Información Incompleta (Asimétrica) Los problemas de información incompleta o asimetrías de información se dan cuando uno o algunos de los jugadores conocen algo que los otros jugadores no conocen. Ejemplo: Considere el caso en el cual hay dos personas negociando un bien o un servicio. Cada individuo puede ser honrado o tramposo. Si la persona es tramposa, tratará de timar al otro. Si la persona es honrada, nunca timará al otro. Sin embargo, el tipo de cada persona es información privada. Es decir, solo es conocido por el mismo jugador y no por el otro. Esto crea una asimetría de información. Como los pagos que cada jugador recibe después de transar el bien dependen del tipo de los jugadores que negocian, debemos considerar esto para predecir el comportamiento de cada jugador.
La mejor forma de modelar información incompleta es incorporando eventos aleatorios en la especificación del juego: Tipos. En Teoría de Juegos, a tales eventos aleatorios se les llama movimientos de la naturaleza (natura o nature). Así, la naturaleza se considera un jugador más en el juego, el cual llamaremos jugador 0. Sin embargo, la naturaleza NO es un jugador estratégico. Sus acciones son definidas por una distribución de probabilidad fija y no por incentivos. Así, el término información incompleta se refiere a que los movimientos de la naturaleza crean asimetrías de información entre los jugadores. Situaciones de información incompleta se encuentran en muchos casos reales de negociación, votaciones, contratación, subastas, mercados competitivos, etc.
Dividiremos nuestro estudio de información asimétrica de la siguiente forma: 1) Juegos estáticos con información asimétrica: Equilibrio de Nash Bayesiano (Bayesian Nash Equilibrium). Este tipo de juegos se relacionan con problemas de Selección Adversa. 2) Juegos dinámicos con información asimétrica: Equilibrio Bayesiano Perfecto (Perfect Bayesian Equilibrium) o Equilibrio de Señalización (Signaling Equilibrium).
Información Incompleta: Juegos Estáticos o Bayesianos Como dijimos, usaremos un jugador extra para modelar la asimetría de información: Naturaleza o jugador 0. Toda la asimetría de información (Eventos aleatorios) se pasará al inicio del juego, donde la naturaleza decidirá (según una distribución de probabilidades) los tipos de los jugadores. Importante: Naturaleza no juega estratégicamente y no tiene pagos asociados. Así, cuando nos refiramos a jugadores, nos estaremos refiriendo a jugadores estratégicos y no a la naturaleza.
Ejemplo 1: Batalla de los Sexos Modificada i = 1(o M),2(o H); S i = F, O. Las decisiones son tomadas simultáneamente. Sin embargo, ahora 1 puede ser de dos tipos diferente: Amante a la opera (tipo 1) o amante al fútbol (tipo 2). Este tipo es información privada para 1. Es decir, solo 1 conoce su tipo y 2 no lo conoce. 1 es de tipo 1 con probabilidad p y de tipo 2 con probabilidad 1 p. Así, los pagos del juego dependerán del tipo de 1 de la siguiente forma: Si 1 es tipo 1 (ópera) 1 2 F O F 1, 2 0, 1 O 2, 0 3, 3 Si 1 es tipo 2 (fútbol) 1 2 F O F 3, 2 2, 1 O 0, 0 1, 3
Representemos primero el juego en forma extensiva: F 2 F 1, 2 1 O 0, 1 Tipo1 (p) O F 2, 0 0 O F 3, 3 3, 2 Tipo 2 (1-p) 1 F O 2, 1 O F 0, 0 O 1, 3
