Tema 7: Capital, inversión y ciclos reales

Tema 7: Capital, inversión y ciclos reales Macroeconomía 2014 Universidad Torcuato di Tella Constantino Hevia En la nota pasada analizamos el modelo de equilibrio general de dos períodos con producción endógena pero sin capital. En esta nota extendemos el modelo agregando capital en la función de producción. El modelo con capital nos permitirá analizar como responde la inversión ante distintos shocks en la economía. Como este modelo de equilibrio no contiene dinero, se lo conoce usualmente como el modelo de los ciclos reales. 1 La función de producción de bienes Con el fin de hacer el modelo más realista, supondremos ahora que los bienes de consumo se producen con dos insumos: trabajo y capital. La función de producción para producir bienes en el período t = 1, 2 es y t = A t f(k t 1, l t ) (1) donde k t 1 es el stock de capital elegido por los consumidores en el período t 1 y que está disponible (instalado) para producir bienes en el período t. Supondremos que el stock de capital inicial, disponible para producir bienes en el período 1, está fijo y es igual a k 0. Suponemos que la productividad marginal del capital y del trabajo son positivas, por lo que f k (k t 1, l t ) > 0 y f l (k t 1, l t ) > 0. Además, la producción está sujeta a la ley de rendimientos decrecientes que, en términos matemáticos, se expresa como f kk (k t 1, l t ) < 0 y f ll (k t 1, l t ) < 0. Por ejemplo, la primera de estas condiciones nos dice que si mantenemos fijo la cantidad de trabajo l t, la productividad marginal del capital disminuye a medida que incremento el uso del mismo. Además, es usual suponer que f kl 0, lo que significa que en la medida en que sube el uso de uno de los insumos, la productividad marginal del otro también aumenta. Para funciones de producción arbitrarias, esta condición puede o no cumplirse. Sin embargo, para funciones de producción con retornos constantes a escala, esta condición se cumple necesariamente (no lo demostraremos, pero la prueba no es difícil). La Figura 1 muestra la producción como función de uno de los insumos fijando el otro. El capital se produce con inversión. Supondremos que el capital disponible para producir en el período t, k t, se compone del capital instalado en el período t 1, k t 1, más la inversión en nuevos bienes de capital i t, menos la parte del capital instalado deprecia debido al uso en la producción, 1

Figura 1: Función de producción con capital y trabajo δk t 1, donde δ es la tasa de depreciación (entre 0 y 1) que nos dice la proporción del capital instalado que se deprecia en cada período. En ecuaciones, el capital en el período t satisface k t = k t 1 + i t δk t 1 o bien k t = (1 δ)k t 1 + i t (2) Podemos interpretar a esta ecuación como la función de producción del capital. podemos reescribir la ecuación anterior como Notemos que i }{{} t = (k t k t 1 ) } {{ } + δk } {{ t 1 }. inversión bruta inversión neta depreciación 2 El problema del consumidor/productor El resto de la economía es idéntica a la que estudiamos hasta este momento. Dado el capital inicial k 0, el problema del consumidor es sujeto a max u(c 1 ) + v(1 l 1 ) + β[u(c 2 ) + v(1 l 2 )] c 1,c 2,l 1,l 2,i 1,i 2,k 1,k 2,b 1,b 2 c 1 + b 1 + i 1 =A 1 f(k 0, l 1 ) (3) c 2 + b 2 + i 2 =A 2 f(k 1, l 2 ) + (1 + r 1 )b 1 (4) k 1 =(1 δ)k 0 + i 1 (5) k 2 =(1 δ)k 1 + i 2 (6) 2

