Tema 2 Aritmética modular

1 Tema 2 Aritmética modular 2.1 Relaciones de equivalencia Definición 2.1 Una relación que verifique las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva se denomina relación de equivalencia. Dos elementos relacionados se dicen equivalentes. Ejemplo 2.2 Son ejemplos de relaciones de equivalencia: Relación de paralelismo entre rectas del plano. La relación de equipotencia entre conjuntos definida por: A y B equipotentes existe una aplicación biyectiva f: A B. En un conjunto de personas la relación haber nacido el mismo año. Las relaciones de equivalencia sirven para clasificar los elementos de un conjunto. Definición 2.3 Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto y sea a A. El conjunto de todos los elementos relacionados con A se denomina clase de equivalencia de a y se denota por [a] ó : = [a] = {x A x R a} Teorema 2.4 Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto y sean a y b A. Se verifica: 1. = a R b 2. = El teorema anterior nos dice que dada una relación de equivalencia en un conjunto A, las clases de equivalencia pertenecientes a A a o son iguales o son disjuntas. Como consecuencia se tiene: Todos los elementos de una misma clase son equivalentes entre sí. Una clase queda determinada por uno cualquiera de sus elementos, es su representante. Teorema 2.5 Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto A. Entonces, el conjunto de las clases de equivalencia de R constituye una partición en A. Al conjunto de las clases de equivalencia se le denomina conjunto cociente y se designa por A/R. A/R = { a A}

2 2.2 Congruencias en Z módulo n Definición 2.6 (Congruencia módulo n) En el anillo de los números enteros (Z, +,.), dado un número entero positivo n, se define la siguiente relación: Esta relación es de equivalencia. a b (mod n) a b es múltiplo de n, Teorema 2.7 La relación de congruencia se puede reescribir como: a b (mod n) el resto de la división euclídea de a y de b por n es el mismo. Demostración. Supongamos primero que a b (mod n). a b (mod n) Existe k Z tal que a b = kn. Al realizar la división euclídea de b por n se tiene: b = pn + r con 0 r < n. Sustituyendo b en la expresión anterior se tiene que a = (k + p)n + r, con 0 r < n. Se ha obtenido que el resto de la división euclídea de a por n es también r. Recíprocamente, supongamos el resto de la división euclídea de a y de b por n es el mismo. Esto es, a = qn + r y b = pn + r con 0 r <n Restando se obtiene a b = (q p)n, por tanto a b múltiplo de n. Lo que significa a b (mod n). Por tanto, se tienen n clases de equivalencia en el conjunto cociente que suele escribirse en la forma Z/nZ o Z n, cada una de ellas correspondiente a uno de los posibles restos, es decir, 0, 1,, n 1. El conjunto {0, 1,, n 1} constituyen un sistema de representante de la relación de congruencia módulo n. Z/nZ = Z n = {0, 1,, } 1 2.3 Aritmética modular En el conjunto Z n se definen dos operaciones, suma o producto, de la forma siguiente: Si y son dos clases de equivalencia, se define, Si y son dos clases de equivalencia, se define... Teorema 2.8 La operaciones suma y producto en Z n definidas anteriormente están bien definidas y dotan a Z n de estructura de anillo conmutativo con elemento identidad.

