ENGI Revista Electrónica De La Facultad De Ingeniería Vol. No. Julio Año ISSN 56-56 Análisis De Los Métodos Astrom-Hagglud Y Ziegler- Nichols Para Sintonización De Controladores Pid* J. Díaz Resumen En este documento se presenta el desarrollo de un controlador para una determinada función de transferencia, esto con el fin de identificar como este tipo de controladores siendo los mas sencillos, pueden llegar a controlar un sistema de forma optima según los parámetros que como diseñador se quieran conseguir, esto se realizara por medio de las técnicas de Astrom- Hagglud y Ziegle-Nichols para así obtener los parámetros o valores iniciales del controlador, posteriormente se realiza la sintonización para que cumpla con los parámetros deseados. Para facilitar el análisis se utilizaran las herramientas de MatLab y PIDWindup. Palabras clave PID, MatLab, Parámetros de inicio, sintonización. E I. INTRODUCTION n cuanto al tema se control se trata, el controlador mas fácil de diseñar e implementar es el control ON/OFF, sin embargo este tipo de control no es al adecuado para la mayoría de sistemas, es por ello que la mayoría de veces se habla de los controladores PID ya que son muy sencillos, prácticos y muy efectivos. Últimamente el diseño de este tipo de controladores se ha vuelto una tarea muy sencilla gracias a la variedad de software que se han creado específicamente para estas aplicaciones, como es el caso de MatLab el cual entre sus muchas aplicaciones tiene un toolbox dedicado exclusivamente al control, además existen otras herramientas que ayudan a realizar tareas exhaustivas como los procesos de sintonización como lo es el PIDWindup. Una de las ventajas del control es que existe una gran variedad de técnicas para llevar a cabo el diseño de los mimos, en este caso se habla de los PID como controladores muy sencillos de diseñar, sin embargo hay casos en los que un determinado método no funciona o simplemente unos métodos son de mas agrado que otros dependiendo del diseñador, es por ello que vale la pena aprender algunas de las diferentes técnicas que existen. Gs () S.6S III. DESARROLLO Para empezar con el diseño del controlador PID, lo primero que se tiene que observar y analizar es el comportamiento del sistema en lazo cerrado para así conocer el sistema y proceder con la realización del control de acuerdo a los parámetros establecidos. A continuación en la figura se muestra el diagrama de bloques realizado en Simulink. Figura. Sistema en lazo cerrado ante una entrada escalón unitario De a cuerdo a la simulación se obtuvo que la señal de la salida presenta: Ts=3 seg. Mp=5% y lo mas importante posee un Ess=5% lo cual es muy malo. En la figura se puede observar la señal descrita (se asumió que la amplitud esta dada en voltios). Partiendo de los resultados anteriores se definieron los siguientes parámetros de diseño: Tiempo de estabilización (Ts) a menos del 8% Máximo sobre-pico (Mp) 3% Error en estado estacionario (Ess) de % () II. PLANTEAMIENTO Para este taller se ha definido que para la función de transferencia (ver ecuación ) hay que diseñar un controlador PID. J. Díaz, Estudiante de la Universidad De Cundinamarca, Estudiante Ingeniería electrónica IX semestre, Fusagasugá, Colombia jade77@gmail.com * Reproducido con permiso de VII Jornada de Ingeniería Universidad de Cundinamarca -
ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS ASTROM-HAGGLUD Y ZIEGLER-NICHOLS PARA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID Resolviendo: b K (5) b (6) Por consiguiente K es estable para todos lo valores positivos, es decir que el método de Ziegler-Nicholsen lazo cerrado no se puede usar. Por consiguiente se utilizara el método de Astrom- Hagglund (AH) (Aunque también se puede utilizar el método de Kaiser-Rajka (KR)). El método de AH hace que el sistema este forzado a oscilar por medio de un relay así como se muestra a continuación. Figura. Comportamiento del sistema en lazo cerrado ante una entrada escalón unitario. Una vez identificado el comportamiento del sistema en lazo cerrado se prosigue al diseño del controlador. A. Controlador PID Como primera medida se identificara si el sistema es críticamente estable ante una ganancia K para determinar si se puede utilizar el método de Ziegler-Nichols en lazo cerrado para determinar los valores iniciales del controlador PID, ya que por observación de la figura, se puede descartar el método Ziegler-Nichols en lazo abierto ya que no tiene un comportamiento en forma de s. A continuación se muestra el modelo en diagrama de bloques para este método. Figura 4. Diagrama de bloques para el método de Astrom-Hagglund A continuación en la figura 5, se muestra la respuesta del sistema ante el relay de amplitud 8, en donde hay que determinar los valores de Pc, a y Kc. Figura 3. Diagrama de bloques según el método de Ziegler-Nichols en lazo cerrado La guanacia K se determina por medio del método de Routh- Hurwits, en donde la función de transferencia del sistema esta dada por: K S.6 S Gs () () K S.6S K Gs () (3) S.6 S ( K) Aplicando Routh-Hurwits: S S K 3 S b b (4) Figura 5. Comportamiento del sistema haciendo uso del método de Astrom- Hagglund A continuación se hallan los valores correspondientes para poder hallar los valores iniciales del controlador PID. Pc 33. 