Números índces TEMA V: NUMEROS INDICES Error! Marcador no defndo. V.1.- Inroduccón, conceo y clasfcacón V.2.- Números índces smles. Defncón y roedades V.3.- Números índces comlejos V.3.1.- Números índces comlejos sn onderar V.3.2.- Números índces comlejos onderados V.3.2.1.- Índce de Laseyres V.3.2.2.- Índce de Paasche V.3.2.3.- Índce de Fsher V.4.- Índces comlejos onderados de recos y candades V.5.- Cambo de base y enlace de seres emorales V.6.- El roblema de la deflacón de seres emorales Anexo V.1.- Índces Funconales Anexo V.2.- Elaboracón de un número índce Anexo V.3.- Parcacón y reercusón Anexo V.4.- Algunos índces elaborados en Esaña 2
ESTADISTÍCA I 1.- Inroduccón, conceo y clasfcacón Generalmene las magnudes socoeconómcas varían en el esaco y/ó en el emo y normalmene surge la necesdad de hacer comaracones en funcón del emo y/ó el esaco, ano or searado como or gruos o conjuno de las msmas. Con el fn de oder realzar esas comaracones es necesaro elaborar seres de ndcadores económcos, sendo los números índces uno de ellos. En síness odemos decr ue los números índces consuyen una écnca ara analzar y comarar un conjuno de daos en dsnos momenos del emo y/ó del esaco. Los números índces ueden ener dsna nauraleza: A) NATURALEZA ESTADISTICA, cuando se obenen sn ener en cuena las osbles relacones funconales de las magnudes en esudo, y B) NATURALEZA FUNCIONAL, cuando se obenen suonendo una relacón funconal enre los valores de las varables y su enorno. En ese ema nos cenraremos en los números índces de nauraleza esadísca y comenaremos los de nauraleza funconal en un anexo. Medane los números índces se reende esudar las varacones de un fenómeno comlejo or medo de una exresón ue erma comarar dos o más suacones dsnas en el emo y/ó el esaco. 21
Números índces La eoría de los números índces se ha desarrollado, fundamenalmene, ara el esudo de las varacones de recos, raando de medr el nvel general de recos e nversamene, el oder adusvo del dnero. Sn embargo, la alcabldad de esos ndcadores no se lma al esudo de los recos, ulzándose en odos los camos de la acvdad humana ue se ueden observar y cuanfcar esadíscamene. En economía enen un gran emleo, exsendo números índce de salaros, roduccón, recos, comerco exeror, ec. En resumen, odemos decr ue un número índce, ndca, medane sus varacones, los cambos de una magnud ue no es susceble de medcón exaca en sí msma, n de una evaluacón dreca en la rácca. Aendendo a la nauraleza esadísca, odemos esablecer la sguene clasfcacón de los números índce: SIMPLES ARITMETICA MEDIA SIMPLE GEOMETRICA NUMEROS SIN PONDERAR ARMONICA INDICE MEDIA AGREGATIVA SIMPLE COMPLEJOS LASPEYRES PAASCE PONDERADOS EDGEWORT FISER V.2.- Números Índces smles. Defncón y roedades. 22
ESTADISTÍCA I Los números índces smles se referen a un solo arículo o conceo, lo cual se raduce a rabajar con una varable undmensonal. Son smles relacones o orcenajes enre los valores de un arículo o conceo corresondenes a dos éocas o lugares ue desean comararse. La comaracón se realza enre el valor corresondene a un erodo fjo (erodo base) y el valor alcanzado or la magnud en cualuer oro momeno. Formalcemos el conceo. Dada una sere emoral { }, los números índces se obenen dvdendo cada uno de los valores de la varable en cada momeno or el valor ue omó la varable en el nsane de referenca, denomnado erodo base. Defnmos el índce de la magnud y lo denoamos or I / () a: I / () Sendo: el valor de la varable en el momeno. el valor de la varable en el momeno. El índce así defndo nos da el ano or uno en ue se ha modfcado la magnud desde el erodo al erodo. Por ejemlo, s 23
Números índces I / () 1.5 uere decr ue or cada undad de la varable ue exsía en el nsane (erodo base), en el nsane exsen 1.5 undades. Normalmene se ulza el índce en érmnos orcenuales: I / () x 1 En ese caso obenemos el ano or ceno. Realmene, lo ue hacemos al hallar el número índce es un cambo de varable, asamos de la magnud a la magnud I() y or ano odos los esadíscos ue defnamos ara, esarán defndos ara I() y vceversa. La varacón orcenual ue resena la magnud desde el nsane, al acual (), la denomnamos ncremeno del índce y lo exresamos: I / - () x 1 x 1-1 I / () -1 S ÄI / () 2 sgnfca ue la magnud, desde el 24
ESTADISTÍCA I nsane al, se ha ncremenado en un 2%. Algunas de las roedades ue resenan los números índces smles se enumeran a connuacón. 1ª.-Proedad crcular A) Consderamos res nsanes del emo (, ', ) los cuales verfcan la relacón: < ' <. B) Tomamos la magnud ue oma valores desde el nsane, 1,... ',...,...T La roedad crcular nos dce ue: I / () I /' () x I '/ () La demosracón es nmedaa, () x I / () x I () x I I / / / () 2ª.-Proedad de encadenameno A) Consderamos res nsanes del emo (, ', ) los cuales verfcan la relacón: < ' <. B) Tomamos la magnud, desde el nsane,1,...'... hasa T. Se cumle: I / () I /-1 () x I -1/-2 ()...I 1/ () Demosracón: 25