3 Demostración. Veamos primero que la suma está bien definida: Si a b (mod n) y c d(mod n), entonces a + c b + d (mod n) a b (mod n) Existe r Z tal que a b = rn c d (mod n) Existe s Z tal que c d = sn Sumando se tiene (a + c) (b + d) = (r + s) n, esto es, a + c b + d (mod n) Veamos que el producto está bien definido: Si a b (mod n) y c d(mod n), entonces a. c b.d (mod n) a b (mod n) Existe r Z tal que a b = rn Existe r Z tal que (a b). c = rnc c d (mod n) Existe s Z tal que c d = sn Existe s Z tal que b.(c d) = bsn Sumando se tiene a.c - bd = (rc - bs) n, esto es, a.c b.d (mod n). Se deja como ejercicio comprobar las propiedades. 0 es el elemento neutro respecto de la suma, el elemento opuesto de es la clase y que el elemento neutro respecto al producto es la clase 1. Observación 2.9 Restos potenciales El hecho de que el producto sea una operación bien definida en Z n permite calcular los retos potenciales módulo n de las potencias sucesivas de un número dado N. Si llamamos a estos restos potenciales r 1,, r k módulo n, esto es, Se verifica que N k+1 N N k r 1. r k (mod n), N r 1 (mod n),., N k r k (mod n), Ejemplo 2.10 Los restos potenciales de 6 módulo 11 son: 6 6 (mod 11), 6 2 36 (mod 11) 3 (mod 11), 6 3 6*3 (mod 11) 7 (mod 11), 6 4 6*7 (mod 11) 9 (mod 11), 6 5 6*9 (mod 11) 10 (mod 11), 6 6 6*10 (mod 11) 5 (mod 11), 6 7 6*5 (mod 11) 8 (mod 11), 6 8 6*8 (mod 11) 4 (mod 11), 6 9 6*4 (mod 11) 2 (mod 11), 6 10 6*2 (mod 11) 1 (mod 11) Se vuelven a repetir.

4 Ejemplo 2.11 Una aplicación de las congruencias es la obtención de criterios de divisibilidad. Así, por ejemplo, se puede saber si un entero x es divisible por 3 sin realizar la división. Sea x = x n x n-1 x 2 x 1 x 0 un número natural escrito en base diez, es decir, x = x n. 10 n + x n-1.10 n-1 + + x 2.10 2 + x 1.10 + x 0, y 0 x i 9, i {0,, n} Como 10 1 (mod 3), se tendrá que x i.10 i x i (mod 3), por tanto, 3. En consecuencia, x es divisible por 3 si, y sólo si, de sus cifras es múltiplo de 3. 0 3, es decir, la suma 2.4 Ecuaciones y sistemas de congruencias 2.4.1 Ecuaciones de congruencias En este apartado se trata de resolver congruencias del tipo a x b (mod n) Proposición 2.12 La congruencia ax b (mod n) tiene solución si, y sólo si, d = mcd(a,n) divide a b. Además, si existe solución, esta es única módulo n/d. Demostración. Basta observar que la congruencia anterior tiene solución si, y sólo si, la ecuación diofántica ax + ny = b tiene solución. Sabemos que tiene solución si, y sólo si, d = mcd(a, n) divide a b. Las soluciones de la ecuación diofántica ax + ny = b son de la forma con t cualquier número entero y (x 0, y 0 ) una solución cualquiera de ax + ny = b. Todas ellas son congruentes módulo. Por tanto la solución es única módulo. Ejemplo 2.13 Resuelve la siguiente congruencia: 10x 15 (mód 25) mcd(10,25) = 5 y 5 divide a 15, por tanto tiene solución, que es única módulo 25/5 = 5. La ecuación diofántica que resulta sería: 10 x + 25 y = 15. Una solución particular es (-1,1), por tanto el conjunto de soluciones es x = -1 +5 t, con t cualquier número entero. Ejemplo 2.14 Resuelve la siguiente congruencia: 10x 7 (mód 25)

