POLINOMIOS DE ZERNIKE CON ABERRACIONES DE UNA ONDA. Pedro Soto López.

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1 POLINOMIOS DE ZERNIKE CON ABERRACIONES DE UNA ONDA Pedro Soto López. Universidad Politécnica de Tulancingo. Calle Ingenierías N.100, Huapalcalco, Hgo, México. Resumen Al detectar un frente de onda saliendo del ojo es posible medir las aberraciones de este. En un ojo perfecto de todos los rayos que emergen de una fuente puntual lejana al ojo y que pasan a través de la pupila del ojo y se interceptan en un punto común, retina. También un ojo perfecto tiene la característica que la distancia óptica del objeto a la imagen es igual para cada rayo, es decir la longitud de camino óptico es la misma para cada rayo. Y por ultimo el frente de onda que llega a la retina tiene una forma perfectamente esférica. Para corregir imágenes, una técnica apropiada es por medio de los polinomios de Zernike. Introducción. El frente de onda se puede definir como una superficie imaginaria que une todos los puntos en el espacio que son alcanzados en un mismo instante por una onda que se propaga en un medio, es decir aquellos rayos que tienen la fase. Al referirnos a que un rayo tiene la misma fase quiere decir que tiene la misma longitud de trayectoria desde la fuente. Generalmente se define una frente de onda esférico, como el que se muestra en la figura 3.2, denominado esfera gaussiana de referencia que, como su nombre lo indica nos sirve como referencia para medir el frente de onda aberrado. Por lo tanto, existe un error que se define como la resta entre la esfera gaussiana y el frente de onda aberrado. El vector que presenta el frente de onda indica la dirección de propagación. Para un conjunto de vectores paralelos, es decir, rayos colimados, el frente de onda es plano. Para rayos divergentes en un punto o convergentes hacia un punto el frente de ondas es esférico. Para los rayos con divergencia o convergencia o convergencia variados el frente de onda puede tomar cualquiera de las siguientes. Formas: elipsoidal, paraboloidal las cuales dependen de la naturaleza de la fuente. Para medir las aberraciones de los ojos es necesario hacer uso de técnicas especiales; una de las técnicas más comunes es el Shack-Hartmann. Esta técnica captura los frentes de ondas que salen del ojo; para un sistema con aberraciones la porción del frente de onda que entra en la apertura de la lente es aproximadamente plana pero no se

2 puede localizar la inclinación. Esta inclinación causa un cambio lateral en la localización del foco y la magnitud y dirección de este. Las aberraciones monocromáticas más importantes son las que se deben al segundo término del desarrollo en serie de Taylor del seno, y se denominan aberraciones de tercer orden o de Seidel Figura des. Desenfoque Imagen de un punto con desenfoque creciente (si no hay otras aberraciones, es simétrica): La aberración cromática tiene como origen la dependencia de índice de refracción del vidrio con λ: Imagen extensa con los correspondientes desenfoques: n(λ). Aberraciones de punto: la imagen de punto se encuentra en la posición predicha por la óptica paraxial pero, en lugar de un punto, es una mancha : Aberración esférica Coma Astigmatismo Aberraciones de forma: la imagen de un punto es un punto pero su posición es distinta de la establecida por la aproximación paraxial: Distorsión Curvatura de campo Desenfoque La imagen se forma en una posición distinta de la Correspondiente a la imagen Gaussiana, como se muestra en la figura des. Aberración esférica Es la única que afecta a puntos situados en el eje Los rayos provenientes de un punto del eje que entran en la lente con ángulos grandes (fuera de la aproximación paraxial) no van al foco, sino cerca de él. Los rayos que inciden más hacia los bordes convergen más cerca (o más lejos) de la lente que los que entran por el eje Aunque no se suele considerar como aberración, es sin embargo, la causa más frecuente de degradación en los sistemas formadores de imagen Ejemplo: el ojo (miopía, hipermetropía, presbicia, etc)

