PARTE II FUNDAMENTO ECONOMÉTRICO

PARTE II FUNDAMENTO ECONOMÉTRICO La economería de seres de empo esá en consane evolucón, lo que ha oblgado a los economsas a replanearse los modelos revsar la valdez empírca de la eoría. En ese aparado se revsan los concepos fundamenales para que el lecor pueda nerprear los resulados esadíscos del presene rabajo, se da por hecho que el lecor esá famlarzado con la écnca de mínmos cuadrados con las pruebas de hpóess. El enfoque que he decddo omar es necesaramene eórco, en oras palabras, ulzaremos la eoría como guía en el dseño de los modelos. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y ESTACIONARIEDAD Una sere de empo, es el conjuno de valores que ha omado una varable en el empo. Como en cada momeno la varable aleaora puede omar un solo valor, se dce que cada valor que oma en el empo es una realzacón de la msma. Al conjuno de esas varables aleaoras ordenadas en el empo se le conoce como proceso esocásco se denoa como { }. Anes de realzar nferencas de probar hpóess, se debe probar s la sere sgue una regulardad. En oras palabras, s vamos a esudar el comporameno de las varables cómo se relaconan, deseamos conocer cuál es el mecansmo que generó los daos. Para 3

ese fn es mu úl el concepo de esaconaredad, se dce que un proceso esocásco { } es esaconaro s cumple con las sguenes caraceríscas: ( ) µ µ E La meda es consane a ravés del empo. ( ) σ σ Var La varanza es consane a ravés del empo. Cov ( j ) σ j, La covaranza enre érmnos conguos no depende del empo sno de la dsanca enre los msmos. Uno de los procesos esocáscos no esaconaros es el de camnaa aleaora 8 se defne como: u En ese caso, la varable oma el valor en el perodo aneror más una error aleaoro con meda cero, varanza consane e ndependenemene dsrbudo. Ese po de procesos es común en varables como el preco de las accones, por lo que sería práccamene mposble obener ganancas eraordnaras especulando en el mercado. Por medo de eracones se puede demosrar que el valor de en es gual al valor ncal más la suma de perurbacones o de los errores en el empo: 0 u 8 Tambén conocdo como proceso de raíz unara. 4

A dferenca de un proceso esaconaro, el efeco de una nnovacón o error es permanene. S se calcula el valor esperado o meda, la varanza de ese proceso de camnaa aleaora se obene: E ( ) 0 ( ) σ Var u Donde σ u es la varanza del error, se puede aprecar que aunque la meda es consane en el empo la varanza no, por lo que la desvacón esándar de un pronósco sobre Y crecerá con la raíz cuadrada de. Sn embargo, s dferencamos una vez el proceso de camnaa aleaora, obendremos un proceso esaconaro: E ( ) E( u ) 0 ( ) Var( u ) σ Var u u u Oro proceso no esaconaro que frecuenemene se encuenra, es el de camnaa aleaora con derva: α α u u 5

Como la meda del error es de cero, la sere aunque no es esaconara endrá una endenca ascendene s a > 0 descendene s a < 0 demosrar que 9 :. Ierando haca arás se puede E α 0 0 ( ) α ( ) σ Var u 0 u No sólo la varanza no permanece consane sno que la meda ampoco. Conforme aumena la meda aumena s α > 0 dsmnue s α < 0. Muchas veces podemos denfcar qué proceso esocásco podría segur la sere por smple nspeccón gráfca. A connuacón se presena la represenacón gráfca de los sguenes procesos: u 0.5 u Donde el valor ncal 0 es gual que cero la sere u represena números aleaoros generados de una dsrbucón normal esándar con 500 observacones. 9 En ese caso Cov(, ) σ ( ) u 6

