CAPÍTULO 3 HIDROGRAMAS UNITARIOS 31 Introducción Los hidrogramas de escurrimiento directo permiten calcular hidrogramas unitarios que permitirá pronosticar el gasto máximo que se presentará ante una precipitación efectiva n embargo, estos hidrogramas unitarios solamente servirán para calcular hidrogramas de escurrimiento directo cuando la duración de la precipitación efectiva sea igual a la del hidrograma unitario Existen varios tipos de métodos para calcular el HUI, a través de: Convolución Integral, Modelos Conceptuales, Curva Tiempo-Área, los cuales permitirán pronosticar avenidas, con sólo proporcionarle al método la lluvia efectiva y el hidrograma de escurrimiento 32 Hidrograma Unitario Común Este Hidrograma es la función de respuesta de periodicidad unitaria para un sistema hidrológico lineal El hidrograma unitario (HU) es definido como la gráfica del escurrimiento directo resultante de 1 cm de lluvia en exceso que se genera, de manera uniforme, sobre un área de drenaje a razón constante durante el transcurso de una duración efectiva de precipitación Es propuesto por primera vez en 1932 por Sherman, quien 12
clasificó el escurrimiento en superficial y de agua subterránea, para definir el HU solamente en escurrimiento superficial El HU es un modelo lineal simple que nos permite deducir el hidrograma resultante del exceso de lluvia para cualquier precipitación Para la implementación de este modelo, se hacen los siguientes supuestos: a) La lluvia en exceso es de intensidad constante dentro de la duración efectiva b) La lluvia en exceso está distribuida de manera uniforme sobre toda el área de drenaje c) La duración del escurrimiento directo (tiempo base del HU) que resulta del exceso de lluvia de duración conocida es constante d) Las ordenadas de los HU con un tiempo de base común son directamente proporcionales al escurrimiento directo total que cada HU representa e) Para una cuenca conocida, el HU que resulta de una lluvia en exceso refleja las características de la cuenca que no varían Estas suposiciones no se cumplen en condiciones naturales, no obstante, se selecciona la información hidrológica con cuidado para que estas condiciones se cumplan de manera aproximada Los datos que arroja el HU son generalmente aceptados para fines prácticos El modelo del HU fue desarrollado par aplicarse a cuencas gran tamaño, pero se ha demostrado que puede emplearse en cuencas pequeñas de menos de 05 km 2 hasta 25 km 2 Para situaciones en que una o más de las condiciones señaladas no se cumplen o no se 13
aplican, el modelo es inefectivo por lo cual no se puede emplear Las suposiciones hechas tienen las condiciones específicas siguientes: Suposición 1) Las tormentas que se eligen para el análisis deben tener una duración corta Esto es gracias a que existen más probabilidades de que éstas generen una razón constante de lluvia intensa en exceso, resultando en un HU bien definido, con un solo pico y con tiempo de base pequeño Suposición 2) El HU puede volverse inadecuado e inaplicable cuando el área de drenaje es muy grande para ser afectada por una lluvia uniformemente repartida En esta situación, el área debe ser fragmentada y analizar cada fracción para tormentas que las afecten por completo y de manera uniforme Suposición 3) El tiempo base en el escurrimiento directo es usualmente incierto, pero depende del método de separación del flujo base Este tiempo es generalmente corto si se toma en cuenta que el escurrimiento directo solamente contempla el escurrimiento superficial Pero es largo si también se toma en cuenta el escurrimiento subsuperficial Suposición 4) Las ideas de superposición y proporción son válidas, de tal forma que las ordenadas Qn del HU pueden obtenerse empleando la ecuación de convolución discreta obstante, la información hidrológica que se obtiene no es realmente lineal por lo que el HU que se obtiene es solo una aproximación que en la práctica es satisfactoria 14
