1 ÓPTICA GEOMÉTRICA 2

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1 1 ÓPTICA GEOMÉTRICA Objetivos Estudiar el fenómeno de refracción sobre diversos elementos ópticos, comprobar los modelos teóricos Analizar la ecuación para lentes delgadas Estudiar las aberraciones en lentes Construir un instrumento óptico 1.2. Introducción teórica Leer teoría del capítulo Óptica geométrica, aquí únicamente se expondrán nuevos puntos de interés Aberraciones Un sistema óptico debe producir la mínima distorsión posible de la imagen, esto se puede conseguir con óvalos cartesianos donde los las distancias a la imagen y el objeto sean conjugados, esto se encuentra en superficies de tipo elíptico, parabólico, pero su costo de construcción es extremadamente alto. Por lo anteriormente dicho las superficies más utilizadas hoy día son las superficies esféricas; en estos sistema los haces de luz que atraviesan el lente siguen diferentes caminos ópticos, lo que da lugar a que se enfoquen en diferentes puntos dando lugar a un buen número de distorsiones; matemáticamente esto se expresa minimizando el camino óptico donde aparecen funciones seno o coseno que son altamente no lineal, la linealización de estas funciones da lugar a la óptica paraxial. Una forma de garantizar que estemos en la aproximación senφ = φ o cosφ = 1, donde φ es el ángulo entre la horizontal y el rayo en estudio, estos ángulos deben ser pequeños, o sea que los rayos estén concentrados en el centro del lente. Una confirmación de que la óptica geométrica paraxial es una aproximación es que un trazado exacto de rayos muestra inconsistencias con la descripción teórica, tales diferencias son conocidas como aberraciones, las cuales pueden ser clasificadas en dos tipos: Cromáticas Monocromáticas, estas se puede subdividir en: Esféricas Coma Astigmatismo Distorsión La Aberración Cromática La ecuación de la lente depende del índice de refracción, los cuales a su vez varían con la longitud de onda, por lo tanto cada rayo cruzará el sistema a lo largo de diferentes caminos, una forma sencilla de ver la aberración cromática es que cada longitud de onda tiene una distancia focal diferente, ver figura 1.1(a) Aberraciones Monocromáticas La óptica paraxial se basa en que φ es pequeño por lo tanto senφ φ, pero los rayos en la periferia de la lente no cumplen esta condición y el senφ debe ser aproximado en términos más altos de la expansión en serie de Taylor, esto da lugar a la aberración monocromática. Analicemos cada tipo de esta aberración. 1

2 1.2. INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA 2 (a) (b) Figura 1.1: Aberración cromática(a). Aberración monocromática esférica(b) Aberración esférica Para un objeto puntual en el eje de una lente, los rayos del objeto que pasan a través de las regiones exteriores de la lente llegan a un foco en un punto diferente de los rayos que pasan cerca del centro de la lente, en consecuencia la imagen formada será una mancha circular de la luz; el punto de mínimo diámetro de la mancha se denomina circulo de menor confusión, ver figura 1.1(b), no se debe confundir con la aberración cromática Aberración comática o coma Los planos principales de una lente son realmente superficies curvas principales, por lo tanto, para un objeto situado fuera del eje de la lente, se tienen diferentes aumentos que son enfocados en un plano focal dando una forma de tipo cometa, ver figura 1.2(a) Astigmatismo Cuando un objeto está fuera del eje óptico, el cono de rayos incidentes será asimétrico, originando el astigmatismo, los rayos meridionales se enfocan a distancias focales más cortas que los rayos centrales (sagitales), ver figura 1.2(b) Curvatura de campo. Un objeto plano normal al eje óptico tendrá como imagen un plano curvo, ver figura 1.3(a). Esta aberración es la responsable de la deformación observada en las fotografías tomada con lentes de 35 y 28 mm Distorsión Su origen está en que el aumento transversal es una función de la distancia de la imagen al eje óptico, ver figura 1.3(b). Las dos últimas deformaciones son de extremada importancia en la fotografía tomada a gran altura, en especial las fotos desde satélites Instrumentos Ópticos El objetivo fundamental de los instrumentos ópticos es mejorar la visión del ser humano, por lo cual esta sección siempre estará relacionada con la visión de ojo humano. El tamaño de un objeto está determinado por su tamaño retinal que es una medida directa del ángulo sustentado por el objeto desde el ojo, por ejemplo para ver un objeto pequeño se acerca al ojo para aumentar su ángulo sustentado. En general, la distancia al punto más próximo del ojo que puede ser enfocado nítidamente, a partir del cual no aumenta más el ángulo del objeto, es de unos 25 cms. El anterior enunciado es la base de todos los sistemas ópticos para engañar al ojo humano, por ejemplo, si colocamos una lente convergente se aumenta la acomodación del ojo pudiendo el objeto acercarse a distancia menor que el punto de 2