Gráfca.: Procesos no esaconaros Fuene: Charemza Deadman (997) pp.90 El caso general puede represenarse como α δ u. S δ enemos un proceso de raíz unara o camnaa aleaora con derva, menras que s δ < el proceso es esaconaro. Por medo de eracones podemos epresar el caso esaconaro en la sguene forma: 0 α δ δ δ u δ < 0 0 S el prmer érmno converge a α δ menras que el segundo se hace cero. La meda enonces será esaconara, ambén podemos noar que el érmno de error no 7

ejerce un efeco permanene en la sere a que conforme aumena su nfluenca dsmnue 0. Podemos asumr ambén que el error sgue un proceso de po: u ρ e ρ < u Donde { e } es un proceso con meda cero varanza consane, dénca e ndependenemene dsrbudo, ambén llamado rudo blanco. Aunque { u } no se dsrbue ndependenemene de sus realzacones pasadas o rezagos, es un proceso déblmene dependene a que hemos esablecdo la condcón de esaconaredad ρ <. A ese po de procesos en la leraura se les conoce como auorregresvos de orden uno AR(), s ρ es esadíscamene dferene de cero se dce que ha correlacón seral de prmer orden. Fnalmene puede ser el caso que la sere sea esaconara, pero alrededor de una endenca deermnísca, en el caso especal de que ésa sea lneal el proceso se pude represenar como: α u Var σ u δ 0 En ese caso ( ), por lo ano es consane. En presenca de correlacón seral los esmadores por mínmos cuadrados son nsegados conssenes, aunque a no serán efcenes. No se pueden aplcar las pruebas convenconales de sgnfcanca esadísca a los esmadores. Las pruebas esadíscas para deecar auocorrelacón ncluen el esadísco Durbn- Wason (DW) la prueba de Breusch-Godfre enre oras. 8

La dferenca enre un proceso esaconaro alrededor de una endenca deermnísca un proceso no esaconaro o con endenca esocásca puede observarse en el sguene gráfco: Gráfca.: Tpo de endenca Fuene: Charemza Deadman (997) pp.9 En el sguene aparado se descrben brevemene las pruebas esadíscas para deermnar s una sere sgue un proceso de raíz unara. Como se menconó al prncpo, esa seccón es un breve repaso de la economería de seres de empo, conene los concepos necesaros para nerprear los prncpales resulados del análss empírco en la cuara pare. El lecor neresado en profundzar puede consular la bblografía. En ese caso la sere presena ano endenca esocásca como deermnísca, ésa úlma represenada por la derva. 9

PARTE II FUNDAMENTO ECONOMÉTRICO La economería de seres de empo esá en consane evolucón, lo que ha oblgado a los economsas a replanearse los modelos revsar la valdez empírca de la eoría. En ese aparado se revsan los concepos fundamenales para que el lecor pueda nerprear los resulados esadíscos del presene rabajo, se da por hecho que el lecor esá famlarzado con la écnca de mínmos cuadrados con las pruebas de hpóess. El enfoque que he decddo omar es necesaramene eórco, en oras palabras, ulzaremos la eoría como guía en el dseño de los modelos. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y ESTACIONARIEDAD Una sere de empo, es el conjuno de valores que ha omado una varable en el empo. Como en cada momeno la varable aleaora puede omar un solo valor, se dce que cada valor que oma en el empo es una realzacón de la msma. Al conjuno de esas varables aleaoras ordenadas en el empo se le conoce como proceso esocásco se denoa como { }. Anes de realzar nferencas de probar hpóess, se debe probar s la sere sgue una regulardad. En oras palabras, s vamos a esudar el comporameno de las varables cómo se relaconan, deseamos conocer cuál es el mecansmo que generó los daos. Para 3