Números índces I / () -1 x -1-2 x -2-3 x... x 1 3ª.-Proedad del roduco Sea una magnud comleja R ue se obene como roduco de dos magnudes smles F y K. R oma valores desde, 1,..., T R F x K; {R}, 1,..., T Se verfca ue I / (R) I / (F) x I / (K) Demosracón: R F (R) R F x K K (F) x I 4ª.-Proedad del cocene S enemos una magnud comleja R ue se obene como cocene enre dos magnudes smles F y K, se verfca: I / (R) I / (F) / I / (K) Demosracón: I I / / / (K) R F (R) R F / K / K I (F)/ I I / / / (K) Ejemlo: Dada la sguene abla: 26
ESTADISTÍCA I Error! Marcad or no defn do. 5 1 7 2 6 3 8 4 9 5 1 (1) allar los índces smles reseco al eríodo. (2) Comrobar ue se cumle la roedad crcular y la de encadenameno. (3) Inerrear alguno de los índces. SOLUCION: (1) Err or! Marc ador no def ndo. I / () (1) 5 I / () 5/5 1 1 7 I 1/ () 7/5 1.4 2 6 I 2/ () 6/5 1.2 3 8 I 3/ () 8/5 1.6 4 9 I 4/ () 9/5 1.8 5 1 (2):(A) Proedad crcular. 27
Números índces I / () I /' () x I '/ () S ' 4 y 5, sería: I 5/ () I 5/4 () x I 4/ () I 5/ () 2 I 5/4 () 1/9 I 4/ () 9/5 2 1/9 x 9/5 (2): (B) Proedad de encadenameno. I / () I /-1 () x I -1/-2 ()...I 1/ (); ara 5: I 5/ I 5/4 x I 4/3 x I 3/2 x I 2/1 x I 1/ : 1/5 1/9 x 9/8 x 8/6 x 6/7 x 7/5 2 (3): S I 5/ () 2, suone ue la magnud se ha dulcado enre el erodo y el 5. V.3.- Números índces comlejos. Los números índces comlejos hacen referenca a varos arículos o conceos a la vez (magnudes comlejas) y su evolucón en el esaco y/ó el emo. Suongamos ue una emresa ene res roducos A, B y C; cada uno de los cuales ene su corresondene reco (P A, P B y P C ). S nos neresara la evolucón de cada reco ndvdualmene, hallaríamos los índces smles de P A, P B y P C, ero s lo ue ueremos analzar es la evolucón del reco general de la emresa, endremos ue ener en cuena la 28
ESTADISTÍCA I evolucón conjuna de odos ellos. Eso lo odemos hacer de dos formas: (A) Suonendo ue cada roduco ene la msma moranca relava denro de la emresa, en ese caso calcularíamos los INDICES COMPLEJOS SIN PONDERAR. (B) Suonendo ue cada roduco ene dsna moranca relava denro de la emresa. Calcularíamos los INDICES COMPLEJOS PONDERADOS. V.3.1.- Números índces comlejos sn onderar. Sea una magnud comleja, formada or K magnudes smles: { 1, 2,..., }, s ueremos analzar la evolucón de, lo endremos ue hacer en funcón de la evolucón de las K magnudes smles ue la forman. I() f[i( )], es decr, el índce de se obene en funcón de los índces de. Dos formas de hacerlo son medane los índces de la MEDIA SIMPLE, y medane la MEDIA AGREGATIVA SIMPLE. INDICES DE LA MEDIA SIMPLE: 1.-Indce de la meda arméca smle 29
Números índces 1 K / 1 Es una meda arméca de los índces smles. I I / ( ) Ejemlo: Una emresa fabrca el roduco cuyos comonenes son 1, 2 y 3, suonendo ue odos los comonenes enen la msma moranca relava en. Calcular I / () e nerrear los resulados según la sguene abla: SOLUCION: Erro r! Marca dor no defn do. Para calcular I / (): 1 2 3 2 1 3 1 4 2 2 2 5 1 1 3 7 3 1 4 9 4 4 1º.-Calculamos los índces smles con reseco al nsane, [I / ( )]: I 2/ ( 2 ) 2/1 2 Error! Marcador no defndo. 1 2 3 I / ( 1 ) I / ( 2 ) I / ( 3 ) 2 1 3 1 1 1 1 4 2 2 4/22 2/12 2/3.7 21
ESTADISTÍCA I 2 5 1 1 5/22.5 1/11 1/3.3 3 7 3 1 7/23.5 3/13 1/3.3 4 9 4 4 9/24.5 4/14 4/31.3 2º.-Calculamos el índce comlejo I / () 1/K Σ 1 I / ( ): I 4/ () 1/3 Σ 1 I 4/ ( ) 1/3 (4.5+4+1.3) 3.3: Error! Marcador no defndo. 1 2 3 I/( 1 ) I/( 2 ) I/( 3 ) I/() 2 1 3 1 1 1 1/3(1+1+1)1 1 4 2 2 4/22 2/12 2/3.7 1/3(2+2+.7)1.6 2 5 1 1 5/22.5 1/11 1/3.3 1/3(2.5+1+.3)1.3 3 7 3 1 7/23.5 3/13 1/3.3 1/3(3.5+3+.3)2.3 4 9 4 4 9/24.5 4/14 4/31.3 1/3(4.5+4+1.3)3.3 Inerreacón: La magnud, en el momeno 1, ene 1.6 undades or cada undad ue enía en el nsane ; en el momeno 2, ene 1.3 con reseco ; ec. Una vez calculados los índces ara cada nsane en relacón al erodo ncal odemos calcular el ncremeno orcenual ue ha endo la magnud desde el nsane al eríodo acual: Incremeno del Indce: 211
Números índces I / () I / x 1-1 - x 1 ÄI 1/ () I 1/ () x 1-1 16-1 6% ÄI 2/ () I 2/ () x 1-1 13-1 3% ÄI 3/ () I 3/ () x 1-1 23-1 13% ÄI 4/ () I 4/ () x 1-1 33-1 23% 2.-Indce de la meda geomérca: En ese caso se ulza la meda geomérca de los índces smles ( ) ara calcular el índce comlejo I / (). I /() 1 3.-Indce de la meda armónca: El romedo ue ulzamos, en ese caso, es la meda armónca de los índces smles ( ) I / () K 1 El índce comlejo medane la MEDIA AGREGATIVA SIMPLE consdera la relacón enre las sumas de los dos dsnos valores en los dos eríodos: I / () Σ 1 / Σ 1 Esos índces enen odos las msmas lmacones, 212
ESTADISTÍCA I desacando: 1) eerogenedad de las undades de medda, movo ue nos mde hacer comaracones enre dsnos índces. 2) Dan la msma moranca relava a cada comonene smle ( ) de la magnud comleja. Por esos movos no se ha generalzado su uso, emleándose, en la mayoría de los casos, los índces comlejos onderados. V.3.2.- Números índces comlejos onderados. Su objevo es soluconar los roblemas laneados or los índces comlejos sn onderar. Los índces comlejos onderados enen en cuena la moranca relava de las dsnas magnudes smles ue lo comonen, ue denomnaremos w. Por consruccón se debe de cumlr: w 1 1 ara odo, sendo, el número de magnudes smles ue forman la magnud comleja. Qué moranca ene la onderacón? S ueremos obener un índce de recos de consumo deberíamos, 1º Deermnamos los elemenos (magnudes) ue comonen el consumo habual de una famla, 2º Averguamos los recos de esos elemenos. 3º Averguamos la moranca relava (w ) de cada elemeno en 213
