2. Análisis combinatorio 2.1. Introducción. Imagina que quieres saber de cuántas formas pueden acomodarse 15 libros en un estante sin importar el orden en que éstos vayan, o imagina que quieres escoger 5 personas de 100 que están excelentemente calificadas para realizar una importante labor en tu empresa, o imagina que quieres conocer de cuántas formas distintas se puede llegar de Bello a Envigado, pasando por Medellín y utilizando todas las rutas de buses posibles. Será que existe una forma rápida y poco tediosa de hallar todos estos eventos para cada uno de estos experimentos? Pues, sí. La respuesta la podemos encontrar en el análisis combinatorio. 2.2. Análisis Combinatorio. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, permite enumerar los sucesos anteriores, para luego obtener la probabilidad de que un evento suceda cuando se encuentra dentro de este experimento. En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo: Si un trabajo o evento puede hacerse de n1 maneras diferentes y cuando sea hecho, puede hacerse un segundo trabajo independiente, de n2 modos diferentes y luego un tercer trabajo de n3 maneras diferentes y así sucesivamente; entonces el número total de maneras diferentes en que los trabajos se pueden realizar es: Ejemplo: n1 x n2 x n3 Suponiendo que una persona tiene 2 opciones para ir de la ciudad A a la ciudad B (A pie-bicicleta). Una vez que llega a la ciudad B tiene 3 opciones de llegar a la ciudad C (avión, auto, barco). De cuántas formas diferentes puede realizar el viaje de A a C pasando por B? n 1 = 2 y n 2 = 3 7
El número de formas distintas es n1 x n2 = 2 x 3 = 6 formas distintas para llegar de A a C, pasando por B. Este procedimiento anterior se conoce como la Regla Multiplicativa: 2.2.1. Regla Multiplicativa: Si un procedimiento A1 puede realizarse de n1 formas y por cada una de éstas un segundo procedimiento, sea este A2, puede efectuarse de n2 formas y por cada una de estas dos, un tercer procedimiento sea A3 pueda efectuarse de n3 formas, entonces tenemos que los procedimientos A1, A2, A3...Ak pueden realizarse de n1 x n2 x n3 x...x nk formas distintas En donde n1, n2,..., nk son el tamaño de los conjuntos y k es el número de conjuntos posibles. En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se pueden presentar cada uno de los sucesos a observar. Ejemplo: La Uniremington desea regalar dos seminarios, uno de la facultad de sistemas y otro de la facultad de administración, al mejor egresado de la última promoción. De cuántas formas diferentes puede el estudiante hacer selecciones de dos seminarios, teniendo en cuenta lo siguiente? : Que en la facultad de sistemas se cuenta con los siguientes seminarios: C++, Visual Basic, Java Scrip, Access, Asp, Front Page, Photo Shop y el Coreldraw, mientras que en la facultad de administración se cuenta con: Comercio exterior, Economía y finanzas, Técnicas de control interno, Gestión administrativa con énfasis en el liderazgo y Auditoria administrativa. C++ Visual Basic Java Scrip Access Asp Front Page Photo Shop Corel Draw n1 n2 Comercio Exterior Economía y finanzas Técnicas de control interno Gestión administrativa con énfasis en el liderazgo Auditoria administrativa n1 = 8 n2 = 5 n1 x n2 = 8 x 5 = 40 El estudiante puede hacer la escogencia de 40 formas distintas 8
En el análisis combinatorio también se definen las permutaciones, con o sin repetición, y las combinaciones. 2.2.2. Regla de Permutaciones (u ordenaciones) con repetición Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n que se han dado. Ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener? Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este caso N= 2 y n=4. Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En total son 16 npr r n. En este caso, 2 4 16 En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas son: n r 2.2.3. Regla de Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición Si de un conjunto de N elementos se extraen un subconjunto de n elementos, los cuales van a tener un orden determinado. Entonces tenemos que el número de posibles eventos, está dado por: P n r n! ( n r)! En donde N es el tamaño del conjunto mayor y n es el subconjunto que se extrae del conjunto mayor. (En la calculadora use la tecla npr para calcular las permutaciones sin repetición de elementos) Ejemplo 1: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, cuántas ordenaciones de dos elementos, sin repetición se pueden obtener? Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total. Realízandolo con la fórmula. npr = P n r n! = ( n r)! 4! 4 3 2 1! 24 12 (4 2)! 2! 2 Ejemplo 2: Corona lanza su más reciente colección 2003-2004 que trae consigo una variedad de productos como son: baldosas, griferías, porcelanas sanitarias y vajillas. Donde cada producto cuenta con una amplia gama de distintos acabados 9
