9. Control Multivariable

Control de Procesos Industriales 9. Control Multivariable por Pascual Campoy Universidad Politécnica Madrid U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 007/08 Ejemplo sistemas multivariables Dado el mezclador de la figura, que trabaja sobre el punto de quilibrio definido por 0 =0, 0 =0, 0 =80, 0 = : Diseñar un control de y utilizando ambas variables manipuladas y C ref C ref a) qué variable de salida se controla con qué variable de manipulada? b) afecta una perturbación de en el flujo? cómo? c) puede calcularse el controlador de flujo independientemente de controlador de temperatura? U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable

Control multivariable Sistemas multivariables y su problemática de control Evaluación de las interacciones Emparejamiento de variables controladas y manipuladas Sintonización de controladores Desacoplamiento) suprimido del temario U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 007/08 3 Sistemas multivariable: definición Son sistemas con varias entradas y salidas, en los que una entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salida es afectada por varias entradas Y s) = G s) U s)...g m s) U m s)... Y p s) = G p s) U s)...g pm s) U m s) U s) G s) U s) G s)... U m s)... G m s)...... G p s) G p s) G pm s) Y s)...... Y p s) utilizando la notación matricial: Ys) = Y s) U Us) = s) Gs) = G s)... G m s)......... Y p s) U m s) G p s)... G pm s) Ys) = Gs) Us) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 4

Sistemas multivariables: problemas para el control y ref s) G C s) u s) G s) G s) y s) y ref s) G C s) u s) G s) G s) y s) Interacción: efecto de un lazo de control sobre otro lazo de control, rebotando el efecto sobre el lazo original La f.d.t. entre cada salida y cada entrada cambia en función del resto de los lazos de control No se pueden sintonizar los controladores de cada lazo de forma independiente U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 5 Control multivariable Sistemas multivariables y su problemática de control Evaluación de las interacciones Emparejamiento de variables controladas y manipuladas Sintonización de controladores Desacoplamiento U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 6 3

Evaluación iteraciones: sistema x u s) G s) G s) y s) y ref s) G C s) u s) G s) G s) y s) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 7 Evaluación iteraciones: a partir de las relaciones estáticas u s) G s) G s) y s) y ref s) u s) G C s) G s) G s) y s) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 8 4

Definición: Matriz de ganancias estáticas relativas en la que: λ ij = lim s 0 lim s 0 Yi s) U s) j Yi s) U s) j todos los lazos abiertos resto de los lazos cerrados = yi ) u ) j yi ) u ) j u k =0, k j y k =0, k i U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 9 Cálculo dado: Matriz de ganancias estáticas relativas entonces: Propiedad: # y ")& # K L K n &# u ")& M = M O M M $ y n ")' $ K n L K nn ' $ u n ")' λ ij = n i= K ij yi ) u j ) y k =0 k i " ij = y " ij = n j= donde o representa el producto de Hadamard o producto elemento por elemento >> K.*invK) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 0 5

Análisis de la matriz de ganancias relativas λ ij 0 0< λ ij < λ ij = < λ ij λ ij λ ij < 0 λ ij = lim Yi s) todos los lazos abiertos s 0 U j s) Yi s) resto de los lazos cerrados s 0 U j s) lim sintonización en bucle cerrado menor ganancia estática con resto bucles abiertos sin iteración mayor ganancia estática con resto bucles abiertos control imposible en bucle cerrado cambia de signo la ganancia estática en bucle cerrado y por tanto la estabilidad del sistema U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable Ejercicio 9.: evaluación interacciones Dado el sistema de la figura linealizado para 0 =0, 0 =0, 0 =80, 0 = a) Calcular λ y λ 5 puntos) b) Indicar cuál de los dos posibles bucles de control de queda menos alterado cuando se abre/cierra el otro bucle de control de la 5 puntos) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 6

Control multivariable Sistemas multivariables y su problemática de control Evaluación de las interacciones Emparejamiento de variables controladas y manipuladas Sintonización de controladores Desacoplamiento U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 4 Emparejamiento de variables controladas y manipuladas Criterios restrictivos: no cerrar bucle de control de la salida iésima con la entrada jésima cuando: λ ij <0 λ ij λ ij =0 Criterios de prioridad: controlar las variables de salida más importantes con aquellas variables de entrada con las que tengan una dinámica más rápida sin respuesta inversa puede implicar desintonización de los lazos poco importantes cerrar bucles de control con λ ij próximas a U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 5 7

