Universidad Autónoma Chapingo Preparatoria Agrícola LA PRESENTE OBRA TIENE COMO OBJETIVO APOYAR AL PROFESOR CON EJERCICIOS VARIADOS QUE PODRÁ DESARROLLAR EN EL CURSO DE ÁLGEBRA I ACADEMIA DE ÁLGEBRA PROBLEMARIO DE ÁLGEBRA I MATERIAL DEL ESTUDIANTE I. Sistemas Numéricos II. Operatividad con Polinomios III. Ecuación y Desigualdad Lineales IV. Función Lineal V. Sistemas de Ecuaciones Lineales VI. Productos Notables y Factorización Profesores: Amaya Quiroz Magdalena Rebeca Aranda Sánchez Virginia Cano Castillo Juan Domínguez del Ángel Yarith Nayue García Dinorín Adrián García Villalpando Jesús Alejandro Herrera Flores Alma Rosa Oliveros Ángeles Rodolfo Palmeros Rojas Oscar Ramírez Negrete Noé Soriano Montero Margarito Suarez Sánchez Juan 1 de 85
UNIDAD I SISTEMAS NUMÉRICOS RESUMEN SISTEMAS NUMÉRICOS 1. Sistemas numéricos Números Naturales: Son aquellos que sirven para contar. N = {1, 2, 3, 4, 5, } Números Enteros: Son los naturales, el 0 y los naturales simétricos respecto al cero, es decir, con signo negativo. Z = {, 5, 4, 3, 2, 1,0, 1, 2, 3, 4, 5, } Números Racionales: Son aquellos que se expresan en forma de cociente de dos números enteros. Q = y son enteros, 0 Nota: También se pueden expresar como decimales finitos o decimales infinitos periódicos. Ejemplos: 1. = 0.6 2. = 1.75 3. = 5.5 4. = 1.3333333 = 1. 3 5. = 1.384615384615 = 1. 384615 Números Irracionales: Son aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Ejemplos: 2 = 1.4142135624.; = 3.141592 ; 3 = 1.73205080 ; = 2.718281. Números Reales: Los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales, se denotan por la letra R. Por lo tanto, un número real es un número racional o irracional. 2. Descomposición de un número en sus factores primos Teorema fundamental de la Aritmética: Todo número natural mayor que 1 puede expresarse de forma única, salvo por el orden de sus factores, como un producto de números primos. Ejemplo. Descomposición de un número en sus factores primos 42 2 21 3 7 7 1 Entonces la descomposición del número 42 en sus factores primos es 42 = 2 3 7 2 de 85
3. Operaciones con números enteros Suma de números enteros del mismo signo a) Sumar los valores absolutos de los números b) Conservar el mismo signo Suma de números enteros de diferente signo a) Encontrar el valor absoluto de cada número b) Restar el mayor de esos valores absolutos menos el menor c) Conservar el signo del número con valor absoluto más grande Ejemplos: i. 5 + 7 = 12 ii. 8 15 = 23 Ejemplos: i. 5 + 7 = 2 ii. 12 + ( 20) = 8 Resta de números enteros Para restar un número entero de otro, suma el opuesto 1 del segundo número entero al primer número entero Multiplicación de números enteros Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo. División de números enteros Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el cociente es positivo; en caso contrario, el cociente es negativo Tabla de signos + += + = + + = += Tabla de signos + += + = + + = += 4. Operaciones con fracciones Simplificación de fracciones Procedimiento 1 Dividir el numerador y denominador entre un mismo número hasta que el numerador o denominador ya no tengan el mismo divisor. Ejemplo: 54 144 = 54 2 144 2 = 27 3 72 3 = 9 3 24 3 = 3 8 1 El opuesto de un número es su simétrico respecto del cero; es decir, el número y su opuesto están a la misma distancia del cero. Por lo tanto, el opuesto de un número es el mismo número pero con distinto signo 3 de 85