Números índces el consumo habual de la famla. Es evdene ue odas las famlas consumen almenos, vesdo, vvenda y energía; ero ambén es evdene ue la moranca de cada uno de esos elemenos en el consumo habual de una famla es muy dsna. S déramos la msma moranca a odos ellos (índce comlejo sn onderar) obendríamos un Indce de Precos de Consumo ue oco ene ue ver con la realdad. En funcón de la relacón enre las onderacones w y los índces de las comonenes I / ( ), odemos defnr dsnos os de índces. V.3.2.1.- Índce de Laseyres. De forma general, llamamos índce snéco de Laseyres de la magnud comleja () (formada or magnudes smles) en el nsane, con reseco al nsane : L/() w 1 I / ( ); 1,2,..., ;,..., T Es decr, es el sumaoro de la moranca relava de la magnud smle, en el nsane, (w ), mullcada or el índce de la magnud smle en el nsane con reseco al nsane [I / ( )]: 214
ESTADISTÍCA I L/() w 1 V.3.2.2.- Índce de Paasche. Llamamos índce snéco de Paasche de la magnud comleja (formada or magnudes smles), en el nsane con reseco al nsane, y lo denoaremos or P / (), a: 1 P/() 1 I / w ( ) El nverso del índce de Paasche [1/P / ()] lo obenemos como el cocene enre el sumaoro de las morancas relavas de la magnud smle en el nsane (w ) y el índce de la magnud smle en el nsane reseco al nsane [I / ( )]: 1 P/() 1 I / w ( ) 1 w La dferenca fundamenal enre los índces de Laseyres y Paasche esrba en las onderacones, menras ue en Laseyres, w se refere al erodo base (w ), en Paasche se refere al erodo acual (w ). Eso hace ue su cálculo sea 215
Números índces más dfícl ueso ue en cada nsane hay ue calcular w. V.3.2.3.- Índce de Fsher. Dada una magnud comleja, comuesa or magnudes smles, se defne el índce de Fsher de la magnud y se denoa or F / (), como la raíz cuadrada del roduco del índce de Paasche or el índce de Laseyres: F / () L/() P/() Como se uede obserar, el índce de Fsher es una valor romedo de los índces de Laseyres y Paasche. V.4.- Índces comlejos onderados de recos y candades. Un caso concreo de uso de los índces comlejos es el cálculo de la evolucón de los recos y de las candades de nuesra emresa, de una economía regonal, naconal, ec... Es or ello ue el esudo de los índces de recos y candades sea un eígrafe morane a desarrollar en ese uno del emaro. Debdo al roblema de la homogenzacón, en economía se maneja el valor de los benes, el cual se obene medane el roduco: reco x candad. 216
ESTADISTÍCA I V P x Q S ueremos obener el valor de un roduco en dsnos eríodos, endríamos: eríodo ---- V P x Q eríodo 1 ---- V 1 P 1 x Q 1 eríodo 2 ---- V 2 P 2 x Q 2.. (1). eríodo ---- V P x Q Sendo V... V la sere de valores en los dsnos erodos. Las varacones en V venen orgnadas ano or varacones en los recos (P ) como en las candades (Q ). S dejamos fja la candad (suonemos ue en odos los eríodos se roduce o se consume lo msmo), la sere de valores obenda será: eríodo ---- V P x Q eríodo 1 ---- V 1 P 1 x Q eríodo 2 ---- V 2 P 2 x Q.. (2). eríodo ---- V P x Q V, V 1..., V sería la sere de valores cuyas varacones son debdas, exclusvamene, a cambos en los recos. S dejamos fjo el reco (suonemos ue en odos los eríodos el reco es consane), la sere de valores obenda será: 217
Números índces eríodo ---- V P x Q eríodo 1 ---- V 1 P x Q 1 eríodo 2 ---- V 2 P x Q 2.. (3). eríodo ---- V P x Q V, V 1..., V sería la sere de valores cuyas varacones son debdas, exclusvamene, a cambos en las candades. S en la sere de valores (2) calculamos un índce obendríamos un índce de recos: P / 1 1 S calculamos el índce en (3) obendríamos un índce de candad: P P Q Q Q / P Q Al calcular el índce en (1), obenemos un índce de valor: 1 1 P Q V / 1 1 Podemos observar ue el índce de recos (P) esá onderado or la candad, menras ue el índce de candad (Q), esá onderado or el reco, ero nnguna de esas onderacones P P Q Q 218
ESTADISTÍCA I esá referda a un erodo concreo. Según el erodo a ue esé referda la onderacón enemos los índces de LASPEYRES, PAASCE, FISER al y como ya hemos vso. INDICES DE LASPEYRES En economía las alcacones de números índce se concrean en analzar las evolucones de recos y candades. S alcamos a ese fín el índce de Laseyres, esamos esudando las varacones de recos o candades omando como erodo de onderacón el año base. En ese caso el facor de onderacón w es: w 1 La onderacón (w ) vene defnda como la moranca relava de un arículo en el erodo base. El índce de Laseyres de recos será: L / (P) 1 w I / ( P ) 1 1 x 1 1 219
Números índces Para candades endremos: L / (Q) 1 w I / ( Q ) 1 1 x 1 1 INDICES DE PAASCE En ese caso, la onderacón se exresa como: w Ese índce es aconsejable ulzarlo en el caso de ue se sea ue la moranca relava de las magnudes cambaron a lo largo del emo. 1 Para recos, el índce de Paasche lo calculamos como: 22