Suposición 5) El HU se toma como único e invariable respecto al tiempo para una cuenca específica Esto se llama principio de invarianza temporal, el cual junto con los de superposición y proporción es elemental para el modelo de HU Esto sucede ya que los HU solamente se aplican cuando las condiciones en las que se encuentra el canal se conservan y las cuencas no tienen almacenamientos de agua considerables se cumple la última condición cuando en la cuenca existen muchos embalses o las creciente corren sobre planicies de inundación, debido a que se genera un gran almacenamiento 321 Deducción del HU Mediante la ecuación de convolución discreta se calcula el escurrimiento directo (Q n ) teniendo un exceso de lluvia (P m ) y el HU (U n-m+1 ) para la cuenca de estudio La ecuación es la siguiente: Qn = n M m= 1 P m U n -m+ 1 (31) Para poder realizar la deducción del HU, se realiza el proceso inverso llamado deconvolución que utiliza datos de P m (exceso de lluvia) y Q n (escurrimiento directo) Suponiendo que se tienen M datos de exceso de lluvia y N datos de escurrimiento directo en la tormenta analizada, se pueden obtener N expresiones para Q n ; donde n = 1, 2, 3,, N en términos de N-M+1 valores desconocidos del HU (U n-m+1 ) como se muestra en la tabla 31 Cuando se buscan los valores de U n-m+1 (HU) y Pm y Qn son valores conocidos, el conjunto de ecuaciones presentadas en la tabla anterior está sobredeterminado, ya que existen más soluciones (N) que incógnitas (N-M+1) 15
Tabla 31 Conjunto de ecuaciones para la convolución de tiempo discreto n = 1, 2, 3,, N Q 1 = P 1 U 1 Q 2 = P 2 U 1 + P 1 U 2 Q 3 = P 3 U 3 + P 2 U 2 + P 1 U 3 Q M = P M U1 + P M-1 U 2 + + P 1 U M Q M+1 = 0 + P M U 2 + + P 2 U M + P 1 U M+1 Q N-1 = 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 + + P M U N-M + P M-1 U N-M+1 Q N = 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 + + 0 + P M U N-M+1 Los HU determinados mediante la convolución discreta para diferentes frecuencias de lluvia, en una misma cuenca, son diferentes Por lo tanto, si se desea obtener una solución única, debe emplearse algún método de aproximaciones sucesivas para obtener la envolvente que más ajuste los datos obtenidos del HU Puede ser que el HU resultante presente algunos valores erráticos o incluso negativos, para corregir estos datos se ajusta una curva suave a los valores que se tienen para generar una aproximación más razonable al HU Estos valores erráticos se pueden adjudicar a la no linealidad que existen en la relación lluvia efectiva escurrimiento directo en la cuenca analizada Incluso, si la relación mencionada resultara verdaderamente lineal, los datos registrados pueden no reflejar esta situación apropiadamente Cabe puntualizar 16
que las tormentas reales no son uniformes en el tiempo y el espacio, tal como lo requiere la teoría 322 Aplicación del HU Ya determinado el HU, se emplea para deducir el hidrograma de escurrimiento directo (HED) y de caudal Teniendo un histograma de lluvia, se estiman las abstracciones y con ello es posible calcular el hietograma de exceso de lluvia, teniendo en cuenta que los intervalos de tiempo empleados deben ser iguales a los utilizados en el HU Mediante la ecuación de convolución discreta que se mencionó antes, es posible obtener el hidrograma de escurrimiento directo (HED) y añadiendo un flujo base estimado se encuentra el hidrograma de caudal 33 Hidrograma Unitario Instantáneo El hidrograma unitario