Contents Introducción 5 2 Transformada Z 7 2. Propiedades de la transformada Z... 9 2.2 La transformada Z inversa... 3 2.2. Métododeladivisióndirecta... 4 2.2.2 Métododeexpansiónenfraccionesparciales... 5 2.3 Ecuacionesendiferencias... 20 3 Análisis de sistemas de control en tiempo discreto 2 3. Muestreomedianteimpulsosyretencióndedatos... 2 3.. Lafuncióndetransferenciapulso.... 22 3..2 Funcióndetransferenciapulsodesistemasenlaocerrado... 25 4 Lugar de las raíces 28 4.0.3 Reglas generales para la construcción de los lugares geométrico de la raí. 28 5 Diseño de controladores 32 5. Análisiseneldominiocontinuo... 32 5.. ControladorPI(Proporcional-Integral)... 33 5.2 Análisiseneldominiodiscreto... 36 5.3 Equivalentediscretodeuncontroladorcontinuo... 38 5.4 ControladoresPID... 38 2
5.4. Sintoniación de controladores PID utiliando los métodos de Ziegler- Nichols... 40 6 Modelo en variables de estado 44 7 Sistemas electroneumáticos 45 7. Métodopasoapaso... 45 A er regla de Ziegler-Nichols 5 3
Chapter Introducción Este curso trata del uso de computadoras digitales para el control de procesos. Primero trataremos el análisis de sistemas en lao abierto para establecer los fundamentos teóricos necesarios para el diseño de sistemas de control por computadora. El uso de las computadoras digitales como elementos de control han crecido rápidamente en los pasados 30 años. Las principales raones de este uso extensivo radican en su alto rendimiento, versatilidad y confiabilidad. Más aun, gracias a las computadoras, se han podido implementar nuevas aplicaciones que requieren de cálculos muy complicados, imposibles de realiar por otros medios. Ejemplo de estas aplicaciones se pueden encontrar en robótica, análisis de señales, optimiación de procesos y en el área del control adaptable. El tipo de señales sobre las cuales esta basado el curso de control continuo es señales continuas, esto significa que ellas están definidas sobre un rango continuo de tiempo y pueden cambiar de valor en cualquier momento. Las señales discretas, por otro lado, están definidas únicamente en ciertos instantes de tiempo, y pueden cambiar de valor únicamente en esos instantes de tiempo. Muy frecuentemente las señales discretas son el resultado de un proceso de muestreo de señales continuas. Los instantes de muestreo están, generalmente, igualmente espaciados por un tiempo denominado periodo de muestreo T. Cuando una señal continua es muestreada, los valores muestreados resultantes forman una señal en tiempo discreto, o simplemente una señal discreta. Gráficamente este fenómeno se representa en la figura. 5
Para que una señal pueda ser administrada en una computadora, esta tiene que ser digitaliada previamente. Para efectuar esta operación se hace uso de los dispositivos electrónicos llamados convertidores AD (Análogo Digital). También existen dispositivos que convierten señales digitales a continuas conocidos como convertidores DA ( Digital Analógica). Dado que estos dispositivos requieren de un tiempo de conversión, la acción de mandar una señal a una computadora se efectúa con un dispositivo de muestreo y retención junto con un convertidor AD, (véase la figura 2). Como lo indica la Figura 2, la conversión de la señal consiste en convertir los valores muestreados x(i) a números binarios, los cuales ya pueden ser suministrados a la computadora. 6
Chapter 2 Transformada Z La transformada Z es una herramienta clásica para el análisis y síntesis de sistemas discretos. El papel de la transformada Z en sistemas en tiempo discreto, es similar al de la transformada de Laplace en sistemas en tiempo continuo y se obtiene aplicando al transformada de Laplace en señales discretas. Las señales en tiempo discreto surgen si el sistema involucra la operación de muestreo de señales en tiempo continuo, por lo que la trasnformada Z está relacionada inherentemente a un proceso de muestreo. La transformada Z (transformada Z unilateral)de una señal arbitraria es: X X(Z) = {x(kt)} = {x(t)} = x(kt) k (2.) k=0 = x(0) + x(t ) + x(2t ) 2 + x(3t ) 3 +... Ejemplo Obtenga la transformada Z de la función escalón unitario t 0 u(t) = 0 t<0 Note que la señal x(kt) = k 0, porlotantoutiliandoladefinición de tarnsformada Z (2.), se tiene que X {u(t)} = k =+ + 2 + 3 +... (2.2) k=0 7
