I.T.I. FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Félix Rodríguez Física de Ondas, Electricidad y Moderna Grado 11 Guía 15 Lentes e Instrumentos Ópticos

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1 I.T.I. FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Félix Rodríguez Física de Ondas, Electricidad y Moderna Grado Guía 5 Lentes e Instrumentos Ópticos Una lente es un objeto transparente que altera la forma de un frente de ondas que pasa a través de él. Las lentes generalmente se construyen de vidrio y se les da forma de tal modo que la luz refractada forme imágenes similares a las que ya hemos estudiado en el caso de los espejos. Quien haya examinado objetos a través de un vidrio de aumento, observado objetos distantes por medio de un telescopio, o tenga experiencia en fotografía, tiene conocimientos sobre los efectos que tienen las lentes sobre la luz. LENTES SIMPLES La forma más sencilla de entender cómo funcionan las lentes consiste en considerar la refracción de la luz mediante prismas, como ilustra la figura. Cuando la ley de Snell se aplica a cada superficie de un prisma, la luz se desvía hacia la normal cuando entra a un prisma y se aleja de ella cuando sale de él. El efecto, en cualquier caso, es provocar que el haz de luz se desvíe hacia la base del prisma. Los rayos de luz permanecen paralelos debido a que tanto la superficie de entrada como la de salida son planas y forman ángulos iguales con todos los rayos que pasan por el prisma. Por lo tanto, un prisma simplemente altera la dirección de un frente de onda. Suponga que colocamos dos prismas base con base, como muestra la figura 2a. La luz incidente que viene de la izquierda va a converger, pero no se reunirá en un foco. Para enfocar los rayos de luz en un punto, los rayos extremos deben ser desviados más que los rayos centrales. Esto se consigue tallando las superficies de modo que tengan una sección transversal uniformemente curva, como indica la figura 2b. A una lente que conduzca un haz de luz paralelo a un foco puntual en la forma mencionada se le llama lente convergente. Una lente convergente es la que refracta y converge la luz paralela hacia un punto focal situado más allá de la lente. Las superficies curvas de las lentes pueden tener cualquier forma regular, por ejemplo, esférica, cilíndrica o parabólica. Puesto que las superficies esféricas son más fáciles de fabricarse, la mayoría de las lentes se construyen con dos superficies esféricas. La línea que une el centro de las dos esferas se conoce como el eje de las lentes. En la figura 3 se muestran tres ejemplos de lentes convergentes: biconvexa, plano-convexa y de menisco convergente. Observe que las lentes convergentes son más gruesas en el centro que en los bordes. Un segundo tipo de lente se puede construir fabricando los bordes más gruesos que la parte media, como muestra la figura 4. Los rayos de luz paralelos que pasan a través de ese tipo de lentes se desvían hacia la parte gruesa, provocando que el haz se vuelva divergente. La proyección de los rayos de luz refractados muestra que la luz parece provenir de un punto focal virtual ubicado frente a la lente. Una lente divergente es la que refracta y diverge luz paralela a partir de un punto situado frente a la lente. Ejemplos de lentes divergentes son: bicóncava, plano-cóncava y de menisco divergente. Vea la figura 5. LONGITUD FOCAL Y LA ECUACIÓN DEL FABRICANTE DE LENTES Una lente se considera "delgada" si su espesor es pequeño comparado con sus otras dimensiones. Al igual que en el caso de los espejos, la formación de imágenes por lentes delgadas es una función de la longitud focal; sin embargo, hay diferencias Importantes. Una diferencia obvia es que la luz puede pasar a través de una lente en dos direcciones. Esto da por resultado dos puntos focales para cada lente, como muestra la figura 6 para una lente convergente, y la figura 7 para una lente divergente. La primera tiene un foco real F, y la última tiene un foco virtual F'. La distancia entre el centro óptico de una lente y el foco en cualquier lado de la lente es la longitud focal f. Se considera la longitud focal de una lente como la distancia del centro óptico de la lente a cualquiera de sus focos. Puesto que los rayos de luz son reversibles, una fuente de luz que se coloque en cualquier foco de la lente convergente da por resultado un haz de luz paralelo. Esto puede verse si se invierte la dirección de los rayos ilustrados en la figura 6. La longitud focal f de una lente no es igual a la mitad del radio de curvatura, como en los espejos esféricos, sino que depende del índice de refracción n