instantáneo (HUI) es una pieza fundamental para el cálculo del método de tránsito de avenidas por vasos y causes n embargo, al igual que estos métodos requieren datos que le permitan trabajar, el HUI necesita información arrojada por otro tipo de métodos, que es la intensidad media de lluvia efectiva y el escurrimiento directo expresado en unidades compatibles el exceso de lluvia es una cantidad unitaria y su duración infinitesimal, el hidrograma resultante es una función impulso respuesta, esto significa que si un sistema recibe una entrada unitaria aplicada instantáneamente (un impulso unitario) en el tiempo t, 17
la respuestas del sistema en un tiempo posterior t esta descrita por una función de respuesta de impulso unitario u(t - t); donde t - t es el tiempo de retardo desde que se aplicó el impulso Para un HUI, el exceso de lluvia se aplica al área de drenaje en el tiempo cero, concepto que no se lleva a cabo en un caso real, pero resulta de gran utilidad porque el HUI caracteriza la respuesta de la cuenca a lluvia sin referencia a su duración Por consiguiente, el HUI puede relacionarse con la geomorfología de la cuenca (Chow, et al 1999) Lo anterior puede expresarse y calcularse por medio de la integral de convolución (32), que es la ecuación fundamental para la solución de sistemas lineales en una escala continua de tiempo d Q( t) = I( t ) U ( t -t ) dt (32) 0 Donde si I (t) es la intensidad de precipitación en centímetros por hora y dt es un intervalo de tiempo infinitesimal medido en horas, entonces I (t) dt es la profundidad de precipitación en centímetros que entra al sistema durante este intervalo El escurrimiento directo que ocurre en el tiempo posterior t -t como resultado de esta entrada es I (t) u (t-t) dt las cantidades I ( t ) y Q( t ) tienen las mismas dimensiones, las ordenadas de HUI deben tener dimensiones de [T -1 ] Para el HUI sus propiedades son con l = t -t: 18
0 u (l) algún valor pico positivo para l > 0 u (l) = 0 para l 0 u (l) fi 0 cuando l fi 0 u ( l) dl = 1 0 u ( l) dl = t (33) L La cantidad t L es el tiempo de retardo del HUI Puede comprobarse que este valor es el tiempo entre el centroide del hietograma de exceso de lluvia y el hidrograma de escorrentía directa Una forma ideal del HUI es la que se asemeja a un hidrograma con un pico único de escorrentía directa, sin embargo no siempre se obtiene un HUI ideal, ya que la mayor de las veces este tiene ordenadas negativas y ondulatorias Este tipo de problemas se pueden resolver a través de técnicas de optimización, como la programación lineal, programación cuadrática o programación no lineal Esta tesis adopta el método MINIMSE (Minimize the mean square error), en donde se minimiza el error medio cuadrático producido entre los hidrogramas de escurrimiento directo real y el calculado, usando como medio de optimización la programación no lineal, propuesta por Raynal (1985), por medio del algoritmo de optimización Rosenbrock para variables múltiples restringidas El método MINIMSE se asocia a la función objetivo (no lineal) que se muestra a continuación propuesta por Raynal (1985): 1/ 2 N 2 Ø e ( n) ø ( e) = Œ œ n= 1 N ß MSE (34) º 19
Donde: n 0 e( n) = q - d ( n -n + 1) r( n ) (35) n n = 1 Donde MSE (e) es el error medio cuadrático del pronostico hidrológico de gastos en un cauce, y e(n) es la diferencia entre el hidrograma de escurrimiento directo (HED) observado y el calculado, N es el numero de ordenadas del HED Planteando la función objetivo para aplicar en ella el método de optimización, Raynal (1985) obtiene: 1/ 2 N 2 Ø e ( n) ø min ( MSE( n)) = minœ œ (36) d d º n= 1 N ß Sujeto a las restricciones de: a) negatividad en las ordenadas del HUI: d 0 para i= 1,, M (37) b) De ordenamiento: d (1) d (2) d ( pico ) d (pico) d (pico+1) d (pico+2) (38) Donde d (pico) es la ordenada del HUI que corresponde al pico 20