5 mcd(10,25) = 5 y 5 no divide a 7, por tanto no tiene solución. 2.4.2 Sistemas de congruencias Veamos qué ocurre si hay varias congruencias Teorema 2.15 Teorema chino de los restos Sean m 1,, m n números enteros positivos coprimos dos a dos, es decir, mcd(m i, m j ) =1 si i j y sean b 1,, b n enteros cualesquiera. Entonces, el sistema de congruencias x b 1 (mod m 1 ),., x b n (mod m n ) Posee una única solución entera entre 0 y m 1..m n -1, es decir, una única solución entera módulo m 1 m n. Demostración. Sean 1 y para k =1,,n. Puesto que los m i son coprimos dos a dos, se tiene que mcd(m k, M k ) =1 y, por tanto, existen enteros t k y s k tales que s k M k + t k m k = 1, k = 1,.., n s k M k es múltiplo de m j si j k y congruente con 1 módulo m k. En consecuencia b k s k M k es congruente con 0 módulo m j si j k y congruente con b k módulo m k. Por tanto, b 1 s 1 M 1 + + b n s n M n b k (mod m k ), k 1{,, n}. Consideremos x = b 1 s 1 M 1 + + b n s n M n, es una solución al sistema dado. Falta demostrar que es única módulo M: Supongamos que existen dos soluciones, x e y. Restando se tiene que x y 0 (mod m k ), k 1{,, n}. es decir, x y es múltiplo de todos los m k, luego es múltiplo del mínimo común múltiplo de m 1, m 2,,.m n que, al ser coprimos dos a dos es su producto, esto es, M. Por tanto, x y (mód M). Ejemplo 2.16 Resolver el sistema de congruencias x 1 (mod 2), x 4 (mod 7), x 3 (mod 11) {2, 7, 11} son coprimos. Aplicando el teorema chino de los restos: M = 2*7*11 = 154, M 1 = 7*11 = 77, M 2 = 2*11 = 22, M 3 = 2*7 = 14 s 1 M 1 + t 1 m 1 = 1, s 1 77 + t 1 2= 1, una solución particular (1,-38), considerar 1*77 = 77, s 2 M 2 + t 2 m 2 = 1, s 1 22 + t 1 7= 1, una solución particular (1,-3), considerar 4*22 = 88, s 3 M 3 + t 3 m 3 = 1, s 1 14 + t 1 11= 1, una solución particular (4,-5), considerar 3*4*14 = 168, x = 1*77 + 4*22 + 3*4*14 = 77 + 88 + 168 = 333 25 (mod 154), solución única módulo 154:

6 x = 25+ 154 t, con t cualquier número entero. También lo podríamos hacer: x 1 (mod 2) x = 1 + 2.t para algún t entero Sustituyendo en x 4 (mod 7): 1 + 2.t 4 (mod 7) 2.t 3 (mod 7) Se tiene la ecuación diofántica: 2t + 7y = 3, sus soluciones son t = -9 + 7s para algún s entero. Esto es, x = 1 + 2.t = 1 + 2(-9 + 7s) = -17 + 14s para algún s entero. Sustituyendo en x 3 (mod 11): -17 + 14s 3 (mod 11) 14s 20 (mod 11) 14s 9 (mod 11) Se tiene la ecuación diofántica: 14s+11z = 9, sus soluciones son s = 36+11k para algún k entero. Esto es, x = -17 + 14s = -17 + 14(36+11k) = 487 + 154k para algún k entero. x = 487 + 154k = 25 + 154*3 + 154k = 25 + 154r para algún r entero. Ejercicio 2.17 Manteniendo la notación de la demostración del Teorema Chino de los restos, probar que E j E k 0 (mod M) si j k, siendo E k = s k M k. Probar que, para todo entero a, si a a k (mod m k ), se tiene. Ahora, llamemos a los coeficientes a k coordenadas de a. Probar que si b tiene coordenadas b k, entonces a k ± b k y a k b k son las coordenadas de a ± b y de ab, respectivamente. Teorema 2.18 El Teorema Chino de los Restos establece una biyección entre y. Por otro lado, consideremos la aplicación dada por: :,,,, Donde los a k son las coordenadas de a como se han definido en el Ejercicio. El teorema Chino de los Restos nos dice como construir ψ --1. Por otro lado, recordando que se puede dotar a de estructura de anillo definiendo suma y producto componente a componente. Lo que nos dice el ejercicio es que ψ(a + b) = ψ(a) + ψ(b) y ψ(a. b) = ψ(a). ψ(b), es decir, que ψ es un homomorfismo de anillos y, al ser biyectivo, es un isomorfismo de anillos. En el Teorema Chino de los Restos, se supone que los módulos son siempre coprimos dos a dos. Veamos qué ocurre si los módulos no son necesariamente coprimos dos a dos. Teorema 2.19 El sistema de congruencias x b 1 (mod m 1 ),., x b n (mod m n ) tiene solución si, y sólo si, b i b j (mod mcd (m i, m j ) ) para todo i j. Si existe solución, es única módulo mcm(m 1,., m n ). Demostración.