ese fn es mu úl el concepo de esaconaredad, se dce que un proceso esocásco { } es esaconaro s cumple con las sguenes caraceríscas: ( ) µ µ E La meda es consane a ravés del empo. ( ) σ σ Var La varanza es consane a ravés del empo. Cov ( j ) σ j, La covaranza enre érmnos conguos no depende del empo sno de la dsanca enre los msmos. Uno de los procesos esocáscos no esaconaros es el de camnaa aleaora 8 se defne como: u En ese caso, la varable oma el valor en el perodo aneror más una error aleaoro con meda cero, varanza consane e ndependenemene dsrbudo. Ese po de procesos es común en varables como el preco de las accones, por lo que sería práccamene mposble obener ganancas eraordnaras especulando en el mercado. Por medo de eracones se puede demosrar que el valor de en es gual al valor ncal más la suma de perurbacones o de los errores en el empo: 0 u 8 Tambén conocdo como proceso de raíz unara. 4

A dferenca de un proceso esaconaro, el efeco de una nnovacón o error es permanene. S se calcula el valor esperado o meda, la varanza de ese proceso de camnaa aleaora se obene: E ( ) 0 ( ) σ Var u Donde σ u es la varanza del error, se puede aprecar que aunque la meda es consane en el empo la varanza no, por lo que la desvacón esándar de un pronósco sobre Y crecerá con la raíz cuadrada de. Sn embargo, s dferencamos una vez el proceso de camnaa aleaora, obendremos un proceso esaconaro: E ( ) E( u ) 0 ( ) Var( u ) σ Var u u u Oro proceso no esaconaro que frecuenemene se encuenra, es el de camnaa aleaora con derva: α α u u 5

Como la meda del error es de cero, la sere aunque no es esaconara endrá una endenca ascendene s a > 0 descendene s a < 0 demosrar que 9 :. Ierando haca arás se puede E α 0 0 ( ) α ( ) σ Var u 0 u No sólo la varanza no permanece consane sno que la meda ampoco. Conforme aumena la meda aumena s α > 0 dsmnue s α < 0. Muchas veces podemos denfcar qué proceso esocásco podría segur la sere por smple nspeccón gráfca. A connuacón se presena la represenacón gráfca de los sguenes procesos: u 0.5 u Donde el valor ncal 0 es gual que cero la sere u represena números aleaoros generados de una dsrbucón normal esándar con 500 observacones. 9 En ese caso Cov(, ) σ ( ) u 6

Gráfca.: Procesos no esaconaros Fuene: Charemza Deadman (997) pp.90 El caso general puede represenarse como α δ u. S δ enemos un proceso de raíz unara o camnaa aleaora con derva, menras que s δ < el proceso es esaconaro. Por medo de eracones podemos epresar el caso esaconaro en la sguene forma: 0 α δ δ δ u δ < 0 0 S el prmer érmno converge a α δ menras que el segundo se hace cero. La meda enonces será esaconara, ambén podemos noar que el érmno de error no 7

ejerce un efeco permanene en la sere a que conforme aumena su nfluenca dsmnue 0. Podemos asumr ambén que el error sgue un proceso de po: u ρ e ρ < u Donde { e } es un proceso con meda cero varanza consane, dénca e ndependenemene dsrbudo, ambén llamado rudo blanco. Aunque { u } no se dsrbue ndependenemene de sus realzacones pasadas o rezagos, es un proceso déblmene dependene a que hemos esablecdo la condcón de esaconaredad ρ <. A ese po de procesos en la leraura se les conoce como auorregresvos de orden uno AR(), s ρ es esadíscamene dferene de cero se dce que ha correlacón seral de prmer orden. Fnalmene puede ser el caso que la sere sea esaconara, pero alrededor de una endenca deermnísca, en el caso especal de que ésa sea lneal el proceso se pude represenar como: α u Var σ u δ 0 En ese caso ( ), por lo ano es consane. En presenca de correlacón seral los esmadores por mínmos cuadrados son nsegados conssenes, aunque a no serán efcenes. No se pueden aplcar las pruebas convenconales de sgnfcanca esadísca a los esmadores. Las pruebas esadíscas para deecar auocorrelacón ncluen el esadísco Durbn- Wason (DW) la prueba de Breusch-Godfre enre oras. 8

