-En el plano vectorial V, con la base ortonormal { i,j } vectores u (, ) v (, ) éstos determinan Hallar en la base { i,j } transformaciones ortogonales tales que f( D ) se consideran los las semirrectas vectoriales D u D v que las matrices de las Las transformaciones ortogonales pueden ser un giro vectorial o una simetría vectorial Como las transformaciones ortogonales conservan el módulo la imagen del vector u (, ) no puede ser v (, ), en cambio, si se cumple que para los u D u v 5 vectores unitarios: f M u v 5 GIRO O ROTACIÓN VECTORIAL a 5 a b 5 0 0 0 M M b a b 5 5 0 0 0 SIMETRÍA VECTORIAL a 5 a b 5 0 0 0 M M b a b 5 5 0 0 0 - Sea { i,j } una base ortonormal de V a) Hallar la matriz que define la simetría ortogonal s, respecto de la recta vectorial engendrada por el vector u (, ) b) Clasificar la transformación ortogonal f: c) Determinar la matriz que define la simetría ortogonal aial s tal que f sos la dirección del eje de s v Unidad docente de Matemáticas
a) El vector que define el eje de simetría ortogonal vectorial tiene por pendiente α cosα 4 tg cos α senα cos α cosα 5 5 Por tanto: 4 cos α senα 5 5 M senα cosα 4 5 5 b) La matriz ortogonal define un giro vectorial: cosα senα senα cosα el ángulo de rotación es 70º 4 c) De la composición fsos podemos despejar s : sofsosos Ios s La transformación inversa de la simetría es la propia simetría por ser involutiva En 4 5 5 nuestro caso: M s' MsMf 4 5 5 simetría 8 4 6 5 5 4 6 8 5 5 giro Para calcular el eje de simetría buscamos los vectores invariantes por s : 8 4 6 8 4 6 5 5 5 5 0 7 ( 5 ) 0 4 6 8 4 6 8 0 5 5 5 5 - Estudiar las siguientes transformaciones indicando si son ortogonales en caso de serlo, hallar su tipo elementos geométricos 4-5 5 A B C D 4 4 5 5 0 La matriz asociada a una transformación ortogonal debe ser ortogonal, es decir, M t M - Para A : 4 t 4 7 0 AA, luego no es una matriz ortogonal 4 0 0 Unidad docente de Matemáticas
4-5 5 Para B 4 : 5 5 4 4-5 5-5 5 t 0 BB I es una matriz ortogonal que corresponde a una 4 4 0 5 5 5 5 simetría ortogonal vectorial Para calcular el eje de simetría buscamos los vectores invariantes: 4-5 5 4 5 5 Para C 0 0 t CC 0 0 I es una matriz ortogonal que 0 0 corresponden a una simetría ortogonal vectorial(det(d)-) Para saber si es una simetría especular vectorial o simetría rotacional vectorial buscamos los vectores invariantes: z 0 plano, es una z z simetría especular vectorial Para D 0 Unidad docente de Matemáticas
0 0 t DD 0 0 I 0 0 0 0 es una matriz ortogonal no simétrica, se trata de una rotación vectorial 0 Vectores invariantes DXX > (I-D)X0; 0 0 0 z z Para conocer el ángulo de rotación vemos que la traza es invariante, Tr(D)// cosα α± 90º según orientación 4- Sean los giros G G, de centros O(0,0) O (,0) ángulos respectivos 0º α Hallar las ecuaciones de GoG sus elementos característicos para: a) α90º b) α40º La ecuación de un giro de centro A(a,b) amplitud α es: ' a cosα senαa ' b senα cos α b La ecuación del giro G de centro O(0,0) amplitud α 0º es: 0 0 ' 0 cos0º sen0º 0 ' 0 ' 0 sen0º cos0º 0 ' 0 La ecuación del giro G de centro O (,0) amplitud α es: ' cosα senα ' 0 senα cos α 0 a) La ecuación del giro G de centro O (,0) amplitud α 90º es: 0 0 ' cos 90º sen90º 0 ' 0 ' 0 sen90º cos90º 0 0 Ah ' 0 ora el producto GoG tiene por matriz: Unidad docente de Matemáticas 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Siendo el centro del giro el único punto invariante: 0 0 C,, el ángulo de giro es 0º90º0º b) La ecuación del giro G de centro O (,0) amplitud α 0º es: ' cos 40º sen40º ' 0 sen40º cos 40º 0 0 0 ' ' Ahora el producto GoG tiene por matriz: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Se trata de una traslación de vector, 5- Clasificar las siguientes transformaciones en el plano hallar sus elementos principales a)x' X b) X' X c) X' X 5 0 Unidad docente de Matemáticas 5