donde asumimos que el stock inicial de bonos es cero, b 0 = 0. Además, el consumidor elegirá morir sin ningún activo, ya sea bonos o capital, por lo que es óptimo elegir b 2 = 0 y k 2 = 0. Es conveniente reducir el número de restricciones. Para ello, reemplazamos la restricción (5) en la (3) eliminando i 1, y reemplazamos la restricción (6) en la (4) eliminando i 2. De este modo, las 4 restricciones se reducen al siguiente par de restricciones presupuestarias flujo c 1 + b 1 + k 1 =A 1 f(k 0, l 1 ) + (1 δ)k 0 (7) c 2 =A 2 f(k 1, l 2 ) + (1 δ)k 1 + (1 + r 1 )b 1. (8) Podemos simplificar el problema aun más construyendo la restricción presupuestaria intertemporal: de la restricción (8) obtenemos b 1 y reemplazamos el resultado en (7) obteniendo c 1 + c 2 1 + r 1 + r 1 + δ 1 + r 1 k 1 = A 1 f(k 0, l 1 ) + A 2f(k 1, l 2 ) 1 + r 1 + (1 δ)k 0. (9) Si llamamos λ al multiplicador de Lagrange de la restricción anterior, podemos escribir el Lagrangiano del problema del consumidor como sigue max L = u(c 1 ) + v(1 l 1 ) + β[u(c 2 ) + v(1 l 2 )] c 1,c 2,l 1,l 2,k 1 [ λ c 1 + c 2 + r 1 + δ k 1 A 1 f(k 0, l 1 ) A ] 2f(k 1, l 2 ) (1 δ)k 0 1 + r 1 1 + r 1 1 + r 1 Las condiciones de primer orden de este problema son más la restricción presupuestaria intertemporal. L = 0 u (c 1 ) = λ c 1 (10) L = 0 v (1 l 1 ) = λa 1 f l (k 0, l 1 ) l 1 (11) L = 0 βu (c 2 ) = λ 1 c 2 1 + r 1 (12) L = 0 βv (1 l 2 ) = λ A 2f l (k 1, l 2 ) l 2 1 + r 1 (13) L = 0 δ + r 1 = A 2 f k (k 1, l 2 ) k 1 (14) Las ecuaciones (10) (13) son las mismas que encontramos en el modelo sin capital. Por otro lado, la condición (14) es nueva y determina la elección de capital: en el óptimo, la productividad marginal del capital debe igualarse a la tasa de de interés más la tasa de depreciación. Para entender la intuición de (14), pensemos en un inversor que está decidiendo si ahorrar en bonos b 1 o en capital físico k 1. Supongamos que en el período 1 el inversor invierte 1 bien de 3

consumo en bonos que pagan la tasa de interés real r 1. 1 En el segundo período obtiene un retorno bruto de 1 + r 1 bienes de consumo. Supongamos ahora que el consumidor invierte una unidad de consumo en aumentar el stock de capital. Cual es el retorno bruto en el siguiente período de esta operación? Por un lado le queda la parte del capital que no se depreció y que puede volver a transformar en bienes de consumo, 1 δ. Por otro lado, esa unidad de capital le permite producir A 2 f k (k 1, l 2 ) bienes de consumo adicionales. De este modo, la cantidad total de bienes obtendrá en el segundo período será de A 2 f k (k 1, l 2 )+1 δ. Ahora bien, a menos que las dos maneras de ahorrar generen el mismo retorno, habrá oportunidades de arbitraje. Para ver esto, supongamos que en el óptimo se verifica que 1 + r 1 < A 2 f k (k 1, l 2 ) + 1 δ (15) En este caso, el consumidor podría emitir un bono (endeudarse) y comprar una unidad más de capital. Con esta transacción, en el segundo período el consumidor obtiene el retorno de invertir en capital menos el costo de la deuda A 2 f k (k 1, l 2 ) + 1 δ (1 + r 1 ) > 0, que es positivo por (15). Esto implica que endeudarse en una unidad le genera un retorno positivo sin costo alguno. Como el consumidor puede multiplicar esta estrategia en la cantidad que desee, podrá obtener un retorno neto infinitamente positivo y, por lo tanto, consumir infinito. Pero esto no es consistente con la existencia de recursos escasos, por lo que la desigualdad (15) no puede cumplirse en equilibrio. Si la desigualdad fuese con el signo contrario, 1 + r 1 > A 2 f k (k 1, l 2 ) + 1 δ (16) el consumidor no invertirá en capital físico pues el bono le genera un retorno bruto superior. Como esto es cierto para todos los consumidores, el capital agregado instalado y la producción de bienes en el segundo período serán nulos Esto tampoco puede ser parte de un equilibrio ya que la utilidad marginal es infinita cuando el consumo es cero, lo que llevará al consumidor a querer invertir en capital físico. Esto constituye una contradicción, por lo que (16) tampoco puede ser cierto. Por lo tanto, la única situación consistente con un equilibrio es que se verifique la igualdad 1 + r 1 = A 2 f k (k 1, l 2 ) + 1 δ, que no es otra cosa que la condición de primer orden (14) Vamos a reescribir las condiciones del óptimo eliminando el multiplicador λ. Reemplazando (10) en (11) y (12) en (13) encontramos las condiciones usuales de igualdad entre la tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo y la productividad marginal del trabajo, v (1 l 1 ) u (c 1 ) = A 1 f l (k 0, l 1 ) (17) 1 Estamos considerando un modelo real sin dinero, por eso decimos que invierte 1 bien de consumo en el bono. 4

