Análisis de Decisiones

Transcripción

1 Análisis de Decisiones Facultad de Ciencias Exactas UNCPBA Mg. María Rosa Dos Reis Ambientes de Decisión Toma de decisiones bajo certidumbre: los datos se conocen en forma determinista. P ij = 1 Toma de decisiones bajo riesgo: los datos se pueden describir con distribuciones de probabilidades. 0 < P ij < 1 Toma de decisiones bajo incertidumbre: los datos son ambiguos. P ij desconocida 1

2 Toma de decisiones bajo riesgo Estados de la naturaleza (eventos futuros que no pueden ser controlados por el decisor) probabilidad de ocurrencia p j Criterio de valor esperado VE* i = Maximización Ganancia esperada = máx i {VE i } VE* i = Minimización Costo esperado = mín i {VE i } VE i =a i1 p 1 +a i2 p 2 + +a in p n siendo a ij = retribución de la alternativa i dado el estado j p 1 +p 2 + +p n =1 ; i=1,2,..,m ; (j=1,2,,n) Ejemplo: Decisiones bajo riesgo Se desea invertir U$S en la industria del desarrollo de software durante el próximo año. Se sabe que la inversión puede financiar un empleado durante 12 meses y se debe decidir a qué empresa conviene desarrollarle software, ya que el rendimiento de la inversión está directamente relacionado con las ventas Si se desarrolla para la empresa A y el mercado está a la alza la inversión puede producir un rendimiento neto del 50 %. Si las condiciones del mercado de soft no son favorables (mercado a la baja ) el rendimiento puede ser negativo del 20 % de lo que se invirtió. La empresa B es más segura, garantiza una ganancia del 25 % si el mercado está en alza y sólo de un 5 % si el mercado está en baja. Las nuevas publicaciones en revistas relacionadas al mercado de la producción de software predicen un 60 % de probabilidad de que el mercado esté en alza y un 40 % de probabilidad de que el mercado esté en baja. Determinar cuál es la alternativa que maximiza el rendimiento esperado del inversionista. Representar el problema mediante un árbol de decisiones 2

3 Ejemplo: Decisiones bajo riesgo Rendimientos netos en un año sobre la Inversión ($) Alternativas de Decisión Estados de la naturaleza "a la alza" "a la baja" VE Desarrollar para A Desarrollar para B Probabilidad 0,6 0,4 Representación mediante Árbol de decisión $ 6600 Alza=0,6 $ D1: Desarrollar para A Punto de decisión $ 6600 Baja=0,4 $ Evento aleatorio D1 $ 5100 Alza=0,6 $ 7500 D2: Desarrollar para B Baja=0,4 $

4 Funciones de Utilidad Se ofrece a un individuo la oportunidad de: Aceptar con 50 % de posibilidades de ganar $70000 o nada Recibir $30000 con seguridad Criterio de VE ALTERNATIVA I Criterio de Conveniencia o Utilidad ALTERNATIVA? Diferentes individuos muestran distintas actitudes frente al riesgo. Teoría de Utilidad La Teoría de Utilidad se ocupa de las Preferencias del tomador de decisiones. La Función de utilidad del dinero es una manera de transformar los valores monetarios a una escala numérica apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones. La determinación de la utilidad es subjetiva, depende de la actitud acerca de aceptar el riesgo. U(M) es la utilidad para la cantidad de dinero M 4

5 Funciones de Utilidad Características de las funciones de Utilidad Indiferencia ante el riesgo: Indica la inexistencia de una actitud ante el riesgo, la función es lineal. Aversión al riesgo: Cuanto mayor sea el capital, menor será la utilidad del dinero (utilidad decreciente). Propensión al riesgo: La utilidad del dinero es menor con relación a la indiferencia, valora poco lo que posee. Propiedad de la función de utilidad del dinero: el tomador de decisiones se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada. Funciones de Utilidad 5