Por otro lado, utiliando un resultado de series +a + a 2 + a 3 +... = La expresión (2.2) se puede reescribir como {u(t)} = X k =+ + 2 + 3 +... = k=0 Ejemplo 2 Obtenga la transformada Z de la función exponencial De la definición de transformada Z {x(t)} = e at t 0 x(t) = 0 t<0 a (2.3) X e akt k =+ e at + e at 2 + e at 3 +... k=0 Utiliando nuevamente el resultado (2.3), se tiene que {x(t)} = (e at ) = e at Ejemplo 3 Obtenga la transformada Z de la siguiente expresión X(s) = s (s + a) aplicando fracciones parciales X(s) = c s + c 2 s + a donde c = s = s (s + a) s=0 a,c =(s + a) = s (s + a) s= a a 8
por lo tanto x(t) = a a e at x(kt) = a a e akt X(Z) = a a e at 2. Propiedades de la transformada Z El uso de la transformada Z se puede facilitar sustancialmente al utiliar algunas de las propiedades de la transformada Z, las cuales se pueden obtener directamente de la definición. En las siguientes propiedades listadas a continuación, se asume que F i () = {f i (t)} = {f i (kt)} Propiedad de la linealidad Una función f(x) es lineal si f (αx + βx 2 )=αf (x )+βf (x 2 ). Aplicando este resultado a la definición de la transformada Z, se obtiene inmediatamente que X Z{αf (kt)+βf 2 (kt)} = [αf (kt)+βf 2 (kt)] k k=0 = αz{f (kt)} + βz{f 2 (kt)} = αf ()+βf 2 () Entonces, la transformada Z es una función lineal. La propiedad de la linealidad hace posible que se pueda aplicar la técnica de fracciones parciales. Teoremadelatraslaciónreal Z{f(t nt )} = n F () (2.4) y # n X Z{f(t + nt )} = "F n () f(kt) k k=0 (2.5) 9
A partir de esta última expresión se tiene que Z{f(t + T )} = [F () f(0)] = F() f(0) Z{f(t +2T )} = 2 F () f(0) f(t ) = 2 F () 2 f(0) f(t ) Z{f(t +3T )} = 3 F () f(0) f(t ) f(2t ) 2 = 3 F () 3 f(0) 2 f(t ) f(2t ) Esta propiedad es una herramienta indispensable en la solución de ecuaciones en diferencias. De las propiedades anteriores note que la multiplicación de F () por tieneelefectodeavanar la señal f(kt) un período de muestreo y que la multiplicación de F () por tiene el efecto de retrasar la señal f(kt) un período de muestreo. Ejemplo 4 Determine la transformada Z de la siguiente función Figure 2-: Escalon desplaado en el tiempo Solución 5 La función que describe la gráfica anterior es f(t) =u(t T ) Aplicando la propiedad de la traslación real (2.4) Z{u(t T )} = = Ejemplo 6 Determine la transformada Z de la siguiente función Ejemplo 7 Determine la transformada Z de la siguiente función 0
Figure 2-2: Figure 2-3: Teoremadelatralacióncompleja Si F () es la transformada Z de f(t), entonces, Z e at f(t) ª = F (e at ) la transformada. Esto se conoce como el teorema de la traslación compleja Ejemplo 8 Determine la transforma Z de g(t) =te t Solución 9 Note que f(t) =t, apartirdetablas,setieneque F () = T ( ) 2 por lo que G() = T e T ³ (e T ) 2 = T e T ( e T ) 2 = Te T ( 2 e T ) 2
Teorema del valor inicial Si X() = {x(t)} = {x(k)} ysiel lim X() existe, entonce el valor inicial x(0) de x(t) ode x(k) está dado por Para probar este teorema, note que X() = x(0) = lim X() (2.6) X x(k) k = x(0) + x() + x(2) 2 +... k=0 al tomar el límite cuando tiende a infinito x() lim X() =x(0) + + x(2) 2 +... = x(0) Ejemplo 0 Determine el valor inicial x(0) si X() está dada por X() = + T ( ) 2 Solución lim X() = lim + T 2 = X() es la transformada de x(t) =+t, porloquex(0) = Teorema del valor final Si X() = {x(k)}, donde x(k) =0para k<0 yquex() es estable, es decir, x(k) permanesca finita (k =0,, 2,...). Entonces el valor final de x(k) puede darse mediante Ejemplo 2 Determine el valor final x( ) de lim x(k) =lim X() (2.7) k X() = e at, a > 0 2
