OBLEMAS AIADOS 5(3-5) 34.-Un avión vuela en dirección orizontal a una altura sobre el suelo y con velocidad constante v. Desde tierra un dispositivo óptico sigue constantemente al avión. En el tiempo t = el avión se encuentra justamente encima del sistema óptico. a) Determinar la velocidad angular y aceleración angular que debe tener el dispositivo óptico para que enfoque permanentemente al avión. b) Determinar para qué ángulo la aceleración angular toma el valor mínimo. c) epresentar la velocidad angular y la aceleración angular frente al ángulo de un avión que vuela a una altura de = m con una velocidad constante de 4 m/s. onsiderar un sistema de referencia XY estando el sistema óptico en el eje de coordenadas y el ángulo que forma el dispositivo óptico se mide respecto del eje Y. En la figura el avión se encuentra en t= sobre el eje Y y al cabo de un tiempo t forma un ángulo con el eje Y y su abscisa es x. Y x Fig. O X dx a) La velocidad constante del avión es: v.la velocidad angular del dispositivo dt dθ dθ dx dθ óptico es: ω v. dt dx dt dx Si es grande podemos considerar que el aumento de x y de es muy pequeño: Δθ ω v () Δ x De la figura se deduce: tagθ x x tagθ cos θ De () y () ω v (3) Diferenciando en (3) : dx dθ cos θ Δθ Δ x cos θ ()
v.angular en rad/s v v Δω v dω cosθsenθ dθ - sen θ dθ sen θ (4) Δθ La aceleración angular es: α d ω dt d ω dθ dθ dt d ω ω dθ α v cos θ v v sen θ cos θ sen θ (5) b) ara allar el mínimo derivamos la ecuación (5) respecto de la variable e igualamos a cero. dα v cos θ cos θ sen θ cosθ senθ ( ) dθ cos θ cos θ cos θ sen θsen θ tagθ tagθ tagθ (6) sen θ La ecuación (6) se puede resolver por tanteo siendo = 3º, o se ace uso de la tagθ relación trigonométrica siguiente: tag θ tag θ c) tagθ 3 tagθ tag θ tag θ tagθ θ 3º tag θ 3 3,6,4,,,8,6,4, 4 6 8
aceler. angular en rad/s, -, -,4 -,6 -,8 -, -, -,4 4 6 8
343.-omprobar que para un gas perfecto que realiza un proceso adiabático se cumple la siguiente ecuación H H El subíndice señala el estado final y el el inicial. ara un gas perfecto, que efectúa un proceso adiabático reversible entre los estados termodinámicos y, se cumplen las siguientes ecuaciones. ; ara un proceso adiabático H H () Observando la ecuación del enunciado vamos a eliminar, ya que no aparece en la ecuación del enunciado, utilizando las ecuaciones anteriores: () ; Aora relacionamos p con. (3) ; Sustituyendo en (), las ecuaciones () y (3) resulta: H H
344.-La ecuación de lausius-lapeyron se aplica a una sustancia pura que se encuentra en equilibrio entre dos fases, y su expresión matemática es la siguiente: dp ΔH d Δ Si nos referimos a un equilibrio líquido vapor, p es la presión de vapor de la sustancia y H su calor de vaporización por mol, es la diferencia de volúmenes por mol entre la fase vapor y la fase líquida. a) Utilizando la ecuación anterior y los datos experimentales que aparecen en los datos del problema determinar a qué presión ervirá el agua pura cuando su temperatura es de º. b) Estimar a qué temperatura ervirá el agua pura en una montaña de m de altura, sabiendo que a nivel del mar la temperatura es º=93 K y que ésta disminuye según la ley = 93 z, λ 6,5.3 K/m Suponer que el vapor de agua se comporta como un gas perfecto. Datos: emperatura /K 93 33 333 353 373 H en J/mol 44,. 3 43,4. 3 4,4. 3 4,6. 3 4,7. 3 Masa molar promedio del aire M= 9 g/mol. a) Una sustancia pura en estado líquido ierve cuando su presión de vapor es igual a la presión externa que actúa sobre ella. Si queremos integrar la ecuación de lausius lapeyron debemos encontrar una relación entre la entalpía de vaporización y la temperatura. ara ello representamos en una gráfica los datos experimentales: 445 44 H= -44,39 + 576 =,9993 H/J.mol - 435 43 45 4 45 4 45 4 5 7 9 3 33 35 37 39 temperatura /K Los datos se ajustan bien mediante una relación lineal.