Procedimiento 2 a) Factorizar numerador y denominador como producto de números primos b) Se dividen los factores repetidos en numerador y denominador c) Se multiplican los factores restantes del numerador y del denominador Ejemplo: Multiplicación de fracciones 54 144 = 2 3 2 3 = 3 2 = 3 8 Para multiplicar dos o más fracciones: a) se multiplican los numeradores para obtener el numerador del resultado b) se multiplican los denominadores para obtener el denominador del resultado c) se simplifica la fracción resultante = Ejemplo: Multiplicar Solución 1: Se multiplican los numeradores y los denominadores, se simplifica la fracción dividiendo numerador y denominador entre el mismo número 9 6 15 18 = 135 108 = 135 3 108 3 = 45 3 36 3 = 15 3 12 3 = 5 4 Solución 2 Se indica la multiplicación de numeradores y denominadores, se factorizan todos los números y se simplifican los factores repetidos en numerador y denominador 9 6 15 18 = 9 15 6 18 = 3 3 5 3 2 2 3 = 5 4 División de fracciones Para dividir dos fracciones: a) Expresar la división como una multiplicación a. división = multiplicación b) Realizar la multiplicación de fracciones c) Simplificar el resultado Ejemplo: En este ejemplo, las fracciones se pueden simplificar antes de realizar la división 64 48 15 25 = 4 3 3 5 = 4 3 5 3 = 4 5 3 3 = 20 9 Nota: Si se tienen tres o más divisiones consecutivas: = = = = 4 de 85
Suma o resta de fracciones Con el mismo denominador a) Se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador b) Simplificar el resultado Ejemplo: 7 6 + 3 6 = 7 + 3 = 10 6 6 = 2 5 2 3 = 5 3 Con diferente denominador: a) Reescribir las fracciones como fracciones equivalentes con un común denominador. b) Sumar o restar las fracciones con denominador común c) Simplificar el resultado El común denominador es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores Ejemplo: 2 3 + 5 2 5 6 = 2 2 3 2 + 5 3 2 3 5 6 = 4 6 + 15 6 5 6 = 4 + 15 5 = 14 6 6 = 7 3 5. Símbolos de agrupación Los signos de agrupación son: Paréntesis: ( ) Corchetes: [ ] Llaves: { } Barra o vínculo: Se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero. 6. Jerarquía de las operaciones (orden de las operaciones) a) Evaluar las expresiones dentro de símbolos de agrupación, paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }. Si la expresión contiene símbolos de agrupación anidados (un par de símbolos de agrupación dentro de otro), primero evaluar las expresiones dentro de los símbolos de agrupación más internos. b) Evaluar los términos que tengan exponentes y raíces. c) Evaluar las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. d) Evaluar todas las sumas y restas en el orden que aparecen, de izquierda a derecha. Ejemplo: 2 + 3(9 4) = 2 + 3(5) = 2 + 3 25 = 2 + 75 = 77 5 de 85
EJERCICIOS SOBRE SISTEMAS NUMÉRICOS I. NÚMEROS NATURALES A. Realiza las siguientes operaciones con números Naturales y comprueba tu resultado con la calculadora 1. 458 +375 +296 2. 4+25+131+1452 3. Calcular la suma de las siguientes cantidades: 7, 12, 102, 3254, 10045 4. Calcule la suma de las siguientes cantidades: 325, 284, 4, 23, 1002. 5. 10001 1001 6. 4003 17 7. 27432 17002 8. 973 87 68 9. 12345679 9 10. 12345679 72 B. Realiza descomposición en sus factores primos de los siguientes números Naturales 11. 81 16. 330 12. 144 17. 1058 13. 432 18. 2002 14. 391 19. 2018 15. 1575 20. 2025 II. NÚMEROS ENTEROS A. Realiza las siguientes sumas con números Enteros y comprueba tu resultado con la calculadora 21. 8 + 9 26. 8 + ( 5) + ( 21) 22. 4 + ( 3) + ( 9) 27. 17 + 52 + ( 28) 23. 15 + ( 5) + 30 28. 12 + ( 23) + 7 + ( 8) 24. 15 + ( 32) + ( 20) 29. 12 + ( 2) + 8 + ( 5) 25. 2 + ( 10) + ( 25) 30. 5 + ( 11) + ( 20) + 6 B. Realiza las siguientes restas con números Enteros y comprueba tu resultado con la calculadora 31. 5 ( 4) 34. 6 8 10 32. 8 ( 5) 35. 13 ( 6) 10 33. 6 ( 4) 36. 15 ( 4) ( 12) 6 de 85
37. 14 6 11 38. 5 16 ( 21) 39. 20 ( 45) 28 3 40. 32 ( 52) 65 17 C. Realiza las siguientes multiplicaciones con números Enteros y comprueba tu resultado con la calculadora 41. ( 22) (5) 42. 15 (4) 43. 4 (6) ( 5) 44. 6 ( 7) ( 1) 45. ( 8) ( 7) (4) 46. ( 6) ( 4) ( 5) 47. 8 (9) ( 2) 48. ( 5) (9) (2) 49. ( 4) (5) ( 2) 50. 4 ( 6) ( 9) D. Realiza las siguientes divisiones con números Enteros y comprueba tu resultado con la calculadora 51. 14 ( 2) 56. 147 ( 7) 52. 49 ( 7) 57. 150 ( 15) 53. 0 ( 12) 58. 360 40 54. 36 ( 6) 59. 176 ( 16) 55. 256 16 60. 550 25 III. NÚMEROS RACIONALES A. Simplifica cada una de las siguientes fracciones 61. 65. 69. 62. 66. 70. 63. 67. 64. 68. B. Realizar las siguientes sumas y/o restas con fracciones 71. + 72. 73. + 74. + + 7 de 85