mediante el uso del teorema del valor final Solución 3 x( ) =lim e at + ( )( e at = ) Note que X() es la transformada de x(t) = e at,porlotantox( ) = 2.2 La transformada Z inversa Como ya se menciono al inicio de este capítulo, la transformada Z en sistemas de control en tiempo discreto juega el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control continuo, por lo que es necesario, al igual que en Laplace, obtener la transformada Z inversa para que esta transformada sea útil. La notación para la transformada Z inversa es Z.LatransformadaZ de X() da como resultado la correspondiente secuencia en el tiempo x(k). Note que a partir de la transformada Z sólo se obtiene la secuencia de tiempo en los instantes de muestreo, por lo que la transformada Z de X() da una única x(k) pero no da una única x(t), es decir, se obtiene una secuencia de tiempo que especifica los valores de x(t) solamente en los valores discretos de tiempo, t =0,T,2T,..., ynodicenadaacercadelosvaloresdex(t) entodoslosotrostiempos. Esto es, muchas funciones del tiempo x(t) diferentes pueden tener la misma x(kt). Existen diversos métodos para obtener la transformada Z que no implican el uso de tablas:. Método de la división directa 2. Método de expansión en fracciones parciales 3. Método de la integral de inversión 4. Método computacional PolosycerosenelplanoZ La ubicación de los polos y ceros de X() determina las características de x(k), la secuencia de valores o números. Para encontrar los polos y los ceros de X(), es conveniente expresar X() 3
como un cociente de polinomios en. Por ejemplo, cuántos polos y ceros tiene la siguiente función X() X() = + 2 ( + 0.2 )(+0.5 ) al reescribirla en potencias positivas X() = + + 0.2 2 + 0.5 = + 2 +0.2 +0.5 = + ( +0.2)( +0.5) por lo que X() tiene polos ubicados en =0,= 0.2 y = 0.5 y tiene un cero, ubicado en =. 2.2. Método de la división directa En el método de la división directa, la transformada inversa se obtiene mediante la expansión de X() en una serie infinita de potencias de. Este método es útil cuando es díficil obtener una expresión en forma cerrada o se desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de la secuencia x(k). El método de la división directa proviene del hecho de que si X() está expandida en una seriedepotenciasde, esto es, si X X() = x(kt) k k=0 = x(0) + x(t ) + x(2t ) 2 + x(3t ) 3 +... entonces, x(kt) es el coeficiente del término k. k =0,, 2,...,se pueden determinar por inspección. Por lo tanto, los valores de x(kt) para Ejemplo 4 Encuentre x(k) para k =0,, 2, 3, 4 cuando X() está dada por X() = + ( +0.2)( +0.5) Solución 5 Primero, X() se reescribe como un cociente de polinomios en X() = + ( + 0.2 )(+0.5 ) 4
y realiando una división algebraica + 2 +0.7 +0. 2 = +0.3 2 0.3 3 +0.87 4 +... por inspección se obtiene la solución para x(k), conk =0,, 2, 3, 4, es decir, x(0) = 0 x() = x(2) = 0.3 x(3) = 03 x(4) = 0.87. Ejemplo 6 Encuentre x(k) para k =0,, 2, 3, 4 cuando X() está dada por X() = 2.2.2 Método de expansión en fracciones parciales El método de expansión en fraciones parciales que se presenta aquí es idéntico al método de expansión en fracciones parciales que se utilia en la Transformada de Laplace. Para encontrar la transformada Z inversa de X() por fracciones parciales, primero se factoria el polinomio denominador de X() y se encuentran los polos X() = N() D() = b 0 m + b m +... + b m + b m ( + p )( + p 2 )...( + p n ) luego se expande X() en fracciones parciales de manera que cada uno de lo términos sea identificado facílmente utiliando las tablas de transformada Z. SiX() tieneunoomásceros en el origen ( =0),entonces X() se debe expandir en lugar de X(). 5
Polos diferentes Considérese que todos los polos son diferentes y que hay por lo menos un cero en el origen, entonces se aplicará fracciones parciales a X() y se expandirá de la forma X() = a + p + a 2 + p 2 +... + a n + p n donde las a i son constantes y se denominan residuos de la raí = p i. Lafórmulaparaobtener el residuo es a i = ( + p i ) X() Ejemplo 7 Determine la transformada Z inversa de X() = = p i ( ) ( 0.) Solución 8 (a) Note que existe un cero en el origen, por lo que se expande en fracciones parciales X(),esdecir X() = ( ) ( 0.) = a + b 0. donde a = b = ( ) =. ( ) ( 0.) = ( 0.) =. ( ) ( 0.) =0. por lo tanto X() =.. 0. =.. 0. x(k) =.() k.(0.) k Qué sucedería si no se "guarda" el cero en el origen? Solución 9 (b) X() = ( ) ( 0.) = a + b 0. 6