2 del material con el que esté fabricada. También está determinado por los radios de curvatura R, y R2 de sus superficies, como se define en la figura 5a. Para lentes delgadas, estas cantidades se relacionan mediante la ecuación f (n ) ( R + R 2 ) Debido a que la ecuación anterior implica la construcción de parámetros para una lente, se le conoce como la ecuación del fabricante de lentes. Se aplica por igual para lentes convergentes y divergentes siempre que se siga la siguiente convención de signos:. El radio de curvatura (ya sea R o R2) se considera positivo si la superficie es curva hacia afuera (convexa) y negativa si la superficie es curva hacia adentro (cóncava). (Ver figura 8b). 2. La longitud focal f de una lente convergente se considera positiva, y la longitud focal de una lente divergente se considera negativa. FORMACIÓN DE IMÁGENES MEDIANTE LENTES DELGADAS Para entender cómo se forman las imágenes por medio de lentes, hay que introducir ahora métodos de trazado de rayos. El método consiste en trazar dos o más rayos a partir de un punto seleccionado sobre el objeto y utilizar el punto de intersección como la imagen de ese punto. Puede considerarse que la desviación completa de un rayo que pasa a través de una lente delgada se lleva a cabo en un plano a través del centro de la lente. Definimos el primer punto focal F como el que se localiza del mismo lado de la lente donde incide la luz. El segundo punto focal F2 se localiza en el lado opuesto o más distante de la lente. Con estas definiciones en mente, hay tres rayos principales que se pueden trazar fácilmente a través de la lente. Estos rayos se ilustran en la figura 9 para una lente convergente y en la figura 0 para una lente divergente: RAYO : Es un rayo paralelo al eje que pasa a través del segundo punto focal F2 de una lente convergente o que parece provenir del primer punto focal F de una lente divergente. RAYO 2: Un rayo que pasa a través del primer punto focal F de una lente convergente o avanza hacia el segundo punto focal F2 de una lente divergente y se refracta paralelamente al eje de la lente. RAYO 3: Un rayo que pasa a través del centro geométrico de una lente no se desvía. La intersección de cualquiera de estos rayos (o sus extensiones) que provienen de un objeto puntual, representa la imagen de ese punto. Puesto que una imagen real producida por una lente se forma mediante rayos de luz que en realidad pasan a través de la lente, una imagen real siempre se forma del lado de la lente opuesto al objeto. Una imagen virtual aparecerá del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto. Para ilustrar el método gráfico y, al mismo tiempo, entender la formación de diversas imágenes mediante lentes, consideraremos algunos ejemplos. Las imágenes formadas por una lente convergente se aprecian en la figura. Observe que las imágenes formadas por una lente convexa son similares a las que se forman mediante espejos cóncavos. Esto es cierto debido a que ambos hacen converger la luz. Puesto que las lentes cóncavas divergen la luz, es de esperarse que formen imágenes similares a las que forman los espejos divergentes (espejo convexo). La figura 2 demuestra esta similitud. Las imágenes de objetos reales formadas mediante lentes divergentes siempre son virtuales, no invertidas y de menor tamaño. Para evitar confusiones, es conveniente identificar a las lentes y a los espejos como convergentes o divergentes. Las lentes divergentes con frecuencia se emplean para neutralizar el efecto de las lentes convergentes. LA ECUACIÓN DE LAS LENTES Y EL AUMENTO Las características, el tamaño y la localización de las imágenes pueden también determinarse analíticamente a partir de la ecuación de las lentes. Esta importante relación se puede deducir aplicando la geometría plana a la figura 3. La deducción es similar a la que se hizo para obtener la ecuación del espejo, y la forma final es exactamente igual. La ecuación de las lentes puede escribirse p + q f donde p distancia al objeto 2