75. + + 76. + + 77. + 78. + + 79. + + 80. + C. Realizar las siguientes multiplicaciones con fracciones 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. D. Realizar las siguientes divisiones con fracciones 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 8 de 85
IV. NÚMEROS REALES POTENCIACIÓN A. Realiza las siguientes operaciones con potencias en números Enteros positivos y comprueba tu resultado con la calculadora 101. ( 4) 102. 5 103. ( 5) 104. 5 105. ( 8) 106. 50 107. 16 108. ( 10) 109. ( 4) 110. ( 1) B. Realiza las siguientes operaciones con potencias en números Enteros negativos y comprueba tu resultado con la calculadora 111. ( 4) 112. 5 113. ( 5) 114. ( 8) 115. ( 10) 116. ( 4) 117. ( 1) 118. 20 119. 8 120. 3 JERARQUÍA DE OPERACIONES Y SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN C. Simplifica cada una de las siguientes expresiones 121. 5 + 4 (3 1) 122. 30 3(7 2) 123. 5 3 + 8 17 + 2 4 1 124. 7 + (15 3) 6 125. 3 4 + 10 2 5 + 48 12 126. 5(7 4) 3 + 2 127. (15 3 + 8 2) 8 5 128. 15 + 35 3 + 1 129. 2 6 + 1 2 4 + 2 130. 21 5 3(2 + 4) + 26 4 5 D. Simplifica cada una de las siguientes expresiones con símbolos de agrupación 131. 4(3 + 7) 132. 2 {6 + 5 + 2} 133. (4 3) + (4 7) 134. (3 9) + [ 9 3 + 2] 135. 5 [5 (0 3)] 136. ([3 8] 4) 137. ( 7 5) 2 2 ( 6) 138. [(16 + 4) (3 2)] 13 139. 3 + (25 + 15) 15 21 9 de 85
140. 0.25 + 11.5 3(13.1 2 20.1 10.1) + 10.5 E. Simplifica cada una de las siguientes expresiones con símbolos de agrupación 141. 145. (16 + 4) ([3 2] 4) 142. 143. 144. ( ) ( ) 146. 5 + 1 147. 5 20 + 6 3 51 148. 149. + + + 150. 4 + 4 + 3 + V. PROBLEMAS VERBALES 151. Una persona compró un par de zapatos en $425.00, un traje en $2850.00 y una camisa en $375.00. Cuánto gastó? SOL. Gastó $3650 152. Un estudiante recibió una beca de $2525, con este dinero compró: un radio en $875, un pantalón en $245, un par de tenis, de zapatos y unas sandalias por los tres pares pagó $1350. Cuánto dinero le quedó? SOL. Le sobraron $55 153. En un edificio de 15 pisos hay 7 departamentos por piso. El dueño cobra una renta mensual de $1900 por departamento. Si todos los departamentos están rentados, cuánto dinero obtiene mensualmente el dueño por la renta? SOL. Obtiene $199500 154. Mauricio ahorra $110 diarios. Cuántos días tiene que ahorrar para comprarse un auto que cuesta $48750? SOL. 444 días 155. Una alberca de 84882 litros, recibe 1278 litros de agua por hora y descarga 375 litros en ese mismo tiempo, Cuánto tardará en llenarse? SOL. 94 horas 156. Cuantas botellas de ¾ de litro se necesitan para envasar 60 litros de aceite? SOL. 80 botellas 157. María tiene $350,000 y utiliza las tres quintas partes de este para comprar un auto. cuánto le quedó? SOL. Le quedaron $140000 10 de 85
158. En el proceso de inscripción de estudiantes de nuevo ingreso a la universidad, primer día se inscribieron 487 alumnos; el segundo día, 145; el tercer día, el doble que en el segundo día. Cuántos alumnos se inscribieron en total en los tres días? 159. La localidad de San Migue Tlaixpan tiene 7064 habitantes; San Jerónimo Amanalco tiene 6519 habitantes; Santa Catarina del Monte, 5599 habitantes y Santa María Tecuanulco, 2273, Cuál es la población total de estas cuatro localidades del municipio de Texcoco? 160. En la Preparatoria Agrícola hay 26 grupos de primer grado, cada grupo tiene 46 alumnos; en segundo año hay 22 grupos de 51 estudiantes cada uno; y en tercer grado hay 19 grupos de 49 alumnos. Cuántos alumnos hay en total en la Preparatoria Agrícola? 11 de 85