donde a = b = ( ) =. ( ) ( 0.) = ( 0.) = 0. ( ) ( 0.) =0. sustituyendo los valores de los residuos X() =. 0. 0. =. 0. 0. por lo tanto x(k) =.() k 0. (0.) k Note que al parecer las dos soluciones son distintas, será cierto?, Por qué la diferencia entre las dos soluciones? Verique si en realidad son diferentes. Ejemplo 20 Determine la transforma inversa de Reeescribiendo en potencias negativas X() = 2 ( ) X() = 3 Note que sí F () =,entoncesf(k) =u(k) =() k. Utiliando el teorema de la traslación real Z{x(t nt )} = n X() se tiene que Z 3 F () ª ½ ¾ = Z 3 = u(k 3) = () k 3 7
Polos múltiples Sea X() escrita en forma factoriada X() = N() D() = N() ( + p ) r ( + p r+ )+... +( + p n ) es decir, existen r raíces múltiples y n r raíces diferentes. la expansión de X() en fracciones parciales es X() = donde b r,b r, b están dados por b r ( + p ) r + b r ( + p ) r +... + b + p + a r+ + p r+ + h i b r = ( + p ) r N() D() n h io b r = d d ( + p ) r N() D() b r j = n j! h d j d j = p. io ( + p ) r N() Ejemplo 2 Determine la transformada Z inversa de D() = p = p a n + p n X() = ( ) 2 ( 2) X() = ( ) 2 ( 2) = a 2 + b 2 ( ) 2 + b donde a = ( ( ) 2 ( 2) 2) =2 = b 2 = ( ( ) 2 ( 2) )2 = = b = d d ( ) 2 ( 2) ( )2 = = d d ( 2) = = = ( 2) = 2 Por lo tanto X() = 2 ( ) 2 = 2 ( ) 2 8
x(k) =(2) k k () k () k Polos complejos y conjugados Esta metodología es ilustrada por medio de una serie de ejemplos. Ejemplo 22 Determine la transformada inversa de X() = 2 2 + Note que las raíces son complejas y conjugadas. Reescribiendo la expresión anterior en potencias negativas X() = + 2 y utiliando la tabla de transformada, se identifica que 2cos(ωT) = cos(ωt) = 2 ωt =cos (ωt) Por lo tanto X() = 2 + 2 + 2 2 = + 2 + 2sin(ωT) x(k) =cos(ωkt)+ Ejemplo 23 Determine la transformada inversa de X() = sin (ωt) + 2 sin (ωkt) 2sin(ωT) 2 2 2 + 9
X(s) x(t) x(kt) o x(k) X() ω sin (ωt) sin(ωkt) sin ωt s 2 +ω 2 2 cos ωt+ 2 s cos (ωt) cos(ωkt) cos ωt s 2 +ω 2 2 cos ωt+ 2 ω e αt sin (ωt) e αkt e sin (ωkt) αt sin ωt (s+α) 2 +ω 2 2e αt cos ωt+e 2αT 2 s+α e αt cos (ωt) e αkt e cos (ωkt) αt cos ωt (s+α) 2 +ω 2 2e αt cos ωt+e 2αT 2 Tabla de Transformada Z Ejercicio 24 Determine la transformada inversa de las siguientes funciones X() = e at ( ) ( e at ) X() = e at ( ) 2 ( e at ) X() = 2 + +2 ( ) ( 2 +) 2.3 Ecuaciones en diferencias Un sistema en tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo es caracteriado por la ecuación x(k)+a x(k ) +... + a n x(k n) =b 0 u(k)+b u(k ) +... + b m u(k m) donde u(k) y x(k) sonlaentradaylasalidadelsistemarespectivamente,enlak-ésima iteración. El problema es obtener una expresión para x(k). Definase X() = {x(kt)} = {x(k)} entonces, aplicando el teorema de la translación real se obtienen la Transformada Z de cada uno de los términos que conforman la ecuación en diferencias. Posteriomente, se despeja la variable dependiente X() y se aplica la transformada Z para obtener la secuencia x(k) Ejemplo 25 [] Obtenga la solución de la siguiente ecuación en diferencias en términos de 20
x(0) y x() donde a y b son constantes y k =0,, 2,... x(k +2)+(a + b) x(k +)+abx(k) =0 Ejemplo 26 []Resuelva la siguiente ecuación en diferencias 2x(k) 2x(k ) + x(k 2) = u(k) donde x(k) =0para k<0 y, k =0,, 2,... u(k) = 0, k < 0 2