ESTADISTÍCA I 1 P/(P) 1 I / w ( P ) 1 1 x 1 1 Es decr: P / (P) 1 1 El índce de Paasche de candades será: 1 P/(Q) 1 I / w (Q ) 1 1 x 1 1 Es decr: P / (Q) 1 1 INDICES DE FISER El índce de Fsher ara recos vendrá dado or la sguene exresón: F / ( P ) L / ( P )P / ( P ) 221
Números índces Y ara candades, endremos la exresón: F / (Q ) L / (Q )P / (Q ) Ejemlo: dada la sguene nformacón sobre recos y candades venddas (en mles de eseas) de deermnados arículos: A Ñ O S BIENES 1987 1988 1989 P Q P Q P Q Paaas 5 15 6 14 75 135 Judas 15 43 18 45 2 46 Acee 18 3 2 31 22 325 Pescado 1 25 115 27 13 3 Deermnar los índces de recos y candades de Laseyres, Paasche y Fsher ara 1989, con reseco al año base, 1987. BIENES P87 Q87 P87 Q89 P89 Q87 P89 Q89 PATATAS 75 675 1125 1125 JUDIAS 645 69 86 92 ACEITE 54 585 66 715 PESCADO 25 3 325 39 SUMAS 376 43425 48825 563625 222
ESTADISTÍCA I Q Q 87 + Q 89 ; P P 87 + P 89 BIENES Q P89 Q P87 Q P Q89 P Q87 P PATATAS 285 21375 1425 125 16875 1875 JUDIAS 89 178 1335 35 161 155 ACEITE 625 1375 1125 4 13 12 PESCADO 55 715 55 23 69 575 SUMAS 151875 8125 3175 997875 86425 L P 89/87 89/87 (P) (P) 4 1 4 1 4 1 4 1 89 87 89 89 87 87 89 87 48825 376 563625 x 1 43425 x 1 129.85 129.79 F 89/87 (P) L89/87 (P) P89/87 (P) 129.85 x 129.79129.82 L P 89/87 89/87 (Q) (Q) 4 1 4 1 4 1 4 1 87 87 89 87 89 87 89 89 43425 376 563625 x 1 48825 x 1 115.49 115.44 223
Números índces F89/87 (Q) L89/87(Q)P 89/87(Q) 115.49x115.44115.46 V.5.- Cambo de base y enlace de sees emorales. En el ranscurso del emo enen lugar cambos en los elemenos ue comonen un número índce, camba la roduccón, los hábos de consumo, desaarecen roducos de consumo habual al msmo emo ue aarecen oros nuevos, ec. Es decr, al cabo de cero emo el conjuno de varables selecconadas uede ue haya dejado de ser reresenavo. En cuano a las onderacones (s se elgeron los daos del año base) es osble ue no se ajusen a la esrucura del consumo acual. Cuando eso sucede hay ue ncar de nuevo el roceso: renovar el índce con una nueva base. Al modfcar la base de un ssema de números índce se roduce, generalmene, una ruura en la connudad de las seres, ue desde un uno de vsa eórco no adme solucón cuando el cambo de base realzado nroduce modfcacones ano en la coberura y clasfcacón de los arículos como en sus onderacones. No obsane, como se necesan seres connuadas ue erman realzar redccones y esudos sobre la evolucón hsórca de los números índce, odos los 224
ESTADISTÍCA I aíses al realzar un cambo de base buscan un rocedmeno ue erma enlazar las seres con el menor deeroro osble del rgor cenífco. El rocedmeno de enlace generalmene aceado es buscar un coefcene de enlace or el cual se mullcan los índces de la base angua ara hacerlos congruenes con la nueva base. De esa forma se rolongan haca arás los índces con la nueva base. S lo ue se desea es rolongar haca delane los índces de bases anerores se usará el coefcene como dvsor de los índces corresondenes a la nueva base. En la rácca el enlace de seres de números índce se realza: 1) Indces smles Para realzar el cambo de base nos aoyamos en la roedad crcular: I / () I /' () x I '/ () S enemos una sere referda al erodo y ueremos esa msma sere referda a ', esamos realzando un cambo de base del erodo al erodo ' : I / () I I / / () () 2) Indces comlejos, aunue no cumlen la roedad crcular, 225
Números índces acuamos como s lo hceran y alcamos el msmo rocedmeno ue en los índces smles. Lo ue hacemos es dvdr el índce dado or el índce basado en el nuevo erodo con reseco al erodo base ncal: I / () I /' () x I '/ () Donde : es el año del cual ueremos calcular el índce en una nueva base. : es el erodo base anguo. ' : nuevo erodo base. Esa roedad nos dce ue el índce del año en base (I / ), es gual al índce de ese msmo año en la nueva base (I '/ ), mullcado or el índce del nuevo año base en base (I '/ ). Es decr: I / () I I / / () () El índce del año en la nueva base ' (I /' ()) es gual al cocene enre el índce del año en base (I / ()) y el índce del año ' en base (I '/ ()). Ejemlo: Dada la sere del Indce de Precos de Consumo (IPC) de los años 1978-1983 con base 1976 y la msma sere referda a los años 1983-1988 con base 1983. Calcular la sere homogénea de IPC de los años 1978-1988 con base 1983. 226
ESTADISTÍCA I Error! Marcador no defndo.años/ip C Base 1976 78 149.1 79 172.5 8 199.3 81 228.4 82 261.3 Base 1983 83 293.1 1 84 11.3 85 12. 86 13.5 87 137.4 88 144. I I /(IPC) I / () I /(IPC) I78/76(IPC) (IPC) I 83/76(IPC) 78/83 Donde, : año ue ueremos calcular. ' : nuevo año base (76) : año base anguo (68) Error! Marcador no defndo.años/ip C Base 1976 Base 1983 Nueva sere IPC (base 1976 1 ) 78 149.1 I 78/83 5.87 79 172.5 I 79/83 58.85 8 199.3 I 8/83 68. 227
