TALLER DE LENTES LENTES

Transcripción

1 Docente: Edier Saavedra Urrego Fecha: julio 25 de 2013 Asignatura: física TALLER DE LENTES 1. Realice un resumen de la siguiente lectura en su cuaderno. Y con base en la misma, discuta en grupo (máximo 5 estudiantes) los ejemplos que se presentan en el documento 2. Propongan al menos (mínimo) 4 ejercicios que hagan uso de objetos de distintos tamaños y lentes biconvexos, dibujando el esquema y hallando los datos faltantes. (tal como se trabajó con espejos) 3. Explique el funcionamiento del microscopio en su cuaderno de forma clara y con base en la lectura. LENTES Una lente es un objeto transparente que altera la forma de un frente de ondas que pasa a través de él. Las lentes generalmente se construyen de vidrio y se les da forma de tal modo que la luz refractada forme imágenes similares a las que ya hemos estudiado en el caso de los espejos. Quien haya examinado objetos a través de un vidrio de aumento, observado objetos distantes por medio de un telescopio, o tenga experiencia en fotografía, tiene conocimientos sobre los efectos que tienen las lentes sobre la luz. En este tema estudiaremos las imágenes formadas por medio de lentes y estudiaremos sus aplicaciones. LENTES SIMPLES La forma más sencilla de entender cómo funcionan las lentes consiste en considerar la refracción de la luz mediante prismas, como ilustra la figura 1. Cuando la ley de Snell se aplica a cada superficie de un prisma, la luz se desvía hacia la normal cuando entra a un prisma y se aleja de ella cuando sale del prisma. El efecto, en cualquier caso, es provocar que el haz de luz se desvíe hacia la base del prisma. Los rayos de luz permanecen paralelos debido a que tanto la superficie de entrada como la de salida son planas y forman ángulos iguales con todos los rayos que pasan por el prisma. Por lo tanto, un prisma simplemente altera la dirección de un frente de onda. Figura 1. Los rayos paralelos de luz se flexionan hacia la base del prisma y permanecen paralelos. Tomado de:

2 Suponga que colocamos dos prismas base con base, como muestra la figura 2(a). La luz incidente que viene de la izquierda va a converger, pero no se reunirá en un foco. Para enfocar los rayos de luz en un punto, los rayos extremos deben ser desviados más que los rayos centrales. Esto se consigue tallando las superficies de modo que tengan una sección transversal uniformemente curvada, como indica la figura 2(b). Una lente que conduzca un haz de luz paralelo a un foco puntual en la forma mencionada se llama lente convergente. 2 Una lente convergente es la que retracta y converge la luz paralela hacia un punto focal situado más allá de la lente. Figura 2. (a) Dos prismas colocados base contra base hacen convergir los rayos pero no los conducen hacia un foco común. (b) Una lente convergente puede construirse curvando uniformemente las superficies. Las superficies curvas de las lentes pueden tener cualquier forma regular, por ejemplo esférica, cilíndrica o parabólica. Puesto que las superficies esféricas son más fáciles de fabricar, la mayoría de las lentes se construyen con dos superficies esféricas. La línea que une el centro de las dos esferas se conoce como eje de las lentes. En la figura 3 se muestran tres ejemplos de lentes convergentes: biconvexa, planoconvexa y de menisco convergente. Observe que las lentes convergentes son más gruesas en el centro que en los bordes. Figura 3. Ejemplos de lentes convergentes: (a) biconvexa, (b) planoconvexa, y (c) menisco convergente.

3 Un segundo tipo de lente se puede construir fabricando los bordes más gruesos que la parte media, como muestra la figura 4. Los rayos de luz paralelos que pasan a través de ese tipo de lentes se desvían hacia la parte gruesa, provocando que el haz se vuelva divergente. La proyección de los rayos de luz refractados muestra que la luz parece provenir de un punto focal virtual ubicado frente a la lente. 3 Una lente divergente es la que retracta y diverge luz paralela a partir de un punto situado frente a la lente. Figura 4. Una lente divergente refracta la luz de tal manera, que ésta parece provenir de un punto situado enfrente de ella. Ejemplos de lentes divergentes son: bicóncava, planocóncava y de menisco divergente. Vea la figura 5. Figura 5. Ejemplos de lentes divergentes: (a) bicóncava, (b) planocóncava, y (c) menisco divergente.

4 LONGITUD FOCAL Y LA ECUACIÓN DEL FABRICANTE DE LENTES 4 Una lente se considera "delgada" si su espesor es pequeño comparado con sus otras dimensiones. Al igual que en el caso de los espejos, la formación de imágenes por lentes delgadas es una función de la longitud focal; sin embargo, hay diferencias importantes. Una diferencia obvia es que la luz puede pasar a través de una lente en dos direcciones. Esto da por resultado dos puntos focales para cada lente, como se muestra en la figura 6 para una lente convergente, y en la figura 7 para una lente divergente. La primera tiene un foco real F, y la última tiene un foco virtual F'. La distancia entre el centro óptico de una lente y el foco en cualquier lado de la lente es la longitud focal f. La longitud focal f de una lente es la distancia del centro óptico de la lente a cualquiera de sus focos. Puesto que los rayos de luz son reversibles, una fuente de luz que se coloque en cualquier foco de la lente convergente da por resultado un haz de luz paralelo. Esto puede verse si se invierte la dirección de los rayos ilustrados en la figura 6. Figura 6. Demostración de la longitud focal de una lente convergente. El punto focal es real debido a que pasan por él los rayos de luz reales. Figura 4. Demostración de los puntos focales virtuales de una lente divergente.