Ejemplo 9.: emparejamiento de variables a) Diseñar una estructura adecuada de control multivariable para el siguiente sistema: y ref y ref G CM s) y 3ref G CM s) G C3M s) u u u 3 # ".e "5s 5s e "5s $ 60s " 0.e "5s 5s e "5s 5s e "5s 60s 0.e "5s 5s " 0.e "5s & 5s 0.e "5s 5s e "5s 5s ' y y y 3 U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 7 Control multivariable Sistemas multivariables y su problemática de control Evaluación de las interacciones Emparejamiento de variables controladas y manipuladas Sintonización de controladores Desacoplamiento U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 8 8

Sintonización de controladores multivariables: desintonización Disminuir las interacciones desintonizando los controladores de las salidas menos importantes la desintonización es mayor cuanto menos importante es el bucle de control) sólo haya iteración entre unos poco bucles, que son los más importantes. U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 9 Sintonización de controladores multivariables: Reglas de McAvoy Reglas de sintonización sólo válidas para sistemas de x: Y s) G s) G s) GC M s) = G s) U s) G s) GC M s) Y s) si el lazo es mucho más rápido que el : G s) U s) puede sintonizarse independientemente: si el lazo es mucho más lento que el : la ganancia del controlador se multiplica por λ C M s) = GCS s GC M s) = GCS s) ambos lazos tienen dinámicas parecidas: K CM = 0,5 K CS 0,5< λ<,5 t CM = t CS 0,5< λ< 0,5 K CS,5<λ t CS < λ U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 0 G Y s) " U s) G s) ) 9

Ejemplo 9.: Sintonización multivariable a) Calcular los controladores de la estructura de la figura: y ref y ref G CM s) y 3ref G CM s) G C3M s) u u u 3 # ".e "5s 5s e "5s $ 60s " 0.e "5s 5s e "5s 5s e "5s 60s 0.e "5s 5s " 0.e "5s & 5s 0.e "5s 5s e "5s 5s ' y y y 3 ipo de regulador PI PID Kc Ganancia i iempo d iempo integral derivativo 0,9 t p 3,33 tm K p tm, t p tm 0,5 tm K p tm K CM = K CS = 0.9 5 5 =.35 t ic = 3.33 x 5 =6.6 K C M = " K C S = 0.6 0.9 60 5 =.3 t ic = 3.33 x 5 = 50 K C 3M = K C 3S = 0.9 5 5 =.7 t ic3 = 3.33 x 5 =6.6 U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable Ejercicio 9.: control multivariable Dado el sistema de la figura linealizado para 0 =0, 0 =0, 0 =80, 0 = " " s) $ $ ' = $ 3s # s) & $ 0.8333e 3s # $ 0s ' 3s " 4.66 e 3s ' s) $ ' '# s)& 0s &' a) Diseñar y calcular un control multivariable de y 4 puntos) b) Dibujar la evolución de las salidas ante un cambio de referencia de y también ante un cambio de referencia de 3 puntos) c) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de control sobre el otro bucle 3 puntos) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 0

resultados ejercicio control multivariable b) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 4 resutados ejercicio control multivariable c) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 5

Ejercicio 9.3: emparejamiento incorrecto Dado el sistema del ejercicio anterior # Gs) = 3s "0.8333e "3s $ 0s & 3s 4.66 e "3s 0s ' a) Diseñar y calcular un control multivariable, de manera que el control de se efectué con y el de con 5 puntos) b) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de control sobre el otro bucle 5 puntos) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 6 a) Resltados ejercicio de eparejamiento incorrecto U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 8

Control multivariable Sistemas multivariables y su problemática de control Evaluación de las interacciones Emparejamiento de variables controladas y manipuladas Sintonización de controladores Desacoplamiento U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 9 Desacoplamiento: Objetivo y estructura Objetivo: eliminar o reducir las iteracciones de cada variable de entrada con las variables de salida distintas de la que controla. Estructura caso x): m m Desacoplador m m Sistema y y Y s) M s) = 0 Y s) M s) = 0 U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 30 3

Desacoplamiento lineal total: cálculo de la matriz del desacoplador m s) D s) m s) G s) G s) y s) m s) D s) m s) G s) G s) y s) G s) G s) D s) = G D s) = Ds) = s) G s) D s) D s) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 3 Desacoplamiento lineal total: características del desacoplo /) Sintonización dependiente de otras f.d.t.: G s) 0 Gs)Ds) = λ s) G s) 0 λ s) Limitaciones en la realización de desacopladores análogos a los controladores anticipativos: K t s) D s) = e t mt m )s K t s) No son robustos ante errores de modelado cuando la λ ij es elevada U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 3 4