La dferenca enre un proceso esaconaro alrededor de una endenca deermnísca un proceso no esaconaro o con endenca esocásca puede observarse en el sguene gráfco: Gráfca.: Tpo de endenca Fuene: Charemza Deadman (997) pp.9 En el sguene aparado se descrben brevemene las pruebas esadíscas para deermnar s una sere sgue un proceso de raíz unara. Como se menconó al prncpo, esa seccón es un breve repaso de la economería de seres de empo, conene los concepos necesaros para nerprear los prncpales resulados del análss empírco en la cuara pare. El lecor neresado en profundzar puede consular la bblografía. En ese caso la sere presena ano endenca esocásca como deermnísca, ésa úlma represenada por la derva. 9

PRUEBAS DE RAÍZ UNITARIA A pesar de que la nspeccón gráfca puede audar basane, no es sufcene. Se necesa una prueba esadísca para sosener que efecvamene un proceso esocásco es esaconaro. Las pruebas más usadas en la leraura son la desarrollada por Dce Fuller (979), más recenemene la prueba de Phllps Perron (988). PRUEBA DE DICKEY FULLER En las pruebas de raíz unara la hpóess nula es que la sere no es esaconara. Podemos epresar el proceso esocásco en la sguene manera: δ e δ e ( δ ) e θ e Donde bajo la hpóess nula de raíz unara θ ( δ ) 0, por lo que se raa de una prueba sobre la negavdad de θ. S esadíscamene el esmador de dcho parámero es menor que cero, podemos rechazar la hpóess nula de no esaconaredad habendo selecconando el nvel de sgnfcanca apropado. En oras palabras, s el esadísco es más negavo que el valor críco en la abla correspondene al nvel de sgnfcanca elegdo, se rechaza la hpóess nula de no esaconaredad. 30

A pesar que se usa el esadísco de Suden para realzar la prueba, ése no se dsrbue como 3.Dce Fuller (979) calcularon las ablas apropadas ulzando epermenos de Mone Carlo. 4. Tambén se puede nclur una consane o una consane endenca deermnísca. El caso más general es: α δ α θ e Donde se puede probar smuláneamene s no ha endenca esocásca θ < 0 s presena endenca deermnísca 0. En ese caso a que se prueba más de un parámero, se calcula el esadísco de mulplcador de Lagrange (LM) se ulzan las ablas apropadas. En caso de que el error presene correlacón seral, endremos que opar por la prueba de Dce Fuller Aumenada (ADF), en ésa se ncluen érmnos auorregresvos para elmnar la correlacón seral. En el caso de una prueba sn consane endenca, la ecuacón queda como: θ θ e Se ulza la msma prueba sobre θ, sólo que los valores crícos para rechazar la hpóess nula son dsnos. Ésos fueron calculados por Dce Fuller (98). Menras algunos sugeren que es crero del economersa el número de rezagos ncludos, oros sugeren ulzar un crero de nformacón como el de Aae o el de Scharz. Esos 3 La razón es porque s es un proceso esaconaro una vez que dferencamos, esamos regresando un I(0) sobre un I(). 4 Epermenos de smulacón por compuadora o muesrales. 3

creros mponen una penalzacón maor que la R al aumenar regresores, el modelo con el menor AIC 5 ó SIC 6 es preferdo. En el caso del crero de Aae se ene: RSS ln AIC ln n n Donde es el número regresores, n el amaño de la muesra, RSS la suma del cuadrado de los resduos. Como se puede observar, al nclur regresores RSS dsmnue porque se ene un mejor ajuse pero aumena con cada regresor. PRUEBA DE PHILLIPS-PERRON Phllps Perron (988) desarrollaron un méodo no paramérco para conrolar por correlacón seral al probar la hpóess nula de raíz unara. Se esma la ecuacón de la prueba de Dce Fuller no aumenada se modfca el esadísco de los coefcenes para que la correlacón seral no afece la dsrbucón asnóca del msmo. Los paquees esadíscos calculan esa prueba, mosrando los valores crícos con los que se rechazaría la hpóess nula. 5 Aae Informaon Creron 6 Scharz Informaon Creron 3