3 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA INTRODUCCIÓN TEÓRICA (a) (b) Figura 1.2: Aberración comática(a). Astigmatismo(b) (a) (b) Figura 1.3: Curvatura de Campo(a). Distorsión(b). 25 cms y por supuesto esto aumenta su ángulo sustentado (tamaño), el más simple de todos estos instrumentos es la lupa. La lupa forma una imagen virtual del objeto y el ojo ve esta imagen que parece mayor que la real. La amplificación de la lupa es: M = u /u = 25/f, donde f es la distancia focal de la lupa. Siguiendo este mismo principio se han construido innumerables instrumentos: Telescopios, microscopios, cámaras fotográficas, sistemas de proyección, binoculares, etc. Los telescopios son instrumentos ópticos que utilizan una combinación de lentes convergentes donde la primera lente tiene una distancia focal grande y la última lente una distancia focal corta. La primera lente u objetivo crea una imagen de un objeto situado en en el infinito en su punto focal f1 y la segunda lente u ocular es colocada de tal forma que su focal f2 este en este punto, ver figura 2-9, la magnificación es: m = tanθ tanθ = f 0 f g La longitud total del telescopio es L = f o + f e Este telescopio se denomina refractor y da una imagen invertida, si se desea una imagen derecha se cambia el objetivo por una combinación de lentes. En general en los telescopios se desea tener el mínimo posible de aberraciones y la menor pedida de luz al atravesar los lentes, por lo 3

4 1.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA 2 cual el lente objetivo es sustituido por un espejo. En la figura 1.4 se muestra un microscopio, en este caso el objeto esta muy cerca de la distancia focal del primer lente, que tiene una distancia focal corta, la segunda lente de distancia focal mayor esta ubicada de tal manera que el objeto que ella ve forme una imagen virtual amplificada. Para este sistema la magnificación del sistema es: M = M o M e Cada magnificación en la figura 1.4 viene dada por: M 0 = v u = 1 f e f 0 M e = N f e = M = N(1 f e) f e f 0 Nl f e f 0 Donde en general N es la distancia mínima de acomodación del ojo normal (25cm.) y l es la longitud del tubo del microscopio, que ha sido estandarizada a 16 cm Procedimiento Experimental Comprobar la ecuación para lentes delgadas Obtener el índice de refracción Estudiar las aberraciones en lentes Construir instrumentos ópticos Analizar cualitativamente un holograma Comprobar la ecuación para lentes delgadas Monte el sistema en el riel óptico con medida de la distancia, el filamento del bombillo sirve de objeto. Ver el diagrama de la figura 1.6. En un extremo del banco óptico, coloque la fuente de luz incandescente, coloque cada una de las lentes convexas asignadas y tome varios valores para las distancias u y v. La distancia de la lente a la imagen ocurre cuando la imagen es lo más nítida posible; el estudiante debe determinar la distancia focal de las diferentes lentes suministradas, tanto cóncavas como convexas. En el caso de lentes cóncavas. El método anterior no se puede aplicar por lo cual se debe medir la distancia de una combinación de lentes, por lo tanto, debe colocar entre el filamento y la lente cóncava una lente convexa de distancia focal corta entre 10 y 50 mm. Realice las mediciones de u y v, determine la distancia focal del sistema y la distancia focal de la lente cóncava. Busque las magnificaciones para cada lente, para esto utilice un objeto en forma de flecha Mida las distancia lente-objeto u y lenteimagen v, calcule la magnificación teórica Mida el tamaño del objeto y la imagen, calcule la magnificación experimental Análisis de las aberraciones En algunos tipos de aberraciones la variación de medidas es muy pequeña, si se le dificulta medirla, el estudiante deberá realizar un análisis de lo sucedido en el experimento Aberración cromática Monte el diagrama básico de la Figura 1.6, coloque cada filtro de color entre la fuente y la lente, determine la distancia focal con cada longitud de onda dada por los filtros, determine la aberración existente. Para las siguientes aberraciones monocromáticas, utilice un filtro o una lámpara de sodio. Esto es con la finalidad de evitar que la aberración cromática se mezcle con otras aberraciones y así evitar que se minimice su estudio físico Aberración esférica Realice el siguiente procedimiento: Coloque el centro de la fuente de luz en el eje óptico, asegúrese que la fuente abarque casi toda la lente. Utilice varios obstáculos u obturadores (figura 1.7) centrados en el eje de la lente, determine la distancia focal en función del diámetro. Para esta parte utilice la lente de +150mm de mayor diámetro. 4