5 La longitud focal f de una lente no es igual a la mitad del radio de curvatura, como en los espejos esféricos, sino que depende del índice de refracción n del material con el que esté fabricada. También está determinada por los radios de curvatura R l y R 2 de sus superficies como se define en la figura 3(a). Para lentes delgadas, estas cantidades se relacionan mediante la ecuación: 5 Debido a que la ecuación anterior implica la construcción de parámetros para una lente, se conoce como ecuación del fabricante de lentes. Se aplica por igual para lentes convergentes y divergentes siempre que se siga la siguiente convención de signos: 1. El radio de curvatura (ya sea R 1 o R 2 ) se considera positivo si la superficie es curva hacia afuera (convexa) y negativa si la superficie es curva hacia adentro (cóncava). 2. La longitud focal de una lente convergente se considera positiva, y la longitud focal de una lente divergente se considera negativa. Figura 5. (a) El punto focal de una lente está determinado por los radios de sus superficies y por el índice de refracción. (b) Convención de signos para el radio de la superficie de una lente. EJEMPLO 17. Un fabricante de lentes planea construir una lente planocóncava de vidrio con un índice de refracción de 1.5. Cuál debería ser el radio de su superficie curva si la longitud focal deseada es -30 cm? Solución El radio de curvatura R 1 para una superficie plana es infinito. El radio R 2 de la superficie cóncava se determina a partir de la ecuación del fabricante de lentes.

6 6 R 2 = f (n-1) = ( ) (-30 cm) = -15 cm Por convención el signo menos indica que la superficie curva es cóncava. EJEMPLO 18. Una lente menisco tiene una superficie convexa cuyo radio de curvatura es de 10 cm y cuya superficie cóncava tiene un radio de -15 cm. Si la lente se construye en vidrio con un índice de refracción de 1.52, cuál será su longitud focal? Solución: Sustituyendo en la ecuación del fabricante de lentes queda: El hecho de que una longitud focal sea positiva indica que se trata de una lente menisco convergente. FORMACIÓN DE IMÁGENES MEDIANTE LENTES DELGADAS Para entender cómo se forman las imágenes por medio de lentes, hay que introducir ahora métodos de trazado de rayos similares a los que se estudiaron para los espejos esféricos. El método consiste en trazar dos o más rayos a partir de un punto seleccionado sobre el objeto y utilizar el punto de intersección como la imagen de ese punto. Puede considerarse que la desviación completa de un rayo que pasa a través de una lente delgada se lleva a cabo en un plano a través del centro de la lente. Anteriormente se hizo notar que una lente tiene dos puntos focales. Definimos el primer punto focal F 1 como el que se localiza del mismo lado de la lente donde incide la luz. El segundo punto focal F 2 se localiza en el lado opuesto o más distante de la lente. Con estas definiciones en mente, hay tres rayos principales que se pueden trazar fácilmente a través de la lente. Estos rayos se ilustran en la figura 6 para una lente convergente y en la figura 7 pata una lente divergente:

7 Rayo 1 Es un rayo paralelo al eje que pasa a través del segundo punto focal F 2 de una lente convergente o que parece provenir del primer punto focal F 1 de una lente divergente. 7 Rayo 2 Un rayo que pasa a través del primer punto focal F I de una lente convergente o avanza hacia el segundo punto focal F z de una lente divergente se retracta paralelamente al eje de la lente. Rayo 3 Un rayo que pasa a través del centro geométrico de una lente no se desvía. Figura 6. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente convergente. Figura 7. Rayos principales para construir la imagen formada por una lente divergente. La intersección de cualquiera de estos rayos (o sus extensiones) que provienen de un objeto puntual, representa la imagen de ese punto. Puesto que una imagen real producida por una lente se forma mediante rayos de luz que en realidad pasan a través de la lente, una