ORDEN DE INTEGRACIÓN El orden de negracón es el número de veces que una sere se debe dferencar para obener una sere esaconara, aunque no odas las seres al dferencarse se pueden converr en esaconaras. Por ejemplo s una sere la dferencamos d veces aplcando las pruebas de raíz unara rechazamos la hpóess nula de no esaconaredad, enonces se dce que la sere es negrada de orden d, I (d). En macroeconomía enconramos seres que a lo mucho son I (). REGRESIONES ESPURIAS No omar en cuena que las seres sguen un proceso con endenca esocásca o que son negradas de cero orden es pelgroso, a que podríamos obener coefcenes sgnfcavos a pesar de que ésas haan sdo generadas ndependenemene. Nebod Daves (978) en un ejercco de smulacón generaron dos camnaas aleaoras ndependenes. Como hemos vso, ese po de seres son I () a que al dferencarlas una vez obendríamos seres esaconaras ó I (0). Esas seres son: e e e e son varables aleaoras ndependenes que se dsrbuen normalmene con meda cero varanza de uno. Fueron generadas 50,000 muesras de 50 observacones 33

cada una para e e, con esos valores se obuveron los procesos de camnaa aleaora ulzando valores ncales de cero. Luego se regresó sobre (sn consane). Los resulados muesran que enemos una probabldad de /3 de que el esmador en la regresón sea sgnfcavo, aunque se sabe que en realdad no ha relacón enre las varables porque fueron generadas ndependenemene. 7 Convenconalmene se consderaba que una regresón con varables no esaconaras no era confable porque no serían váldas las pruebas de sgnfcanca esadísca, además al no conar con esaconaredad cas nada podríamos decr de la relacón enre las seres a que ésa cambaría con el empo. Sn embargo Engle Granger (987) mosraron que no sempre sería el caso, las varables podrían relaconarse descrbendo una relacón de largo plazo no espura, s la combnacón lneal de las msmas era esaconara. A connuacón se epone esa recene conrbucón a la economería de seres de empo. COINTEGRACIÓN Y MODELO DE CORRECCIÓN DE ERRORES Una lmacón de realzar el análss con varables dferencadas, es que perderemos nformacón sobre la relacón de largo plazo que guardan las varables. De cuerdo con Engle Granger (987), se dce que las varables en el vecor columna son conegradas de orden d, b donde d b 0 s cada varable es negrada de orden d ese un vecor de conegracón λ al que λ ~ I(d b). Formalmene: 7 Una señal de alera en los resulados es que se obuvo un esadísco DW (Durbn Wason) mu bajo, lo que nos ndca que ha una fuere auocorrelacón de prmer orden. 34

λ ~ CI ( d,b) Por ejemplo s dos seres, esán conegradas, cada una es I (), ese una combnacón lneal de las varables que es (0) I. En ese caso [ ], es el vecor de conegracón. Maemácamene: (,) ~ CI. La nerpreacón económca de la conegracón de varables es mu agradable pues se puede decr que ésas guardan una relacón de equlbro en el largo plazo. Por lo ano, la combnacón lneal de las msmas no camba ssemácamene en el empo, es esaconara. Así, es úl realzar la prueba de conegracón para evar una regresón espura. MÉTODO DE ENGLE-GRANGER La prueba de conegracón consse en esmar el vecor de conegracón por mínmos cuadrados provso que se rae de un modelo unecuaconal 8, de esa forma s los resduos de la regresón son esaconaros hallamos evdenca de que las varables en efeco esán conegradas. En el ejemplo aneror la regresón de conegracón sería: α δ e 8 A dferenca del caso de regresón espura MCO provee esmadores conssenes de los parámeros de conegracón. Para méodos de ssema aplíquese el méodo de Johansen. 35