0 d)x' X e)x' X f) X' X 0 a) La matriz ortogonal cosα senα corresponde a un GIRO de senα cosα amplitud -60º el centro del giro es el único punto invariante: 5 5 5 X X C 5 5 5, cosα senα b) La matriz ortogonal corresponde a una senα cosα simetría ortogonal vectorial la transformación geométrica puede ser una simetría aial o una simetría deslizante dependiendo de los puntos invariantes: X X Sistema incompatible, por lo 0 0 tanto es una SIMETRÍA DESLIZANTE Significa que es el producto de una simetría aial por una traslación de vector paralelo al eje de simetría Para determinar los elementos principales tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el O(0,0) su transformado O (,0), entonces el punto medio del segmento OO pertenece al eje de simetría su transformado mediante el movimiento caracterizan al vector de traslación O O' En efecto: O O' T 4 el vector 0 0 0 4 de traslación es v,,0, 4 4 4 4 Para el eje de simetría tenemos un punto la dirección, luego sus ecuaciones paramétricas son: t 4, cua ecuación general es: ( ) 0 t 4 Unidad docente de Matemáticas 6
c) La matriz ortogonal cosα senα corresponde a una simetría senα cosα ortogonal vectorial la transformación geométrica puede ser una simetría aial o una simetría deslizante dependiendo de los puntos invariantes: 0 X X 0 e sistema compatible 0 indeterminado, por consiguiente una SIMETRÍA AXIAL respecto de e 0 d) La matriz ortogonal es simétrica por tanto corresponde a una 0 simetría ortogonal, pero el determinante es, luego es un movimiento directo que no es la identidad ni la traslación Por consiguiente es un GIRO DE AMPLITUD 80º o UNA SIMETRÍA CENTRAL El único punto invariante es el centro del giro o centro de la simetría: 0 X X X 0 e) X' X, directamente sabemos que es una TRASLACIÓN de vector (,) f) X' X, de este sistema observamos que la matriz no es ortogonal, puesto que 4 ±, sin embargo, la matriz es una matriz ortogonal Quiere decir que la transformación es una SEMEJANZA INVERSA de razón de centro el único punto invariante, 4 X X 4 Unidad docente de Matemáticas 7
0 0 0 0 6- Sean T ' 5 T' ' ' ' 0 las ecuaciones correspondientes a dos transformaciones T T respectivamente Se pide: a) Clasificar las transformaciones T T obteniendo sus elementos característicos b) Hallar las ecuaciones de la figura en que se transforma la circunferencia mediante las transformaciones T T a) Clasificación de T: Primer paso: Estudio de la matriz asociada M M - M t, luego M es ortogonal por tanto T es un movimiento Segundo paso: Puntos invariante por T: 0 0 XNX 5, sistema incompatible, es decir, no ha ningún punto invariante como M I simétrica, concluimos que T es una SIMETRÍA DESLIZANTE Tercer paso: Cálculo de los elementos de T O P P La simetría deslizante T tiene por elementos el vector u PP' la recta e P u, siendo P el punto medio del segmento OO O Unidad docente de Matemáticas 8