8 imagen real siempre se forma del lado de la lente opuesto al objeto. Una imagen virtual aparecerá del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto. Para ilustrar el método gráfico y, al mismo tiempo, entender la formación de diversas imágenes mediante lentes, consideraremos algunos ejemplos. Las imágenes formadas por una lente convergente se aprecian en la figura 9 para las siguientes posiciones del objeto: 8 (a) (b) (c) (d) (e) Objeto localizado a una distancia de más del doble de la longitud focal. Se forma una imagen real, invertida y menor entre F 2 y 2F 2 en el lado opuesto de la lente. El objeto está a una distancia igual al doble de la longitud focal. Una imagen real, invertida, del mismo tamaño se ubica en 2F 2 en el lado opuesto de la lente. El objeto se localiza a una distancia entre una y dos longitudes focales de la lente. Se forma una imagen real, invertida y mayor, más allá de 2F 2 del lado opuesto de la lente. El objeto está en el primer punto focal F 1. No se forma imagen. Los rayos refractados son paralelos. El objeto se encuentra dentro del primer punto focal. Se forma una imagen virtual, erecta (derecha) y mayor, del mismo lado de la lente donde se encuentra el objeto. Observe que las imágenes formadas por una lente convexa son similares a las que se forman mediante espejos cóncavos. Esto se debe a que ambos hacen converger la luz. Puesto que las lentes cóncavas divergen la luz, es de esperarse que formen imágenes similares a las que forman los espejos divergentes (espejo convexo). La figura 8 demuestra esta similitud. Las imágenes de objetos reales formadas mediante lentes divergentes siempre son virtuales, derechas y de menor tamaño. Figura 8. Las imágenes que se forman mediante lentes divergentes siempre son virtuales, erectas y de menor tamaño.

9 Para evitar confusiones, es conveniente identificar las lentes y los espejos como convergentes o divergentes. Las lentes divergentes con frecuencia se emplean para neutralizar el efecto de las lentes convergentes. 9 Figura 9. Construcción de la imagen para las siguientes distancias del objeto: (a) más allá de 2 F 1, (b) en 2 F 1, (c) entre 2 F 1 y F 1, (d) en F 1 y (e) dentro de F 1.

10 LA ECUACIÓN DE LAS LENTES Y EL AUMENTO Las características, el tamaño y la localización de las imágenes pueden también determinarse analíticamente a partir de la ecuación de las lentes. Esta importante relación se puede deducir aplicando la geometría plana a la figura 10. La deducción es similar a la que se hizo para obtener la ecuación del espejo, y la forma final es exactamente igual. La ecuación de las lentes puede escribirse: p q f donde p = distancia al objeto q = distancia a la imagen f = distancia focal de la lente Las mismas convenciones de signos establecidas para los espejos se pueden usar en la ecuación de las lentes si tanto las convergentes como las divergentes se comparan con los espejos convergentes y divergentes. Esta convención se resume en la siguiente forma: 1. La distancia al objeto p y la distancia a la imagen q se consideran positivas para objetos e imágenes reales y negativas para objetos e imágenes virtuales. 2. La longitud focal f se considera positiva para lentes convergentes y negativa para lentes divergentes. Las siguientes formas alternativas de la ecuación de las lentes resultan útiles para resolver problemas de óptica Es conveniente que verifique cada una de estas expresiones resolviendo la ecuación de las lentes explícitamente para cada parámetro que aparece en la ecuación. El aumento de una lente también se deduce de la figura 10 y tiene la misma forma estudiada para los espejos. Hay que recordar que el aumento (amplificación) M se define como la razón del tamaño de la imagen y con respecto al tamaño del objeto y, por lo que: donde q es la distancia a la imagen y p es la distancia al objeto. Un aumento positivo indica que la imagen es derecha, mientras que un aumento negativo ocurre sólo cuando la imagen es invertida.

11 11 Figura 10. Deducción de la ecuación de las lentes y el aumento. EJEMPLO 19. Un objeto de 4 cm de altura se localiza a 10 cm de una lente convergente delgada que tiene una longitud focal de 20 cm. Cuál es la naturaleza, tamaño y ubicación de la imagen? Solución: La situación corresponde a la que se ilustra en la figura 8(e). La distancia a la imagen se encuentra a partir de: El signo menos indica que la imagen es virtual. La relación de aumento nos permite calcular el tamaño de la imagen: El signo positivo indica que la imagen es derecha. Este ejemplo ilustra el principio de una lente de aumento. Una lente convergente que se sostiene más cerca de un objeto que su punto focal, produce una imagen virtual, derecha y ampliada. EJEMPLO 20. Una lente menisco divergente tiene una longitud focal de -16 cm. Si la lente se sostiene a 10 cm del objeto, dónde se localiza la imagen? Cuál es el aumento de la lente? Solución Por sustitución directa:

12 El signo menos de nuevo indica que la imagen es virtual. El aumento es: 12 El aumento positivo significa que la imagen es derecha. COMBINACIONES DE LENTES Cuando la luz pasa por dos o más lentes, puede determinarse la acción combina- da si se considera la imagen formada por la primera lente como el objeto de la segunda, y así sucesivamente. Considere por ejemplo, el arreglo de lentes de la figura 11. La lente 1 forma una imagen real e invertida I 1 del objeto O. Considerando esta imagen intermedia como un objeto real para la lente 2, la imagen final I 2 se ve como real, derecha y ampliada. La ecuación de las lentes se puede aplicar sucesivamente a estas dos lentes para determinar analíticamente la posición de la imagen final. El aumento total producido por un sistema de lentes es el producto del aumento causado por cada lente del sistema. La clave de esto puede apreciarse en la figura 11. Los aumentos en este caso son: Puesto que y 1 = y 2, el producto M 1 M 2 nos lleva a: ' ' ' Entre las aplicaciones de los principios mencionados están el microscopio, el telescopio y otros instrumentos ópticos. Figura 11. El microscopio.