Chapter 3 Análisis de sistemas de control en tiempo discreto 3. Muestreo mediante impulsos y retención de datos Considérese un muestreador ficticio cuya salida se considera como un tren de impulsos que comiena en t =0,conelperíododemuestreoigualaT y la magnitud de cada impulso igual al valor muestreado de la señal en tiempo continuo en el instante de muestreo correspondiente (ver figura 3-). La señal muestreada x (t), se puede representar mediante una sumatoria infinita X x (t) = x(kt)δ(t kt) k=0 = x(0)δ(t)+x(t )δ(t T )+... + x(kt)δ(t kt)+... (3.) A lo largo de estas notas, se supone que la operación de muestreo es uniforme; esto es, sólo existe un período de muestreo en el sistema el cual es constante. Si un sistema de control en tiempo discreto incluye dos o más muestreadores en el sistema, se supone que los muestreadores están sincroniados y tienen la misma frecuencia de muestreo. 22
La transformada de Laplace de la ecuación (3.) X (s) = L [x (t)] = x(0)l [δ(t)] + x(t )L [δ(t T )] + x(2t )L [δ(t 2T )] +... = x(0) + x(t )e Ts + x(2t )e 2Ts +... X = x(kt)e kts k=0 Figure 3-: Muestreador mediante impulsos Si se define = e Ts o s = T ln entonces X (s) s= ln = X() (3.2) T La transformada de Laplace de la señal muestreada mediante impulsos x (t) es la transformada Z de la señal x(t) si e Ts se define como, esdecir = e Ts. 3.. Retenedor de orden cero En un muestreador ideal, un interruptor se cierra cada período de muestreo T para admitir una señal de entrada. Un muestreador convierte una señal de tiempo continuo en un tren de pulsos quesepresentaenlosinstantesdemuestreot =0,T,2T,... 23
La retención de datos es un proceso de generación de una señal de tiempo continuo h(t) a partir de una secuencia en tiempo discreto x(kt). Un circuito de retención convierte la señal muestreada en una señal de tiempo continuo, que reproduce aproximadamente la señal aplicada al muestreador. El circuito de retención más simple es el Retenedor de Orden Cero (ROC), este Figure 3-2: circuito retiene la amplitud de la muestra en un instante de muestreo al siguiente. La función de transferencia del ROC, G ROC (s) es G ROC (s) = e Ts s (3.3) 3..2 La función de transferencia pulso. La función de transferencia relaciona las transformada de Laplace de la señal de salida con la correspondiente entrada del sistema, mientras que la función de transferencia pulso relaciona las transformadas Z de salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada. Considere la respuesta de un sistema continuo excitado por una señal muestreada como se muestra en la figura 3-3. La señal muestreada mediante impulsos x (t) es la entrada al sistema cuya función de transferencia es G(s). Se supone que la salida del sistema es una señal en 24
Figure 3-3: Sistema en tiempo continuo G(s) excitado con una señal muestreada mediante impulsos tiempo continuo y(t). Entonces la salida Y (s) es Y (s) =G(s)X (s) Considere que en la salida hay otro muestreador, sincroniado en fase con el muestreador de la entrada, y ambos operan con el mismo período de muestreo, entonces la salida es Y (s) =[G(s)X (s)] = G (s)x (s) De este modo, utiliando la relación (3.2) se obtiene Y () =G()X() Ejemplo 27 Considere los sistemas que se muestran en la figura 3-4. Donde G (s) = s, G 2 (s) = Y () s+. Obtenga la función de transferencia pulso X() para cada uno de estos sistemas Cálculo de la transformada Zque involucran un retenedor de orden cero (ROC) Suponga que la función de transferencia G(s) sigue de un ROC. Entonces el producto de la función de transferencia del ROC y de G(s) se convierte en X(s) = e Ts G(s) (3.4) s Se supone que x(t) < 0 e y(t) < 0 para t<0. 25
Figure 3-4: Sistemas muestreados Note que (3.4) se puede escribir como X(s) = e Ts G(s) s = e Ts G (s) =G (s) e Ts G (s) (3.5) la transformada Z de (3.5) es dada por X() =G () G () = G () Por lo tanto, para obtener la transformada Z de X(s), el término e Ts o únicamente hay que obtener la transformada Z n G(s) s = y Ejemplo 28 ObtengalatransformadaZ de Solución 29 G(s) = e Ts s G() = ½ ¾ Z s 2 = T ( ) 2 = T = T 26 s