3 q distancia a la imagen f distancia focal de la lente Las mismas convenciones de signos establecidas para los espejos se pueden usar en la ecuación de las lentes sí tanto las convergentes como las divergentes se comparan con los espejos convergentes y divergentes. Esta convención se resume en la siguiente forma:. La distancia al objeto p y la distancia a la imagen q se consideran positivas para objetos e imágenes reales y negativos para objetos e imágenes virtuales. 2. La longitud focal f se considera positiva para lentes convergentes y negativa para lentes divergentes. Las siguientes formas alternativas de la ecuación de las lentes resultan útiles para resolver problemas de óptica: p fq q f q fp p f f qp p + q Es conveniente que verifique cada una de estas expresiones resolviendo la ecuación de las lentes explícitamente para cada parámetro que aparece en la ecuación. El aumento de una lente también se deduce de la figura 3 y tiene la misma forma estudiada para los espejos. Hay que recordar que el aumento (amplificación) M se define como la razón del tamaño de la imagen y' con respecto al tamaño del objeto y, por lo que M y y q p donde q es la distancia a la imagen y p es la distancia al objeto. Un aumento positivo indica que la imagen es no invertida, mientras que un aumento negativo ocurre sólo cuando la imagen es invertida. COMBINACIONES DE LENTES Cuando la luz pasa por dos o más lentes, puede determinarse la acción combinada si se considera la imagen formada por la primera lente como el objeto de la segunda, y así sucesivamente. Considere, por ejemplo, el arreglo de lentes de la figura 4. La lente forma una imagen real e invertida I del objeto O. Considerando esta imagen intermedia como un objeto real para la lente 2, la imagen final I2 se ve como real, no invertida y ampliada. La ecuación de las lentes se puede aplicar sucesivamente a estas dos lentes para determinar analíticamente la posición de la imagen final. El aumento total producido por un sistema de lentes es el producto del aumento causado por cada lente del sistema. La clave de esto se aprecia en la figura 4. Los aumentos en este caso son M y y Puesto que y y2, el producto MM2 nos lleva a y y y 2 y 2 M 2 y 2 y 2 y 2 y pero y 2/y es el aumento total M. En general, podemos escribir M M M 2 Entre las aplicaciones de los principios mencionados están el microscopio, el telescopio y otros instrumentos ópticos. MICROSCOPIO COMPUESTO Un microscopio compuesto consiste de dos lentes convergentes, dispuestas en la forma que muestra la figura 5. La lente de la izquierda es de longitud focal corta y se le llama objetivo. Esta lente tiene un aumento grande y forma una imagen real e invertida del objeto que se estudia. La imagen es amplificada aún más mediante un ocular, que forma una imagen final virtual. El aumento total logrado es el producto de las amplificaciones del ocular y el objetivo. TELESCOPIO El sistema óptico de un telescopio de refracción es fundamentalmente el mismo que el del microscopio. Ambos instrumentos emplean un ocular para ampliar la imagen producida por el objetivo, pero un telescopio se usa para 3