5 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Figura 1.4: Diagrama de un telescopio Figura 1.5: Diagrama de un microscópio 5

6 1.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA 2 Figura 1.6: Esquema básico del montaje experimental Figura 1.7: Obstáculos de diferentes aberturas Aberración comatica o coma Para este estudio el estudiante podrá utilizar cualquiera de los dos métodos explicados a continuación. Primer método Coloque un objeto horizontal entre la fuente de luz y la lente. (puede utilizar la flecha que está en la fuente de luz) Coloque un diafragma de muy pequeño diámetro entre el objeto y la lente, ubique la imagen sobre la pantalla. Gire ligeramente el lente, observe y dibuje la nueva forma de la imagen. Segundo método Para esta parte utilice los obstáculos mencionados en el estudio de las aberraciones esféricas. Busque la distancia focal del objeto horizontal cuando se utiliza el obstáculo de menor diámetro. Cubra uno de los orificios de los obstáculos (Parte inferior o superior del obstáculo), mida el desplazamiento vertical del foco (imagen), repita el procedimiento para el otro orificio Cambie de obstáculo por el de mayor abertura y repita el punto anterior La diferencia vertical en el plano focal es la aberración comatica Curvatura de campo Ilumine uniformemente el objeto Encuentre una imagen nítida. Ubique la distancia focal para cada diagrama dado Distorsión Coloque la transparencia cuadriculada entre la fuente de luz y el lente, cuide que el objeto este uniformemente iluminado. Ubique la imagen, cuidando que la parte central este bien nítida. Dibuje la imagen, la distorsión periférica es denominada de puntas. Coloque un diafragma con una apertura muy pequeña, entre la fuente de luz y la transparencia. 6

7 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA CUESTIONARIO Encuentre la imagen, dibujela, la distorsión periférica es denominada barril. Repita lo anterior para varias distancias del diafragma Astigmatismo Utilice un objeto que tenga componentes vertical y horizontal. Coloque el sistema para que la imagen se forme en una pared lejos del lente. Utilice un lente de distancia focal corta, de tal manera la imagen formada por él esté muy cerca del lente principal. Coloque un diafragma con muy pequeña abertura entre el objeto y la lente. Incline el lente unos pocos grados respecto de la vertical. Moviendo el diafragma se puede observar la imagen tangencial y sagital, mida estas distancias, el astigmatismo es la diferencia entre estas distancias Construcción de instrumentos ópticos Telescopio astronómico y terrestre Microscopio compuesto Utilice varios lentes. Realice el montaje para tener un microscopio. Encuentre el aumento y el poder de resolución en forma analítica y experimental Cuestionario 1. Defina índice de refracción relativo y absoluto de una sustancia Cuál es la diferencia entre ellos? 2. A qué se le denomina ángulo de refracción y ángulo limite? 3. Deduzca la expresión gaussiana para los lentes. 4. Cómo define la magnificación de una lente?, Cómo se la puede utilizar para construir un sistema de proyección? 5. Defina rayos paraxiales. 6. Defina la aberración esférica y la aberración esférica longitudinal. 7. Por qué se emplean espejos parabólicos y no esféricos en los telescopios y sistemas ópticos? Utilice varios lentes convergentes y divergentes Realice un montaje sobre un banco óptico tal que exista un aumento del tamaño del objeto. Determine el aumento del telescopio analíticamente y compárelo con el experimental. Realice algunos cambios para disminuir las aberraciones existentes. Determine el poder de resolución de cada telescopio. Cambie el objetivo por un espejo y repita lo anterior. 7

8 1.4. CUESTIONARIO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA 2 8