Análisis político II Jorge M. Streb Clase 4 de agosto de 0 Temas. Teoría de utilidad esperada. Juego en forma normal. Racionalidad: dominancia estricta y dominancia débil 4. Criterio de solución básico: equilibrio de Nash en estrategias puras 5. Downs: Una teoría económica de democracia (957), capítulos,, y 8 6. Convergencia a mediano en modelo espacial de Downs es equilibrio de Nash Desarrollo. Teoría de la utilidad esperada A. Paradoja de San Petesburgo Históricamente, el tema aparece a principios del siglo XVIII con Daniel Bernoulli, que resuelve en 78 la paradoja de San Petesburgo propuesta en 7 por Nicolás Bernoulli. Esta lotería da un premio de: rublos con probabilidad ½; de 4 rublos con probabilidad de ¼; y así sucesivamentes, o sea, que hay premios de n rublos con probabilidad (/) n, para n =,,,...,N. Si la distribución de probabilidad es discreta, el valor esperado está dado por: E[ x]. = pxi
Con una vuelta, el valor esperado es ; con N vueltas, el valor esperado es N. Si N tiende a infinito, el valor esperado también. Sin embargo, nadie estaba dispuesto a pagar mucho por esta lotería. La clave de la solución de Bernoulli es que no se puede explicar el comportamiento respecto a esta lotería por su valor esperado, que es infinito cuando N no tiene límite. Lo que propone Bernoulli es que a los individuos no les interesa el premio x sino la utilidad del premio U (x), por lo que la utilidad esperada está dada por: E[ U ( x)] = piu ( xi ). Bernoulli propuso en particular una utilidad logarítmica, que es cóncava y lleva a una utilidad marginal decreciente del ingreso: U ( x) Σ = ln x E[ U ( x)] = E[ln x] = pi ln xi. Como demostró Bernoulli para el caso de la paradoja de San Petesburgo, el individuo no va a estar dispuesto apostar mucho en este caso. Sin embargo, la función de utilidad logarítmica no alcanza para explicar por qué no se acepta apostar mucho por otras loterías que tienen también un valor esperado infinito, por ejemplo, ganar pesos con probabilidad ½ o ganar n pesos con probabilidad ½. Para eso hace falta introducir una característica adicional, que la función de utilidad es acotada. B. Derivación de la utilidad esperada usando los axiomas de von Neumann y Morgenstern Lo que mostraron von Neumann y Morgenstern es que la utilidad esperada se podía derivar de una serie de axiomas simples. Vamos a seguir básicamente la discusión en el apéndice del capítulo de Davis y Holt (99) sobre este tema, que plantean una derivación a partir de seis axiomas: (i) axioma de substitución; (ii) axioma de transitividad;
(iii) axioma de dominancia (Davis y Holt toman el axioma de monotonicidad, dado el carácter monetario de los premios que estudian); (iv) axioma de invariancia a diferentes representaciones (Davis y Holt usan un caso particular, el axioma de reducción de lotería compuestas); (v) axioma de comparabilidad; (vi) axioma de continuidad. El axioma más específico de la teoría de utilidad esperado es el axioma (i), que es uno de los que más se han cuestionado. El axioma (ii) es básico a todos los ordenamientos de preferencias, por ejemplo, las teorías de utilidad ordinal que reemplazaron a las teorías de utilidad cardinal. Vimos, para la Paradoja de Condorcet, un ejemplo de preferencias individuales transitivas (pero preferencias sociales cíclicas). El axioma (iii) es la base de la racionalidad, el principio estructurador de la economía: en su versión de monotonicidad, es simplemente que se prefiere una lotería que da más probabilidad el premio mayor y menos al premio menor que la otra lotería (cubre, como caso especial, que se prefiere el premio mayor al premio menor). El axioma (iv) es tan básico que en general está implícito. El axioma (v) de comparabilidad implica que las preferencias son completas y están definidas sobre todos los premios. El axioma (vi) de continuidad es un supuesto técnico de que