Usando (10) y (12) encontramos la ecuación de Euler del consumo v (1 l 2 ) u = A 2 f l (k 1, l 2 ) (18) (c 2 ) u (c 1 ) = (1 + r 1 )βu (c 2 ) (19) De este modo, el problema del consumidor/productor se puede resumir en las condiciones de primer orden (14), (17), (18), (19) más la restricción presupuestaria intertemporal (9). Estas ecuaciones conforman un sistema de 5 ecuaciones en las siguientes 5 incógnitas: c 1, l 1, c 2, l 2 y k 1. La solución del sistema determina la demandas de consumo, c 1 y c 2, las ofertas de trabajo l 1 y l 2, y la demanda de capital k 1 como funciones de la tasa de interés r 1 y de las productividades A 1 y A 2 (más otros parámetros del modelo). 2.1 La demanda condicional de capital e inversión En el último párrafo mencionamos que podemos encontrar las cantidades como funciones las productividades y la tasa de interés. Sin embargo, para analizar gráficamente el equilibrio del modelo es conveniente considerar la demanda condicional de capital, que no es otra cosa que el nivel de capital que satisface la condición de primer orden (14). En particular, llamaremos al nivel de capital k 1 que satisface (14), la demanda de capital condicional en el nivel de trabajo l 2. Se llama demanda condicional porque l 2 es una variable endógena que se determina en equilibrio. También supondremos que la función de producción satisface f kl > 0, por lo que cuando sube l 2, sube también la productividad marginal del capital. 2 Para hallar gráficamente la solución de (14), reescribimos la ecuación como r 1 = A 2 f k (k 1, l 2 ) δ. (20) La Figura 2 tiene en el eje de las abscisas al stock de capital k 1 y en eje de las ordenadas ambos lados de la ecuación (20). En particular, r 1 es una línea recta pues no depende de k 1 mientras que A 2 f k (k 1, l 2 ) δ es decreciente en k 1 debido a que f kk < 0. El punto donde se cruzan las curvas determina la demanda condicional de capital k d 1. Evidentemente, la demanda condicional de capital es una función no solo de la tasa de interés r 1, sino también de A 2, δ y l 2. Para determinar como cambia k1 d cuando cambian esos parámetros podemos derivar implícitamente la ecuación (20) o podemos hacerlo gráficamente. La Figura 3 sigue el último camino. El panel superior izquierdo muestra que cuando sube la tasa de interés se desplaza la curva r 1 hacia arriba por lo que k1 d cae. El panel superior derecho considera una suba de A 2. La curva r 1 no cambia pero la curva PMK-δ se traslada hacia arriba. El resultado es que sube k1 d. Haciendo el mismo análisis concluimos que la demanda condicional de capital es decreciente en la tasa de depreciación y es creciente en el trabajo l 2 (cuando f kl > 0). Resumiendo, la demanda 2 Recordemos que si la función de producción es con retornos constantes a escala entonces f kl > 0. 5

