Qué significa 10? Esta es una pregunta que todos pueden contestar en segundos, pero qué dirá la mayoría si afirmo categóricamente que también 3+2=10 o que 10-3=4? Seguro que muchos dirán que no tengo ni idea de contar, ni de sumar ni de restar, y si me oyen afirmar que 10:3=2, entonces se podrán oir las carcajadas a kilómetros de distancia. Y, sin embargo, tengo razón; a mi modo, claro. Permítanme que me explique. Vamos a empezar a contar dedos y manos y a representar con números el resultado, de modo que cada vez que contemos cinco dedos tengamos una mano completa y ningún dedo suelto, 1 0 1 2 0 2 3 0 3 4 0 4 0 1 10 Qué ha sucedido? Pues que al llegar a tener cinco dedos se nos ha completado la mano y no nos quedan dedos pendientes de completar una mano. Así, el 1 significa que hay una mano y el 0 que no nos quedan dedos sueltos. Si seguimos contando dedos tendremos lo siguiente: 1 1 11 2 1 12 3 1 13 4 1 14 0 2 20 Al sumar a una mano otros cinco dedos, obtenemos dos manos y cero dedos sueltos. Y así podemos seguir hasta que 1 4 41 2 4 42 3 4 43 4 4 44 0 10 100 Alguno dirá, escandalizado, Hasta ahí podíamos llegar!, pero no es para tanto. Antes de explicarlo, vamos a aclarar una cosa: estamos contando formando grupos de 5 unidades, y, si queremos ser
consecuentes y no hacer como los ingleses, debemos seguir el mismo criterio para formar grupos mayores. Así, con cada cinco unidades formamos un quinteto, y con cinco quintetos formamos otro grupo superior, es decir, un quinteto de quintetos, y así sucesivamente. Por eso, cuando a 4 manos y 4 dedos les sumamos 1 dedo, resulta que: 1º Se nos forma una nueva mano completa y nos quedamos sin dedos sueltos. Tenemos 0 dedos sueltos 2º Nos encontramos con que tenemos 5 manos, y como formamos los grupos con cinco manos, resulta que tenemos un 1 grupo de cinco manos y 0 ceros manos sueltas pendientes de formar un grupo mayor. Como representamos 1 quinteto de manos, 0 manos (o 0 quintetos de manos sueltas) y 0 dedos sueltos? Pues con el valor 100, que, por supuesto, no significa los mismo que cuando contamos de 10 en 10. Surge entonces la lógica pregunta: Y cuantos dedos son esos si contamos de 10 en 10. Pues es muy sencillo. Vamos a escribir en la primera fila de una tabla de mayor a menor, una serie de potencias de 5, resultado de multiplicar por cinco a la inmediata inferior y siendo la menor un 1. Vamos a representar el numero 100 obtenido Potencias de 5 (contando de 10 en 10) 125 25 5 1 Unidades de cada grupo 0 1 0 0 0 25 0 0 Sumando 0+25+0+0 resulta un valor de 25. Es decir, que 100 contando de 5 en 5 es 25 contando de 10 en 10 (lo que hacemos habitualmente (salvo los ingleses con sus unidades, claro) Siguiendo esta regla, cómo calcularíamos, por ejemplo, el valor decimal de 4302 contando de 5 en 5 (es decir, en base 5). Potencias de 5 (contando de 10 en 10) 125 25 5 1 Unidades de cada grupo 4 3 0 2 500 75 0 2 Pues sería 4x125 + 3x25 + 0x5 + 2x1 = 500 + 75 + 0 +2 = 577. O sea, que 4302 en base 5 es igual a 577 en base 10 Es muy importante tener en cuenta que no existe un símbolo para representar a la base, o sear, que así como existen símbolos para representar 1, 2, 3,, 8 y 9, no existe un símbolo para presentar el paso a la unidad superior, sino que volvemos a utilizar el 0 y sumamos una unidad al valor de unidades superiores. Es decir: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 17 18 19 20 97 98 99 100 Por lo tanto, contando de 5 en 5, tendríamos: 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 40 41 42 43 44 100...