Podemos probar s los resduos ê son esaconaros aplcando una prueba ADF. Sn embargo, los valores crícos de la prueba no son los msmos que los calculados por Dce Fuller debdo a que los resduos esán basados en el parámero de conegracón esmado 9 aunque algunos auores no oman en cuena esa dferenca. MODELO DE CORRECCIÓN DE ERRORES Una vez que se ha deecado la relacón que descrbe el equlbro en el largo plazo, se obenen los resduos de la regresón de conegracón. Cualquer valor dsno de cero de los msmos, sgnfca que las varables no esán en equlbro. Como ejemplo, supongamos que la regresón de conegracón que se obuvo es: ˆ α ˆ δ eˆ Podemos obener los resduos resando los valores ajusados a la varable dependene: eˆ ˆ α ˆ δ Llamemos a ésos érmno de correccón de error ( CE ). El prómo paso es consrur el modelo de coro plazo. Ya que esamos rabajando con varables I ( ), al dferencarlas obendremos varables esaconaras que descrben los cambos en las varables orgnales. Inroducmos como varables ndependenes el érmno de correccón de error 9 Los valores crícos apropados pueden consularse en Charemza Deadman (997), pp.8-95. 36

rezagado un perodo, las varables eplcavas dferencadas con sus respecvos rezagos. Tambén se pueden nclur algunas varables eógenas esaconales, el modelo puede represenarse como: l α θ 0 δ λce u Donde es la dferenca de la varable eplcava sus rezagos, son varables eógenas u es el érmno de error. El coefcene λ es la velocdad de ajuse del modelo ane desequlbros en la relacón de largo plazo, el sgno de ése debe llevar el modelo en la dreccón correca. En oras palabras, el sgno ane desequlbros en la relacón de largo plazo CE 0, ceers parbus, debe llevarnos de regreso al equlbro. Por ejemplo, s la relacón enre en el largo plazo es posva, un resduo negavo en la regresón de conegracón ndcaría que ha un desequlbro a que esaría por debajo de su nvel de largo plazo, de modo que s... 0 endría que aumenar, o sea λ < 0. VECTORES DE COINTEGRACIÓN (VEC) Para smplfcar la eposcón, ulzaré un modelo VAR 30 con res varables 3. En ese po de modelos smplemene se regresa cada varable sobre los rezagos de ella msma las demás, de modo que enemos: 30 Modelo de vecores auorregresvos. 37

38 E Z A Z A Z A Z... e e e 3... A A A Donde como es usual E es un vecor de errores o nnovacones con meda cero varanza consane. Podemos ransformar el ssema resando el prmer rezago en cada lado de la gualdad: Γ Γ Γ Π e e e 3 * * *... Donde Π es una marz de 3 3 que puede epresarse como un produco de dos marces del msmo orden: α Π Debdo a las dmensones de Π, sabemos que su rango ( ) Π r 3 mámo es de res su rango mínmo de cero. Revsemos cada caso en parcular: 3 Eposcón basada en Charemza Deadman (997). 3 Número mámo de columnas lnealmene ndependenes. El rango del produco de dos marces es gual al de la marz con el rango menor.

39 S ( ) 0 Π r Γ Γ Γ e e e 3 * * *... Como las varables () I esán dferencadas una vez, las pruebas de sgnfcanca esadísca serán váldas. S ( ) Π r ] [ 3 3 Π α α α α Z Z Las ecuacones del ssema quedarían como: ( ) ( ) ( ) e c b a e c b a e c b a 3 3 3 3 3 3 3 3 α α α Por ejemplo en el caso de la ecuacón para, sabemos que los rezagos de las dferencas son esaconaros. Eso quere decr que s la combnacón lneal ( ) 3 es esaconara, oda la ecuacón lo será. Formalmene: ( ) ( ), ~,, CI