7 Supongamos, en primer lugar, que existe solución del sistema de congruencias. Si x es una solución, x b i (mod m i ) y x b j (mod m j ). En consecuencia, x - b i y x b j son múltiplos de m i y m j. Por tanto, son múltiplos de mcd (m i, m j ), de donde se deduce que b i b j (mod mcd (m i, m j )). La unicidad módulo mcm(m 1,., m n ) se demuestra de forma análoga al teorema Chino de los Restos. Falta demostrar que si se verifica la condición del Teorema, entonces tiene solución. La demostración se basa en la reducción de un par de congruencias a una sola. Supongamos, pues, que debemos resolver x b 1 (mod m 1 ), x b 2 (mod m 2 ), De la primera se obtiene x = b 1 + tm 1, para algún t Z. Sustituyendo en la segunda, se tiene b 1 + tm 1 b 2 (mod m 2 ), en consecuencia, tm 1 b 2 - b 1 (mod m 2 ). Por hipótesis, d = mcd (m 1, m 2 ) divide a b 2 - b 1 y se verifica que divide a. En consecuencia, la congruencia tiene solución única módulo m 2 /d, la solución será t a (mod m 2 /d). Esto es, para algún t 1 Z. Sustituyendo esta expresión en x = b 1 + tm 1, se tiene, En consecuencia, x b 1 + am 1 (mod mcm (m 1, m 2 )). Repitiendo la construcción n -1 veces se obtiene la solución del sistema., 1 Ejemplo 2.20 Resolver el sistema de congruencias x 5 (mod 6), x 3 (mod 10), x 13 (mod 20) mcd(6,10) = 2 5-3 = 2, mcd(6,20) = 2 13-5 = 8, mcd(10, 20) = 10 13-3 = 10, por tanto existe solución única módulo mcm(6,10,20) = 60. Consideremos primero las ecuaciones x 5 (mod 6), x 3 (mod 10), mcd(6,10) = 2 que es divisor de 5-3 = 2. Existe solución común., 3t -1(mod 5), 3t + 5y = -1, una solución particular t = -2 La solución es x b 1 + am 1 (mod mcm (m 1, m 2 )), x 5-2*6 (mod mcm (6,10)) -7 (mod 30) 23 (mod 30) Ahora hay que considerar las ecuaciones x 23 (mod 30) y x 13 (mod 20), mcd(10, 20) = 10 que es divisor de 23-13 = 10, 3t 1(mod 2), 3t + 2y = 1, una solución particular t = 7.

8 La solución es x b 1 + am 1 (mod mcm (m 1, m 2 )), x 23-7*30 (mod mcm (30,20)) -187 (mod 60) -7(mod 60) 53(mod 60). La solución es x 53(mod 60). 2.5 Aplicaciones del cálculo de congruencias: Sistema criptográfico de clave pública RSA. En esta sección se va a describir un sistema criptográfico que se conoce como RSA. La idea es transmitir mensajes por canales inseguros (esto es, accesibles a individuos distintos del emisor y del receptor) sin que puedan ser comprendidos más que por el emisor y el receptor. Esto exige un proceso de codificación del mensaje y su posterior decodificación. Los caracteres del mensaje se traducen a números, se envían números. Codificación 2.21 Se eligen dos números primos grandes p y q y se considera n = p.q Se elige un número e, con 1 < e < (p-1)(q-1) y mcd(e,(p-1)(q-1))=1 Se transforma el número entero M, que representa el mensaje a enviar, en C con C M e (mod n) Descifrado 2.22 El siguiente teorema, que demostraremos más adelante, justifica el descifrado. Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es un entero no divisible por p, entonces a p-1 1(mod p) El mensaje se puede recuperar cuando se conoce la clave de descifrado d. d verifica de 1(mod (p-1)(q-1)) (Este número d existe) Se sigue que C d (M e ) d (mod n) = M ed M 1+ k (p-1)(q-1) (mod n) M(M (p-1) ) k(q-1) (mod n) Al ser n = p.q, se verifica C d M(M (p-1) ) k(q-1) (mod p) M.1 (mod p) M (mod p) C d M(M (q-1) ) k(p-1) (mod q) M.1 (mod q) M (mod q) Al ser C d solución del sistema de congruencias x M (mod p), x M (mod q). Por el teorema chino de los restos se sigue que la solución, M, es única módulo mcm(p, q) = p.q = n. Por tanto C d M (mod n) permite leer el mensaje.