Números índces 81 228.4 I 81/83 77.9 82 261.3 I 82/83 89.15 83 293.1 1 I 83/83 1 84 11.3 85 12. 86 13.5 87 137.4 88 144. Es osble ue nos nerese hacer el rocedmeno conraro, es decr, asar de base 83 a base 76, en ese caso haríamos: I /76 I /83 x I 83/76 /1 I 84/76 I 84/83 x I 83/76 /1 (11.3 x 293.1)/1 323.29.. I 88/76 (I 88/83 x I 83/76 )/1 (144. x 293.1)/1 422.6 V.6.- El roblema de la deflacón de seres emorales. En economía exse la necesdad de comarar el valor (reco or candad) de las magnudes económcas a lo largo del emo. Cuando esa valoracón ha sdo hecha semre a los recos del msmo erodo base (recos consanes) odemos realzar la comaracón drecamene. En cambo, s la valoracón ha sdo hecha en cada erodo al reco corresondene al msmo (recos correnes) no odemos realzar la comaracón drecamene orue la sere no es homogénea. En ese caso enemos ue exresar la sere en recos consanes (referdos al msmo erodo base). 228
ESTADISTÍCA I Para asar de una sere en recos correnes a ora en recos consanes enemos ue dvdr la rmera or un índce de recos y ello es lo ue se conoce como DEFLACION de una sere. Al índce de recos elegdo ara realzar el roceso se le llama DEFLACTOR. Dado ue los índces de recos más ulzados son los de Laseyres y Paasche, vamos a ver cómo se ulzan como deflacores. Tenemos el valor de una magnud en dos nsanes del emo: V Σ 1 : valor a recos del año base. V Σ 1 : valor acual, a recos correnes. A) Alcando el índce de recos de Laseyres: V L(P) 1 1 1 1 x P(Q) Al deflacar un valor or un índce de Laseyres no asamos de recos correnes a consanes, sno ue se obene la royeccón emoral del valor ncal (V ) a ravés de un índce cuánco de Paasche. 1 1 V B) S deflacamos or un índce de recos de Paasche 229
Números índces endremos: V P(P) 1 1 1 1 Obenemos la valoracón de la roduccón acual a recos del erodo base. Por lo ano, el índce de Paasche es el dóneo ara deflacar. No obsane se ueden ulzar oros con la condcón de ue sea semre el msmo. Cuando enemos los valores de una magnud a recos correnes y a recos consanes (valor de la magnud en el año base) odemos obener un índce de recos de dcha magnud el cual se conoce como el deflacor mlíco y es gual al cocene enre la magnud a recos correnes y a recos consanes mullcado or cen. Ejemlo: el valor del PIB (roduco neror bruo) a recos correnes en el año 1984 fue de 25934,4 (mles de mllones), en el msmo año el PIB alcanzó un valor de 3945 (mles de mllones) a recos consanes. El deflacor del PIB en el año 1984 es: 25934.4 3945 x 1 657.4 23
ESTADISTÍCA I EJERCICIO 1: Dados los recos y candades de res arículos A, B y C desde 1986 a 199; calcular los índces de recos y candades de Laseyres, Paasche y Fsher ara cada año omando como año base 1986. Renovar los índces de Paasche omando como año base 1988. Años Arículo A Arículo B Arículo C PRECIO CANTIDAD PRECIO CANTIDAD PRECIO CANTIDAD 1986 3 1 32 15 4 2 1987 35 15 35 1 45 21 1988 41 112 43 11 47 215 1989 45 12 45 115 5 22 199 56 125 5 123 55 225 A) Indces de Laseyres: PRECIOS CANTIDAD 1986 1 1 1987 112.6393 12.7159 1988 125.4526 17.7994 1989 133.8788 111.9777 199 152.1588 116.1978 B) Indces de Paasche: 231
Números índces PRECIOS CANTIDAD 1986 1 1 1987 112.7119 12.7821 1988 125.4974 17.8379 1989 134.1729 112.2237 199 152.9726 116.8192 C) Indces de Fsher: PRECIOS CANTIDAD 1986 1 1 1987 112.6756 12.749 1988 125.475 17.8187 1989 134.258 112.16 199 152.5651 116.581 D) Indce de Paasche renovado: 19881 19861 19881 19861 1986 79.68292 1 92.73177 1 1987 89.8121 112.7119 95.31163 12.7821 1988 1 125.4974 1 17.8379 1989 16.9129 134.1729 14.67 112.2237 199 121.893 152.9726 18.3285 116.8192 EJERCIO 2: Dada la sguene abla esadísca sobre 232
ESTADISTÍCA I candades gasadas en loería en una cudad en los años ue se esecfcan y el IPC de esos años. Exresar las cadas candades en eseas consanes de 1985. AÑOS CANTIDAD EN(PTS. CORRIENTES) IPC BASE 1983 86 184125 12. 86 2345168 13.5 87 2654896 137.4 88 2972154 144. 89 3281562 153.8 9 3456917 164.1 SOLUCION: AÑOS IPC BASE 1985 CANTIDAD (PTS.CONSTANTES DE 1985) 85 1 184125 (184125/1)*1 86 19.25 214667 (2345168/19.25)*1 87 114.58 2317 (2654896/114.58)*1 88 12. 2476795 (2972154/12.)*1 89 128.17 256386 (3281562/128.17)*1 9 136.75 252791 (2356917/136.75)*1 EJERCICIO 3: Conocdos los coses de una emresa durane los años 1985 a 199 y el IPC con base 1983 en el msmo erodo, se de calcular los índces de cose con base 1985 en érmnos correnes y consanes. AÑOS COSTES IPC(19831) 1985 5542135 12 1986 672386 13.5 1987 6985756 137.4 1988 735211 144 1989 7681276 153.8 199 8125679 164.1 SOLUCION: AÑOS IPC 83 IPC 85 COSTES COSTES(CORR) COSTES(CTE) 233
Números índces 1985 12 1. 5542135 1. 1. 1986 13.5 18.75 672386 121.31 111.55 (1) 1987 137.4 114.5 6985756 126.5 11.9 1988 144 12. 735211 126.94 15.78 1989 153.8 128.17 7681276 138.6 18.14 199 164.1 136.75 8125679 146.62 17.21 (1) A) IPC 86/85 IPC 86/83 / IPC 85/83 (13.5/12)*1 18.75 B) COSTES(CORR) 86/85 (COSTES 86 /COSTES 85 )*1 (672386/5542135)*1 121.31 C) COSTES(CTE) 86/85 (COSTES(CORR) 86/85 /IPC 86/85 )*1 (121.31/18.75)*1 111.55 EJERCICIO 4: Se dsone de la sguene nformacón esadísca sobre el IPC con base 1983 1: Error! Marcador no defndo. GRUPOS w I 12,91/83 Almenos, bebdas y abaco 33.3 181.1 Vesdo y calzado 8.7 188.4 Vvenda 18.6 17.6 Menaje y servcos del hogar 7.4 167.3 Servcos médcos y conservacón de la salud 2.4 178.2 Transores y comuncacones 14.4 166.5 Esarcmeno deore y culura 6.96 171. Oros gasos 8.5 25.3 234