Ha un solo vecor de conegracón ] 33 que enra en cada ecuacón del VAR [ 3 por medo de los coefcenes α, α, α3, que deermnan la velocdad del ajuse. S r ( Π) α α 3 ΠZ α Z α α En ese caso: 3 α 3α 3 α α α 3 ( 3 ) α ( 3 )... e ( 3 ) α ( 3 )... e ( 3 ) α 3 ( 3 )... e3 S ( Π) 3 r Ha res vecores de conegracón, como cada relacón de conegracón es esaconara podemos resolver para las varables, sabemos que cada varable esá en funcón los res érmnos de error que venen de las regresones de conegracón. En ese caso odas las varables en el VAR deben ser I ( 0). Teorema de represenacón de Granger (987):. S el rango de la marz Π es gual que n, el proceso Z es esaconaro. S el rango de la marz Π es menor que n, ese una represenacón de Π al que Π α donde α son marces n r S ~ I() Z ~ I( 0) enonces es la marz de conegracón ha un mámo de Z 33 El vecor se puede normalzar, dvdendo por Donde φ 3 φ3 3 obenemos [ ], o sea - φ - ]. [ φ3 40

r n 34 vecores de conegracón. MÉTODO DE JOHANSEN Ese méodo de máma verosmlud basado en un VAR 35, se consdera como superor al méodo de una sola ecuacón de Engle-Granger (EG) debdo a sus propedades esadíscas. En general, el poder de la prueba de conegracón es maor 36, además se puede ulzar ane modelos unecuaconales para valdar la dvsón enre varables endógenas eógenas en el méodo EG 37. A connuacón se epone la nerpreacón esadísca de los esadíscos obendos por el paquee de regresón, para una eposcón eórca del méodo consule W. Chareemza D. Deadman (997) además de W. Enders (995). Para denfcar el número de vecores de conegracón consrur la marz respecva, la prueba presena los egenvalores 38 de modo que µ > µ >... > µ n donde µ es el egenvalor. Tambén se presenan los egenvecores asocados a esos egenvalores v. 39 S la marz es de rango r < n, los prmeros r egenvecores corresponden a los vecores de conegracón que podemos usar como columnas de la marz. 34 n es el número de varables. 35 Vecor Auorregresvo. 36 La probabldad de rechazar una hpóess sendo falsa. 37 En el méodo de EG la dvsón se asume. 38 Los egenvalores son las raíces de una ecuacón polnomal obenda de un deermnane. 39 Los egenvecores se normalzan. 4

Se calcula el esadísco de razón de verosíml LR 40 para cada egenvalor progresvamene, la hpóess nula es que ha como mámo r vecores de conegracón. Se nca probando r 0, s no se puede rechazar la hpóess nula de que ha cero vecores de conegracón ermna el proceso se conclue que no ha evdenca que haa algún vecor de conegracón. S se rechaza la hpóess nula se connúa probando progresvamene. La maor dfculad de la prueba es deermnar el número de rezagos de las varables a ulzar, el número de rezagos debe ser común para odas las varables del ssema. PRUEBAS DE CAUSALIDAD DE GRANGER La defncón de causaldad en el sendo de Granger esablece que una varable causa a ora, s esa úlma se puede predecr sgnfcavamene mejor hacendo uso de los valores pasados de la prmera 4. Sn embargo, cuando se rabaja con seres no esaconaras denro del marco de la conegracón, la prueba convenconal de causaldad de Granger debe ser modfcada. Smplemene se agrega un érmno de correccón de error se ulzan las seres en dferencas para eclur cualquer fuene de no esaconaredad en la prueba. El no nclur el érmno de correccón de error provocaría un sesgo por omsón de varable. Por ejemplo, s se quere nvesgar s causa a la Granger a, ambas son negradas de orden uno, se corre prmero la regresón de conegracón de sobre. Después, se 40 Lelhood Rao con una dsrbucón asnóca apromada por Johansen (988). 4 No se debe confundr con causaldad esrca. 4