Unidad docente de Matemáticas 9 P O O', 5 P T(P) 4 5, 4 7 ' PP u 4, 5 4 7 e P u, 5 λ 4, 5 4 7 Clasificación de T Primer paso: Estudio de la matriz asociada M 0 M - 0, M t 0 M - M t, luego T no es un movimiento Tampoco es una homotecia pues M k I sea cual sea K tampoco es una semejanza pues tomando k ) M det( / Q/kMM no es ortogonal, pues Q - Q t b) Despejamos, en la ecuación de T: ' ' 5 0 0 ' ' 7 0 0 ' ' ' ' 7 sustituendo en ' ' ' ' 7, Operando simplificando queda (-5) (-) que es una circunferencia de radio (igual al radio de la dada) centro (5,) Análogamente, despejando, e en la ecuación de T : ' ' ' 4 sustituendo en, se obtiene: ( ) ( ) ' ' ' 4
Operando simplificando : 4 8 8-6 -4 9 0 que no corresponde a una circunferencia pues tiene término en (hemos suprimido por comodidad) En consecuencia, T no es un movimiento pues ha deformado la circunferencia (no conserva las distancias) 7- Determinar los elementos característicos de la transformación geométrica que transforma el punto A(,,) en A (,-,6) en los siguientes casos: a) Traslación b) simetría central c) simetría especular d) homotecia de razón a) T(A)A, el vector de traslación será: AA ' (,, 6) (,, ) (,, 4) b) S O (A)A ; O es el punto medio del segmento AA, luego A A' (,, ) (,, 6) O,,4 AA ' π c) S(A) π A' A A' Tenemos el vector AA ' (,, 4) ortogonal al O π plano el punto O,,4del plano, por tanto -4zk que contenga al punto será: 4z 44 9 El plano pedido es -4z9 d) H C,k (A)A, se cumple que: CA ' CA ( a, b,6 c) ( a,b, b), resultando el centro de la homotecia C(0,4,-) 8- Sea H la homotecia de centro (0,0) razón Sea A el transformado del punto A(0,) Determinar las ecuaciones de las siguientes transformaciones: a) H(O,) b) H(A,/) c) H(O,)oH(A,/) Qué tipo de transformación es? d) H(A,)oH(O,) Qué tipo de transformación es? La ecuación de la homotecia de centro C razón k es: X' C kcx Unidad docente de Matemáticas 0
0 0 ' 0 0 a) Para O(0,0) k: ' 0 0 ' 0 0 ' 0 0 ' 0 0 0 0 el homotético del punto A(0,) es: ' 0 0 6 b) Para A (0,6) k/: 0 0 ' 0 0 0 ' 0 0 ' 6 6 4 ' 4 0 c) Para H(O,)oH(A,/) se multiplican las matrices: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 que es una TRASLACIÓN de vector (0,) 0 4 0 d) Para A (0,6) k se tiene 0 0 ' 0 0 0 ' 0 0 ' 6 6 4 ' 4 0 0 0 0 0 0 0 el producto H(A,)oH(O,): 0 0 0 0 0 6 0 es una 6 0 0 0 6 0 6 HOMOTECIA de razón 6 de centro el único punto invariante, 0 0 0 0 6 0 6, C(0,6/5) 6 0 6 5 9- Hallar la ecuación de la semejanza directa que transforma los puntos O(0,0) P(,) en O (5,-) P (-7,-5) respectivamente 0 0 Ecuación de la semejanza directa: ' e a b sustituendo ' f b a Unidad docente de Matemáticas
0 0 S(O) O ' 5 e a b 0 f b a 0 los puntos, obtenemos que: 0 0 S(P) P ' 7 e a b 5 f b a 0 0 la ecuación de la semejanza ' 5 6 8 ' 8 6 a 6 b 8, quedando e 5 f 0- Escribir la ecuación matricial de la semejanza resultante de componer la homotecia de centro A(,) razón k0 el giro de centro P(,-) ángulo α tal que senα/5 cosα-4/5 Hallar los elementos de la semejanza resultante Ecuación de la homotecia de centro A(,) razón k0: X' A kax 0 0 ' 0 ' 9 0 0 ' ' 8 0 0 Ecuación del giro de centro P(,-) amplitud α: 4 4 ' cosα senα 5 5 5 5 ' senα cosα 4-4 5 5 5 5 0 0 4 o bien, ' 5 5 ' 4 5 5 Cálculo de la composición GoH: 0 0 0 0 0 0 4 ' 9 0 0 5 5 8 6 ' 4 8 0 0 6 6 8 5 5 Se trata de una semejanza directa de elementos: Razón de la semejanza: k0 Unidad docente de Matemáticas