ESTADISTÍCA I Calcular: 1.-El índce general de recos de consumo corresondene a dcembre de 1991. SOLUCION 1.-IPC 12,91 Σ 8 1 I w /Σ 8 1 w (181.1 * 33.3 + 188.4 * 8.7 + 17.6 * 18.6 + 167.3 * 7.4 + 178.2 * 2.4 + 166.5 * 14.4 + 171. * 6.96 + 25.3 * 8.5)/1 123.5436 EJERCICIO 5: El sguene cuadro muesra las onderacones de los 8 gruos de gaso del IPC (base 19831) Error! Marcador no defndo. GRUPOS 235 PONDERACION EN% Almenos, bebdas y abaco 33.3 Vesdo y calzado 8.74 Vvenda 18.57 Menaje 7.41 Servcos médcos y sanaros 2.39 Transore y comuncacones 14.38 Esarcmeno,enseñanza y culura 6.96 Oros benes y servcos 8.52
Números índces Calcular el IPC general en el erodo suonendo ue cada gruo ene las sguenes varacones: 5%, 7%, 1%, 12%, 6%, 9%, 14% y 8%, resecvamene; del erodo al. SOLUCION: IPC /83 8 1 8 1 I w w 83 83 236
ESTADISTÍCA I GRUPOS PONDERACIONES INDICE PARTICIPACION 1 33.3 15 34.6815 2 8.7 17 9.39 3 18.6 11 2.46 4 7.4 112 8.288 5 2.4 16 2.544 6 14.4 19 15.696 7 6.96 114 7.9344 8 8.5 18 9.18 IPC /83 18.929 Suma arcacones 8 1 8 I 1 w w 189 1 Anexo V.1: Índces funconales En los índces ue hemos vso, aunue se ncluyen en ellos recos y candades, no se suone relacón funconal alguna, condconane, enre ellos. Exsen oro o de índces en los ue se suone una relacón funconal, de nauraleza económca, enre los recos y las candades; son los ue Samuelson denomnó de nauraleza o base económca. La dea ncal de ese o de índces aró de KONÜS, ue 237
Números índces en 1924 reendó analzar el cose de la vda en Rusa. A causa de la censura su rabajo no se conocó hasa 1936. El conceo nroducdo or KONÜS fue clarfcado en 1939 or SULT, recsando ue el índce del cose de la vda es la relacón, en dnero, del gaso realzado or un ndvduo, en dsnos momenos del emo, ue le roorcona el msmo nvel de vda o uldad oal en esas dos suacones emorales; las cuales dferen úncamene en recos. Suonendo ue nos enconramos en un ssema económco con dos roducos (A y B) de los cuales un ndvduo consume las candades A y B. En el eríodo base () los recos del A ssema económco consderado son y B, ara los roducos A y B, resecvamene. En ese eríodo el ndvduo ercbe una rena ue ulza en adurr los roducos A y B, es decr, su rena es gual al gaso ue realza: A A B B G x + x reresenada gráfcamene: 238
ESTADISTÍCA I El ndvduo de referenca ene una funcón de uldad en el eríodo base: U u ( A, B ), reresenada gráfcamene: Para maxmzar su uldad, el ndvduo ene ue ener en cuena su rena: G A x A + B x B cuya endene es: B A d d - A B Las candades ue maxmzan la uldad ( A*, B* ) las obenemos gualando la endene de la reca reresenava 239
del gaso con la endene de la funcón de uldad: Números índces U - A B Gráfcamene, endremos: De forma ue ( A*, B* ) son las candades corresondenes al uno de angenca: M En el nsane, la esrucura de recos será : ( A, B ) y la funcón de uldad del ndvduo vendrá dada or la exresón: U u ( A, B ) Ahora como consecuenca de esos cambos nos laneamos dos alernavas: 1) Calcular la nueva funcón de gaso y deermnar las candades ómas ( A*, B* ) las cuales comararemos con las obendas en el erodo base ( A*, B* ) ara deermnar s, como consecuenca del cambo en los recos, la uldad del 24
ESTADISTÍCA I ndvduo ha aumenado o dsmnuído. Tenendo en cuena ue el ndvduo obene mayor uldad cuano más se aleje del orgen y suonendo ue los benes consumdos son normales. 2) Obener las candades ómas en ( A**, B** ) con la nueva esrucura de recos ( A, B ) manenendo la msma uldad ue en el erodo base. Para ello deermnamos el ** gaso G ue es necesaro realzar ara manener el msmo nvel de vda en y en, lo cual mlca mnmzar la exresón: G ** A x A + B x B sujea a: U u ( A, B ) El cocene G ** / G K, ue es la varacón moneara necesara ara manener el msmo nvel de vda en los dos erodos. Ese cocene es el índce de Konüs: * * G K G A A A + A + B B B B 1 1 ** Ejemlo: Parendo de las esrucuras de recos ara el año base y el año : A B A B 5; 4; 6; 5. Y dada la funcón de uldad en el erodo base: U (9 - A ) x (4 - B ) 241
Sabendo ue la uldad en el año base fue 4. Calcular el índce funconal de Konüs. Números índces 1º) Calculamos los valores de ue maxmzan la funcón de uldad, dada la esrucura de recos, la resrccón resuuesara, en el erodo base ue es: A A B B A B G x + x 5 + 4 cuya endene es: A - B - 5 4 Y la funcón de uldad en el año base: 4 (9 - A ) x (4 - B ) En el ómo: la endene de la reca endene de la B A curva: enemos ue dervar reseco a en la funcón de uldad, 4 (9 - A ) x (4 - B ). B 4-4/(9 - A ); B - 4/(9-1 ) + 4 d B A /d -4/(9-1 ) 2 : endene de la funcón de uldad. En el ómo: d B /d A - A / B ;-4/(9 - A ) 2-5/4 Resolvendo la ecuacón aneror obenemos: (a) A 14.6 (b) A 3.4 242