4 examinar objetos grandes y distantes, mientras que el microscopio se usa para los objetos cercanos y pequeños. El telescopio de refracción se ilustra en la figura 6. El objetivo forma una imagen real, invertida y reducida del objeto distante. Como en el microscopio, el ocular forma una imagen final aumentada y virtual del objeto distante. Una imagen de telescopio generalmente es más pequeña que el objeto que se observa; por lo tanto, el aumento lineal no es una forma conveniente de describir la eficiencia de un telescopio en particular. Una medida más adecuada es comparar el tamaño de la imagen final con el tamaño del objeto observado sin el telescopio. Si la imagen captada por el ojo es mayor de lo que sería sin el telescopio, el efecto será que el objeto parece más cercano al ojo de lo que realmente está. Aberración cromática es un defecto de una lente que indica su incapacidad para enfocar luz de diferentes colores en el mismo punto. El remedio para este defecto es la lente acromática, que ilustra la figura 8b. Tales lentes pueden construirse mediante una combinación de lente convergente de vidrio crown (para instrumentos ópticos) (n.52) con una lente divergente de vidrio flint (cristal) (n.63). Estas lentes se eligen y se construyen de modo que la dispersión de una sea igual y opuesta a la de la otra. F I G U R A S ABERRACIONES DE LAS LENTES Las lentes esféricas a menudo no logran producir imágenes perfectas debido a defectos inherentes a su construcción. Dos de los defectos más comunes se conocen como aberración esférica y aberración cromática. La aberración esférica, como ya se mencionó para los espejos, es la imposibilidad de las lentes para enfocar todos los rayos paralelos hacia el mismo punto. (Ver la figura 7). La aberración esférica es un defecto de las lentes por el cual los rayos de los extremos se enfocan más cerca de la lente que los rayos que entran cercanos al centro óptico de la lente. Este efecto se puede minimizar colocando un diafragma frente a la lente. El diagrama bloquea los rayos extremos, lo que permite producir una imagen más nítida acompañada de una reducción en la intensidad luminosa. En la guía anterior se analizó el hecho de que el índice de refracción de un determinado material transparente varía con la longitud de onda de la luz que pasa a través de él. Entonces, si la luz blanca incide sobre una lente, los rayos de los colores componentes no son enfocados al mismo punto. El defecto, conocido como aberración cromática, se ilustra en la figura 8a, donde la luz azul aparece enfocada más cerca de la lente que la luz roja. Fig. Los rayos paralelos de luz se flexionan hacia la base del prisma y permanecen paralelos. Fig. 2 (a) Dos prismas colocados base contra base hacen converger los rayos pero no los conducen hacia un foco común. (b) Una lente convergente puede construirse curvando uniformemente las superficies. 4

5 Fig. 3 Ejemplos de lentes convergentes: (a) biconvexa, (b) planoconvexa y (c) menisco convergente Fig. 6 Demostración de la longitud focal de una lente convergente. El punto focal es real debido a que rayos de luz reales pasan por él. Fig. 4 Una lente divergente refracta la luz de tal modo que ésta da la impresión de provenir de un punto situado enfrente de ella. Fig. 7 Demostración de los puntos focales virtuales de una lente divergente Fig. 5 Ejemplos de lentes divergentes: (a) bicóncava, (b) planocóncava y (c) menisco divergente. Fig 8. (a) El punto focal de una lente está determinado por los radios de sus superficies y por el índice de refracción. (b) Convención de signo para el radio de la superficie de una lente. 5

6 Fig. 9 Rayos principales para construir la imagen formada por una lente convergente. Fig. 0 Rayos principales para construir la imagen formada por una lente divergente, Fig. Construcción de la imagen para las siguientes distancias del objeto: (a) más allá de 2F, (b) en 2F, (c) entre 2F y F, (d) en F y (e) dentro de F. 6

7 Fig. 2 Las imágenes que se forman mediante lentes divergentes siempre son virtuales, aparecen en posición correcta y son de menor tamaño. Fig. 5 Combinación de lentes. Fig. 3 Deducción de la ecuación de las lentes y el aumento. Fig. 6 Telescopio de refracción. Fig. 4 El microscopio. Fig. 7 Aberración esférica. 7

