PROBLEMAS RESUELTOS. Un capacitor e lleno e aire está compuesto e os placas paralela, caa una con un área e 7 6 [ 2 ], separaas por una istancia e,8 [mm]. Si se aplica una iferencia e potencial e 20 [V] a esas placas, calcule a) el campo eléctrico entre las mismas, b) la ensia e carga superficial, c) la capacitancia, y ) la carga sobre caa placa. S = 7.6 0 4 [m 2 ] =.8 0 3 [m] φ = 20[V] ε 0 = 8.85 0 2 [C 2 N m 2 ] C = ε 0 s ; φ = E x ; E = K Q r 2 a) El campo eléctrico se calculará por meio e la efinición e potencial eléctrico, el cual en este caso es constante, entonces: φ = E Por los tanto el campo eléctrico es: E = φ b) Para obtener la ensia e carga superficial, utilizaremos la ecuación e campo eléctrico: E = K Q r 2 = 4πε 0 Q r 2 Si orenamos la ecuación, nos quea: E = Q ε 0 4πr 2 = σ ε 0 Por lo tonto la ensia e carga superficial es: σ = E ε 0 c) La capacitancia se calcula simplemente utilizano la efinición e capacitancia para placas paralelas: C = ε 0 s ) Ya que un capacitor posee la misma carga en caa placa, pero con signos opuestos, basta con calcular la carga e una sola placa: q = C φ a). 0 3 [V m] ; b) 9.83 0 8 [C m 2 ] ; c) 3.74 0 2 [F] ; ) 7.47 0 [C]
2. Un capacitor esférico e 20[ ] está compuesto e os esferas metálicas, una con un raio os veces mayor que la otra. Si la región es el vació, etermine el volumen e esta región. C = 2 0 5 [F] b = 2a ε 0 = 8.85 0 2 [C 2 N m 2 ] C = q φ ; φ = K q r El volumen e la región one se encuentre el vació será la iferencia el volumen e las esferas: V v = V b V a = 4 3 πb3 4 3 πa3 Por lo tanto ahora ebemos encontrar los raios a y b, lo cual se puee hacer per meio el potencial eléctrico para una carga puntual: φ = φ b φ a = K q b K q a φ = q 4πε 0 b a ab Remplazamos este resultao en la ecuación para la capacitancia: C = q φ = 4πε 0ab b a Pero b = 2a, entonces el raio a quea como: C = 8πε 0 a Entonces el volumen es: a = C 8πε 0 V v = 4 3 π 2a)3 4 3 πa3 V v = 4 3 π C 4πε 0 3 C 8πε 0 3 7 C 3 V v = 384 π 2 ε 3 0 2.3 0 6 [m 3 ]
3. Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b para el grupo e capacitores conectaos como se muestra en la figura si C = 5[ F] C 2 = 0[ F] C 3 = 2[ F]. C = 5 0 6 [F] C 2 = 0 5 [F] C 3 = 2 0 6 [F] C eq = C i ; C eq = C i Para obtener la capacitancia equivalente el sistema, solo basta con sumar toas las capacitancias presentes, según la configuración que tengan. De la figura se puee ver claramente que C y C 2 están en serie, por lo tanto: C eq = C + C 2 C eq = C C 2 C + C 2 Ahora la C eq está en paralelo con C 3, sin embargo multiplicaremos por 2 C eq, ebio a que esta configuración se repite os veces: C eq2 = 2C eq + C 3 Por ultimo C eq2 está en serie con los os capacitores C 2, que a su vez están en paralelo entre ellos, por lo tanto la capacitancia total el circuito es: C T = C eq2 + 2C 2 C T = C eq2 2C 2 C eq2 + 2C 2 6.04 0 6 [F]
4. Una placa conuctora e espesor y área A se inserta entro el espacio entre las placas e un capacitor e placas paralelas e espaciamiento s y área superficial A, como se muestra en la figura. La placa no necesariamente está a la mita entre las placas el capacitor. Cuál es la capacitancia el sistema., A, s, ε 0 C = ε 0A Para encontrar la capacitancia el sistema, como la placa es conuctora poemos visualizar las placas el capacitor como os capacitores en serie, tal como se muestra en la figura (a), entonces: - Figura (a) C eq = C + C 2 C eq = C C 2 C + C 2 ) Como nos icen que no necesariamente la placa se encuentra a la mita el capacitor, entonces llamaremos y 2 a la istancia e C y C 2 a la placa conuctora, por lo tanto: C = ε 0A ; C 2 = ε 0A 2 Remplazamos C y C 2 en () y utilizamos la siguiente relación: s = + 2 + Poemos encontrar la capacitancia el sistema. C eq = ε 0A s