Figura 2: Determinación de la demanda condicional de capital k d 1 condicional de capital es una función que satisface k 1 = k d 1( r 1, + A 2, δ, + l 2 ). (21) El panel derecho de la Figura 4 muestra la demanda condicional de capital en un gráfico con capital en el eje de las abscisas y con la tasa de interés en el eje de las ordenadas. El gráfico también muestra el desplazamiento de la curva cuando sube la productividad futura A 2 o el trabajo futuro l 2 un aumento de δ, no graficado, implica un traslado de la curva hacia la izquierda. Por favor notar que este gráfico es la demanda condicional como función de la tasa de interés, por lo que es distinto a las Figuras 2 y 3. Una vez que encontramos la demanda condicional de capital, podemos encontrar la demanda condicional de inversión usando la ecuación de evolución del capital i 1 = k 1 (1 δ)k 0, o bien i 1 = i d 1( r 1, + A 2, + l 2, k 0,? δ) = k d 1(r 1, A 2, δ, l 2 ) (1 δ)k 0. (22) Notar que la inversión es menor mientras mayor es el stock de capital inicial, y que no es obvio como cambia la inversión cuando cambia la tasa de depreciación δ. El panel izquierdo de la Figura 4 muestra la demanda condicional de inversión como una función de la tasa de interés r 1. La curva se traslada hacia la derecha cuando sube la productividad futura A 2 o el trabajo futuro l 2, y se traslada hacia la izquierda cuando aumenta el capital inicial k 0 (no graficado). Cómo es la inversión en el segundo período, i 2? Recordemos que i 2 = k 2 (1 δ)k 1. Pero k 2 = 0 porque nadie quiere morir con activos, por lo que i 2 = (1 δ)k 1. En efecto, lo que está ocurriendo aquí es que el consumidor/productor se está consumiendo todo el stock de capital que no se depreció al final del segundo período. Esto lo puede hacer porque en este modelo estamos suponiendo que 6

Figura 3: Cambios en la demanda condicional de capital cuando cambian los parámetros se pueden transformar bienes de consumo en capital y viceversa. Esto es una simplificación que no cambia las fuerzas internas del modelo, aunque requiere de algunas modificaciones para suavizar este supuesto. 3 Agregación, condiciones de equilibrio y la Ley de Walras Agregando las restricciones presupuestarias de flujo (3) y (4) a través de todas las familias, usando b 2 = 0 y usando letras mayúsculas para las variables agregadas obtenemos las restricciones presupuestarias agregadas C d 1 + I d 1 + B d 1 = Y s 1 (23) C d 2 + I d 2 = Y s 2 + (1 + r 1 )B d 1, (24) En estas ecuaciones la inversión satisface I 1 = K 1 (1 δ)k 0 e I 2 = (1 δ)k 1 (usando K 2 = 0). 7

Figura 4: Demanda condicional de capital y de inversión Si definimos la demanda agregada en el período t = 1, 2 como Y d t = C d t + I d t, (25) entonces podemos escribir las restricciones presupuestaria agregadas (23) y (24) del siguiente modo (Y d 1 Y s 1 ) + B d 1 = 0, (26) (Y d 2 Y s 2 ) = (1 + r 1 )B 1. (27) 3.1 Condiciones de equilibrio (o de consistencia agregada) Como en el caso sin capital, este modelo tiene dos mercados por período: el mercado de bienes y el mercado de bonos. Las condiciones de equilibrio en el mercado de bienes en los períodos 1 y 2 nos dice que la demanda agregada de bienes debe ser igual a la oferta agregada de bienes Y d 1 = Y s 1 (28) Y d 2 = Y s 2. (29) La condición de equilibrio en el mercado de bonos del primer período requiere que la demanda neta de bonos sea igual a cero: B d 1 = 0. (30) No imponemos la condición de equilibrio en el mercado de bonos del segundo período porque ya sabemos que la demanda de bonos será cero para todos los individuos. 8