331 Algoritmo de optimización de Variables Múltiples restringidas de Rosenbrock Este método sirve para resolver problemas en los cuales la función objetivo, es no lineal y las variables independientes se encuentran restringidas, (ec 34) Este método seguirá un procedimiento llamado algoritmo de optimización de Rosenbrock de variables múltiples restringidas, el cual se esquematiza y describe a continuación Este método de optimización tiene por objetivo minimizar el valor de la función objetivo (ec 36) generando valores de las ordenadas del HUI Encontrando los valor máximo y mínimo de una función de comportamiento no lineal sujeto a restricciones Minimiza F(X 1, X 2,,Xn) (39) Sujeto a G k X k H k, K = 1,2,,M (310) Las variables implícitas Xn+1,, X M son funciones dependientes de las variables explícitas independientes X 1, X 2,, Xn Las restricciones, superior e inferior H k y G k, pueden ser o no ser funciones de las variables independientes El algoritmo se basa en el procedimiento de Rosenbrock no restringido (fig 31) Este se finaliza cuando algún criterio de convergencia sea cumplido, o cuando caiga en alguna de las zonas límites fijadas en la vecindad de las restricciones Estas zonas límites se definen por medio de: 21
Zona inferior: G k X k (G k + ( H k- - G k )*10-4 ) (311) Zona Superior: H k X k (H k - (H k - G k ) )*10-4 ) (312) Para iniciar el procedimiento de optimización se requiere que el punto inicial (HUI inicial) no viole ninguna de las zonas o restricciones Este procedimiento se realiza de la misma manera en que trabaja la optimización de Rosenbrock con variables restringidas, solo que después de cada evaluación de la función objetivo se adicionan los siguientes pasos: 1) Se define F 0 como el mejor valor actual de la función objetivo en un punto donde las restricciones se satisfacen Se define F * como el mejor valor actual de la función objetivo evaluada en un punto que, además de satisfacer las restricciones, no se encuentre dentro de las zonas definidas por las ecs (311) y (312) F 0 y F * al comienzo son igualados al valor de la función objetivo evaluada en el punto inicial 2) el valor F de la función objetivo evaluada en el punto actual es peor que F 0, o no se satisfacen las restricciones, el intento se considera fallido y se continúa el procedimiento para variables no restringidas 3) el punto actual cae dentro de alguna de las zonas que determina la ec(311) y la ec (312), la función objetivo es modificada de la siguiente forma: F ( actual ) = F ( anterior ) - ( F ( anterior ) - F * ) ( 3 l - 4 l 2 + 2 l 3 ) (313) 22
Donde: l = G k + ( H k- - G k )*10-4 - X k (Zona Inferior) (314) ( H k- - G k )*10-4 l = X k - ( H k - ( H k- - G k )*10-4 ) (Zona Superior) (315) ( H k- - G k )*10-4 En el límite inferior de la zona, l=0, es decir, la función no se altera siendo F (actual) = F (anterior) Cuando se cae en una restricción, l=1, F (actual) = F * Por lo tanto, el valor de la función es reemplazado por el mejor valor actual en una región viable y dentro de los límites de una zona Para una función que mejora en tanto se aproxima a la restricción, la función modificada tiene un punto óptimo dentro de la zona límite 4) se obtiene una mejora en la función objetivo sin que esta salga de las zonas límites a las restricciones, F 0 = F * y continua el procedimiento 5) El procedimiento termina cuando algún criterio de convergencia es cumplido Para obtener el mejor HUI, se partió de un HUI inicial estimado a través de la ecuación de convolución tratada anteriormente, como los valores del HUI inicial en general presentan ordenadas negativas y oscilaciones, que son valores que no sirven, el HUI se altera haciendo que las ordenadas antes y después del pico asciendan o desciendan respectivamente conservando el valor y posición del valor pico, esto con la finalidad de que 23