siempre se puede encontrar una lotería que contiene el premio mayor y el premio menor que es justo indiferente a un premio monetario. Dado el carácter monetario de los premios, dado que existe una preferencia por más plata en lugar de menos por el axioma (v) de monotonicidad, se cumple trivialmente el axioma (ii) de transitividad. Lo mismo pasa con el axioma (v) de comparabilidad o completitud. El axioma (vi) es el primero que tiene una consecuencia no trivial. Implica que si hay tres premios x, x, x, tal que se cumple x < x < x, entonces es posible encontrar una probabilidad ν tal que el individuo está indiferente entre el premio intermedio cierto y una lotería que consiste del premio menor y mayor: x ( υ de x,( ν ) de ). ~ x
Por el axioma (i) de substitución, si estamos indiferentes entre dos opciones x e y, también vamos a estar indiferentes entre dos loterías que sólo difieran en esas dos opciones, y si preferimos la opción x a y, vamos a preferir la lotería que contiene x a otra que contiene la opción y si no difiere en el resto de los resultados posibles: x ~ f y ( p de x, p de x, p de x ) ~ f ( p de x, p de y, p de ). x El axioma de substitución permite en particular reemplazar en una lotería x dada cualquier premio intermedio x ( x, x i ) por una lotería en términos de x y x, ya que si el premio x es indiferente a la lotería ( υ de x,( ν ) de x), entonces ( p de x, p de x, p de x) ~ ( p de x, p de ( υ de x, ( ν ) de x), p de x), por lo que, sin pérdida de generalidad, todas las loterías se pueden reducir a loterías que solo constan del premio menor y mayor. Por este axioma podemos ir en sentido inverso, que es el axioma de cancelación: si hay dos loterías que sólo difieren en los resultados de una de las opciones, mientras que los restantes opciones dan iguales resultados, podemos concentrarnos sólo en la opción que difiere, simplificando las loterías al eliminar aquellas alternativas que dan los mismos resultados. El axioma de cancelación se llama también axioma de independencia o axioma de independencia de alternativas irrelevantes, como hicieron von Neumann y Morgenstern. El axioma (iv) de invariancia a diferentes representaciones cubre el axioma de reducción de loterías compuestas usado en Davis y Holt. Por este axioma, una lotería compuesta de otras loterías se puede simplificar en términos de la probabilidad final de los distintos premios subyacentes. Para el caso recién descrito de la lotería x, tenemos que p de x, p de x, p de x ) ~ ([ p + p ν ] de x,[ p ( ν ) + p ] de ), ( x ya que ambas tienen la mismas probabilidades de ganar los premios subyacentes. Podemos simplificar las probabilidades en esta lotería x usando las expresiones siguientes: 4
π = p + p ν ], π = [ p ( ν ) + p ] =. De vuelta, esto nos lleva a otra [ π representación equivalente de la lotería original: ([ p + pν ] de x,[ p ( ν ) + p] de x) ~ ( π de x, π de x). Finalmente, por el axioma (iii) de monotonicidad la lotería x = π de x, π de ) va a ( x ser preferida a la lotería y = π ' de y, π ' de ) si tiene una mayor probabilidad del premio mayor, es decir, si ( y π > π '. Estas probabilidades del premio mayor son una representación de la utilidad de las loterías, como vamos a ver. C. Transformaciones lineales crecientes Denotemos la utilidad de los premios mayor x y menor x por U ( x ) y U ( x ). Cualquier transformación lineal creciente va a representar el mismo ordenamiento de preferencias si a > 0, b R : U ( x) = au ( x) + b U ( x) U ( y) U ( x) U ( y). El punto crucial es que estas transformaciones conservan el mismo ordenamiento de preferencias bajo incertidumbre, que es lo clave en la teoría de utilidad esperada de von Neumann y Morgenstern: E[ U ( x)] E[ U ( y)] E[ U ( x)] E[ U ( y)]. Esto se sigue porque, por la restricción a transformaciones lineales crecientes, 5