3.2 Ley de Walras La Ley de Walras dice que si en el primer período cualquiera de los dos mercados que operan está en equilibrio, el otro mercado también lo estará. Por ejemplo, si el mercado de bienes está en equilibrio (si se cumple (28)), entonces la restricción presupuestaria agregada (26) implica que el mercado de bonos también estará en equilibrio (se cumple (30)). Del mismo modo, si el mercado de bonos está en equilibrio, usamos el mismo argumento para mostrar que el mercado de bienes también estará en equilibrio. Yendo al segundo período, dado que el mercado de bonos del primer período estuvo en equilibrio (B1 d = 0), entonces (27) implica que el mercado de bienes del segundo período también estará en equilibrio: Y2 d = Y 2 s. En resumen, en este modelo de dos períodos si cualquiera de los dos mercados del primer período está en equilibrio, entonces todos los mercados de bienes y bonos estarán en equilibrio. Debido a este resultado, por el resto de esta nota nos enfocaremos exclusivamente en el equilibrio de bienes en el primer período. La Ley de Walras nos garantiza que tanto el mercado de bonos como el mercado de bienes del segundo período también estarán en equilibrio. 3.3 Equilibrio en el mercado de bienes La Figura 5 muestra, en el panel izquierdo, la determinación del equilibrio en el mercado de bienes del primer período y, en el panel derecho, la descomposición de la demanda agregada entre consumo e inversión. Para cada tasa de interés r 1, la demanda agregada es la suma horizontal de la demanda de consumo y la demanda de inversión, Y d 1 (r 1,...) = C d 1 (r 1,...) + I d 1 (r 1,...), donde... significa que hay otros argumentos en las funciones (por ejemplo, A 1 y A 2 ). Como ya explicamos, la curva de oferta agregada de bienes es creciente en la tasa de interés r 1. La curva de demanda agregada es la suma de la demanda agregada de consumo y la demanda de inversión. Ambos componentes del gasto dependen negativamente de la tasa de interés, lo que determina una demanda agregada con pendiente negativa. El panel izquierdo determina la tasa de interés de equilibrio r1 e y el producto de equilibrio Y1 e en el punto donde se cruzan las curvas de oferta y demanda de bienes. Dada la tasa de interés de equilibrio, el panel derecho muestra como se descompone de la producción de equilibrio entre sus componentes de gasto: consumo C e 1 e inversión Ie 1. 4 Estática comparativa En esta sección analizaremos el efecto de subas temporarias, permanentes y esperadas de la productividad. Un shock temporario es tal que sube únicamente la productividad en el primer período. Un shock permanente es un aumento de las productividades A 1 y A 2 en igual proporción. Finalmente, un aumento esperado de la productividad es una suba únicamente en la productividad futura. Este último caso es interesante pues nos permite analizar situaciones donde se espera la adopción de algún tipo de tecnología nueva que no está disponible de inmediato (por ejemplo, importación de nueva tecnología). 9

Figura 5: Equilibrio en el mercado de bienes y componentes del gasto 4.1 Suba temporaria de la productividad: sube A 1 y A 2 no cambia Comenzamos analizando los desplazamientos de las curvas dada una tasa de interés r 1, 1. Impacto: Tomando a L 1 y K 0 como dados, la suba en la productividad A 1 implica un aumento del producto en el primer período: A 1 Y 1 = A 1 f(k 0, L 1 ). Esto genera un efecto riqueza positivo. 2. ER positivo: Como el consumo y el ocio son normales, C 1, L 1 Y 1. Sin embargo, como discutimos en la nota pasada, la caída del producto debido al efecto riqueza es menor al impacto directo de la mayor productividad. En el segundo período, el efecto riqueza también implica que C 2, L 2 Y 2. 3. ES intratemporal en el período 1: El aumento de la productividad implica que sube el precio relativo del ocio: C 1, L 1 Y 1. 4. ES intertemporal del trabajo: El aumento de la productividad presente relativo a la productividad futura ( A 1 /A 2 ) implica que el ocio presente se hace relativamente más caro que el ocio futuro: L 1 Y 1. También se verifica que L 2 Y 2. 5. Demanda de inversión: La suba de A 1 no afecta la productividad marginal del capital mañana P MK 2 = A 2 f k (K 1, L 2 ). Si ignoramos el cambio de L 2 (o suponemos que es pequeño L 2 0), entonces la curva de demanda de inversión I1 d (r) no cambia. Por lo tanto, Los puntos 1, 2, 3 y 4 implican que la curva de oferta agregada Y s 1 (r 1) se traslada hacia la derecha. 10