8 Solución Sustituyendo en la ecuación del fabricante de lentes queda f (n ) ( + ) R R 2 (.52 ) ( 0 cm 5 cm ) Fig. 8 (a) Aberración cromática, (b) una lente acromática. E J E M P L O Un fabricante de lentes planea construir una lente planocóncava de vidrio con un índice de refracción de.5. Cuál debería ser el radio de su superficie curva si la longitud focal deseada es 30 cm? 0.52 ( cm ) cm f 30 cm cm El hecho de que una longitud focal sea positiva indica que se trata de una lente menisco convergente. Solución El radio de curvatura R para una superficie plana es infinito. El radio s R2 de la superficie cóncava se determina a partir de la ecuación: f (n ) ( + R 2 ) (n ) R 2 R 2 (n ) f (.5.0)( 30 cm) 5 cm Por convención, el signo menos indica que la superficie curva es cóncava. E J E M P L O 2 Una lente menisco tiene una superficie convexa cuyo radio de curvatura es de 0 cm y cuya superficie cóncava tiene un radio de 5 cm. Si la lente se construye en vidrio con un índice de refracción de.52, cuál será su longitud focal? E J E M P L O 3 Un objeto de 4 cm de altura se localiza a 0 cm de una lente convergente delgada que tiene una longitud focal de 20 cm. Cuál es la naturaleza, tamaño y ubicación de la imagen? Solución La situación corresponde a la que se ilustra en la figura e. La distancia a la imagen se encuentra a partir de q pf p f 200 cm2 0 cm (0 cm)(20 cm) 0 cm 20 cm 20 cm El signo menos indica que la imagen es virtual. La relación de aumento nos permite calcular el tamaño de la imagen. 8

9 y qy p M y y q p ( 20 cm)(4cm) 0 cm +8 cm El signo positivo indica que la imagen es no invertida. Este ejemplo ilustra el principio de una lente de aumento. Una lente convergente que se sostiene más cerca de un objeto que su punto focal, produce una imagen virtual, no invertida y ampliada. E J E M P L O 4 Una lente menisco divergente tiene una longitud focal de 6 cm. Si la lente se sostiene a 0 cm del objeto, dónde se localiza la imagen? Cuál es el aumento de la lente? Solución Por sustitución directa q pf p f (0 cm)( 6 cm) 0 cm ( 6 cm) cm El signo menos de nuevo indica que la imagen es virtual. El aumento es M q p ( 6.5 cm) 0 cm El aumento positivo significa que la imagen es no invertida. EJEMPLO CONCEPTUAL 5 En un microscopio compuesto el objetivo tiene una longitud focal de 8 mm, y el ocular tiene una longitud focal de 40 mm. La distancia entre las dos lentes es de 200 mm, y la imagen final aparece a una distancia de 250 mm con respecto al ocular. (a) Qué tan lejos está el objeto del objetivo? (b) Cuál es el aumento total? (Ver la figura 5). Solución (a) En primer lugar representemos al objetivo con el subíndice y al ocular con el subíndice 2. Como se tiene más información sobre los parámetros que afectan a la segunda lente, calcularemos primero la posición de la imagen intermedia. A partir de la ecuación de las lentes, la distancia p2 de la imagen desde segunda lente es p 2 f 2 q 2 q 2 f 2 (40 mm)( 250 mm) 250 mm 40 mm 34.5 mm El signo menos se usó para la distancia a la imagen q2 porque fue medida con respecto a una imagen virtual. Ahora que se conoce p2 es posible calcular la distancia a la imagen q, para la primera imagen. q 200 mm 34.5 mm 65.5 mm De modo que la distancia al objeto p debe ser p q f q f (65.5 mm)(8 mm) 65.5 mm 8 mm Solución (b) El aumento total es el producto de los aumentos individuales: Aplicando la ecuación, obtenemos M q p M 2 q 2 p mm 9