6 Funciones de Utilidad: Ejemplo Contrato A con $ de inversión y resultados N1 = Ganar $ N2 o N3 = Perder todo Contrato B con $ de inversión y resultados N1 o N2= Ganar $ N3 = perder todo Opción de no invertir Probabilidades: P(N1) = 0,50 P(N2) = 0,10 P(N3) = 0,40 En miles de $ N1 N2 N3 VE Orden A B C La decisión que maximiza el rendimiento esperado es la alternativa A Teoría de Utilidad Lotería L (A, B ; p) es un evento aleatorio que tiene dos posibles resultados A y B, los cuales ocurren con probabilidades p y 1-p Aplicación del método de Von Neumann para el cálculo de utilidades Paso 1: Establecer las consecuencias en orden decreciente de deseabilidad: e 1, e 2,, e p Paso 2: Asígnese arbitrariamente valores numéricos finitos u(e 1 ) y u(e p ) a las consecuencias e 1 y e p, respectivamente de tal forma que u(e 1 ) > u(e p ) Paso 3: Para cada consecuencia e j cuya deseabilidad esté entre e 1 y e p, determínese una probabilidad de equivalencia p j, con la propiedad de quien toma las decisiones es indiferente entre obtener e j con certeza y participar en la lotería L (e 1, e p ; p j ) Paso 4: Sea u(e j ) p j * u(e 1 ) + (1-p j ) * u(e p ) la utilidad de la consecuencia e j El método pretende medir la actitud subjetiva de un tomador de decisiones comparando una apuesta entre dos valores extremos y un equivalente monetario. El paso 3 es altamente subjetivo Una utilidad está normalizada si u(e j ) = 1 y u(e p )=0 haciendo a las utilidades idénticas a las probabilidades de equivalencia 6

7 Resolución, aplicando el método de Von Newmann para definir una función de utilidad 1º) > > 0 > > º) U( ) = 1 U( ) = 0 3º) Para sacar la utilidad de cada uno de los valores intermedios, U(e j ), se le pregunta al tomador de decisiones: con qué probabilidad aceptaría participar en una lotería donde puede ganar $ (con probabilidad p) o perder $ (con probabilidad 1-p), teniendo e j $ seguros en su poder? Se define: U(e j )=p*u( )+(1-p)*u( ) =p*1+(1-p)*0=p El tomador de decisiones asigna las probabilidades de indiferencia entre ambas alternativas para cada uno de los posibles e j : p( ) = 0,90 p(0) = 0,75 p( ) = 0,65 VALORES DE UTILIDAD El valor esperado de la lotería será *0,9+( )*0,1= valor esperado > pago seguro Matriz de utilidades para el tomador de decisiones: N1 N2 N3 VE i Orden A ,5 3 B 0,9 0,9 0,65 0,80 1 C 0,75 0,75 0,75 0,75 2 El orden determinado por la matriz de utilidades es B, C y A. La elección del tomador de decisiones es B ya que es la opción que maximiza su utilidad esperada 7

8 Utilidad Calculamos la curva de indiferencia para determinar la aversión / propensión al riesgo del tomador de decisiones = * p + ( ) * (1-p) // es el equivalente monetario cierto = * p * p = * p / = p 0,56 = p ( ) Para p=0,56 el valor esperado de la lotería iguala el pago seguro de Continua calculando para todos los valores p( ) = 1 p( ) = 0,56 p(0) = 0,33 p( ) = 0,20 p( ) = 0 Resultado juego equitativo Vs. Evaluación subjetiva del juego AVERSIÓN 1,2 Función de Utilidad 1 0,8 0,6 0,4 Utilidad Indiferencia Logarítmica (Utilidad) 0, ,2 Valor Monetario 8

9 Equivalente de Certeza: Cantidad en $ que tiene una utilidad igual a la esperada para esa decisión. VE (A) = 0.50 En base a la curva VE (B) = 0.80 se determinan los valores VE (C) = 0.75 EC A $ EC B $ EC C = $ 0 Beneficio por riesgo: cantidad por la que la ganancia esperada en $ de esa decisión excede al equivalente de certeza de la decisión. BR A = $ $ = $ BR B = $ $ = $ BR C = $ 0 Esperanza y Varianza de variables aleatorias discretas La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta que puede tomar valores x i con probabilidad p i se define como: μ = E X = i x i p i ; i = 1,2,3,. La varianza de una variable aleatoria discreta se define como: σ 2 = V X = E X 2 (E X ) 2 Coeficiente de Variación CV = σ μ 100 9