7 0 0 7 0 Centro de la semejanza: 8 6 C, 0 6 6 8 Amplitud de la rotación: ángulo α tal que senα/5 cosα-4/5 - Clasificar la siguiente transformación geométrica obtener sus elementos característicos: 0 0 4 ' 4 5 5 ' 4 5 5 4 5 5 Llamando M se cumple que M - que MM t I por lo que se trata 4 5 5 de un Movimiento Inverso Se calculan los puntos dobles: 0 0 0 4 4 5 5 Quedando las ecuaciones 5 sistema 4 5 5 incompatible, lo que significa que NO HAY puntos dobles Y por tanto, estamos ante una SIMETRÍA DESLIZANTE Esta transformación se descompone en el producto de una simetría aial de eje e por una traslación: S S et u Calculamos el transformado de un punto cualquiera, por ejemplo X(0,0) Y obtenemos X (4,) X X' (0,0) (4,) El punto medio es P, X P X Este es un punto del eje Calculamos su transformado obteniendo 5 e P', tembién del eje u 0 5 5 Entonces el vector de la traslación es: u,, 0 5 0 0 P Unidad docente de Matemáticas
Y la ecuación del eje viene dada por 7 e o, lo que es igual - 0 0 0 - Se pide hallar, en el plano euclídeo: π a) La ecuación del giro de centro A (,-) ángulo 4 b) La ecuación de la homotecia de centro B(,) razón c) La ecuación de la semejanza resultante de componer el giro con la homotecia anterior d) La descomposición canónica de la semejanza obtenida en el apartado c) indicando qué tipo de semejanza es a) La ecuación de un giro de centro A(a,b) amplitud α es: ' a cosα senαa ' b senα cos α b π Para A(,-) ángulo es: 4 π π cos sen ' 4 4 ' π π sen cos 4 4 0 0 matriz resulta: ' ' b) La ecuación de la homotecia de centro C razón k es: X' C kcx Para el centro B(,) razón : 0 0 ' ' 0 ' ' 0 c) El producto de giro por la homotecia es: 0 0 0 0 0 0 ' 0 ' 0 en una Unidad docente de Matemáticas 4
d) Es una SEMEJANZA DIRECTA, por ser el producto de una homotecia por un giro (movimiento directo) La razón se obtiene de la raíz cuadrada del determinante de la matriz, k 0 0 7 5 Centro de la semejanza: 4 5 Ángulo de la rotación: cos α cos α senα 5π α senα cosα 4 senα - Dadas H, homotecia de centro C (,,) razón k /, H homotecia de centro C (-,,-) razón k Se pide: a) Hallar las ecuaciones de TH oh,e identificar T b) Lo mismo para T H oh c) Transformada mediante H de la recta de ecuación: -z La ecuación de la homotecia de centro C(a,b,c) razón k es: 0 0 0 ' ( k)a k 0 0 ' ( k)b 0 k 0 z' ( k)c 0 0 kz La ecuación de la homotecia H de centro C (,,) razón k / es: 0 0 0 0 0 ' ' 0 0 z' z 0 0 La ecuación de la homotecia H de centro C (-,,-) razón k es: 0 0 0 ' 0 0 ' 0 0 z' 0 0 z Unidad docente de Matemáticas 5
a) TH oh 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 z' 0 0 0 0 0 z 0 0 z 0 0 T es una TRASLACIÓN de vector (,0,) ( k) CC b) T H oh 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 0 z' 0 0 z 0 0 z 0 0 k C C T es una TRASLACIÓN de vector (,0,) ( ) 4- Hallar la ecuación del giro de R definidos por: la recta que pasa por A(,,0) B(0,0,), transforma el punto P(0,,0) en P (,,) Primeramente, debemos calcular el ángulo de giro; para ello, buscamos un plano perpendicular a la recta AB que contiene a los puntos P P : AB (,,) z z A continuación, la intersección de la recta que pasa por A B con el plano t anterior r t ; π z tt t t O,, z t El giro subordinado en el plano de centro O de ángulo α transforma P(0,,0) en P (,,), de tal forma que los vectores OP,, OP,, nos OP OP' forman el ángulo α arccos 0º Pero, la orientación en el espacio OP OP' AB,, haciendo el depende del sentido del giro; considerando el vector ( ) Unidad docente de Matemáticas 6