E[ U ( x)] = a E[ U ( x)] + b. No se puede someter la utilidad esperada a cualquier transformación creciente, sino que tiene que ser una transformación lineal creciente, donde se puede multiplicar la utilidad por un factor positivo y sumar una constante que puede ser negativa. Esto se diferencia de la utilidad ordinal donde es válida cualquier transformación creciente. D. Representación normalizada Dado que se pueden elegir arbitrariamente las constantes a > 0, b R en la representación de la utilidad (ya que cualquier transformación lineal creciente representa el mismo ordenamiento de alternativas en términos de utilidad esperada), si x es el premio menor y x es el mayor, se puede normalizar la función de utilidad de manera que U ( x ) = 0, U ( x ) =, para lo que se precisa: U ( x ) a =, b = U ( x ) U ( x ) U ( x ) U ( ). x Vamos a usar esta normalización en lo que sigue, que implica que U ( xi ) U ( x ) U '( xi ) = = 0, U ( x ) U ( x ) U ( x ) U ( x) U '( x i ) = =. U ( x ) U ( x ) Es decir, con esta transformación lineal creciente que implica la normalización U ( x ) = 0, U ( x ) =, la utilidad esperada de la lotería compuesta x que analizábamos recién se puede expresar como: 6
E[ U ( p ν + p = π. de x, p de x, p de x) ] = p( ) Es decir, para la lotería compuesta la utilidad esperada es igual a la probabilidad del premio mayor. Vimos por el axioma de dominancia que si una lotería x tiene una mayor probabilidad que una lotería y de llegar al premio mayor, va a ser preferida. Es decir, la lotería x = q de x, ( q) de ) va a ser preferida a la lotería y = r de x, ( r) de ) si tiene ( x ( x una mayor probabilidad del premio mayor, es decir, si q > r. Por la normalización U ( x ) = 0, U ( x ) =, se tiene que la utilidad de cualesquier dos loterías x e y va a estar dada por: E[ U ( x)] = qu ( x ) + ( q) U ( x E[ U ( y)] = ru ( x ) + ( r) U ( x ) = q, ) = r. Por tanto, x también va a ser asignada un número mayor que y por la función de utilidad esperada, que en nuestra normalización es justamente la probabilidad del premio mayor. En conclusión, si las preferencias sobre loterías cumplen con los seis axiomas de von Neumann y Morgenstern, pueden ser representadas por esta función específica de utilidad esperada. La utilidad esperada de von Neumann y Morgenstern representa las preferencias sobre loterías. E. Actitudes frente al riesgo y utilidad del ingreso Davis y Holt, en su sección.4, tratan la maximización de la utilidad esperada y la aversión al riesgo. La idea de concavidad de la función de utilidad, con una derivada segunda de la función de utilidad negativa, fue incorporada en la revolución marginalista de 870 como utilidad marginal decreciente de un bien y luego como utilidad marginal decreciente del ingreso (esto último llevó a argumentos para la redistribución del ingreso). Estas discusiones fueron abandonadas con el enfoque ordinal de la utilidad que no permite hacer comparaciones interpersonales de utilidad. 7
La idea más amplia de utilidad esperada tuvo que esperar otros tres cuartos de siglo para ser incorporada a la economía, lo que sucede a partir de la obra de 944 de von Neumann y Morgenstern sobre teoría de juegos. La utilidad propuesta por Bernoulli fue axiomatizada por von Neumann y Morgenstern, por lo que la teoría de utilidad esperada se suele llamar utilidad de von Neumann y Morgenstern. Tiene ciertas de las propiedades de la utilidad cardinal, como por ejemplo una derivada segunda con un signo definido. El signo de esta derivada segunda puede ser nulo (indiferencia al riesgo), negativo (aversión al riesgo) o positivo (propensión al riesgo). La diferencia con la utilidad cardinal es que no hay comparabilidad interpersonal de utilidades, ya que cada escala es arbitraria dado que cualquier transformación lineal creciente también es una representación de las mismas preferencias. Indiferencia al riesgo El valor esperado y la utilidad esperada de