3..3 Función de transferencia pulso de sistemas en lao cerrado Para determinar la función de transferencia pulso del sistema de control en lao cerrado que se muestra en la figura (3-5), considere el siguiente algoritmo: Figure 3-5: Sistema de control en lao cerrado Figure 3-6: Grafo del sistema en lao cerrado. Denomine la entrada de los muestreadores como E(s) y la salida de los muestreadores como E (s) 2. Trace el grafo del sistema (véase la figura 3-6) 3. Escriba las salidas del grafo en función de las entradas del grafo (se considera que las entradas del grafo son las entradas del sistema y las salidas de los muestreadores y que las salidas del grafo son las salidas del sistema y las entradas al muestreador). En este caso, las ecuaciones quedan de la siguiente forma Y (s) =G (s)g 2 (s)e (s) E(s) =R(s) G (s)g 2 (s)e (s) (3.6) 27
4. Muestree las ecuaciones obtenidas en el paso anterior Y (s) =G G 2 (s)e (s) E (s) =R (s) G G 2 (s)e (s) (3.7) 5. Resuelvalasecuacionesporelmétodomásconveniente: (a) Masson Figure 3-7: Grafo de lao cerrado muestreado Y (s) R (s) = G G 2 (s) +G G 2 (s) Y () R() = G G 2 () +G G 2 () (b) Sustitución por lo tanto E (s) =R (s) G G 2 (s)e (s) E (s) = R (s) +G G 2 (s) Y (s) =G G 2 (s)e (s) = Y () R() = G G 2 () +G G 2 () G G 2 (s) +G G 2 (s) R (s) Ejercicio 30 Obtenga la función de transferencia pulso de lao cerrado del siguiente diagrama a bloques 28
Figure 3-8: Diagrama a bloques discreto 29
Chapter 4 Diseño de controladores digitales 4. Correspondencia entre el plano s y el plano En el plano complejo s, la ubicación de los polos y los ceros nos permitian predecir el comportamiento dinámico el sistema, de aquí la importancia de estudiar la relación entre los requisitos de diseño (por ejemplo tiempo de establecimiento t s, máximo sobreimpulso M p ) con la ubicación de los polos en el plano s. De igual manera, en los sistemas discretos es muy importante la ubicación de los polos y los ceros en el plano. A continuación determinaremos la relación existente entre el plano s yelplano. En un proceso donde se encuentre involucrado un muestreo por impulsos, las variables complejas s y se encuentran relacionadas por = e Ts dado que la variable compleja s está formada por una parte real σ y una parte imaginaria ω, es decir s = σ + jω sse tiene que = e T (σ+jω) = e Tσ e jωt Si se considera un punto representativo en el eje jω en el plano s, y conforme este punto se 30
Figure 4-: Plano S Plano Z mueve desde j ω s 2 hasta j ω s 2 siendo ω s la frecuencia de muestreo, tenemos que =y ] varía de π a π en dirección contraria a las manecillas del reloj en el plano. Conforme el punto representativo se mueve desde j ω s 2 hasta j 3ω s 2, el punto correspondiente en el plano traa un c riculo unitario en dirección contraria a las menecillas del reloj. Por lo tanto, conforme el punto se mueve en el eje jω del plano s dibujaremos un círculo unitario en el plano un número infinito de veces. Tiempo de establecimiento t s El tiempo de establecimiento queda determinado por el valor de atenuación σ de los polos dominantes en lao cerrado. Si se especifica el tiempo de establecimiento, se puede dibujar una línea σ = σ corresponde en el plano alaparteinteriordeuncírculoderadioe σ T 3
Lugar geométrico de frecuencias constantes Un lugar geométrico de frecuencia constante ω = ω en el plano s corresponde en el plano a una línea radial de ángulo constante Tω (en radianes) Figure 4-2: Lugar geométrico de amortiguamiento constante Una línea de factor de amortiguamiento constante (una línea radial) en el plano s cofrresponde a una espiral en el plano s = ξω n + jω n q ξ 2 = ξω n + jω d = e Ts = e T ( ξω n+jω d ) Por lo tanto à =exp( ξω n T )=exp 2πξω p! Ã! n ξ 2 p =exp 2πξω d p ω s ξ 2 ω s ξ 2 y ] = ω d T = 2πω d ω s Entonces, la magnitud de se reduce y el ángulo de se aumenta linealmente conforme ω d se incremente y el lugar geométrico en el plano se convierte en una espiral logarítmica 32
Figure 4-3: 33