10 M M M 2 +q q 2 p p 2 (65.5 mm)( 250 mm) (8.4 mm)(34.5 mm) 43 El aumento negativo indica que la imagen final es invertida. Este microscopio tiene una especificación nominal de 43X, y el objeto bajo estudio debe colocarse a 8.4 mm del objetivo. ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS. Lea el problema cuidadosamente y trace una línea horizontal que represente el eje de la lente. Indique la posición de puntos que equivalen a f y a 2f a cada lado de la línea vertical que representa a la lente cóncava o convexa. Represente el objeto como una flecha vertical y ubíquela aproximadamente en el lugar que le corresponda, a la izquierda de la lente. 2. Construya un diagrama de trazado de rayos para tener una representación visual del problema. Es suficiente con un bosquejo, a menos que el problema requiera una solución gráfica. Recuerde que las lentes y espejos convergentes y divergentes forman imágenes similares, excepto porque las imágenes virtuales se forman en el lado opuesto para los espejos y del mismo lado para las lentes. Las imágenes reales se forman por rayos de luz reales, y las imágenes virtuales se forman donde la luz tan sólo parece originarse, por ejemplo, atrás del espejo o del mismo lado de las lentes donde incide la luz. 3. Haga una lista de los datos proporcionados teniendo cuidado de colocar el signo apropiado a cada valor. El radio y la longitud focal son positivos para los espejos convergentes y negativos para los espejos divergentes. Las distancias a la imagen q son positivas cuando se miden respecto a imágenes reales, y negativas cuando corresponden a imágenes virtuales. El tamaño de la imagen y' es positivo para imágenes no invertidas y negativo para imágenes invertidas. 4. Use las siguientes ecuaciones para hacer las sustituciones necesarias y resolver las cantidades desconocidas. No confunda los signos de operación (suma o resta) con los signos de sustitución. p + q f M y y q p 5. Puede resultar necesario eliminar una incógnita resolviendo tanto la ecuación del espejo como la ecuación del aumento en forma simultánea. T R A B A J O E N C L A S E (Vale por Sello). Si se usa una lente biconvexa de vidrio para obtener una distancia focal de 30 cm, cuál deberá ser la curvatura de cada una de las superficies convexas? 2. Una lente de menisco convergente tiene una superficie cóncava cuyo radio es 20 cm y una superficie convexa con un radio de 2 cm. Cuál es la distancia focal? 3. Una lente de menisco tiene una superficie convexa cuyo radio es de 20 cm y una superficie cóncava con un radio de 30 cm. Cuál es la distancia focal si el índice de refracción es de.54? 4. Las magnitudes de las superficies cóncava y convexa de una lente de vidrio son 200 y 600 mm, respectivamente. Cuál es la distancia focal? La lente es convergente o divergente? 0

11 5. Un lápiz de 7 cm se coloca a 35 cm de una lente convergente delgada cuya distancia focal es de 25 cm. Cuáles son la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen formada? 6. Una imagen virtual no invertida parece estar a 40 cm del frente de una lente cuya distancia focal es 5 cm. A qué distancia se encuentra el objeto? 5. Cuál es la amplificación de una lente si su distancia focal es de 40 cm y la distancia al objeto es 65 cm? 6. La distancia focal de una lente convergente es 200 mm. Un objeto de 60 mm está montado sobre una guía móvil que permite modificar la distancia desde la lente. Calcule la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen que se forma cuando el objeto está a la siguiente distancia: (a) 50 mm, (b) 200 mm, (c) 300 mm, (d) 400 mm, (e) 600 mm. T R A B A J O E N C A S A (Vale por Sello). Un objeto colocado a 30 cm de una lente delgada produce una imagen real, invertida, a una distancia de 60 cm en el lado opuesto de la lente. Cuál es la distancia focal de la lente? BIBLIOGRAFÍA Mc Graw Hill Serway, Física Tomo II Publicaciones Cultural, Física General Prentice Hall, Wilson - Buffa, Física Editorial Voluntad Física Investiguemos 2. Una lente planoconvexa se coloca a 40 mm de un objeto de 6 cm. Cuáles son la naturaleza y la ubicación de la imagen formada si la distancia focal es de 60 mm? 3. Un objeto está colocado a 20 cm de una lente convergente. Si la amplificación es 2, cuál es la distancia de la imagen? Wikipedia. Enciclopedia libre Apuntes de Física Luis Alfredo Caro Fisicanet Ver FÍSICA OLIMPIADAS (Editorial Voluntad) Ejercicios de página de Internet fuerzas mecánicas. Ejercicios y laboratorios virtuales PIME Editores, Física, Mecánica y Calorimetría www. Ibercajalav.net/ Santillana, Física Nueva edición. 4. Tenemos una lupa cuya distancia focal es 27 cm. Qué tan cerca se deberá colocar esta lupa para producir una imagen no invertida tres veces más grande que el objeto? Limusa Noriega Editores, Física Recreativa Diseño_Lucho_Acevedo

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