i j k producto vectorial OP OP',,, justamente el opuesto a la dirección del eje de rotación Por consiguiente, el ángulo de giro es de -0º En el sistema de referencia R definido por R' { B,u,u,u } siendo B(0,0,), u (,, ),u (, 0, ),u u u (,, ) la 6 ecuación del giro es: 0 0 ' 0 0 ' G 0 cos ( 0º ) sen ( 0º ) 0 z' z 0 sen ( 0º ) cos ( 0º ) z z 0 Se pasa al sistema de referencia R definido por R O;e,e,e siendo O(0,0,0), e ( 00,, ),e ( 00,, ),e ( 00,, ) { } 6 La matriz del cambio de base es B 6 0 6 ' 0 0 ' BGB 0 0 en R z' z 0 0 z La ecuación con el punto B (0,0,) invariante será: ' 0 0 0 0 0 0 X' B MBX ' 0 0 0 0 0 z' 0 0 z 0 0 z 5- Hallar las ecuaciones los centros de las semejanzas que resultan de componer: a) La homotecia H del ejercicio el giro 4 b) H con la simetría especular de plano π: -z-0 Unidad docente de Matemáticas 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 0 0 a) 0 0 ' 0 0 0 0 z' 0 0 0 0 z z 0 0 0 0 Centro de la semejanza es el único punto invariante, 0 0 0 0 0 5,, 0 0 7 7 7 z z 0 0 b) Ecuación de la simetría especular: R' A,u,u,u siendo En el sistema de referencia R definido por { } A(,0,0), u (,, ),u ( 0,, ),u u u (,, ) la ecuación de la 6 ' 0 0 simetría es: ' S 0 0 z' z 0 0 z Se pasa al sistema de referencia R definido por R { O;e,e,e } siendo O(0,0,0), e ( 00,, ),e ( 00,, ),e ( 00,, ) 6 La matriz del cambio de base es B 0 6 6 ' ' BSB en R z' z z La ecuación con el punto A (,0,0) invariante será: Unidad docente de Matemáticas 8
' X' A MAX ' 0 Efectu z' 0 z z ando el producto: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 ' 6 6 5 ' 0 0 6 6 z' z z 0 0 6 6 Centro de la semejanza es el único punto invariante, 0 0 0 5 6 6 5 C (,, ) 6 6 z z 6 6 6- Clasificar los movimientos definidos por las siguientes ecuaciones determinar sus elementos característicos: a) 0 0 0 ' 0 0 ' 0 0 z' 0 0 0 z ; b) 0 0 0 ' 0 0 ' 0 0 z' 0 0 0z 0 0 a) Por ser 0 0, se trata de un giro en el espacio ó de un movimiento 0 0 helicoidal Calculemos los puntos dobles: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z 0 z 0 z 0 0 0 z 0 0 z 0 0, sistema incompatible Unidad docente de Matemáticas 9
Al no tener puntos dobles, se trata de un movimiento helicoidal; es decir, es el producto T o G (e,α), con u paralelo a e u La dirección del eje e viene dada por los vectores invariantes mediante la transformación ortogonal asociada: 0 0 0 0 0 z 0 λ λ,λ R 0 0 z z z z 0 z λ Por tanto, el vector u es de la forma u (k, k, -k), para algún número real k que hemos de determinar Llamando T al movimiento helicoidal, TT o G (e,α), se verifica: u T u o T G (e,α) Por consiguiente, T u o T tiene una recta e de puntos dobles La ecuación de T u o T es : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k 0 0 0 0 k 0 0 k 0 0 0 0 k 0 0 z k 0 0 0 0 0 z k 0 0 z El sistema para obtener los puntos dobles de este movimiento es: 0 0 0 0 0 0 0 0 k 0 0 k 0 0 k 0 0 k 0 0 z k 0 0 z k 0 z 0 Como ha infinitos puntos dobles (los del eje), el sistema anterior ha de ser compatible indeterminado: - 0 -k 0 El rango de 0 -k tiene que coincidir con el rango de 0 0 k 0 k que es ; luego, ha de ser 0 k 0 k, es decir, k Por tanto, 0 k u (,, ) Sustituimos k por en el sistema anterior hallamos una solución cualquiera que será un punto del eje: Hacemos 0, se obtiene z z Unidad docente de Matemáticas 0
El eje del movimiento tiene de ecuación e z El ángulo de la rotación verifica cosα trazam0; luego cosα α0 α40 (según se elija la dirección positiva del eje) Hallando el transformado de O(0,0,0), O (,,0), mediante el dibujo, se observa que el giro en el sentido de u es de 0 0 0 b) Por ser 0 0, se trata de una simetría especular, deslizante o 0 0 rotacional Calculemos los puntos dobles: El único punto doble es C(0, -, 0) Se trata, por tanto, de una simetría rotacional, donde el plano π es perpendicular al eje e, C es la intersección π e La dirección de e es la de un vector propio asociado al valor propio λ -: 0 0 0 0 z 0 0 z z Por consiguiente, e es paralelo al vector u (-,, -) A partir de u, consideramos la siguiente base ortonormal: B v,v,v, u v (,, ) z u e O 0 O u v v v w ( v,,0) v w donde ( 6, 6, 6 ), w u v (,, ) La matriz M asociada a S B C, respecto de la base B, es el producto de las matrices M M, asociadas a S G respectivamente: π α Unidad docente de Matemáticas