ESTADISTÍCA I Al susur 14.6 (a) y 3.4 (b) en la funcón de uldad obenemos 11.1 (a) y -3.1 (b) ara B, or lo ano elegmos A B 14.6 y 11.1, como candades ómas ara el año base. 2º) Dada la nueva esrucura de recos en, como reendemos manener la uldad gual ue en, enemos ue gualar la dervada de la funcón de uldad en a la endene de la reca de gaso corresondene a la nueva esrucura de recos: ( B )' - 4/(9 - A ) 2 - A B / - 6/5; - 4/(9 - A ) 2-6/5. A 14.8 (a) A 3.2 (b). Al susur 14.8 (a) y 3.3 (b) en la funcón de uldad obenemos 1.9 (a) y -2.9 (b) ara B, or lo ano elegmos A 14.8 y B 1.9, como candades ómas ara el año. De esa forma las funcones de gaso ue obenemos son: G 5 x 14.6 + 4 x 11.1 117.4 ** G 6 x 14.8 + 5 x 1.9 143.3 ** K / G / G 143.3/117.4 1.22. Para obener en el erodo la msma uldad ue en el eíodo hay ue gasar 1.22 veces más. S en el erodo G fuera gual a 1, en G sería gual a 122, el índce del cose de la vda ha subdo un 22% enre el erodo y el erodo. 243
Números índces Anexo V.2: Elaboracón de un número índce Al elaborar un número índce comlejo hay ue ener en cuena: 1)Seleccón de varables El índce es una síness del gruo o conjuno de varables a ue se va a referr (consumo, roduccón, ec.),or ano hay ue elegr los arículos o conceos más relevanes denro del gruo, los cuales deberán esar erfecamene esecfcados con el fn de evar ambgüedades. 2)Seleccón de los lugares y emos de observacón Una vez defndos los arículos ue forman el gruo de varables, hay ue obener los valores numércos corresondenes a recos y/o candades de los arículos selecconados. Esas observacones deben ser recogdas semre en los msmos lugares, ambén deberá esecfcarse el momeno o nervalo de emo en el ue se recoge el dao. Tano los lugares como los emos de observacón deben ser selecconados en funcón de la moranca del conceo denro del gruo, frecuenca o sgnfcacón. 3) Seleccón de la base Dado ue el emo es el érmno de referenca o comaracón, debe elegrse un emo o éoca normal. Por ejemlo, ara un índce de recos no debe elegrse una éoca esecalmene nflaconsa (año 1992) y ara uno de roduccón agrícola 244
ESTADISTÍCA I nunca se elegrá un año de cosecha exceconalmene buena o mala. 4) Seleccón de fórmulas de onderacón Las dsnas fórmulas enen una esrecha vnculacón con las onderacones y ésas con la dsonbldad de daos y el cose de elaboracón del índce. El índce más cososo es el de Fsher, segudo del de Paasche, y el más barao es el de Laseyres, ueso ue sólo necesa las onderacones del año base. 5) Reresenavdad del índce Exsen dos unos de vsa: a) El número de varables selecconadas mlca mayor o menor coberura. b) Consderando el índce como un romedo, será más reresenavo el ue sea menos dserso. Anexo V.3.- Parcacón y reercusón. emos vso ue un índce comlejo: I / ( ) esá formado or magnudes smles, cada una de las cuales ene (según su onderacón) arcacón en las varacones ue resena el índce general a lo largo del emo. Por ora are, ambén hemos de ener en cuena la reercusón ue las varacones de las magnudes smles enen en las varacones del índce general. 245
Números índces Es decr, s el índce general ha endo una varacón del 3% enre el erodo y el, odemos averguar la arcacón de cada comonene en dcha varacón. Tambén odemos conocer cómo va a afecar al índce general (la reercusón) la varacón de uno de sus comonenes. Por ejemlo, s el reco de la energía aumena un 5% del erodo al, odemos saber ué reercusón ene esa varacón sobre el IPC. Desarrollaremos esos dos conceos referdos al índce de recos de Laseyres: L / (P) Suonemos ue odas las magnudes camban: (Ä ), enonces el nuevo índce será: 1 1 (P) + L (P) Y la varacón del índce general es: L / / 1 ( + ) 1 L / 1 (P) En orcenaje esa varacón vene dada or la exresón: 1 246
ESTADISTÍCA I L/(P) L/(P) x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 x 1 S llamamos reercusón (R ), en valor absoluo, a la varacón de la comonene en el índce general, enemos ue: 1 R 1 ; CumlÇndose ue: R 1 En orcenaje, la varacón de la comonene es: I g R L/ (P) 1 1 1 x 1 1 x 1 La arcacón, en orcenaje, de la comonene en el índce general es: P R L/(P) R L/(P) 1 1 1 1 x 1 1 x 1 247
Números índces Anexo V.4:Esudo de algunos índces elaborados en Esaña Acualmene se elaboran una varada gama de índces en nuesro aís, de los cuales no vamos a hacer una enumeracón exhausva sno, smlemene haremos una descrcón de algunos de ellos y una somera exlcacón del índce de recos. 1.-INDICE DE PRECIOS DE CONSUMO El Indce de Precos de Consumo (IPC), anes llamado Indce del Cose de la Vda, es un índce de recos, ue en Esaña elabora el Insuo Naconal de Esadísca (INE) ulzando la fórmula de Laseyres y referdo a los benes y servcos ue defnen un cero nvel de vda, eso mlca deermnar en rmer lugar a ué nvel de vda nos refermos y dado ue ése vene deermnado or la rena, ara elaborar el IPC hay ue defnr los nveles de rena de la oblacón ue es objeo del esudo, es decr, deermnar el esrao de referenca ue normalmene cubrrá del 8 al 9% de la oblacón oal. En segundo lugar es necesaro deermnar ué benes y servcos son los consumdos or el esrao de referenca, ese conjuno de benes y servcos consurá la cesa de la comra nervnendo en ella los benes y servcos de consumo más frecuene y comunes. 248
