CONTROL MULTIVARIABLE Fernando Morilla García Natividad Duro Carralero Dpto. de Informática y Automática fmorilla@dia.uned.es nduro@dia.uned.es
Contenido Tema : Introducción al control multivariable Tema 2 : Medidas de interacción Tema 3 : Control descentralizado Tema 4 : Control centralizado
METODOLOGÍA Selección de las variables controladas Selección de las variables manipuladas Selección de la confiuración de control Control Centralizado Control Descentralizado Selección del tipo de controlador
Características del control centralizado m variables de salida (variables controladas) n variables de entrada (variables manipuladas) controlador 3 posibles confiuraciones Diversas técnicas de diseño y de síntesis Síntesis: : Problema Optimización de una función objetivo Diseño: : Orien en el caso monovariable
Confiuraciones de control centralizado d G d r K u G y - y m Confiuración con un rado de libertad n
Confiuraciones de control centralizado d G d r K u G y y m Confiuración con dos rados de libertad n
Confiuraciones de control centralizado P z u v K Confiuración eneral: 2 anteriores son casos particulares
Síntesis Diseño y síntesis problema lobal de optimización aplicable a cualquier confiuración Diseño aplicable a la confiuración con un rado de libertad dos opciones:» Compensador Controlador diaonal» Desacoplo SVD Controlador diaonal
Control mediante compensador y controlador diaonal r e r 2 - e 2. -. r m e m - CONTROLADOR DIAGONAL K d u... u m COMPENSADOR W u y u m... PROCESO G... y 2 y m Skoestad y Postlethaite (996): Diseño compensador, W facilite el control de G Diseño Kd ) para G = G W Diseño K final K = W Kd
Control mediante desacoplo SVD y controlador diaonal r e r 2 - e 2. -. r m e m - MATRIZ U T e... e m CONTROLADOR DIAGONAL K d u... u m MATRIZ V u y u m... PROCESO G... y 2 y m Desphande (989): Descomposición en valores sinulares de G(0) = UΣVU T Diseño Kd ) para G = U T G V Diseño K final K = V Kd ) U T
Ejemplo de columna rectificadora 2 perturbaciones: caudal y composición de alimentación Perturbaciones F Z F Entradas L 2 manipuladas: caudal de reflujo caudal de vapor V COLUMNA DESPROPANIZADORA Salidas T C 2 controladas: temperatura en cabeza y en fondo T F
Control descentralizado de la columna rectificadora Perturbaciones F Z F PID L Salidas T C T Csp PID V COLUMNA DESPROPANIZADORA T F T Fsp Buenos resultados con ajustes individuales y conjuntos si la columna esta bien condicionada (λ<<)(
Compensación control descentralizado de la columna rectificadora Perturbaciones F Z F PID L Salidas T C T Csp PID Compensador V COLUMNA DESPROPANIZADORA T F T Fsp
Control centralizado de la columna rectificadora Perturbaciones F Z F L Salidas T C T Csp Controlador V COLUMNA DESPROPANIZADORA T F T Fsp
Compensación o Desacoplo Objetivo eneral: Determinar los elementos ij ) del compensador W tal que la planta G W presente menos problemas de interacción que el proceso oriinal G Falta de interacción (RGA = I):» Todos los elementos de fuera de la diaonal son nulos.» Todos los elementos por encima o por debajo de la diaonal sean nulos (interacción de una sola vía) Estudio del caso m x m, dado que el diseño de Kd ) es posterior a la selección de las variables controladas y manipuladas.