Chapter 4 Diseño de controladores digitales 4. Correspondencia entre el plano s y el plano En el plano complejo s, la ubicación de los polos y los ceros nos permitian predecir el comportamiento dinámico el sistema, de aquí la importancia de estudiar la relación entre los requisitos de diseño (por ejemplo tiempo de establecimiento t s, máximo sobreimpulso M p ) con la ubicación de los polos en el plano s. De igual manera, en los sistemas discretos es muy importante la ubicación de los polos y los ceros en el plano. A continuación determinaremos la relación existente entre el plano s yelplano. En un proceso donde se encuentre involucrado un muestreo por impulsos, las variables complejas s y se encuentran relacionadas por = e Ts dado que la variable compleja s está formada por una parte real σ y una parte imaginaria ω, es decir s = σ + jω sse tiene que = e T (σ+jω) = e Tσ e jωt Si se considera un punto representativo en el eje jω en el plano s, y conforme este punto se 30
Figure 4-: Plano S Plano Z mueve desde j ω s 2 hasta j ω s 2 siendo ω s la frecuencia de muestreo, tenemos que =y ] varía de π a π en dirección contraria a las manecillas del reloj en el plano. Conforme el punto representativo se mueve desde j ω s 2 hasta j 3ω s 2, el punto correspondiente en el plano traa un c riculo unitario en dirección contraria a las menecillas del reloj. Por lo tanto, conforme el punto se mueve en el eje jω del plano s dibujaremos un círculo unitario en el plano un número infinito de veces. Tiempo de establecimiento t s El tiempo de establecimiento queda determinado por el valor de atenuación σ de los polos dominantes en lao cerrado. Si se especifica el tiempo de establecimiento, se puede dibujar una línea σ = σ corresponde en el plano alaparteinteriordeuncírculoderadioe σ T 3
Lugar geométrico de frecuencias constantes Un lugar geométrico de frecuencia constante ω = ω en el plano s corresponde en el plano a una línea radial de ángulo constante Tω (en radianes) Figure 4-2: Lugar geométrico de amortiguamiento constante Una línea de factor de amortiguamiento constante (una línea radial) en el plano s cofrresponde a una espiral en el plano s = ξω n + jω n q ξ 2 = ξω n + jω d = e Ts = e T ( ξω n+jω d ) Por lo tanto à =exp( ξω n T )=exp 2πξω p! Ã! n ξ 2 p =exp 2πξω d p ω s ξ 2 ω s ξ 2 y ] = ω d T = 2πω d ω s Entonces, la magnitud de se reduce y el ángulo de se aumenta linealmente conforme ω d se incremente y el lugar geométrico en el plano se convierte en una espiral logarítmica 32
Figure 4-3: Ejemplo 3 Determinelaregiónenelplanocomplejo de tal forma que se cumplan con las siguientes condiciones: Tiempo de establecimiento t s < 4s, Tiempopicot p < 3s yunmáximo sobreimpulso M p < 0%. Considere que el período de muestreo es T =0.5seg 4.2 Análisis de estabilidad en el plano Considere la siguiente función de transferencia pulso en lao cerrado Y () R() = G() +GH() (4.) La estabilidad del sistema en lao cerrado se puede determinar por las ubicaciones de los polos de lao cerrado en el plano, es decir, por las raíces de la ecuación característica +GH() =0 (4.2) como sigue:. Para que el sistema sea estable los polos de lao cerrado deben estar dentro del círculo unitario. sistema Cualquier polo en lao cerrado, fuera del círculo unitario hace inestable al 2. Si un polo simple se presenta en =, el sistema es criticamente estable. Si existe un par de polos complejos y conjugados sobre el círculo unitario, también hace que el sistema sea 33
críticamente estable 3. Los ceros de lao cerrado no afectan la estabilidad y por lo tanto pueden quedar localiados en cualquier parte del plano complejo. Ejemplo 32 La función de transferencia de lao cerrado de un sistema de control digital, es expresada por G() = 2 +2 El sistema es estable o inestable? Solución 33 Lasraícesdelsistemason =0.5 ± j.232 Por lo tanto la magnitud de los polos son.32, por lo que los polos estan fuera del círculo unitario, lo cual implica que el sistema es inestable Ejemplo 34 Considere el siguiente sistema de control donde Figure 4-4: G ROC (s) = e Ts s y G(s) = s + Si T =0.5s, determine el rango de k que garantice la estabilidad del sistema en lao cerrado Solución 35 Sea ½ e Ts G T = s = k e T e T ¾ = ½ s + 34 s (s +) ¾