5. Cuano se pone el interruptor S a la izquiera e la figura, las placas el capacitor C aquieren una iferencia e potencial V 0, C 2 y C 3 no llevan cargas inicialmente, Cuáles son las cargas finales, q, q 2, q 3, en los capacitores corresponientes, si el interruptor S se mueve hacia la erecha? ε 0 V 0 C C 2 C 3 C = q V Cuano C es conectao a la izquiera el circuito, obtiene una carga q 0, entonces: C = q 0 V 0 q 0 = C V 0 C 2 y C 3 están en serie, entonces poseen la misma carga q 2 = q 3 y su capacitancia equivalente es: C eq = C 2 + C 3 = C 2 C 3 C 2 + C 3 Cuano se mueve el interruptor S a la erecha, el capacitor C quea con una carga final q y proporciona una iferencia e potencial V, que será el mismo para C eq : Done V es: C = q V q = C V V = q 0 C = V C T C + C 0 eq Por conservación e la carga, q 0 = q + q 2, ya que q 0 es la carga inicial. Entonces: C V 0 = C V + q 2 q 2 = C V 0 C V q = C 2 V 0 C 2 + C 3 ) C C 2 + C 3 ) + C 2 C 3 C C 2 + C 3 ) ; q 2 = C V 0 ; q C C 2 + C 3 ) 3 = q 2 + C 2 C 3
EJERCICIOS PROPUESTOS - Consierano la Tierra y una capa e nubes e 800[m] sobre la superficie terrestre como las placas e un capacitor, calcule la capacitancia si la capa e nubes tiene un área e [km 2 ]. Suponga que el aire entre la nube y el suelo es puro y seco. Suponga que la carga acumulaa en la nube y el suelo hasta un campo eléctrico uniforme con una magnitu e 3 0 6 [N C] a través el espacio ellos hace que el aire se rompa y conuzca electricia como un relámpago. Cuál es la máxima carga que puee soportar la nube? 2- Dos capacitores, cuano están conectaos en paralelo proucen una capacitancia equivalente C p, y una capacitancia equivalente C, cuano se encuentran en serie. Cuál es la capacitancia e caa capacitor? 3- Consiere el circuito mostrao en la figura, one = 6[ ] 2 = 3[ ] = 20[ ]. El capacitor C se carga primero cerrano el interruptor S. Este interruptor se abre espués, y el capacitor cargao se conecta al capacitor escargao S 2. Calcule la carga inicial aquiria por C y la carga final en caa uno. 4- La placa a e un capacitor e placas paralelas lleno e aire está conectaa a un resorte e constante e fuerza k y la placa b está fija. Ambas escansan sobre la parte superior e una mesa, como se inica (vista ese arriba) en la figura. Si una carga +Q se pone en la placa a y una carga Q se pone en la placa b, Cuánto se estira el resorte? 5- Cinco conensaores iénticos e capacia C 0 están conectaos en un circuito e puente como inica la figura. a) Cuál es la capacitancia equivalente entre los puntos a y b? b) Determinar la capacia equivalente entre los puntos a y b si el conensaor el centro se sustituye por otro e capacia 0C 0. 6- Se conecta un conensaor e 0[ F] en serie con otro e 20[ F] y se aplica al conjunto una batería e 6 [V]. a) Cuál es la capacia equivalente e esta asociación? b) Hallar la carga e caa conensaor. c) Hallar la iferencia e potencial en caa conensaor. ) Calcular la energía almacenaa en caa conensaor.
7- La figura muestra os capacitores en serie; la sección central rígia e longitu b se mueve verticalmente. Demuestre que la capacitancia equivalente e la combinación en serie no epene e la posición e la sección central y que está aa por: C = 0 A a b 8- En la figura se muestra un capacitor variable y lleno e aire como los que sirven para sincronizar las raios. Se conectan placas alternas: un grupo está fijo en su sitio y el otro puee girar. Suponga un conjunto e n placas con polaria alterna, caa una e ellas con una superficie A y separaas e las placas contiguas por una istancia. Demuestre que el capacitor tiene una capacitancia máxima e: C = ) 0A 9- Un capacitor tiene placas cuaraas, e lao a, que forman un ángulo θ como se muestra en la figura. Demuestre que para un ángulo θ, pequeño la capacitancia está aa por: C = 0 2 2 (Sugerencia: el capacitor puee iviirse en franjas iferenciales que están realmente en paralelo.)