ρv 1 = P + ρgh + 1 ρv Pero como el punto 1 y se encuentran en contacto con la atmósfera: P 1 = P Por otro lado considerando que el estanque presenta un área mucho más grande que el orificio, se tiene que v 1 0, entonces: v = g(h 1 h ) = gh Con h la altura del agua dentro del estanque. Luego la distancia que alcanza el chorro de agua dependerá del tiempo en que permanezca en el aire. Éste queda determinado por la componente vertical del movimiento, pues no existe variación de la velocidad en su componente horizontal. El tiempo de caída t c se determina a través de la ecuación de posición de una masa pequeña de agua en el eje vertical: y(t) = y o + v oy t 1 gt Si el eje y se mide desde la base de la estructura, entonces el tiempo de vuelo queda determinado por: 0 = h 1 gt c t c = h g Con h la altura a la que se encuentra el orificio medido desde la base de la mesa. Entonces la distancia horizontal que alcanza un chorro de agua cuando h = [m] es: X = v t c = gh h g = h h = 3 [m] = 6 [m]
Pregunta 4 Dos estanques abiertos muy grandes A y F, contienen el mismo fluido. Un tubo horizontal BCD, con una contricción en C y abierto al aire en D, sale del fondo del estanque A. Un tubo vertical E emboca en la contricción C y baja al líquido del tanque F. Suponga flujo de línea de corriente y cero viscosidad. Si el área transversal en C es la mitad del área en D, y si D está a una distancia h 1 bajo el nivel del líquido A, a qué altura subirá el líquido en el tubo E? (Exprese su respuesta en términos de h 1 ). Bernoulli entre A y D P A + ρgh 1 + 1 ρv A = P D + 1 ρv D Pero P A = P D pues están abiertos a la atmósfera, por otro lado v A 0 pues corresponde a un estanque (área transversal muy grande en comparación el tubo horizontal). Luego la velocidad en C Por otro lado por la ley hidrostática: v D = gh 1 A c v c = A D v d v c = A D A C v d = v d = gh 1 P E = P F ρgh Donde P F = P D = P A = P atm. La presión P E es la misma que se tiene en el punto C pues en la constricción solo existe aire, y este es de baja densidad para que varíe su presión con respecto a la altura. P C + 1 ρv c = P D + 1 ρv D P C = P D + 1 ρ(v D v C ) = P D 6 ρgh 1 Y de lo dicho anteriormente (P C = P E ): P D 3ρgh 1 = P F ρgh h = 3h 1
Pregunta 5 El medidor de Venturi, es un manómetro colocado en el tubo para medir la velocidad de flujo líquido Un líquido de densidad ρ fluye por un tubo de sección transversal A 1. En el cuello el área se reduce a A y se instala el tubo manométrico como se indica en la figura. Demuestre que la velocidad del fluido está dada por: v 1 = A gh(ρ ρ) ρ(a 1 A ) 6 4 5 Para demostrar la velocidad que prosee el fluido de densidad ρ dentro del tubo, se debe realizar Bernoulli entre los puntos 1 y : P 1 + ρgh 1 + 1 ρv 1 = P + ρgh + 1 ρv P 1 + 1 ρv 1 = P + 1 ρv P 1 P = 1 ρ(v v 1 ) (1) Pero no se tienen las presiones de los puntos 1 y. Entonces se procede a calcular la diferencia de las presiones por medio del manómetro:
P 4 = P + ρg(h h) P 5 = P 4 + ρ gh = P + ρg(h h) + ρ gh = P 3 P 6 = P 1 = P 3 ρgh = P + ρg(h h) + ρ gh ρgh = P ρgh + ρ gh Por otro lado la ley de continuidad nos dice: A 1 v 1 = A v v = A 1 A v 1 Remplazado la expresión encontrada para la presión P 1 y para la velocidad v en la ecuación (1), se tiene: P ρgh + ρ gh P = 1 ρ [(A 1 v A 1 ) v 1 ] gh(ρ ρ) = ρv 1 [( A 1 ) 1] A gh(ρ ρ) = ρv 1 [ A 1 A A ] v 1 = A gh(ρ ρ) ρ(a 1 A )
Pregunta 6 La figura muestra un estanque cilíndrico diámetro R relleno de un líquido (ρ 1 ) hasta un altura H. Flotando en una piscina (ρ ) se encuentra un vaso cilíndrico de paredes muy delgadas de masa m y diámetro R. Inicialmente se encuentra sumergida a una profundidad b sin líquido en su interior. En t=0 comienza a salir el líquido (ρ 1 ) por un orificio muy pequeño de radio R/50. El líquido entra al vaso hasta hundirlo. Cuánto tiempo demora el cilindro en hundirse completamente? No considere el tiempo que demora en pasar del estanque al vaso. Inicialmente se calcula el volumen necesario de agua que necesita el vaso para que este quede completamente sumergido. Antes de llenar el vaso con líquido 1 (ρ 1 ), este se encuentra en reposo con una profundidad b sumergida, entonces se tiene que: mg = E o mg = ρ V desplazado g mg = ρ (πr b) g Luego, cuando el vaso se encuentra totalmente sumergido a causa de un peso adicional otorgado por el líquido 1 que ingresa a él, se tendrá lo siguiente: mg + ρ 1 (V adicional ) g = E mg + ρ 1 (πr y) g = ρ [πr (a + b)] g Donde y es la altura desconocida del volumen del agua que ingresa al vaso, para que este quede completamente sumergido. De la última ecuación se tiene: mg + ρ 1 (πr y) g = ρ πr a g + ρ πr b g mg + ρ 1 (πr y) g = ρ πr a g + E o
ρ 1 (πr y) g = ρ πr a g y = a ρ ρ 1 Para que esto pueda ocurrir H > y. Por otro lado se tiene que el área transversal del estanque es mucho mayor que el área transversal del orificio por donde sale el agua, por lo cual, por el Teorema de Torricelli, se tendrá que la velocidad de salida del líquido 1 por el orificio es: v = gh Donde h es una variable de altura que va desde el orificio inferior del estanque, hasta el nivel superior de éste. Se tiene que en un tiempo pequeño dt, la cantidad de volumen de agua que sale por el orificio es: Donde A o es el área transversal del orificio de salida. dv = v A o dt Este mismo diferencial de volumen de agua que sale se puede expresar en términos de la variable h. Si del estanque sale un volumen de agua dv, entonces (como se mantiene constante su área transversal A E ) se tiene que el agua del estanque disminuyó una altura dh, entonces: Igualando las expresiones: dv = A E dh v A o dt = A E dh A E dt = dh v A o A E dt = A o gh dh Luego se aplica integral a la última ecuación, donde los límites de la integral de la variable h serán desde la altura inicial H hasta la altura (H y): t dt 0 t = (H y) = A E A o g dh h H H A E A o g dh h (H y) A E t = ( H (H y)) A o g
t = 50 g ( H H a ρ ρ 1 )