0 0 0 0 0 0 0 cos α senα 0 0 0 cos α senα 0 senα cos α 0 0 0 senα cos α Luego, S π es la simetría especular de plano π C v,v G (e,α) es el giro alrededor del eje e C v de ángulo α tal que cos α 0 (igualando las trazas de ambas matrices asociadas a S C ), es decir, α orientación del eje 60o 00 o según la 7- Indicar qué tipo de transformación corresponde a cada una de las siguientes ecuaciones hallar sus elementos característicos: ' z ' z ' z a) ' z; b) ' ; c) ' z z' z z' z z' z a) Estudiando la matriz de la transformación observamos que es proporcional a una matriz ortogonal, entonces la transformación es una SEMEJANZA su determinante es 7, luego es DIRECTA; de centro el único punto invariante, X X X ( 000,, ) La descomposición canónica de la semejanza directa es el producto de una rotación por una homotecia, siendo: k razón de la semejanza o razón de la homotecia C(0,0,0) centro de la homotecia o de la semejanza Eje de la rotación de la matriz ortogonal: obtenemos los vectores invariantes, / / 0 X X / / X v ( 0,, ) por z / / Unidad docente de Matemáticas
0 consiguiente el eje de rotación es la recta que pasa por C: t de amplitud z t de giro, mediante la traza cos arccos α α ± 09º 8'6' b) Ahora la matriz 0 es proporcional a una matriz ortogonal 0 0, entonces la transformación es una SEMEJANZA su determinante es, luego es DIRECTA Centro el único punto invariante, X 0 0 6 6 X C (,, ) Eje de la rotación de la matriz ortogonal: obtenemos los vectores invariantes, 0 ( 6 ) X X v,, de amplitud de giro, mediante la traza cosα α± 7º'6'' c) Estudiando la matriz de la transformación observamos que es proporcional a una matriz ortogonal, entonces la Unidad docente de Matemáticas
transformación es una SEMEJANZA su determinante es -7, luego es INVERSA; de centro el único punto invariante, X X X ( 000,, ) La descomposición canónica de la semejanza INVERSA es el producto de una rotación por una homotecia INVERSA, siendo: k- razón de la semejanza o razón de la homotecia C(0,0,0) centro de la homotecia o de la semejanza Eje de la rotación de la matriz ortogonal: obtenemos los vectores invariantes, / / z X - X / / X v (,, ) por z / / t consiguiente el eje de rotación es la recta que pasa por C: t de amplitud z t de giro, mediante la traza cosα α arccos( ) ± 80º 8- Descomponer la traslación de vector (,,) en producto de dos simetrías SoS, siendo el plano de S: z La ecuación general de una traslación es X' T(A) M XA siendo A un punto cualquiera del espacio M la matriz identidad En concreto, si se toma como punto A el origen del sistema de referencia, cuo transformado es T(O) se tiene que la ecuación pedida es: 0 0 0 ' 0 0 ' 0 0 ' 0 0 ' 0 0 z' 0 0 z z' 0 0 z La ecuación de la simetría especular en la base canónica del espacio es X A M (X-A) siendo A un punto del plano de simetría Si se toma una referencia tal que el eje X sea perpendicular al plano de simetría se conoce la forma que toma la matriz de la transformación vectorial pues si se 0 0 llama B a dicha base, entonces, M B 0 0 0 0 Unidad docente de Matemáticas 4