Compensación o Desacoplo Técnicas con objetivos particulares: Métodos de Desacoplo (Objetivo: conseuir una ausencia total de interacción o una presencia parcial de interacción) Procedimiento analítico Conseuir RGA iual a la matriz identidad Dominancia diaonal (Objetivo: compensación multivariable para conseuir la dominancia diaonal del conjunto formado por el compensador y el proceso) Procedimiento de optimización Conseuir bandas de Gershorin muy estrechas
Tipos de desacoplos Cambio de variables: Buscar un nuevo conjunto de variables manipuladas y de variables controladas Desacoplo dinámico Anular la interacción a todas las frecuencias Desacoplo en estado estacionario Anular la interacción en estado estacionario Desacoplo parcial Eliminar una de las vías de interacción
Ejemplo de desacoplo por Ejemplo de desacoplo por cambio de variable cambio de variable F 2 = = μ m m m 2 2 ; m m m x m m F = = Λ = x x x x x F m m 2 μ μ μ = 0 / / m m F x Λ = 0 0 Proceso de mezcla Proceso de mezcla Nuevas variables manipuladas Nuevas variables manipuladas Parcialmente Desacoplado (m Parcialmente Desacoplado (m afecta a x y F, pero afecta a x y F, pero μ sólo a F lo a F)
Ejemplo de desacoplo por Ejemplo de desacoplo por cambio de variable cambio de variable 2 2 ; m m m m m = μ = ν μ ν = 0 0 F x Λ = 0 0 Nuevas variables manipuladas Nuevas variables manipuladas Totalmente Desacoplado ( Totalmente Desacoplado (ν afecta sólo x y afecta sólo x y μ sólo a F lo a F) ν
Ejemplo de desacoplo dinámico Proceso 2 x 2 G W = = Se consiue desacoplo dinámico eliiendo adecuadamente ij = 0 4 incónitas = 0 2 ecuaciones
Ejemplo de desacoplo dinámico Proceso 2x2 Se tienen 2 rados de libertad y se fijan ) = ii (s G W Compensador 2 bloques unitarios 2 bloques dinámicos = = = 0 - = = - = 0 -
Ejemplo de desacoplo dinámico Otras posibilidades de desacoplo es fijar a dos de los ij y despejar los otros dos. No tienen porque ser los de la diaonal, como se hacía en al caso anterior. También se consiue el desacoplo perfecto eliiendo (Nordfeldt( Nordfeldt): = = - = - = Problema: la red resultante presenta la misma complejidad que la matriz de funciones de transferencia del proceso Punto de partida de una nueva metodoloía (Nordfeldt( Nordfeldt) ) que parte de que la red de desacoplo sólo debe incluir los retardos y la dinámica totalmente imprescindible
Ejemplo de desacoplo estático G W = = Proceso 2 x 2 = Compensador 2 bloques unitarios 2 bloques anancias = = - (0) (0) (0) (0) (0) (0) - - = (0) (0) (0) (0) - (0) (0)
Ejemplo de desacoplo estático Siuiendo la idea de Nordfeldt: = (0) = -(0) = -(0) = (0) Metodoloía incluida en TITO, tanto en dinámico como en estacionario. Con el fin de conseuir normalización, se incorpora un reajuste de las anancias de la red de desacoplo para que el elemento de GW ) tena anancia en estado estacionario
Problemas del Desacoplo Desacoplo es muy sensible a los errores de modelado y a las incertidumbres. Se debe avanzar en técnicas de desacoplo robusto. No arantiza un buen rechazo a las perturbaciones. Para conseuir un buen compromiso entre consinas y perturbaciones se debe acudir a la estructura con dos rados de libertad. A los ceros de transmisión del proceso se le suman los del compensador. No permite tratar sistemas con retardos.
Desacoplos para la columna despropanizadora G - = - 2.6 ( 23.7 s )(.8 s ) ( 7.9 s ) 0.57 ( 9.7 s )( 9.3 s ) ( 24.3 s )( 8.s ) 2 2 λ =.3 Buenos resultados con control descentralizado, poca interacción W W Desacoplo dinámico Desacoplo estacionario 2.2 s 8.47 s 0.57 0.2850 2 366.4 s 58 s 2 2 279.7 s 35.5 s 0.3846 2 833.s 93.08 s 2.6
Desacoplos para la columna despropanizadora Conjunto Compensador Proceso GW en ambos casos presenta RGA = I. Con desacoplo dinámico, porque los elementos de fuera de la diaonal son nulos. Con desacoplo estático, porque las anancias en estado estacionario de los elementos de fuera de la diaonal son nulos. Si la columna ya se podía controlar con 2 PID, mucho más fácil se controlará después de utilizar desacoplo dinámico o estático.