una lotería llevan a resultados similares cuando hay indiferencia al riesgo. El caso de indiferencia al riesgo se puede representar por una utilidad lineal en el ingreso: U ( x) = x E[ U ( x)] = E[ x]. Es decir, si una lotería tiene mayor valor esperada que otra, una persona indiferente al riesgo va a preferir la lotería con mayor valor esperado. Por tanto, maximizar la utilidad es lo mismo que maximizar el valor esperado. Uno puede esperar que las preferencias van a ser lineales para apuestas chicas. Volviendo a lo que hicimos más arriba, cuando usamos el axioma de continuidad, el premio x que era justo indiferente a la lotería del premio mayor y menor, x ( υ de x, ( ν ) de ). ~ x es en este caso tal que 8
x = υ ( ν x. x + ) Aversión o propensión al riesgo El ranking según valor esperado y utilidad esperada pueden diferir una vez que hay aversión o preferencia por el riesgo. Si la utilidad es cóncava y tiene derivada segunda negativa, va a implicar aversión al riesgo. Una consecuencia es que la utilidad esperada de un premio va a ser menor que la utilidad de la esperanza del premio (que es medio un trabalenguas). La consecuencia es que el valor esperado de la lotería que se exige va aceptar el riesgo va ser mayor que el premio cierto: x < υ ( ν x. x + ) En caso de propensión al riesgo, se puede representar por funciones convexas. Se cumple aquí que el premio cierto que resulta indiferente a la lotería tiene un valor mayor que el valor esperado de la lotería: x > υ ( ν x. x + ) Como no siempre evitamos las apuestas, Friedman y Savage critican la formulación de Bernoulli de utilidad marginal del ingreso decreciente en un artítulo de 948, planteando en cambio una función de utilidad con un segmento convexo (con preferencia al riesgo) y otro cóncavo (con aversión al riesgo). Si la función de utilidad está acotada abajo y arriba, una consecuencia que plantean Blackwell y Girshick en 954 es que la utilidad primero va a tener un tramo convexo y luego un segmento cóncavo. Un ejemplo de esa forma de curva es la curva logística.. Juego en forma normal A. Jugadores, estrategias y pagos 9
En la forma normal con dos jugadores y dos estrategias, - el jugador fila es el jugador y el jugador columna es el jugador ; si i =, i =, y viceversa; - hay dos estrategias s i para cada uno, en el caso del dilema del prisionero son confesar y no confesar; - los pagos son u i (s i, s -i ), dados en este caso por los años que se pierden en la cárcel. B. Ejemplo: representación del dilema del prisionero en forma normal Hay dos sospechosos que son interrogados en celdas separadas. Si ninguno confiesa, con las pruebas que acumuló la policía ambos van a parar a la cárcel por año. Si sólo uno confiesa, sale libre por colaborar con las autoridades, mientras que el otro recibe una sentencia de 6 años por no colaborar. Y si ambos confiesan, la sentencia es de años para cada uno. Este dilema se puede representar en un juego en forma normal anotando como pagos los años perdidos en la cárcel, donde el primer número de cada par corresponde al jugador y el segundo número al jugador. El jugador fila es el preso, el jugador columna es el preso. Cuadro. Dilema del prisionero no confesar confesar no confesar -,- -6, 0 confesar 0,-6 -,- En la matriz de juego normal, se puede marcar la respuesta óptima de jugador fila a cada estrategia de jugador columna subrayando sus pagos máximos en cada columna; esto determina una forma de función de reacción de jugador fila. Se puede hacer lo mismo con jugador columna, subrayando pagos máximos para cada fila de matriz;. Racionalidad: dominancia estricta y dominancia débil 0