3.8.3 (7).378.383 a.3 (8) Para determinar Kc se hace uso de la siguiente formula, en donde d es la amplitud del relay 4d Kc (9) a * Reproducido con permiso de VII Jornada de Ingeniería Universidad de Cundinamarca -
DÍAZ Entonces se tiene que el valor de Kc es: 48 Kc 44.8.3 () parámetros de inicio la salida del controlador presenta un pico de voltaje de 5V lo cual es incoherente (Figura 7), por consiguiente a la hora de la sintonización hay que procurar que esta amplitud no sobrepase los 5V y que se cumplan las especificaciones de diseño. De esta manera ya se pueden obtener lo parámetros para el PID haciendo uso de la tabla de Ziegler-Nichols, la cual se muestra a continuación: Tabla. Forma de hallar las contantes Kp Ti Td Pero también hay que tener en cuenta la ecuación de un control PID. t d U( t) Kp e( t) e( t) d( t) Td e( t) Ti dt () Remplazando los valores obtenidos según la tabla se tienen los siguientes valores: Kp = 65.68Ti=.55Td=.38 A continuación se muestra la grafica obtenida del controlador PID con los parámetros de inicio. Figura 7. Señal de salida del controlador Ahora se intenta sintonizar el controlador lo mejor posible para que cumpla con los parámetros de diseño estipulados al principio. Una forma practica para realizar la sintonización del controlador es haciendo uso del software PIDWindup. Una vez realizada la sintonización se obtuvieron los siguientes valores: Es decir: Kp =.66 Ti =. Td =.5 P=.66I=.66/.D=.66*.5 Y la grafica resultante con PIDWindup fue la siguiente: Figura 6. Sistema con el controlador PID sin sintonizar. Figura 8. Sistema con el controlador PID sintonizado en base a los parámetros de diseño con la aplicación PIDWindup Ademas de la señal obtenida a la salida del sistema también hay que ver la señal a la salida del controlador ya que esta es muy importante a la hora de la implementación del controlador. En este caso se presenta que mediante los Como se puede observar en la figura anterior, se presenta el comportamiento del sistema con el PID así como la salida del controlador, en donde la salida del controlador no excede la referencia con el fin de no dañar el actuador y asegurarse de * Reproducido con permiso de VII Jornada de Ingeniería Universidad de Cundinamarca -
ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS ASTROM-HAGGLUD Y ZIEGLER-NICHOLS PARA SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID que el sistema pueda responder a esa amplitud que por lo general es un voltaje, por otra parte se obtuvo un Mp del % un Ess=% y un Ts=4.5 Seg. Con esto se puede decir que se cumplieron a cabalidad con los parámetros de diseño establecidos. Sin embargo al llevar estos resultados a MatLab no coinciden, aunque es una buena aproximación para lo que se quiere obtener, por consiguiente la sintonización resulta mas amena o menos exhaustiva. Es en este punto en donde entran en conflicto las versiones de MatLab y la aplicación PIDWindup (esta ultima por lo que se ha mencionado). Es por ello que en este documento se han decidido dar unos tips para la utilización y obtención de un diseño optimo. Como se puede observar en la figura anterior se obtuvo un Mp del % un Ess=% y un Ts=.9 Seg. Y la salida del controlador se muestra en la figura. Como se puede ver el diseño del controlador se realizo de manera optima, ya que se cumplen a cabalidad con los criterios de diseño y la salida del controlador no excede los 5V, este ultimo depende de como se va a implementar el controlador ya que lo que importa es que el elemento pueda brindar el voltaje, se habla por lo general de 5V ya que comúnmente se trabaja con microcontroladores y estos el máximo voltaje que brindan son 5V. B. Recomendaciones Si se esta utilizando MatLab tener especial cuidado a la hora de utilizar el bloque PID en Simulink ya que a diferencia de las versiones anteriores que venían configuradas por defecto, las ultimas versiones del software traen aplicaciones que las demás no tienen, por consiguiente hay que configurar todo, es decir hay que configurar desde que tipo de