Este caso es sencillo y podemos pensar en la siguiente solución: Si M es tipo 1 (ópera) 1 2 F O F 1, 2 0, 1 O 2, 0 3, 3 Si M es tipo 2 (fútbol) 1 2 F O F 3, 2 2, 1 O 0, 0 1, 3 Jugador 1: si es tipo 1 escogerá O (dominante), si de es tipo 2 escogerá F (dominante) Jugador 2: deberá pensar un poco más. Dado que anticipa que F es dominada si 1 es de tipo 1 y O es dominada si 1 es de tipo 2, entonces: 2 escogerá F si: 0p + 2(1 p) > 3p + (1 p) p < 1 4 2 escogerá O si: p > 1 4 2 será indiferente si: p = 1 4 El concepto de solución que desarrollaremos se basa en esta lógica. Formalización (Harsanyi, 1967 & 1968):
Definición: Un Juego Bayesiano posee los siguientes elementos: 1. Un número finito de jugadores i = {1,2,, n} 2. Para cada jugador i: a) Un espacio de tipos T i. b) Un espacio de acciones (puras) A i. c) Una función de pagos: Donde T T 1 T 2 T n 3. Una función de probabilidad u i : T A 1 A n R P: T [0,1] que especifica la probabilidad con la cual la Naturaleza selcciona cada perfil de tipos t (t 1 t 2 t n ) T. Ejemplo 1: Batalla de los Sexos Modificada
Siguiendo la definición de juego Bayesiano, podemos formalizar nuestro ejemplo. Jugadores: i = {1,2} Espacio de tipos T i : Espacio de acciones: T 1 = {t 11, t 12 }, T 2 = {t 2 } A i = {O, F} Función de pagos: Dada por las matrices de pagos anteriores. u i : T A 1 A 2 R, i.e. cada entrada de las matrices. Función de probabilidad P(t 11, t 2 ) = p, P(t 12, t 2 ) = 1 p
Una forma de representar el juego en su forma normal es usando el concepto de estrategia: Llamemos OF la estrategia en la cual 1 juega O si es t 11 y F si es t 12. Igualmente se puede definir OO, FO, FF. El juego se puede escribir como (Bayesian Normal Form): 1 2 F O FF 3 2p, 2 2(1 p), 1 FO p, 2p 1 p, 3 2p OF 3 p, 2(1 p) 2 + p, 1 + 2p OO 2p, 0 1 + 2p, 3
Equilibrio de Nash Bayesiano Existen dos formas de encontrar equilibrios en Juegos Bayesianos, cada una de ellas ligada a un concepto de equilibrio (los cuales son equivalentes). El primero, es reducir el juego a su forma normal (si es posible) y aplicar el concepto de EN. Su definición formal es la siguiente. Definición 1. Considere un juego Bayesiano. El perfil de estrategias γ = (γ i ) n I=1, γ i : T i A i, es un Equilibrio de Nash Bayesiano (ENB) si i = 1,, n, γ i : P(t)u i (t, γ 1 (t 1 ),, γ i (t i ),, γ n (t n )) t T P(t)u i (t, γ 1 (t 1 ),, γ i (t i ),, γ n (t n )) t T
El segundo método trata cada tipo de cada jugador como un jugador por separado. En general, este método se usa con espacio de acciones continuas. Luego veremos una aplicación. El concepto de equilibrio en este caso es: Definición 2. Considere un juego Bayesiano. El perfil de estrategias γ = (γ i ) n I=1, γ i : T i A i, es un Equilibrio de Nash Bayesiano (ENB) si i = 1,, n, t i T i y γ i : P(t i t i )u i (t i, t i, γ 1 (t 1 ),, γ i (t i ),, γ n (t n )) t i T i P(t i t i )u i (t i, t i,, γ 1 (t 1 ),, γ i (t i ),, γ n (t n )) t i T t i
Ejemplo 1: Batalla de los Sexos Modificada Consideremos la definición 1. La forma normal está dada por: 1 2 F O FF 3 2p, 2 2(1 p), 1 FO p, 2p 1 p, 3 2p OF 3 p, 2(1 p) 2 + p, 1 + 2p OO 2p, 0 1 + 2p, 3 De aquí, es fácil encontrar que: {(OF, F)} si p < 1/4 ENB = {{(OF, F), (OF, O)} si p = 1/4 {(OF, O)} si p > 1/4
Existencia de BNE Teorema: Considere un juego Bayesiano finito. Un BNE siempre existe.