EJERCICIOS GEOMETRÍA PARTE MATEMÁTICAS II 1) Comprobar que la recta r : x 10 = y 1 11/ = z 5 7 está contenida en el plano Π: x -8y + z = 8 Para que una recta esté contenida en un plano se tienen que verificar dos condiciones: 1) Que la recta y el plano sean paralelos Que el vector normal del plano sea perpendicular al vector director de la recta ( n d) n d =0 ) Que un punto cualquiera de la recta pertenezca al plano Datos: n =(10, 11, 7) ; d =(, 8, ) ; P 0 (,1,5) r 1) n d =0 44 + 14= 0 Π es paralelo a r ) Comprobamos si el punto P 0 (,1,5) pertenece al plano: 8 1 + 5 = 8 P 0 (,1, 5) Π Por tanto la recta está contenida en el plano ) Comprobar que la recta r: x 10 = y 1 11/ = z 5 7 no corta al plano Π : x -8y + z = 5 Una recta y un plano no se cortan en ningún punto si: 1) La recta y el plano son paralelos n d =0 ) Un punto cualquiera de la recta no pertenezce al plano 1) n d =0 44 + 14= 0 Π es paralelo a r ) Comprobamos si el punto P 0 (,1, 5) pertenece al plano: 8 1 + 5 = 8; 8 5 P 0 (,1,5) Π Por tanto la recta no corta al plano ) Calcula la distancia entre las rectas: r: x = y 1 = z 1 y s: x 1 = y 1 = z 1 Dos rectas se cruzan cuando no tienen ningún punto en común. Cada una de ellas pertenece a planos paralelos. P r =(0, 1, ) ; P s =(, 0, 1) d r =(, 1, ) ; d s =(1, 1, ) 1 MPU
Hecho en clase 4) Dadas las rectas: r : x 1 1 = y +1 = z k 1 1 y s : x y + z = { x+ z =1} a) Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano. b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación del plano que las contiene. Para que dos rectas r y s estén contenidas en un plano se tienen que verificar dos condiciones: 1) Que d r y d s no sean proporcionales (r y s ni coincidentes ni paralelas) ) Que P r P s, d r y d s estén en el mismo plano = 0 a) Expresamos la recta s en forma paramétrica: x = 1 λ y= 8 + λ z = λ P r =(1, 1, k) ; P s =( 1, 8, 0) ; d r =( 1, 1, 1) ; d s =( 1,, ) *Nota: El vector d s =( 1,,1) interesa escribirlo de la forma d s =( 1,, ) para eliminar los denominadores. 1) Observamos que d r no es proporcional a d r r y s no son paralelas ni coincidentes ) Calculamos el valor de k para el cual = 0: P r P s =(, 5, k) = / 1 1 5/ 1 k 1 = 0 k = 4 Por tanto, r y s están contenidas en el mismo plano para k = 4. MPU
b) n =(a,b,c)=d r d s =(1,, 1) Π: a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0; donde: (x0, y0, z0) un punto cualquiera de r o s Cogemos (x0, y0, z0) = (1, -1, 4) perteneciente a r : Π: 1 (x 1) + (y + 1) (z 4) = 0 Π: x + y z + 5 = 0 5) a) Calcular la ecuación de una recta s que pasa por el punto P(1, 0, 5) y es perpendicular a la recta r: { x z 1=0 x + y + z 4=0} b) Comprueba si la recta s hallada en el apartado anterior corta a la recta r. - Cálculo de un vector perpendicular a uno dado: Se pone 0 en una de las coordenadas, se intercambian las otras dos y se cambia una de ellas de signo. Por ejemplo: Dado u=(a,b, c), el vector v =( b, a, 0) es perpendicular a u : Prueba: u v = ab +ba =0 - Dada una recta r, hay infinitas rectas perpendiculares que pasen por un punto dado. Expresamos la ecuación de r en forma continua (daría igual expresarlas en forma paramétrica): r: x 1 = y = z 1 a) d r =(,, 1) Elegimos el vector d s =(,, 0) que es perpendicular a d r La recta s pasa por P(1, 0, 5) y su vector director es d s =(,, 0) s: x 1 = y = z 5 0 ; s : x = 1 + λ y= λ z = 5 b) Calculamos = planos paralelos) 0 5 1 0 0 r y s se cruzan (no se cortan, están contenidas en P r =(1,, 0) ; P r =(1, 0, 5) P r P s =(0,, 5) MPU
6) Calcular la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(1, 0, 5) y corta perpendicularmente a la recta r: { x z 1=0 x + y + z 4=0} Solo hay una recta que sea perpendicular a r y que pase por el punto P(1, 0, 5) Expresamos la ecuación de r en forma continua: r: x 1 = y = z 1 d r =(,, 1) - Buscamos un plano que sea perpendicular a r y que pase por P(1, 0, 5) Π: x y + z -7 = 0 - Calculamos el punto de corte Q de s con Π: Q(, 0, 1) - La recta s pasa por P(1, 0, 5) y Q(, 0, 1) d s =(, 0, 4) s: x 1 = y 0 = z 5 4 Las rectas r y s son secantes (se cortan en un punto) 4 MPU
7) Calcular el punto simétrico de P(1, -, 7) respecto a la recta r : x 1 = y + = z 4 1º) Calculamos la ecuación de Π que pasa por P y es perpendicular a r. º) Hallamos M, punto de corte de r y Π. Escribimos r en forma paramétrica: (1 + λ, - + λ, 4 + λ) Sustituimos λ= 9 11 en la ecuación de r M(0 11, 4 11, 71 11 ) º) Hallamos P, punto simétrico de P respecto a M. M es el punto medio del segmento PP' P' ( 9 11, 15 11, 65 11 ) P es el punto simétrico de P respecto a r 8) Estudiar la posición relativa de los siguientes planos, para los distintos valores del parámetro k. Π1 : x + y + kz = Π : x + ky z = -1 Π : x + y z = -k A = k 5k + ; A =0 k = 1 y k = k 1 y k Rango (A) = Rango (A') = SCD Los planos se cortan en un punto k = 1 Rango (A) = y Rango (A') = SI Comparamos los planos dos a dos: Π1 con Π: n 1 no es proporcional a n Π1 y Π se cortan en una recta Π1 con Π: n 1 no es proporcional a n Π1 y Π se cortan en una recta Π con Π: n es proporcional a n Π y Π son paralelos 5 MPU
k = 1 Dos planos paralelos (Π y Π) y el otro (Π1) corta a los dos k = Rango (A) = Rango (A') = SCI Comparando los planos vemos que no hay ninguno coincidente k = Los tres planos se cortan en una recta 9) Sean las rectas: r : { x y 6 z=1 x + y =0 } y s: x = y 1 = z a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando a = - a) d r =(,, 1) r : s : d r =(, a, 1) P r P s =(0, 1, 1 6 ) Pr (0, 0, -1/6) Ps (0, 1, 0) = a + ; = 0 a = - a Las rectas r y s se cruzan a = d r = d s r y s son paralelas o coincidentes Comprobamos que Ps (0, 1, 0) no pertenece a r Las rectas r y s son paralelas b) d (r, s)= d (P r, s)= P rp s d s d s = 5 u 6 MPU
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS r : x x 1 u 1 = y y 1 u = z z 1 u ; P r ( x 1, y 1, z 1 ) r ; u (u 1, u, u ) es el vector director de r s : x x v 1 = y y v = z z v ; P s (x, y, z ) s ; v (v 1, v, v ) es el vector director de r 7 MPU