consrue el modelo con la prmera dferenca de como varable dependene como varables ndependenes el érmno de correccón de error, la consane, los rezagos de las dos varables en dferencas (el número de rezagos debe ser el msmo para cada varable). Se realza una prueba F de sgnfcanca conjuna para los rezagos de la varable (en prmera dferenca) que hpoécamene esá causando en el sendo de Granger a la varable dependene. S el esadísco resula sgnfcavo, se encuenra que la nformacón provenene de los rezagos de la prmera dferenca de auda a predecr la varable causada. Por ano se conclue que causa a la Granger a. Formalmene: Para deermnar s granger causa a, se lleva a cabo el msmo procedmeno. En ese caso se usa como varable dependene la prmera dferenca de el érmno de correccón de error provene de la regresón de sobre. S el esadísco F que prueba la sgnfcanca conjuna de los rezagos de la prmera dferenca de es maor que el valor críco, se conclue que causa a la Granger a. Formalmene: S las varables en cuesón esán conegradas, al menos un érmno de correccón de error debe ser sgnfcavo, s en las dos pruebas el esadísco F anes menconado es sgnfcavo, se conclue doble causaldad en el sendo de Granger. Formalmene: 43

CAMBIO ESTRUCTURAL Sobre odo s se esá rabajando con seres de empo no esaconaras donde las perurbacones enen efecos permanenes, algún choque mporane en la economía puede cambar la relacón que guardan las varables en cuesón. Las crss de balanza de pagos, aperura comercal, choques de ofera se encuenran enre las prncpales razones para sospechar que haa ocurrdo algún cambo esrucural. PRUEBAS PARA LA DETECCIÓN DE CAMBIO ESTRUCTURAL EN EL MODELO. Una de las pruebas más anguas es la de Cho (960). Sn embargo, esa prueba sólo nos dce s una regresón con daos anes del cambo esrucural ora realzada con daos a parr de ése, son dferenes. La lmacón consse en que no se sabe s el cambo es de pendene o de consane, además anes de aplcar la prueba endremos que denfcar cuándo ocurró el cambo. Una écnca mu senclla para deecar el cambo esrucural que se ulza en ese rabajo de ess, es la de Mínmos Cuadrados Recursvos. Parendo de la prmera observacón en el empo, se esma una prmera regresón con una muesra lmada ( n > ) se 44

obenen los esmados de los parámeros además de los resduales. Poserormene se añade la sguene observacón se vuelven a obener los esmados, el procedmeno connúa hasa que se cubre oda la muesra. Para denfcar el cambo esrucural en el modelo, se hace uso de los resduales recursvos. Con los resduales dsponbles después de cada esmacón, se calcula el error esándar de la regresón. 4 Una vez que se llega al perodo en que ocurre el cambo esrucural, el resdual se comporará de manera consderablemene dferene a los anerores, evdencando así el pobre ajuse del modelo ncal que no oma en cuena el cambo esrucural. 43 Para resolver el problema de deermnar s el cambo en el modelo es de consane, de pendene o ambas, podemos ulzar varables caegórcas. S ésas son sgnfcavas enconraremos evdenca a favor del cambo esrucural. Se pueden confrmar los resulados obendos de nclur el cambo esrucural en el modelo observando el aspeco gráfco de los parámeros recursvos en el modelo ncal. S ha esabldad en el modelo, los cambos en los esmados no serán amplos además báscamene aleaoros. Sn embargo, s enconramos algún cambo abrupo favoreceremos la evdenca de cambo esrucural. La prmera pare del gráfco sempre / ˆ 4 ˆ u σ 43 Los esmados recursvos de los coefcenes serán ambén relavamene esables hasa que el puno de quebre o de cambo esrucural en el modelo se alcanza. 45

se comporará de manera aípca porque las esmacones ncales ncluen cas anas observacones como parámeros. 46