Como criterio de solución, se puede usar solamente la racionalidad de los jugadores. Sin embargo, a diferencia de los dos ejemplos que vamos a ver, no siempre dan una respuesta clara a cómo se va a jugar el juego. En las definiciones de esta clase, nos apoyamos en Gibbons (99). Def. dominancia estricta : una estrategia s i S i está estrictamente dominada por la estrategia s i S i si se cumple que u i (s i, s -i ) < u i (s i, s -i ) para todo s -i S -i. Def. dominancia débil : una estrategia s i S i está débilmente dominada por la estrategia s i S i si se cumple que u i (s i, s -i ) u i (s i, s -i ) para todo s -i S -i y además u i ( s i, s -i ) < u i (s i, s -i ) para al menos un s -i S -i. Ejemplo de dominancia estricta: el dilema del prisionero en cuadro. Desde el punto de vista individual no confesar está estrictamente dominado, ya que a cada prisionero le conviene confesar para lograr una rebaja en sus penas (si el otro no confiesa, sale libre en lugar de ir preso por año; si el otro confiesa, va preso por años en lugar de 6). En el cuadro, se marca esto subrayando los pagos de jugador en la segunda fila (confesar) y de jugador en segunda columna (confesar). Así, la racionalidad individual lleva al equilibrio (confesar, confesar) donde ambos purgan años de condena. Esto sucede a pesar de que va en contra del interés conjunto de los dos prisioneros dado que ambos estarían mejor guardando silencio: les conviene el equilibrio (no confesar, no confesar) para reducir la suma del tiempo que pasan en la cárcel de 6 a años. Ejemplo de dominancia débil: prisioneros sin ley del arrepentido. En el dilema del prisionero la ley del arrepentido cambia los pagos con respecto a un juego donde no hay una reducción de penas por cooperar con la justicia (ver Baird, Gertner y Picker 994, capítulo, sobre cómo un cambio de las reglas de juego cambia el juego). Bajo ese régimen legal, los pagos son como sigue, donde el preso es el jugador fila y el preso es el jugador columna:
Cuadro. Prisioneros sin ley del arrepentido no confesar confesar no confesar -,- -6,-6 confesar -6,-6-6,-6 Sin reducción de penas, no confesar ya no es una estrategia estrictamente dominada. En cambio, confesar está débilmente dominada: es igual si el otro confiesa, pero es peor si el otro no confiesa (ver los pagos subrayados en el cuadro ). Si uno supone que jugadores racionales no juegan estrategias débilmente dominadas, se puede eliminar la estrategia confesar. Sin embargo, en juegos más grandes donde este criterio de dominancia débil se aplica iterativamente, puede dar distintas respuestas según el orden de eliminación de las estrategias débilmente dominadas. Ejemplo de dominancia estricta: mafiosos presos En el dilema del prisionero hay una ley del arrepentido detrás. La mafia, una organización paralegal, cambia eso con su código de omertà: si alguien denuncia a otro miembro de la familia, es castigado. Planteamos los pagos como sigue: Cuadro. Mafiosos presos no confesar confesar no confesar -,- -6,-0 confesar -0,-6-0,-0 Esto hace cambiar los incentivos: la estrategia óptima es el silencio. 4. Criterio de solución básico: equilibrio de Nash en estrategias puras Este es el criterio básico para resolver juegos. A. Definición
Def. equilibrio de Nash en estrategias puras : las estrategias (s i *, s -i * ) son un equilibrio de Nash en estrategias puras si u i (s i *,s -i * ) u i (s i, s -i * ) para todo s i S i y para cada jugador i. El equilibrio de Nash generaliza el criterio de optimización individual, requiriendo que las estrategias sean respuestas óptimas mutuas. Operativamente, para marcar las respuestas óptimas en la matriz de juego normal se pueden subrayar las respuestas óptimas de cada jugador a las estrategias del otro jugador, como se hizo en los cuadros y. Esto determina una función de reacción de cada jugador. Aquellos pares ordenados donde aparecen subrayados los pagos de ambos jugadores son un equilibrio de Nash, ya que corresponden a respuestas óptimas mutuas. Hay una circularidad en esta definición de respuestas óptimas mutuas: lo que caracteriza a un equilibrio de Nash es