Se puede definir la base B { u, v, w} tomando el primer vector unitario (,,) (,,)) perpendicular al plano, por ejemplo, u u (,, ) (,,) 6 6 6 6 El segundo vector es un vector cualquiera perpendicular a éste, por ejemplo: v 0,, el tercero es el producto vectorial de ambos w u v w,, (comprobándose que w ) La matriz de cambio de base de la base B a la canónica es aquella que tiene por columnas los vectores de la base B es, por tanto, canónica, M PM P c B 0 6 P la matriz M en la base 6 6 0 0 6 6 0 0 M 0 0 6 6 0 0 6 6 Para completar la ecuación se elige un punto invariante, es decir, un punto cualquiera del plano de simetría, por ejemplo, el punto (0,0,) quedando ' 0 ' ' ( ) ' 0 X A M A ' ' z z ' z z 0 0 0 ' ' z' z Para calcular la simetría S tenemos que TSoS luego S - otsots MM S T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 Unidad docente de Matemáticas 5
nos da la ecuación de la simetría S una simetría de plano z0 0 0 0 4 ' que corresponde a ' z' z SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS: P-En el espacio afín euclídeo Ε se considera la transformación T dada por T(,,z) (z,,) a) Demostrar que T es una isometría b) Hallar los puntos dobles c) Qué clase de transformación geométrica es? P- a) T es una isometría A,B E,d(A,B) d(t(a),t(b)) b)xyz c)es una rotación alrededor del eje z de amplitud 0º ó -0º según la orientación del eje P- Un triángulo equilátero tiene un vértice en el origen, otro en el punto (,0) Hallar las coordenadas del tercer vértice P- Dos soluciones, ± P- Clasificar las siguientes transformaciones en el plano hallar sus elementos 0 0 0 0 principales ' ' 0 ' ' 0 P- a) Es una rotación de centro (,) amplitud -0º b)es una simetría aial respecto del eje ( ) 0 P4- Dados los puntos A(0,) B(-,-), calcular las coordenadas del punto C sabiendo que la longitud del segmento AC es la mitad de la del segmento AB que el ángulo BAC mide 0º P4- El punto C, 4 4 Unidad docente de Matemáticas 6
P5- A la circunferencia C 8 0, de centro A, se le aplica un giro de centro el origen de coordenadas amplitud 60º, transformándose en C Esta circunferencia, mediante la homotecia de centro A razón, se transforma en C Hallar la ecuación de C las coordenadas del centro de la homotecia inversa que transforma C en C 4 8 P5- C' ( ) ( ) 4;C'' ( 4 ) 6;Centro C, P6- El cuadrado ABCD de vértices A(0,0), B(-5/,), C(-5/,5/), D(0,5/) se transforma mediante una semejanza directa S de centro O(6,0) en A B C D siendo A (6,) Se pide: a) Determinar las ecuaciones de las semejanza b) Determinar un giro G una homotecia H tal que S HoG c) La figura transformada del cuadrado 0 0 P6- a) ' 6 0 ' 0 b) rotación de centro (6,0) amplitud 90º la homotecia de centro (6,0) razón ½ c) A (6,), B (6,7/4), C (9/4, 7/4), D (9/) P7- Escribir la ecuación de la semejanza resultante de componer la homotecia de centro A (,) razón 0 el giro de centro P(,-) ángulo α tal que sen (α) /5 cos(α) -4/5 0 0 P7- ' 8 6 ' 6 6 8 P8- Hallar la ecuación de la semejanza directa que transforma los puntos O(0,0) A(,) en O (5,-) A (-7,-5) respectivamente 0 0 P8- ' 5 8 6 ' 8 6 P9- Un rao luminoso parte del punto F(5,0) después de reflejarse en la recta r : 40, pasa por el punto (P(,4) Determinar: Unidad docente de Matemáticas 7
a) Coordenadas del punto de la recta r en el que el rao luminoso cambia de dirección b) Longitud del camino recorrido por el rao desde F hasta P eplicar porqué esa longitud es mínima P9- a) R(6,) c) la distancia mínima es 0 Unidad docente de Matemáticas 8