Se escoge un punto inicial X 1 y los tamaños de paso iniciales, S I i = 1,2,3,,N y se evalúa la función objetivo 1 i = 1 Se incrementa X 1 el mejor punto a una distancia S i paralela a los ejes y se evalúa la función objetivo Es factible el punto? Esta dentro de límites? Mejoró la función? S i (nuevo) = b S i (viejo) 0 < b <= 1 Modificar función S 1 (nuevo) = a S 1 (viejo) a > = 1 i = N? i = i + 1 1 Es un fracaso? Converge? Rota los ejes Parar 1 Fija los tamaños de paso Figura 31 Diagrama de flujo del Algoritmo de Optimización de Rosenbrock 24
no se violen los límites iniciales del algoritmo Una vez realizado esto, se procede a optimizar donde el algoritmo evalúa la función objetivo generando ordenadas del HUI hasta encontrar los mejores valores de dichas ordenadas que hagan mínimo el valor de la función objetivo Se dice que se han encontrado los mejores valores para el HUI cuando el algoritmo con los valores de las ordenadas del HUI o "deltas" no se hace más de un ciclo con dichos valores y prácticamente el valor de la función objetivo no cambia El método MINIMSE es muy eficaz, ya que permite obtener el HUI óptimo eliminando las ordenadas que oscilan o que tienen un valor negativo 332 Creación y Evaluación de la Función Objetivo Debido a la complejidad para formar la función objetivo fue necesario hacer un algoritmo que permitiera la creación y evaluación de la misma, para un número indeterminado (M) de variables explícitas que representaran las ordenadas del HUI Con este algoritmo se pretende hacer una matriz, con nombre C (tabla 32), en la cual se guarden los coefientes de las variables a optimizar X 1, X 2, X 3 X M, el cuadrado de ellas, X 2 1, X 2 2, así como sus posibles combinaciones, X 1 X 2, X 1 X 3, X 2 X 3 Cabe mencionar que el valor de N, observada en el algoritmo es igual al número de variables explícitas (M=Nq-N L +1) y el valor de a i y b i se toman de la tabla 34 25
Datos: bi, ai, N B = 0 1 2 3 4 N N+1 1 C 1,1 C 1,N+1 i = i + 1 2 C 2,1 C 2,2 C 2,N+1 3 C 3,1 C 3,2 C 3,3 C 3,N+1 4 C 4,1 C 4,2 C 4,3 C 4,4 C 4,N+1 i = 0 B = B + b i 2 i = N m = 1 J = 1 C j, N +1 = 0 C j, m +1 = 0 i = j K = i j + 1 N C N,1 C N,2 C N,3 C j, m = C C j, m N,4 2a k bi C N,N C N,N+1 C j, N+1 = C j, N+1 + a k 2 i = i + 1 i = i + 1 i = N j = N m = N K = 1 J = N i = 1 K = K + 1 C j, m = 2 a1 ak i = i + 1 i = K m = m-1 m = 1 j = j - 1 C j, m = C j, m + 2 ai ak C j, m = C j+1, m+1 FIN Figura 32 Algoritmo para crear constantes de la función objetivo (matriz C) 26
Tabla 32 Matriz C Tabla 33 Matriz X 1 2 3 4 N N+1 1 X 1 2 X 1 2 X 2 X 1 X 2 2 X 2 3 X 3 X 1 X 3 X 2 X 3 2 X 3 4 X 4 X 1 X 4 X 2 X 4 X 3 X 4 X 4 2 N X N X 1 X N X 2 X N X 3 X N X N X N X N 2 27
Por separado se crea una matriz, matriz X (Tabla 33), con el valor de las variables X 1, X 2, X 3 X M y sus combinaciones Después se tendrá que multiplicar todas las celdas de la matriz X con las celdas de la matriz C de manera (i,i), es decir C(1,1)*X(1,1) C(N,1)*X(N,1) y así sucesivamente para cada columna, hasta hacer toda la matriz Una vez que se haya realizado esta operación, se suman todas las celdas creadas de la multiplicación A este término se le suma el término B (variable creada en el algoritmo), se divide entre Nq y se le saca raíz cuadrada, creando así y evaluando la función objetivo Tabla 34 Valores que toma el algoritmo de la Función Objetivo Lluvia Efectiva cm/hr a1 a2 a3 a3 HED m3/s/área b1 b2 b3 b4 an bn 28