que las estrategias son un punto fijo (caso contrario, pueden ser estrategias racionalizables pero no un equilibrio de Nash). Ningún jugador tiene incentivo a desviarse unilateralmente, por lo que es un punto estable, ya que si árbitro propone jugar eso, se cumple (no se consideran coaliciones de jugadores). B. Racionalidad de los jugadores y expectativas consistentes El equilibrio de Nash implica dos cosas: no sólo racionalidad de los jugadores, sino expectativas consistentes. Primero, acerca de la racionalidad de los jugadores. En el equilibrio de Nash está implícito que no se puede jugar una estrategia estrictamente dominada, ya que la condición en la definición implica que no existe un s i tal que u i (s i, s * -i ) > u i (s * i, s * -i ). Por tanto, no puede ser que la estrategia s * i esté estrictamente dominada por alguna estrategia s i, ya que en particular esa estrategia s i tendría que ser también estrictamente mejor que s * i en respuesta a s * -i. Esta es la parte de racionalidad del equilibrio de Nash. Pero el equilibrio de Nash permite que se jueguen estrategias débilmente dominadas, como vimos en el ejemplo del cuadro de los prisioneros sin ley del arrepentido. Segundo, las expectativas de los jugadores son consistentes entre sí y con el resultado efectivo del juego. Es decir, las expectativas en un equilibrio de Nash están determinadas por las mismas estrategias de equilibrio (s * i, s * -i ), por lo que el segundo ingrediente del
equilibrio de Nash es que las expectativas son determinadas por el equilibrio mismo del juego, como las expectativas racionales, y esto es de dominio público para todos los jugadores. Una cuestión distinta, y más problemática, es cómo se llega a coordinar en un determinado equilibrio de Nash, sobre todo en casos como el cuadro donde hay dos equilibrios de Nash. El suponer no sólo racionalidad de los jugadores (no jugar estrategias estrictamente dominadas), sino que las expectativas sobre estrategias de todos son consistentes (es decir, comunes a todos los jugadores, de dominio público y determinadas por las estrategias de equilibrio), puede ser razonable en algunos contextos, como en duopolio repetido, pero no en otros contextos. Por eso, a pesar de ser el concepto básico solución, en algunas aplicaciones puede ser problemática esta segunda parte. 5. Downs: Una teoría económica de democracia (957), capítulos,, y 8 Este libro es un punto de referencia básico. Después vamos a ver evaluaciones contemporáneas de su importancia, a más de cincuenta años de su publicación. A. Introducción (capítulo ) Racionalidad en el modelo es racionalidad estrecha (no tautológica): sólo fines políticos y económicos. El fin primario gobierno (partido gobernante) y partidos oposición es ganar elecciones. Aunque no requerido por racionalidad, supone competencia dentro constitución (elecciones periódicas, oposición libre): como discutimos antes, este supuesto puede ser problemático en ciertos contextos. Incertidumbre: la división del trabajo hace conocimiento perfecto imposible. Relación con la literatura: no análisis normativo sino positivo. Visión organicista del estado es un mito, pero modelo tiene individualismo incompleto, ya que se considera a los partidos como coaliciones (ver capítulo ). En lugar de función bienestar social con pesos subjetivos, se usa solución alternativa de una persona, un voto (queda problema Arrow de intransitividad). 4