DNA del modelo de columna 2 despropanizadora DNA: Elemento 2 DNA: Elemento.5.5 0.5 0.5 Imainario 0 Imainario 0-0.5-0.5 - - -.5 -.5-2 -2-0 2 Real -2-2 - 0 2 Real
DNA del compensador estático modelo de columna despropanizadora 2 DNA: Elemento 2 DNA: Elemento.5.5 0.5 0.5 Imainario 0 Imainario 0-0.5-0.5 - - -.5 -.5-2 -2-0 2 Real -2-2 - 0 2 Real
Prueba de los desacoplos dinámico y estáticos de la columna en TITO Usando la metodoloía de Nordfeldt: Como no existen retardos, ni ceros y polos comunes entre los elementos de la misma fila de G, los resultados sólo incluyen un ajuste de anancias respecto a la otra solución Desacoplo dinámico 0.002358 2.074 s 0.768 s 0.005458 0.000674 2 s 0.7 s 0.003 0.000672 2 s 0.583 s 0.005458 0.00753 2 0.8728 s 0.08 s 0.003 Desacoplo estacionario -0.432 0.6-0.3 0.566
Desaparece la interacción n con ambos compensadores G( s) Desacoplos para la columna mal = 0.878 75s.082 condicionada 0.864.096 RGA = 35. 34. 34. 35. Malos resultados con control descentralizado, mucha interacción W W Desacoplo dinámico Desacoplo estacionario 8.5 s.082 0.9872 82.2 s.096 64.8 s 0.864 0.984 65.85 s 0.878 Conjunto compensador proceso GW RGA = I
Desacoplos estacionarios parciales para la columna mal condicionada G( s) = 0.878 75s.082 0.864.096 RGA = 35. 34. 34. 35. Desacoplo parcial en luar de total Desaparece una vía v a de interacción = = 0 ; 0.984 = 0.9872 ; 0 = 0.878 75 s G W =.082 75 s 878 s 0.02504 0.864 0 2 5625 s 50 s 75 s G W = 2.344 s 0.035 2.096 0 5625 s 50 s 75 s
Desacoplos estacionario con Nordfeldt para la columna mal condicionada 39.94-3.49 39.43-32 Red obtenida es estática, dado que no se necesita dinámica para desacoplar la dinámica del proceso puesto que viene determinada por un denominador común a todos los elementos del modelo del proceso. EL DESACOPLO SIGUE FUNCIONANDO ADECUADAMENTE
Desacoplos para el intercambiador de calor Sistema con poca interacción λ = 0.84 y retardos en tres de las cuatro funciones de transferencia del proceso: Con el procedimiento de desacoplo dinámico con = = no funciona debido a los retardos. Con Nordfeldt obtenemos una solución para el desacoplo dinámico, que reduce bastante la interacción proceso. Como ya era posible controlar el proceso con 2 PID descentralizados, mucho más fácil será ahora después de la compensación dinámica. Con desacoplo estático el resultado es mucho peor.