controlador se quiere, si un paralelo o un ideal (configurarlo como ideal) hasta el orden del filtro. Por consiguiente se recomienda si no se esta muy familiarizado con el software o este tipo de aplicaciones, lo mejor es utilizar las versiones anteriores a la, por consiguiente para observar la salida del controlador utilizar simulink con una versión anterior a la, sin embargo cuando se quiere observar el comportamiento de sistema con el controlador lo mejor es utilizar código. C. PID sintonizado y análisis de los resultados En base al apartado anterior, lo valores del controlador sintonizado son los siguientes: Figura. Salida del controlador PID sintonizado Comúnmente una de las pruebas que se hace para verificar el funcionamiento del controlador son las perturbaciones, a continuación se observa como actúa el sistema ante una perturbación (se utilizo otra sintonización para poder trabajar con simulink ya que por código no es posible o no se tiene el conocimiento de como ingresar las perturbaciones). P=.5 I=.5/.65 D=.5*.5 La grafica resultante es la siguiente: Figura. Salida del controlador PID sintonizado para simulink ante una permutación de.5v Figura 9. Sistema con el controlador PID sintonizado de acuerdo a los parámetros de diseño. Como se puede observar un controlador PID reacciona ante una perturbación como si se tratara de un escalón de entrada, es decir tiende a estabilizarse según los parámetros establecidos para el controlador. * Reproducido con permiso de VII Jornada de Ingeniería Universidad de Cundinamarca -
DÍAZ Por otro lado también se puede observar (ver figura ) que un controlador PID ante cualquier magnitud de la señal de entrada, esta sigue la referencia, es decir, así el análisis y los cálculos para el desarrollo del controlador se hallan realizado tomando en cuenta un escalón unitario de magnitud uno, el sistema también se controla ante cualquier magnitud a la entrada. REFERENCIAS [] Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, Sistemas De Control Moderno, decimaedición, Pearson, 5.BOUALLAGI H. Effect of Temperature of the performance of an Anaerobic Tubular reactor treating fruit and vegetal waste. Process Biochemistry, Elsevier Science Ltda. 3. [] Virginia Mazzone, Controladores PID, Control Automático, Automatización y Control Industrial Universidad Nacional de Quilmes, Marzo, disponible en la página de internet: http://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb59/teaching/caut/apuntes/pid. pdf [3] Ing. Mauricio Améstegui Moreno, Universidad Mayor De San Andrés La Paz Bolivia, apuntes de control PID, archivo pdf, disponible en la página de internet: http://jvr33.free.fr/pdf_laser/3_electronique/control%pid.pdf Jhon Alexander Díaz A. Estudiante de la Universidad de Cundinamarca de Fusagasugá, cursa actualmente IX semestre, participo en el congreso virtual de micro-controladores de Argentina (ponente) y congreso de nanotecnología en Bogotá (asistente). Trabaja como monitor en el laboratorio de electrónica de la UdeC. Temas de interés: Control inteligente, Visión por computador, Seguridad informática, Software y nuevas tecnologías. Fecha Recepción: de Marzo Fecha Aprobación: 9 de Junio Figura. Comportamiento del sistema ante un escalón unitario de magnitud. IV. CONCLUSIONES El uso de herramientas o software para el diseño y análisis de estas aplicaciones, son de gran ayuda ya que permiten ver como se comporta el sistema y para poder diseñar un controlador de acuerdo a unos parámetros requeridos, sin embargo hay que saber utilizar estas herramientas ya que si se hace un mal uso de ellas se llegara a hacer un mal diseño y perder todo el trabajo realizado. El diseño de controladores PID es una tarea relativamente sencilla pero que puede a llegar a ser tediosa, más que todo al momento de sintonizar el controlador para que funcione como se quiere, sin embargo es uno de los controladores mas fáciles de diseñar e implementar que presentan un control muy bueno, ya que como se pudo ver en el ejemplo trabajado en el documento se logro disminuir el tiempo de estabilización a casi el 9% con respecto al sistema en lazo cerrado, aunque esto puede variar si se llegase a implementar el sistema, ya que mechas veces dependiendo de la naturaleza del mismo, el sistema no puede reaccionar tan rápido como se estipula en la parte teórica, por ello también es importante conocerlo. Por otro lado se pudo ver que se paso de un error en estado estacionario del 5% al % lo cual es muy bueno en cualquier sistema, ya que lo que siempre se busca es que se siga la señal deseada o setpoint. * Reproducido con permiso de VII Jornada de Ingeniería Universidad de Cundinamarca -