B. Motivación partidaria y rol gobierno (capítulo ) Rol de partidos políticos: Un partido político es una coalición que busca controlar gobierno por medios legales. Dado diferencias de puntos de vista dentro de coalición y entre multitud de seguidores, se usa una redefinición de partido como un equipo con fines comunes, como si fuera un agente único. Interés propio (del partido) prima. Límites (irreales) que supone el modelo: los partidos siempre respetan la legalidad, los seguidores siempre mantienen lealtad al líder. Hipótesis fundamental: partidos formulan políticas para ganar elecciones, en lugar de ganar elecciones para formular políticas. C. Lógica básica del voto (capítulo ) A B Diferencial partidario entre partidos: E[ U t+ ] E[ U t+ ]. El votante no compara plataformas, sino qué harían partidos en futuro. Predicción basado en el presente: A B U t+ E[ U t ]. Hay que modificar esto por tendencia y desempeño para hacer predicción. En el mundo real, la incertidumbre y la falta de información hacen que el cálculo sea difícil. La elección se puede interpretar a nivel básico como una señal del votante: cambio o no cambio. Con más de partidos, surge el voto estratégico, donde importan los votos de los otros para definir el voto propio. D. Ideologías partidarias como medio a votos (capítulo 8) Modelo espacial Hotelling (99) y línea izquierda-derecha. Se agregan preferencias un solo tope respecto intervención economía. Hotelling supone distribución uniforme de votantes: convergencia a mediano. Smithies (94): si se pierden extremos al ir al centro, puede impedir convergencia completa (pero Downs no desarrolla este caso, ni lo prueba). Distribución de votantes con dos partidos 5
Con distribución normal convergen (pocos en extremos), pero si es bimodal, se mantienen alejados del centro si existe incertidumbre, con votantes que pueden abstenerse con diferencias chicas entre partidos (Downs no desarrolla ni prueba este caso, pero después con voto probabilista uno puede conseguir no convergencia). Cambio distribución votantes Inglaterra: Liberales y Conservadores antes del 900. Se da voto a clase obrera: Laboristas entran a la izquierda de los Liberales. Los Liberales son barridos, los Conservadores se mueven a la izquierda. Coherencia e integración ideológica No hay política única <como en el modelo espacial>, sino un vector de políticas. Políticas no están integradas a visión única: con dos partidos, rango políticas incluyen extremos, se superponen mucho en medio <esto se sale de modelo unidimensional del capítulo>. Ambigüedad políticas es para no enajenar grupos importantes Determinante básico política nacional Determinante básico es distribución de votantes: el número de valores modales determina si hay dos o más partidos <este comentario se sale de modelo espacial determinista, ya que ahí sólo importa mediano>. La estabilidad de las políticas depende de que haya gran masa votantes en el medio. También importan las instituciones (sistema mayoritario o proporcional). 6. Convergencia a mediano en modelo espacial de Downs es equilibrio de Nash Con dos partidos, la convergencia al mediano es un equilibrio de Nash: ningún partido tiene incentivo a desviarse, ya que probabilidad de ganar elecciones baja de ½ a cero. 6
Además es único equilibrio de Nash: para cualesquiera otras dos estrategias, uno o ambos partidos tienen un incentivo a desviarse más cerca del mediano que el otro partido para aumentar las chances de ganar las elecciones de 0 o ½ a. En este equilibrio de Nash, las estrategias (50,50) son respuestas óptimas mutuas. Ninguno de los partidos tiene un incentivo unilateral a desviarse de este punto, dado lo que hace el otro. Además, es el único equilibrio de Nash de este juego en el que hay un continuo de estrategias. Referencias Baird, Douglas, Robert H. Gertner y Randall C. Picker, Game theory and the law, Cambridge: Harvard University Press, 994. Davis, Douglas D. y Charles A. Holt, Experimental economics, Princeton, NJ, Princeton University Press, 99. Downs, Anthony, An economic theory of democracy, Boston: Addison Wesley, 985 [edición original: 957]. Gibbons, Robert, Game theory for applied economists, Princeton, NJ: Princeton University Press, 99 (traducida al castellano en 99 como Un primer curso de teoría de juegos, Barcelona: Bosch). 7