ESTADISTÍCA I Para su eleccón se are de la Encuesa de Presuuesos Famlares la cual se elabora nvesgando, medane muesreo, una fraccón reresenava de la oblacón a la ue se nerroga sobre odos los gasos efecuados or la famla. La nvesgacón cubre un laso de emo enre 6 y 12 meses con objeo de evar los erodos de gasos anormales. Una vez esablecda la cesa de la comra se valora a recos del erodo acual y oserormene se relacona esa valoracón con la corresondene al erodo base ara obener así la evolucón del índce. En Esaña se elaboró el rmer índce del Cose de la Vda omando como año base 1939. Poserormene se fue cambando la base (1958,1968 y 1976). En 1977 se camba la denomnacón del índce asando a ser Indce de Precos de Consumo (IPC). En la encuesa ue srvó de base ara el índce de 1976, realzada en 1973-74 el esrao de referenca eran los hogares lurersonales con una rena anual comrendda enre 81 y 72 s., esaban reresenados el 71.5% de los hogares y el 81.5% del gaso. Incluía 378 arcelas de consumo. En 198-81 se realza ora encuesa con el msmo esrao de referenca ue en 1973-74, sn embargo en esa úlma la rena 249
Números índces famlar esá comrendda enre 322575 y 2 de s.; la coberura es del 79% de los hogares, el 86.1% de las ersonas y el 85.4% del gaso. Esa encuesa es la base del IPC ue esá acualmene en vgor cuya base es 1983, en él los gasos de consumo aarecen clasfcados en 611 gruos de arículos agregados en 428 arcelas de consumo y clasfcados en 8 gruos de gaso: Error! Marcador no defndo. GRUPOS Nº DE PARCELAS Almenos, bebdas y abaco 171 Vesdo y calzado 56 Vvenda 24 Menaje 56 Servcos médcos y sanaros 18 Transore y comuncacones 26 Esarcmeno, enseñanza y culura 4 Oros benes y servcos 37 Denro de cada arcela se selecconan 1 o más arículos ara reresenar a odos los ue la negran, sendo los recos de esos arículos selecconados, los arículos muesrales, los ue se ulzan ara calcular el índce de cada arcela y con los recos de las 428 arcelas de consumo se obenen los sguene índces ofcales: Los índces de los 8 gruos de gaso. 25
El índce general ara el oal naconal. El índce general ara el oal naconal urbano. El índce general ara el oal naconal no urbano. El índce general ara caales. El índce general ara comundades auónomas. ESTADISTÍCA I Ponderacones En el cálculo del IPC los recos de los dsnos arículos esán onderados según la moranca ue el consumo del arículo corresondene ene en el esrao de referenca. El INE obene una esrucura de onderacones dsna ara cada uno de los conjunos rmaros y or agregacón de ésos llega a las esrucuras de los dferenes nveles de cálculo del índce. (Para los 8 gruos de gaso): Error! Marcador no defndo. GRUPOS PONDERACION EN% Almenos, bebdas y abaco 33.3 Vesdo y calzado 8.74 Vvenda 18.57 Menaje 7.41 Servcos médcos y sanaros 2.39 Transore y comuncacones 14.38 Esarcmeno,enseñanza y culura 6.96 Oros benes y servcos 8.52 Méodo de cálculo: Como hemos dcho, se ulza el índce de recos de Laseyres: I / (P) 1 1 x 1; (1) 251
Números índces La candad ara el arículo ( ) se ha obendo en cada conjuno rmaro alcando la fórmula C /, sendo C la candad, en eseas, gasada durane el año de la encuesa, en el arículo. La fórmula (1) ambén uede exresarse: I / w I 1 x 1 Donde I es el índce smle del arículo y w su onderacón: / I / ; y w 1 Las onderacones ermanecen fjas, generalmene, durane odo el erodo de vgenca del índce. La recogda de recos se realza semre en el msmo esablecmeno, a nervalos regulares de emo y sn ener en cuena recos esecales or oferas. 2.-OTROS INDICES A) Indce de Produccón Indusral (IPI), recoge las varacones de la ofera ndusral de las dsnas ramas de la acvdad económca: -Mnerales no energécos e ndusras uímcas. -Oras ndusras manufacureras. -Indusras ransformadoras de meales y mecánca de 252
ESTADISTÍCA I recsón. -Energía. Ese índce ambén se elabora enendo en cuena el desno de la roduccón: -Benes ndusrales. -Benes nermedos. -Benes de consumo. B) Indces de Emleo y Producvdad, su objevo es medr la arcacón del rabajo en la roduccón ero exsen graves roblemas con los daos dsonbles y las undades de medda de la roduccón (brua, nea) y los creros de valoracón (al cose de los facores ó a reco de mercado). Normalmene se ulzan: Produ.- Facores dsnosrabajo Produ. nea rabajo Facor rabajo Producc n Produ. oal de los facores Facor rabajo+oros facores C) Indces de salaros: mden las varacones del salaro del oal de rabajadores or undad de emo. Para su cálculo se ulza, normalmene, una meda arméca onderada. D) Indces de comerco exeror: resenan un grave roblema en cuano a la eleccón de las onderacones. Normalmene se ulzan los índces de Laseyres y Paasche de recos y 253
Números índces candades, aunue ambén se elaboran oros ue mden la relacón enre las exoracones (X) y las moracones (M), como la "relacón real de nercambo" (R), ue se obene: P (X) R P (M) donde P es un índce de recos de Paasche. E) Indces de cozacón de valores en bolsa: mden las flucuacones ue se regsran daramene en las cozacones de los valores en la bolsa, consderando el valor de la cozacón en el momeno del cerre. El erodo base se camba el rmer día de cada año. 254