Figura 6: Aumento temporario de la productividad Los puntos 2 y 3 implican que la curva de demanda de consumo C d 1 (r 1) se traslada hacia la derecha. Pero como el shock de productividad es temporario, se traslada menos que la curva de oferta, 0 < C d 1 (r 1) < Y s 1 (r 1). El punto 5 implica que la curva de demanda de inversión se mantiene aproximadamente en el mismo lugar, I d (r 1 ) 0. Por lo tanto, la curva de demanda agregada (la suma de la demanda de consumo y de inversión) se traslada hacia la derecha pero menos que lo que se traslada la curva de oferta agregada, 0 < Y d (r 1 ) < Y s (r 1 ). La Figura 6 muestra el impacto del aumento temporario de la productividad. A la tasa de interés original r1 e, hay un exceso de oferta de bienes representado por el segmento A-B. El exceso de oferta se cierra con una caída en la tasa de interés de r1 e a re 1. Intuitivamente, el exceso de oferta implica que el precio de los bienes en el primer período es relativamente caro. Recordando que 1/(1 + r 1 ) es el precio relativo del consumo futuro en término de consumo presente, una caída en la tasa de interés es equivalente a un aumento del precio c 2 en término de c 1. Equivalentemente, la caída en la tasa de interés equivale una disminución del precio de los bienes presentes relativo a los bienes futuros. En el gráfico vemos que la caída de la tasa de interés real está acompañada por un aumento del producto (en el punto C), del consumo (en el punto E) y de la inversión (en el punto G). El mecanismo que opera es el siguiente: 1. ES intertemporal del consumo: r1 e implica que el consumo futuro se hace más caro que el consumo presente, por lo que C 1 (y C 2 ). Este movimiento se da sobre la curva de demanda de consumo desde el punto D hasta el punto E. 2. ES intertemporal del trabajo: r1 e implica que el ocio futuro se hace más caro que el ocio presente, por lo que L 1 (y L 2 ). La caída de L 1 genera una caída del producto Y 1. 11

Este movimiento se da sobre la curva de oferta de bienes Ỹ s 1 (r 1) desde el punto B hasta el punto C. 3. Cae del retorno de los bonos: r1 e implica que el retorno de ahorrar en bonos es menor, por lo que el consumidor decide aumentar la inversión en capital fijo hasta que el retorno bruto del mismo iguale a la nueva tasa de interés real. El retorno del capital disminuye debido a que cae la productividad marginal del mismo. Este movimiento se da sobre la curva de demanda de inversión desde el punto F hasta el punto G. El efecto final del aumento temporario de la productividad es el siguiente: Aumenta Y 1 Aumenta C 1 : el consumo es procíclico, tal como observamos en los datos Aumenta I 1 : la inversión es procíclica, tal como observamos en los datos Cae r 1 : la tasa de interés es contracíclica (en los datos es levemente procíclica). Observación: Un cambio de L 2 implica un cambio en la productividad marginal del capital futura del mismo signo. Esto, a su vez, modifica la curva de demanda de inversión si sube L 2, I1 d(r 1) se traslada hacia la derecha. Sin embargo, en análisis anterior muestra que el cambio final de L 2 es ambiguo. De ahora en más, simplificaremos el análisis suponiendo que podemos ignorar el efecto de cambios en L 2 sobre la demanda de inversión. 4.2 Suba permanente de la productividad: suben A 1 y A 2 en igual proporción Dada una tasa de interés r 1 : 1. Impacto: Dados L 1, L2, K 0 y K 1, el aumento de las productividades implica Y 1 = A 1 f(k 0, L 1 ) y Y 2 = A 2 f(k 1, L 2 ). Esto genera un efecto riqueza positivo más fuerte que el caso de un aumento temporario de la productividad. 2. ER positivo: Como el consumo y el ocio son normales, C 1, L 1 Y 1. Sin embargo, la caída del producto debido al efecto riqueza es menor al impacto directo de la mayor productividad. También se verifica que C 2, L 2 Y 2, por lo que cae el producto futuro. 3. ES intratemporal en el período 1: Sube el precio relativo del ocio: C 1, L 1 Y 1. 4. ES intratemporal en el período 2: Sube el precio relativo del ocio: C 2, L 2 Y 2. 5. ES intertemporal del trabajo: Como A 2 /A 1 no cambia, no hay efecto sustitución intertemporal del trabajo. 6. Demanda de inversión: La suba de A 2 aumenta la productividad marginal del capital mañana P MK 2 = A 2 f k (K 1, L 2 ) I 1. 12