Desacoplamiento lineal total: ejemplo comparativa con y sin desacoplo ref s) ref s) G CD s) G CD s) D s) D s) s) s) e & 0,75 ' 5s $ $ 5s $ ' 0,05 e' 5s $ 60s e 0, ' 5s # 5s 0,5 e' 5s 60s " s) s) desacopladores: D D G = G G = G 0.05 ) = = 0.46 0.5 0. ) = = 0.6 0.75 controladores: K C D = " KCS = 0,9 3,6 = 3,4 K C D = " KC S = 0,9 4,8 =,85 t ic = 3,33 5 = 6,6 t ic = 3,33 5 = 50 U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 34 Desacoplamiento lineal total: ejemplo comparativa con y sin desacoplo r r con desacoplo total sin desacoplo con desacoplo total sin desacoplo r r con desacoplo total sin desacoplo con desacoplo total sin desacoplo U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 35 5

Desacoplamiento lineal total: ejemplo con error 0 en el modelo r r sin error de modelo con error del 0 en K y K sin error de modelo con error del 0 en K y K r r con error del 0 con error del 0 U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 36 Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ elevada Y ref s) Y ref s) G CD s) G CD s) D s) D s) U s) U s) e & 0,75 ' 5s $ $ 5s $ 0.7875 e' 5s $ 60s e 0, ' 5s # 5s 0,5 e' 5s 60s " Y s) Y s) = K * 6 $ ' 5 ' 5 ' & # K ) = " 6 desacopladores: D D = G G G = G 0.7875 = = 3.5 0.5 0. ) = = 0.6 0.75 controladores: K C D = " KCS = 6 3,6 =.6 K C D = " KC S = 6 4,8 = 85.7 t ic = 3,33 5 = 6,6 t ic = 3,33 5 = 50 U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 37 6

Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ =6 error 0 en el modelo Y Y ref Y Y ref sin error de modelo con error del 0 en K y K sin error de modelo con error del 0 en K y K Y Y ref Y Y ref sin error de modelo con error del 0 sin error de modelo con error del 0 U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 38 Desacoplamiento lineal parcial: objetivo y estructura Objetivo: eliminar o reducir la interacción mediante el desacoplo de la salida más importante del resto de las entradas m s) m s) D s) m s) m s) G s) G s) G s) G s) G s) D s) = D G s) s) = 0 y s) y s) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 39 7

Desacoplamiento lineal parcial: características La sintonización del lazo de control de la variable importante es independiente de las otras f.d.t. del sistema, pudiéndose considerar el resto de la entradas como perturbaciones a dicho lazo de control G s) G Gs)Ds) = λ s) s) 0 G s) La sintonización de los otros lazos de control depende de otras f.d.t. ajenas al lazo El comportamiento del lazo de control de la variable importante es más sensible a errores de modelo a medida que crece su ganancia estática relativa U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 40 Desacoplamiento lineal parcial: ejemplo con λ =0,9 error 0 en el modelo sin error de modelado con error 0 en K y K r r desacoplo total y desacoplo parcial desacoplo total desacoplo parcial r r desacoplo total desacoplo parcial desacoplo total desacoplo parcial U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 4 8

Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ =6 error 0 en el modelo sin error de modelado Y Y r con error 0 en K y K Y Y r desacoplo total y desacoplo parcial desacoplo total desacoplo parcial Y Y r Y Y r desacoplo total desacoplo parcial desacoplo total desacoplo parcial U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 4 Desacoplamiento nolineal: objetivo Objetivo: reducir la interacción en sistemas en los que su comportamiento nolineal de lugar a un mal funcionamiento de los desacopladores lineales m m Desacoplador nolineal m m Sistema y y y f m' ) y f m' ) U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 43 9

Desacoplamiento nolineal: estructura del desacoplador Desacoplamiento nolineal por inversión del modelo estático. modelo estático: y = f m,m ) " # y = f m,m ) $ y=fm) inversión del modelo: " m = g y, y ) # $ m = g y, y ) m=f y) cálculo de entradas: m = g m ", m " )# $ m = g m ", m " ) m=f m') m m m=f m') inversión del modelo estático del sistema) m m Sistema y y En régimen permanente y sin error de modelado: y m' U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 44 Desacoplamiento nolineal: caracteristicas útil en sistemas fuertemente nolineales no tiene en cuenta la dinámica del sistema U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 45 0

U.P.M.DISAM P. Campoy Control Multivariable 46 Desacoplamiento nolineal: ejemplo " # = = ecuaciones estáticas: " # $ = = = inversión del modelo: Sistema m m m m m m " " = " " =