3 La distancia al eje La mejor imagen se obtiene para una posición entre ambos focos y se denomina círculo de mínima confusión La consecuencia del astigmatismo NO es que veamos las imágenes alargadas o ensanchadas, sino que no podemos enfocar simultáneamente líneas verticales y horizontales Es un defecto muy común en el ojo y que se corrige con lentes cilíndricas. Se diagnostica con un test similar a la rueda para determinar la dirección de asimetría Los objetivos fotográficos con el astigmatismo corregido se llaman anastigmáticos Coma Se origina por la dependencia del aumento lateral con la excentricidad del rayo, es decir, que rayos que entran a distinta altura focalizan en distintos puntos del plano imagen Imágenes en el f. tangencial donde los detalles verticales aparecen desenfocados, en el sagital donde las horizontales están desenfocadas y la mejor imagen para el círc, de mínima confusión Imágenes de un punto en el círculo de mínima confusión para astigmatismo creciente Aberración cromática Astigmatismo El astigmatismo se define como la distancia entre el foco meridional y el sagital. Depende de: La focal de la lente El ángulo de los rayos Se debe a la variación del índice de refracción con λ Como consecuencia, el foco y los aumentos dependen de λ Para el vidrio, n(λ) decrece con λ en el visible, así que la focal aumenta con λ

4 Su efecto es que cualquier lente simple se comporta como un prisma descomponiendo la luz en sus colores primarios y formando un pequeño espectro alrededor del foco de la lente Los primeros 18 polinomios de Zernike en coordenadas polares y cartesianas, el nombre de la aberración, que indica con que polinomio de Zernike puede tratarse. Corrección de aberraciones De la teoría ondulatoria de la luz surge una nueva forma de modelar las aberraciones de forma conjunta con la difracción mediante desviaciones de los frentes de onda (Polinomios de Zernike) Polinomios de Zernike Los polinomios de zernike son un conjunto orto normal usados en los desarrollos de una función de frente de onda en sistemas ópticos con pupilas con simetría circular, así como para observar la forma de una cornea. Los polinomios de zernike están normalmente definidos en coordenadas polares (?,F) donde? es la coordenada radial normalizada, dependiente de la componente radial y también dependiente de la componente angular. Los polinomios de zernike pares e impares generalmente están dados por: La función radial esta definida como: Tabla 39 Donde n indica la potencia radial mas alta del polinomio y m indica la frecuencia angular de esta misma componente.

5 En la siguiente tabla 40, muestra los polinomios de Zernike ortogonales, los cuales van cambiando de acuerdo al orden. Un ejemplo para tratar la aberración de desenfoque utilizaremos, como nos indica la tabla 39, de los 18 polinomios de Zernike la cual, dice que se debe de ocupar Z 3, los cálculos realizados se hicieron en polares a los cuales estos ayudaran a corregir este tipo de aberración, y como vemos en la tabla 40 de polinomios de Zernike, se utilizara la del orden n=2 y l=0. Tabla 40 En las siguientes imágenes se muestra los mapas de intensidad, de polinomios de Zernike y se observa, que tienen la misma estructura como lo muestra la tabla 40. n=l=0 Conclusiones Las aberraciones en una imagen se puede, corregir mediante la técnica de los polinomios de Zernike, este tiene la singularidad de clasificar las aberraciones, como lo observamos en la tabla 39, que nos muestra que tipo de orden puede corregir una aberración, también los polinomios de Zernike ayuda en ecuaciones matemáticas ya que estos son ortogonales, también a la corrección de aberraciones de sistemas ópticos. n=l=1 Bibliografía Clasificación de imágenes usando momentos de zernike. - silvia xochitl vázquez n=2 y l=0 Medida de aberraciones corneales y oculares. - r montés-micó Formación de imágenes en óptica adaptativa. - vidal fernández canales n=2 y l=2 Aberrometrías oculares y de otros sistemas ópticos: transformación de coeficientes zernike al contraer y desplazar transversalmente la pupila. - silvia a. comastri1, karina bastida2, gabriel martin3, arturo bianchetti