De los seis principales puntos de ventas en Medellín se desean seleccionar 3, ubicando en orden de importancia al punto que más ventas haya tenido en los últimos seis meses, y si aún no se conoce el resultado final en ventas de cada punto, de cuántas maneras se podrían ocupar los tres primeros puestos? P 6 3 6 6! 6*5* 4*3! (6 3)! 3! 3! 120 Los tres mejores puntos de ventas se pueden seleccionar de 120 formas distintas 2.2.4. Regla de Combinaciones Si seleccionamos de un conjunto de N objetos un subconjunto de n objetos, sin importar el orden y sin repetición, entonces se dice que es una combinación de N objetos tomados de n en N. Y el número de resultados posibles está dado por: N N! n n!( N n)! (En la calculadora use la tecla ncr para calcular las permutaciones sin repetición de elementos) Ejemplo 1: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, cuántos subconjuntos de 2 elementos cada uno se pueden obtener? Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los subconjuntos. Ejemplo 2: Corona seleccionará entre los 50 vendedores que atienden el mercado nacional, un grupo de 10 vendedores para con ellos cubrir el 60% del crecimiento en las ventas, estas ventas estarán localizadas en tres nichos del mercado de las principales ciudades del país. De cuántas formas posibles podemos organizar grupos de 10 vendedores para cubrir estas ciudades? N = 50 n = 10 50 50! 10 10!(50 10)! = 1.027227817 10
Los grupos de 10 vendedores para cubrir las principales ciudades se pueden seleccionar de 1.027227817 formas posibles. 2.2.5. Regla de Particiones. Si un conjunto mayor se reparte en subconjuntos, con la condición de que la unión de los subconjuntos sean igual al conjunto mayor, entonces el número de resultados posibles está dado por: N! n!* n!* n!* n!*... n! 1 2 3 4 k En esta regla debe cumplirse que: N = n1 + n2 + n3 + n4 +... + nk Ejemplo: En la clase de probabilística hay 22 alumnos y el profesor desea organizar cuatro grupos de cuatro personas y uno de seis personas para resolver los talleres A, B, C, D, E. De cuántas formas puede el profesor realizar esta asignación? N = 22 alumnos K = 5 talleres distintos (A, B, C, D, E.) Taller A = 4 personas Taller B = 4 personas Taller C = 4 personas Taller D = 4 personas Taller E = 6 personas 22! 4!*4!*4!*4!*6! = 4.705319619 El profesor puede realizar la asignación de 4.705319619 formas distintas. 2.2.6. El Factorial de un Número. Las reglas de conteo, en especial la regla multiplicativa, nos remite automáticamente al factorial de un número natural, que se puede pensar como una función con dominio los números naturales junto con el cero y rango los números naturales. El factorial de un número n, denotado n!, se define como: Ahora, si n es muy grande el proceso de cálculo se vuelve tedioso y muy cargado, incluso para una computadora, por lo que se utiliza la aproximación de Stirling a n!: donde e = 2.71828..., que es la base de los logaritmos neperianos. En Excel existe la función FACT(n) que calcula el factorial de un número entero no negativo n. 11
Por ejemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 2.2.7. Ejercicios Propuestos 1. Usted cuenta con 12 analistas de sistemas y desea asignar tres al trabajo 1, cuatro al trabajo 2 y cinco al trabajo 3. De cuántas formas distintas puede efectuar esta asignación? 2. Se contratarán 5 administradores de un grupo de 100 solicitantes. De cuántas maneras podemos seleccionar grupos de 5 administradores? 3. De cuántas maneras diferentes puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientes condiciones?: El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones para cada uno. El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple (con cuatro opciones para cada uno) y cinco respuestas de falso - verdadero. 4. Un político envía un cuestionario a sus electores para determinar sus inquietudes acerca de seis importantes problemas nacionales: desempleo, violencia, medio ambiente, impuestos, defensa nacional y salud. El encuestado debe seleccionar los cuatro problemas que más le interesen y ordenarlos por su importancia asignándoles los números 1, 2, 3 ó 4; con el 1 indicando el mayor interés y el 4 el menor interés. De cuántas maneras puede responder un ciudadano el cuestionario? 5. Un comité de estudiantes de la universidad tiene 5 miembros. De cuántas formas puede alcanzar una decisión mayoritaria a favor de algo? (Nota: una decisión mayoritaria favorable se alcanza si y sólo si, exactamente tres miembro votan favorablemente, o exactamente cuatro miembros votan favorablemente o si los cinco miembros votan favorablemente.) 6. Un director de funerales debe asignar 15 dolientes a tres limusinas: seis a la primera, cinco a la segunda y cuatro a la tercera. De cuántas maneras puede hacerse esto? 7. Un mesero toma la siguiente orden de una mesa con siete personas: tres hamburguesas, dos hamburguesas con queso y dos sánduches de carne. Al regresar con la comida, olvidó quien ordenó cada cual y sólo coloca un alimento en frente de cada persona. De cuántas formas puede hacer esto? 8. Una mano de póker consiste en 5 cartas sacadas de una baraja de 52. La mano se dice que es "póker" o cuatro de la misma clase si cuatro de las cartas tienen el mismo valor. Por ejemplo, las manos con cuatro números 10 o cuatro sotas o cuatro números 2 son manos de póker. Cuántas de tales manos son posibles? 9. Una moneda se tira 10 veces y se anota el resultado después de cada tirada. Cuántos eventos posibles existen? 10. Suponga que el metro de Medellín tiene 20 estaciones, cuántas clases de tiquetes deben ser impresos si los nombres de los puntos de partida y de llegada aparecen en cada tiquete? 12
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