Si esto está entendido, vamor a contar de 4 en 4 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100 101 102 103 110 Y de 8 en 8 (conocida como base octal)? 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 75 76 77 100 Sabido esto, es evidente que si me dicen que el número 3416 está en base 5, podré afirmar con rotundidad que es falso, porque los símbolos 5, 6, 7, 8, y 9 no pueden ser utilizados en base 5 Cuanto es 7317 en base 8 al pasar a base 10? Potencias de 5 (en base 10) 512 64 8 1 Unidades de cada grupo (en base 8) 7 3 1 7 O sea, 7317 8 = 3584 + 192 + 8 + 7 = 3791 Ahora viene la respuesta al comentario inicial. 3+2=10? Sí, pero en base 5 10-3=4? Sí, pero en base 7 10:3=2? Por supuesto, pero en base 6 3584 192 8 7 Hasta ahora hemos convertido un numero de una base cualquiera (inferior a 10) a base 10, pero, y al revés? Cómo se hace para convertir un numero decimal otra base? El procedimiento es el siguiente: Se divide el número decimal por la base hasta obtener un cociente entero y se anota el resto de la división. El cociente se vuelve a dividir por la base y el nuevo resto de escribe antes del anterior. El procedimiento se repite hasta que haya un cociente inferior a la base, en cuyo caso se escribe este cociente delante de los números antes anotados. Veamos un ejemplo: Vamos a convertir el número 17513 en base 10 a su equivalente en base 8. 17513 : 8 da como cociente entero 2189 y 1 como resto Anotamos el 1 2189 : 8 da como cociente entero 273 y 5 como resto A Anotamos 51 273 : 8 da como cociente entero 34 y como resto 1 Anotamos 151 34 : 8 da como cociente entero 4 y como resto 2 Anotamos 2151 4 es menor que 8, por lo que anotamos este cociente Anotamos 42151 Con ello obtenemos que 42151 8 = 17513 (no se utiliza el subíndice en la base 10) Comprobémoslo
Potencia de 8 4096 512 64 8 1 Cifras base 8 4 2 1 5 1 Valor relativo 16384 1024 64 40 1 16384 + 1024 + 64 + 40 + 1 = 17513 Son de uso habitual las bases de numeración distintas de la decimal? En nuestra vida corriente, aunque parezca que no, sí. Por ejemplo, el tiempo se mide en base 60 (sexagesimal) y cuando pasamos de contar 59 segundo al siguiente, tenemos 1 minuto y 0 segundos, y cuando pasamos de 59 minutos al siguiente, resulta que tenemos 1 hora y 0 minutos. No hay unidad de orden superior, pero es que el día se acaba a las 24 horas, no a las 60. Lo que ya resultaría más difícil sería ir representando con cifras el paso del tiempo como lo hacemos con las cantidades habituales, porque antes de llegar al valor 10 (es decir, a una unidad superior y cero de las inmediatas anteriores) tendríamos que tener un símbolo especifico para cada valor intermedio entre el 9 y el 10. Demasiados para recordar. Cuales son la bases de numeración de uso más frecuente? Por supuesto, la decimal, que es la que usamos todos los días, pero también la binaria, base 2, que usan los ordenadores y las sexagesimal (aunque no nos demos cuenta). Y queda una especial, también utilizada en la informática para reducir el tamaño de los valores que se obtienen al usar el binario: la hexadecimal, o base 16. Y aquí nos encontramos con el mismo problema, aunque en menor cuantía que con la sexadecimal: nos faltan símbolos entre el 9 y el 10. Cómo se ha resuelto? Dibujando nuevos símbolos? No, utilizando la letras. Así, si contamos en hexadecimal, diríamos lo siguiente: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20. 96 97 98 99 9A 9B 9C 9D 9E 9F A0 F8 F9 FA FB FC FD FE FF 100. Observe la difrencia de tamaño (y de posibilidad de recordarlo) entre el número binario 10010101001 y hexadecimal 4A9, que equivalen, los dos, a 1193 en decimal. Para terminar, vamos a poner un ejemplo de conversión de decimal a hexadecimal, y a la inversa. Empezamos con la conversión a hexadecimal del decimal 1193 1193 : 16 da como cociente entero 74 y como resto 9 Anotamos el 9 74 : 16 da como cociente entero 4 y resto entero 10, que en hexadecimal es A (el siguiente al 9) Anotamos A9 El cociente 4 es menor que 16, por lo que lo anotamos al principio Anoptamos 4A9 El número 1193 en base 10 es 4A9 en base 16 Comprobación: Potencias de 16 256 16 1 Cifras base 16 4 A 9 Valor relativo 1024 160 9
1024 + 160 + 9 = 1193 El valor 160 es el resultado de multiplicar 16 por el valor en decimal de la A hexadecimal, que es 10. Practiquen. No les va a hacer ricos, pero es un ejercicio que les removerá las neuronas.