Por lo tanto, la ecuación característisca es e T + k e T =0 La estbilidad del sistema es verificada al considerar que la magnitud del polo es menor que uno, es decir = e T k e T < de lo anterior se tiene que e T k e T < k> y e T k e T < k< +e T e T 4.2. La prueba de estabilidad de Jury Esta prueba de estabilidad nos indica la existencia de cualquier raí inestable (raíces en el plano fuera del círculo unitario). Sin embargo, no indica nada sobre las ubicaciones de las raíces inestable. Para aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica dada P () =0, se construye una tabla cuyos elementos se basan en los coeficientes de P () =0. Suponga que la ecuación característica es de la forma P () =a 0 n + a n + a 2 n 2 +... + a n + a n (4.3) 35
donde a 0 > 0. Entonces la tabla de Jury se construye como sigue Renglón 0 2 3 n 2 n n a n a n a n 2 a n 3 a 2 a a 0 2 a 0 a a 2 a 3 a n 2 a n a n 3 b n b n 2 b n 3 b n 4 b b 0 4 b 0 b b 2 b 3 b n 2 b n. 2n 5 p 3 p 2 p p 0 2n 4 p 0 p p 2 p 3 2n 3 q 2 q q 0 donde b k = a n a n k a 0 a k+, k =0,, 2,...,n q k =. p 3 p 2 k p 0 p k+, k =0,, 2 Note que el último renglón de la tabla está formado por tres elementos (para sistemas de segundo orden, 2n 3=2(2) 3=la tabla estará formada por un renglón) Un sistema con la ecuación característica dad por (4.3), el cual por comodidad se reescribe P () =a 0 n + a n + a 2 n 2 +... + a n + a n donde a 0 > 0, es estable, si todas las condiciones siguientes se satisfacen:. a n <a 0 2. P () = > 0 > 0 para n par 3. P () = < 0 para n impar 36
b n > b 0 4. c n 2 > c 0. q 2 > q 0 Ejemplo 36 Examine la estabilidad de la ecuación caracteristica siguiente P () = 3.5 2 0. +0.5 =0 Solución 37 Antes de construir la tabla se verifcan las condiciones, 2 y 3. Note que a 0 =0.5 y a n = a 3 =,porlotanto 0.5 < por lo que la primera condición se cumple. P () = =() 3.5() 2 0.()+0.5 = 0. < 0 Esta condición no se satisface por lo que el sistema es inestable Ejemplo 38 Examine la estabilidad de la ecuación caracteristica siguiente P () = 4 3 +0.5 2 +0. 0.5 =0 Solución 39 Nuevamente, antes de construir la tabla se verifcan las condiciones, 2 y 3. Note que a 0 = 0.5 y a n = a 4 =,porlotanto 0.5 < por lo que la primera condición se cumple. P () = =() 4 () 3 +0.5() 2 0.()+0.5 =0.9 > 0 P () = =( ) 4 ( ) 3 +0.5( ) 2 0.( ) + 0.5 =3. > 0 37
Ahora construimos la tabla de estabilidad de Jury Renglón 0 2 3 4 0.5 0. 0.5 2 0.5 0. 0.5 3 0.75 0.95 0.75 0.4 4 0.4 0.75 0.95 0.75 5 0.4 0.4 0.8 Verificando las condiciones b n > b 0 que en este caso es 0.75 > 0.4 la cual se cumple. La siguiente condición es q 2 > q 0 al sustituir los valores 0.4 > 0.8 Por lo tanto, la ecuación característica dad es estable, o lo que es lo mismo, todas las raíces están dentro del círculo unitario. Ejemplo 40 Considere un sistema de control en tiempo discreto con retroalimentación unitaria cuya función de transferencia pulso es GH() = k (0.5 +) ( ) ( 0.36) considere que T =seg. Determine el rango de estabilidad valores de la ganancia k para garantiar la 38
4.2.2 Análisis de estabilidad mediante la transformación bilineal y el criterio de Routh La transformación bilineal definida por = w + w misma que, al ser resuelta en función de w, resultaen w = + hace corresponder el interior del círculo unitario del plano con el semiplano iquierdo del plano w. Considere la ecuacion característica (4.3), es decir P () =a 0 n + a n + a 2 n 2 +... + a n + a n y sustituyendo w+ w a 0 µ w + w en lugar de n µ w + + a n + a n 2 2 w µ w + w Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por (w ) n se obtiene µ w + +... + a n + a n =0 w Q(w) =b 0 w n + b w n + b 2 w n 2 +... + b n w + b n =0 es posible aplicar el criterio de estabilidad de Routh de la misma forma que en los sistemas de tiempo continuo. 4.3 Lugar de las raíces El método del lugar de las raíces desarrollados para sistemas en tiempo continuo puede ser extendido sin modificaciones a sistemas discretos en el tiempo, excepto por la estabilidad, la cual se modifica, del eje jω en el plano S al círculo unitario en el plano Z. 39