Control Centralizado por Desacoplo Controlador multivariable K ) se puede calcular: De forma directa por desacoplo Diseñando previamente un controlador diaonal Kd ) tal que K ) = W Kd K k k = k k W K d k 0 k k 2 = = 0 k k k 2 2
Control Centralizado por Desacoplo G W = = = K k - k 2 = - k k 2
Control Centralizado por Desacoplo k y k2 se diseñan con técnicas monovariables para sus respectivas funciones y 2, que uardan la siuiente relacion con los elementos de las funciones del proceso 0 0 0 2 0 G W = =
Control Centralizado por Desacoplo Resumiendo: Ajustar k para la función de transferencia = -()/ Ajustar k2 para la función de transferencia = -()/ Asinar k a la componente k del controlador y k2 a la k Calcular k como (/)k Calcular k como (/)k
Control Centralizado por Desacoplo Con desacoplo dinámico de Nordfeldt,, el proceso GW ) para el controlador diaonal tiene dos componentes iuales al determinante de la matriz G ) del proceso Por tanto es suficiente con ajustar k ) para determinar el determinante de G Las componentes del controlador son consecuencia del cálculo, condicionado por la naturaleza del proceso y la del bloque controlador
Control Centralizado con 4 PIDs Propuesta de control con 4 PIDs Usar desacoplo en estado estacionario Las cuatro componentes del controlador K ) son PI o PID K y K tendrán las mismas constantes Ti y TD Lo mismo para K y K El proceso GW ) siue presentando interacción con desacoplo estacionario TITO incorpora esta estrateia.
Compensación por dominancia Objetivo de la optimización: Minimizar un índice de la dominancia diaonal por columnas N m m p (jω ) (jω ) Estructuras del compensador Genérica J j = k= ij = N k= n p k i= l= i j ij ij p k m l= jl il (jω ) k k lj lj (jω ) k k Polinómica ij = 0ij ij s... β ij s Red clásica de compensación β ij = s s oij pij
Objetivo eneral: Síntesis Conseuir que el sistema de control presente un comportamiento óptimo Técnicas particulares: Control óptimo Determinar el controlador K Procedimiento analítico off-line Controlador de parámetros fijos Control predictivo Fijar una estrateia de decisión para el controlador Interacción con el usuario a través de parámetros de control y restricciones
Control óptimo: Un poco de historia 960, Kalman da solución al problema de control óptimo lineal (LQR) 96, filtro de Kalman (LQE) 963, LQRLQE => LQG 979, Doyle y Stein proponen LTR como una versión robusta del LQG 984, Francis y Helton resuelven el problema H multivariable
Un poco de historia Control predictivo: 970, interés por abordar problemas de control industriales (Control Adaptativo) 978, primeros controladores predictivos; ; MPHC (Richalet)) y DMC (Cutler( y Ramaker) 980s, popularidad del control predictivo, estación de las teorías 996, fusión de intereses (predictivorobusto( predictivorobusto), Honeyell presenta el RMPCT
Hipótesis: Controlador LQG El modelo es lineal (A,B,C,D) con perturbaciones en los estados y ruido en la variables controladas o medidas Los estados del proceso no son accesibles» Subproblemas: Problema del observador: filtro de Kalman, Problema de control: controlador LQR (estados estimados = est. proceso) p Matrices de anancias: K o, del observador K c, de la realimentación de estados Parámetros de diseño del controlador: Mismo orden que el proceso Potencias espectrales de las perturbaciones y ruido (W y V) Matrices de peso (Q y R) del LQR
Controlador LQG Estructura de control con señal de referencia K = K c (s I - A B K c K o C) - K o - K B d n r - - y m ŷ K o - s I A xˆ -K c u Proceso y m C
Hipótesis: Controlador LTR Es preciso mejorar las propiedades del LQG Solución: Tratar de que se comporte como el LQR en un rano de frecuencias Mejorar la robustez a altas frecuencias FTLA LQG = K c (s I - A B K c K o C) - K o C (s I - A) - B FTLA LQR = K c (s I - A) - B
Hipótesis: Controladores H 2 y H El sistema de control tiene la confiuración eneral Solución: Determinar K que minimiza la norma H 2 o H Determinar K que minimiza la norma matriz de la T z z = P P K (I - P K) - P donde P, P, P y P son matrices resultantes de la partición de P Parámetros de diseño: Pesos en las señales del sistema de control
Controlador predictivo Estructura de control: Valores pasados de las CV s, MV s y DV s Modelo Predicción de la CV CV TARGET Acciones de control propuestas en el futuro Optimizador Errores futuros Función de coste Restricciones Solución on-line al problema de optimización: Parámetros de diseño: Horizontes de predicción, restricciones
EJEMPLO