UN ESTUDIO DE CONCEPCIONES DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN EN ESTUDIANTES DE INGENIERÍA

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1 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar UNESTUDIODECONCEPCIONESDELCONCEPTODEFUNCIÓNENESTUDIANTESDE INGENIERÍA MayraVirginiaCastilloMontes UniversidaddeSanCarlosdeGuatemala Guatemala mayracastillomyahoo.com Campodeinvestigación: Gráficasyfunciones Nivel: Superior Resumen. En la investigación realizada se indagaron los dominios cognitivos y de representaciónquemanifiestanlosestudiantesdeingenieríaacercadelconceptodefunción. Para tal efecto se desarrollaron tres estudios complementarios que incluyen: la revisión bibliográficaacercadelaevoluciónhistóricadelconceptodefunciónylosobstáculosde aprendizajeasociadosconella;análisisdelavisióndelconceptotransmitidaporelsistemade enseñanzapormediodelosprogramasylibrosdetextoutilizadosy,laexploracióndelas concepcionesdelosestudiantespormediodeuncuestionarioaplicadoaunamuestrade368 alumnosdelosprimerosdosañosde10carrerasdeingeniería.lainvestigaciónpermitió caracterizarlasconcepcionesdelosestudiantesacercadelconceptodefunciónyevidenció quelasconcepcionesmanifestadasaniveldeclarativonosiempresonconsistentesconlas mostradasalutilizarelconceptoenlamodelaciónysolucióndesituacionesproblema. Palabrasclave:concepciones,concepto,función,representación Introducción Elconceptodefunciónesunodelosmásimportantesconceptosmatemáticosestudiadosenlas diversascarrerasdeingenieríaalolargodecuatrocursosdematemáticaqueincluyencontenidos de precálculo, cálculo diferencial e integral en una y varias variables. Además, se estudian diversidaddeaplicacionestantoenáreasbásicascomofísica,estadísticayquímica,asícomoen otrasespecíficasdelcampoprofesionaldecadaespecialidad. Paralelamente a su valor formativo y a su gran potencial como herramienta modeladora de fenómenos de distinta naturaleza, se reconoce una alta complejidad en el aprendizaje del conceptodefuncióndebidoalamultiplicidaddesusregistrosderepresentación,alavariedadde contextosenlosquepuedeaplicarseyalenfoquealgorítmicoquemuchasvecespredominaensu tratamientodidáctico. Enelcontextodelaformaciónmatemáticadelprofesionaldeingeniería,dichacomplejidadderiva en la observación de obstáculos de aprendizaje del concepto de función para cuya solución didácticanoseencontraronestudiospreviosacercadeltema,realizadosenelcontextodela educaciónsuperiorguatemalteca,particularmentereferidaalascarrerasdeingeniería. 419 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Apartirdel2005,fechaenqueserealizóelpresenteestudio,conbaseenlosresultadosobtenidos y con el apoyo de la Dirección General de Investigación de la Universidad de San Carlos de Guatemala, se abrió una línea de trabajo investigativo que pretende vincular la investigación educativaconladocenciaalproponersecuenciasdidácticasquepermitanplantearsolucionesala problemáticaidentificada. Fundamentosteóricos LainvestigaciónseabordóconbaseenunestudiodeRuiz(1998),queproporcionaelsustento metodológicoylaadopciónconceptualdeconcepciones(delsujeto)ensusentidolocal,como significacionesyrepresentacionesvariadasquelosalumnosasocianconunobjetomatemático queesúnico,enestecasoeldefunción,comoproductodesuinteracciónensistemasdidácticoso consuentorno.envistadelcarácterinternodelasconcepcionesqueunsujetoelabora,elestudio se restringe al análisis interpretativo de un sistema de prácticas (textuales, graficas, orales) evidenciado en la solución de las situaciones exploratorias propuestas. Del mismo estudio se adoptalacaracterizaciónpropuestadelasconcepcionesdelossujetos,enlascualesintervienen: Losinvariantesquesereconocencomoelementosesencialesdelobjetomatemático. El conjunto de representaciones simbólicas que se asocian y utilizan para resolver situacionesproblemavinculadasconelconcepto. Elconjuntodesituacionesqueelsujetoasociaconelconceptomatemático,esdecir,en lascualesconsideraapropiadosuusocomoherramienta. Lasposicionesteóricasacercadelasrepresentacionessemióticassetomandelosaportesde Duval (1998) y de los estudios realizados por Hitt (1996) y Dolores (2002), en los cuales se evidencia que los sistemas de representación pueden ser de carácter numérico, gráfico, algebraico, analítico, pictórico y verbal. Con base en los resultados de los trabajos de Gatica (2002),seanalizóeltratamientodidácticodadoaltemaenlosprogramasdeloscursosenestudio yenlosrespectivoslibrosdetextoutilizados. 