Figura 7: Aumento permanente de la productividad Entonces, Los puntos 1, 2 y 3 implican que la curva de oferta Y s 1 (r 1) se traslada hacia la derecha. Los puntos 2 y 3 implican que la curva de demanda de consumo C d 1 (r 1) se traslada hacia la derecha. Como el shock de productividad es permanente, C d 1 (r 1) se traslada en aproximadamente la misma cantidad que la oferta de bienes, 0 < C d 1 (r 1) Y s 1 (r 1). El punto 6 implica que la curva de demanda de inversión se traslada hacia la derecha, I d (r 1 ) > 0 suponiendo que el efecto sobre la productividad marginal del capital futura debido al cambio de L 2 es relativamente pequeño. Por lo tanto, la curva de demanda agregada se traslada hacia la derecha más de lo que se traslada la curva de oferta agregada, Y d (r 1 ) > Y s (r 1 ) > 0. La Figura 7 muestra el impacto del aumento permanente de la productividad. A la tasa de interés inicial r1 e, hay un exceso de demanda representada por el segmento A-B. El exceso de demanda se cierra con un aumento en la tasa de interés de r1 e a re 1, reduciendo así el precio relativo de los bienes de mañana en término de bienes de hoy. En el gráfico vemos que el aumento de la tasa de interés está acompañada por un aumento del producto (punto C), del consumo (punto E) y de la inversión (punto G). El mecanismo que opera es el siguiente: 1. ES intertemporal del consumo: r1 e implica que el consumo futuro se hace más barato que el consumo presente, por lo que C 1 y C 2. Este movimiento se da sobre la curva de demanda de consumo desde el punto D hasta el punto E. El nuevo nivel de consumo será mayor al original debido al efecto riqueza fuerte. De otro modo, de qué serviría ser más productivo si no es para consumir más bienes? (uno puede mostrar más formalmente que el consumo tiene que subir). 13

2. ES intertemporal del trabajo: r1 e implica que el ocio futuro se hace más barato que el ocio presente, por lo que L 1 y L 2. El aumento de L 1 genera una suba del producto Y 1. Este movimiento se da sobre la curva de oferta Ỹ s 1 (r 1) desde el punto A hasta el punto C. 3. Sube del retorno de los bonos: r1 e implica que aumenta el retorno de ahorrar en bonos, por lo que el consumidor reduce su inversión en capital fijo hasta que se igualen ambos retornos. El retorno del capital aumenta debido a que aumenta la productividad marginal del mismo. La disminución de la inversión se da sobre la curva de demanda de inversión desde el punto F hasta el punto G. Notar que la inversión sube por el aumento de la productividad futura del capital (dada la tasa de interés) pero luego disminuye por el aumento de la tasa de interés real de equilibrio. En la Figura 7 el efecto final es una suba de la inversión Ĩe 1 > Ie 1. Este resultado es general: el impacto directo de la mayor productividad sobre la inversión es más fuerte que el impacto indirecto debido a la suba de la tasa de interés. Para ver ésto notemos que, como el producto de equilibrio sube Ỹ e 1 > Y e 1, entonces debe ser cierto que la suma del consumo y la inversión también suben, 0 < Y e 1 = C e 1 + I e 1. (31) Por lo tanto, debemos analizar como se distribuye la suba del producto entre consumo e inversión. El cambio permanente de la productividad implica que, para cada valor de r 1, la curva de demanda de consumo se desplaza en aproximadamente la misma cantidad que la curva de oferta de bienes, C 1 (r 1 ) Y 1 (r 1 ). Sin embargo, la tasa de interés de equilibrio sube, de modo que el consumo C 1 disminuye (por el ES intertemporal del consumo) y el producto Y 1 aumenta (ES intertemporal del trabajo). Esto implica que, a la nueva tasa de interés de equilibrio r e 1, se verifica que Ce 1 < Y e 1. De esta observación y la ecuación (31) se deduce que la inversión de equilibrio debe aumentar, I e 1 > 0. El efecto final del aumento permanente de la productividad es el siguiente: Aumenta Y 1 Aumenta C 1 : el consumo es procíclico, tal como observamos en los datos Aumenta I 1 : la inversión es procíclica, tal como observamos en los datos Aumenta r 1 : la tasa de interés es procíclica (en los datos es levemente procíclica). Observaciones: a) La principal diferencia cualitativa entre los aumentos transitorios versus permanentes de productividad es que en el primero la tasa de interés es contracíclica mientras que en el segundo la tasa de interés es procíclica. b) Consideremos un shock temporario de productividad en el modelo sin capital. Dada la tasa de interés, el consumidor demandará bonos para distribuir su mayor riqueza presente entre los dos 14