dp d 44,39 576 vapor líquido Dado que el volumen de un mol de agua en forma de vapor es muco mayor que el volumen de ese mol en estado líquido, acemos la aproximación de que la diferencia de volúmenes es el volumen de la fase vapor. Aplicamos la ecuación de los gases perfectos a la fase vapor p p Sustituyendo en la ecuación y separando variables resulta: dp d 44,39 576 p ln p 44,39 8,3 dp p 44,39 d 576 d 576 6884 ln te -5,3 ln - te () 8,3 ara allar el valor de la constante de integración utilizamos el eco experimental de que el agua pura ierve a º = 373 K cuando la presión de vapor es 35 a= atm. 6884 ln35 5,3 ln 373 te te,53 3,5 8,46 6,49 373 Sustituyendo este valor de la constante en la ecuación () ln p 5,3 ln(73 ) p 6884 73 384 35 6,49 ln p 7,78 p 384 76 7,9 mm Hg a b) alculamos el valor de la presión que existe en lo alto de la montaña. La variación de la presión con la altura es: d ρgdz () El signo menos indica que la presión disminuye con la altura. En la ecuación anterior puede admitirse, sin apenas error, que g es la misma que en la superficie terrestre y que la densidad del aire la expresamos en función de la presión y la temperatura, aplicando la ley de los gases perfectos. n m M ρ ρ 93 λz M M ρ M 93 λz Sustituyendo en la ecuación ()
d d dz 93 λ z ara resolver la segunda integral acemos el cambio de variable da 93 λ z a da λ dz dz λ dz 93 λ z d M g dz ln 93 λ z ln ln λ M g da λ a ln 93 λ z te ln a te λ ara allar la constante de integración, sabemos que cuando z= (nivel del mar) la presión es una atmósfera, o =35 a ln o ln 93 te λ ln ln λ te ln λ ln 93 λ λ 93 λz 93 93 λz ln ln 93 ln ln Sustituyendo valores numéricos en la última ecuación ln 35 3 9. 9,8 8,3 6,5. 3 o 93 6,5. ln 93 7,98. ayamos a la ecuación de lausius-lapeyron dp d ΔH 7,98. 4 35 l iquido dp p 44,39 576 p o dp 3 a,39 E d E 4 d 7,98. 5,33 6884 ln 373 373 35 4 e 35,39 44,39 576 5,33 6884 d d E 5,33 ln 6884 373 E 373 E 6884,39 5,33ln 8,46 373 E La ecuación (3) la resolvemos por tanteo E 8,7 5,33 ln 373 6884 E (3) E = 363 K 8,7<-,4+8,96 ; E = 365 K 8,7<-,+8,86 E = 367 K 8,7>-,86+8,76 ; E = 366,8 K 8,7>-,89+8,76 E = 366,6 K 8,7 -,9+8,78 Damos este último valor como solución E =366,6 K = 93,6 º
345.-El centro de una circunferencia de radio coincide con el centro de coordenadas de un sistema de referencia XY. Un segmento lineal de longitud mayor que se desplaza de forma paralela al eje X con una velocidad u uj. Dico segmento corta a la circunferencia en dos puntos simétricos respecto del eje Y. onsiderando el punto M de la figura, se pide: a ) alcular la velocidad del punto M y sus componentes sobre los ejes coordenados, b) sus aceleraciones. epresentar las mencionadas magnitudes frente a, si u=, m/s y = m. c) Determinar la ecuación θ f(t) y representarla para los valores anteriores de u y. Y M u X Supongamos que en el tiempo t = la recta toca a la circunferencia en el punto superior y que un tiempo t después se encuentra en la posición M indicada en la figura. Y y y M M Δθ X Fig. ranscurrido un tiempo muy pequeño t t el punto M a recorrido el arco M M y según el eje Y, el segmento lineal y. Designamos con v al módulo de la velocidad del punto M.
v m d(arcom M ) θ dt t ; y u t vm u θ y v m θ u y dθ En el límite escribimos v u dy De la figura se deduce: Finalmente: y cosθ dy senθ dθ u v u () senθ senθ dθ dy senθ v es el módulo de un vector que es tangente a la circunferencia en cada punto. Este vector tendrá una componente sobre el eje X y otra sobre el eje Y. En la figura 3 se a dibujado este eco. v y v x v Fig.3 v y vcosβ vsenθ u senθ u sen θ ; v vsenβ vcosθ x u senθ cosθ u tagθ () De las ecuaciones anteriores se deduce que la velocidad v tiene en cualquier punto de la circunferencia una componente sobre el eje Y constante y de módulo u. La componente x es variable. omo M recorre una circunferencia posee aceleración centrípeta cuyo módulo es: v u (3) sen θ a alculamos las componentes del vector aceleración sobre los ejes coordenados La aceleración sobre el eje Y es nula ya que la componente de la velocidad es u y se mantiene constante. La componente de la aceleración sobre el eje X vale:
a x dv dt x dvx dθ dθ dt d dθ u tagθ u dθ cos θ dt tag θ dy u dt sen θ sen θ u a x (4) 3 sen θ El signo menos de la ecuación anterior indica que la componente sobre el eje X tiene sentido contrario al positivo dθ dy u c) De la figura 4 se deduce que en el intervalo de tiempo t, el ángulo a pasado de valer cero a valer. t= A B O t Fig. 4 OB AB u u cos θ t θ arco cos t (5) Alternativa En la posición M de la fig.; correspondiente a un instante cualquiera t, en el que la posición angular θ(t) = θ es cualquier ángulo, el vector de posición respecto del centro de la circunferencia es. El vector velocidad. omo la velocidad según el eje Y es constante y vale u podemos igualar: Sustituyendo: Las componentes intrínsecas de la aceleración:
El vector aceleración y sus componentes cartesianas, se obtienen de derivar respecto del tiempo el vector velocidad. (6) Si acemos una aplicación para el instante en el que la posición angular es de θ = 9º. ; Separando variables e integrando resulta: ara t = ; θ = y cos = ; con lo que la constante = - esultando finalmente que las posiciones angulares del punto M varían con el tiempo por la ecuación: Las gráficas son las siguientes: Esta gráfica corresponde a la ecuación ()
velocidad(x)/m.s- velocidad/m.s-,8,7,6,5,4,3,, 5 5 Esta gráfica corresponde a la ecuación (),8,6,4, -, 5 5 -,4 -,6 -,8
(a x) m.s- aq.centrípetam.s- Esta gráfica corresponde a la ecuación (3),3,5,,5,,5 5 5 Esta gráfica corresponde a la ecuación (4) -, 5 5 -,4 -,6 -,8 - -,
aceleración tangencial en ms- Esta gráfica corresponde a la ecuación (5) 8 5 9 6 3 4 6 8 4 6 8 tiempo/s Esta gráfica corresponde a la ecuación (6),5,5,5 5 5 -,5 - -,5 - -,5