períodos. Sin embargo, el ahorro agregado debe ser cero por lo que el consumo agregado debe ser igual al producto agregado. La mayor demanda de bonos se refleja en un aumento de la tasa de interés. Por otro lado, en el modelo con capital el consumidor tiene otra herramienta para ahorrar: la inversión en bienes de capital. El capital permite a los consumidores transferir riqueza presente hacia el futuro generando así un mecanismo endógeno de transmisión de shocks que esta ausente en el modelo sin capital. c) Otra diferencia entre los dos casos tiene que ver con el tamaño de las respuestas ante los shocks. En ambos casos el consumo sube. Sin embargo, el aumento del consumo es mayor mientras más persistente es el aumento de la productividad. En efecto, el incentivo a aumentar la demanda de bonos cuando el shock es temporario es más fuerte que cuando el shock es permanente. Es más, en el modelo con capital los consumidores tienen otra herramienta que les permite transferir recursos a través del tiempo. Por otro lado, no es claro como cambia la inversión cuando cambia la persistencia del shock. Por un lado, cuando el shock es temporario las familias aumentan su inversión en capital para suavizar su consumo a través de una mayor producción futura. Por otro lado, cuando el shock es permanente sube la productividad futura del capital induciendo a las familias a invertir más hoy. 4.3 Suba esperada de la productividad: A 1 no cambia y sube A 2 Dada una tasa de interés r 1 : 1. Impacto: Dados L 2 y K 1, Y 2 = A 2 f(k 1, L 2 ), generando un efecto riqueza positivo. 2. ER positivo: C 1, L 1 Y 1 y C 2, L 2 Y 2. 3. ES intratemporal en el período 1: No hay 4. ES intratemporal en el período 2: Sube el precio relativo del ocio: C 2, L 2 Y 2. 5. ES intertemporal del trabajo: Cae A 1 /A 2, por lo que el ocio futuro se hace más caro que el ocio presente: L 1 Y 1 y L 2. 6. Demanda de inversión: El aumento de A 2 implica que la curva de demanda de inversión I1 d (r) se traslada a la derecha.3 Por lo tanto, Los puntos 2 y 5 implican que la que curva de oferta agregada Y s 1 (r 1) se traslada hacia la izquierda. El punto 2 implica que la curva de demanda de consumo C d 1 (r 1) se traslada hacia la derecha. 3 Ignorando el efecto que L 2 tiene sobre P MK 2. De todos modos, el cambio final L 2 es ambiguo debido que los efectos riqueza y sustitución actúan en sentido contrario. Si el trabajo L 2 es procíclico, como observamos en los datos, entonces la curva de demanda de inversión se desplaza aún más hacia la derecha. 15

Figura 8: Aumento esperado de la productividad El punto 6 implica que la curva de demanda de inversión I d (r 1 ) se traslada hacia la derecha. Por lo tanto, la curva de demanda agregada Y d (r 1 ) se traslada hacia la derecha. La Figura 8 muestra el impacto del aumento esperado de la productividad. A la tasa de interés inicial, r1 e, hay un exceso de demanda representada por el segmento A-B. El exceso de demanda se cierra con un aumento en la tasa de interés de r1 e a re 1. El gráfico muestra un caso donde el producto aumenta, el consumo sube y la inversión cae. Sin embargo, en general el efecto sobre las cantidades es ambiguo. El mecanismo que opera es el siguiente: 1. ES intertemporal del consumo: r1 e implica que el consumo futuro se hace más barato que el consumo presente, por lo que C 1 y C 2. Este movimiento se da sobre la curva de demanda de consumo desde el punto D hasta el punto E. El nuevo nivel de consumo puede ser mayor o menor al inicial. 2. ES intertemporal del trabajo: r1 e implica que el ocio futuro se hace más barato que el ocio presente, por lo que L 1 y L 2. El aumento de L 1 genera una suba del producto. Este movimiento se da sobre la curva de oferta Ỹ s 1 (r 1) desde el punto A hasta el punto C. 3. Sube del retorno de los bonos: r1 e implica que aumenta el retorno de ahorrar en bonos, por lo que el consumidor reduce su inversión en capital fijo hasta que se igualen ambos retornos.el retorno del capital aumenta debido a que aumenta la productividad marginal del mismo. La disminución de la inversión se da sobre la curva de demanda de inversión desde el punto F hasta el punto G. El nuevo nivel de inversión puede ser mayor o menor al inicial. En resumen, sube la tasa de interés de equilibrio y hay un efecto ambiguo sobre las cantidades del primer período. 16