420 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Referentealaformaderepresentaciónpredominante,investigacionesrealizadasporTall(1988) conestudiantesanglosajones,evidencianunamarcadatendenciaaconceptualizarunafunción como una expresión algebraica, la cual aparece asociada con la dificultad para identificar funcionescuandonosecuentaconunafórmulaalgebraica.estehechosetornaparticularmente importante al conjugarlo con los aportes de Kleiner (1989) y Ponte (1990) en los cuales se establecequedichaconcepcióncorrespondealasdefinicionesdadasporbernoulliyeulerenel siglo XVII, en las cuales se asociaba fuertemente el concepto de función con una expresión analítica. OtrosaportesteóricosimportantessurgendeltrabajodeDeLaRosa(2003)enelcualindagalas concepcionesdeprofesoresmejicanosdelnivelmedioacercadelconceptodefunciónyreporta queademásdelatendenciaaconceptualizarlasfuncionescomoexpresionesanalíticas,setiene muyarraigadalaideaquelasfuncionesdebenrepresentarseporunasolaexpresiónalgebraica. Estopermiteexplicarlasdificultadesdetectadasenelpresenteestudioparaidentificarfunciones definidas por partes en forma algebraica, así como para su utilización en la modelación de situacionesproblema. La revisión bibliográfica realizada permitió adoptar como bases teóricas importantes los siguientesresultados: El manejo adecuado del concepto de función implica el dominio de las distintas representacionesdelconcepto,laevocacióndelasmismassinningunacontradicciónyde maneracasiespontánea (DeLaRosa,2003,p.122). Encuantoalaresolucióndeproblemas ( )Lapercepcióndelasfuncionescomouna herramientaapropiadaparamodelaromatematizarrelacionesentremagnitudesfísicas (uotras)esunacondiciónsinequanonparadarsentidoalconceptodefunciónensu totalidad (Sierpinska,citadaporRuiz,1998,p.64) Laconjugacióndeestosresultadospermiteestablecercuándoyenquémedidaelconceptode función ha sido adquirido y resalta la necesidad de presentar al estudiante de ingeniería situacionesproblemadiversasquepropicienlaconstrucciónglobaldelconcepto. 421 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Objetivos 1. Caracterizareldominiocognitivodelasconcepcionesquemanifiestanlosestudiantesde ingeniería,acercadelconceptodefunción. 2. Identificarlasconcepcionesquepermanecenylasqueevolucionanatravésdeltránsitode losestudiantesporcuatrocursosdematemática. Metodología 1. Población y muestra: la población objeto de estudio estuvo constituida por cuatro sub poblacionesconsideradasindependientes,cuyostamañossedescribenacontinuaciónjuntoa losrespectivostamañosmuestrales. Población Tamañopoblacional Tamañomuestral EstudiantesMatemáticaBásica EstudiantesMatemáticaBásica EstudiantesMatemáticaIntermedia EstudiantesMatemáticaIntermedia Total Fuente:CentrodeCálculo,FacultaddeIngeniería.USAC. 2. Elaboración deinstrumentoderecolección dedatos:conbaseenlarevisiónbibliográfica acercadelastareasquecomprendeneldominiocognitivodelconceptodefunciónyotros instrumentos utilizados para su exploración, se elaboró cuestionario y se discutió con los profesoresqueimpartenloscursosenestudio.dichoinstrumentoconstabadetrespartes:en laprimerasebuscabaquelosalumnosexplicitaransusconcepcionesenformaverbal,dieran ejemplosypropusieranejerciciosparaelaprendizajedelconcepto.lasegundaparteproponía representacionesanalíticasygráficassolicitandoqueseidentificaranloscasosenquefuesen 422 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar funcionesysejustificaralarespuestadada.enlatercera,sepropusieronsituacionesproblema queincluíanvariacióngeométrica,conrespectoaltiempoyenlavidacotidiana. 3. Validacióndelinstrumento:medianteunmuestreoaleatoriosimpleseseleccionóunamuestra pilotode93alumnosdistribuidosenloscuatrocursoscomoseindicaacontinuación: Curso MatemáticaBásica1 MatemáticaBásica2 Tamañomuestral piloto MatemáticaIntermedia1 34 MatemáticaIntermedia2 17 Total 93 Paradeterminarlaconfiabilidaddelinstrumentoelaboradoseutilizóelmodelodelcoeficiente alfadecronbach,yconayudadelpaqueteestadísticospssseobtuvocomoresultadoque= ,apartirdelocualseconsideróquelapruebaeraconfiableyquepodíautilizarsepara evaluarlamuestradefinitiva. 4. Análisis de información: se analizaron los programas de los cursos y los libros de texto utilizadosporlosalumnosyserealizóunanálisisdecontenidodelasrepuestasdadasacada situación propuesta. A partir de las tablas de frecuencias de las variables en estudio, se realizaroncrucesentrelasclasificacionescorrespondientesacadacurso,conelobjetivode identificarlaevolucióndelasvariablesduranteelprocesodeaprendizaje.luego,serealizóun análisis factorial y de correspondencia de las respuestas dadas por los estudiantes en las situacionesdereconocimientodefuncionesapartirdesurepresentación gráficaydesu representaciónalgebraica.loanteriorsecompletóconlaaplicacióndeanálisisdecluster,en buscadeidentificaragrupacionesdelosdatosobtenidos. 423 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Resultadosobtenidos Delanálisisdeprogramasylibrosdetextodeloscursos 1. Enelprimercursodematemáticaelconceptodefunciónsepresentacomotransformación entre los números reales o subconjuntos de ellos, con privilegio de las representaciones algebraicaygráfica.laaplicacióndelconceptoserealizaencontextosdevariaciónrespectoal tiempoyensituacionesgeométricas. 2. Enelsegundocursoelconceptodefunciónsevinculaconlostemasdecontinuidad,límites, derivadas e integrales definidas, con énfasis en los dominios gráfico, algebraico y de aplicación,principalmenteensituacionesproblemaqueincluyenvariaciónconrespectoal tiempo. 3. Eneltercercurso,elconceptodefunciónseestudiarelacionadocondiversastécnicasde integración,tantoenintegralesdefinidascomoindefinidas.seenfatizaeldominioalgebraico delconcepto. 4. Enelúltimocursoseestudianfuncionesdevariasvariablesytécnicasdeintegraciónpara integralesdoblesytriples,endiferentessistemasdecoordenadas(rectangulares,cilíndricasy polares). 5. Enloslibrosdetextoutilizadoshayescasezdeejemplosyejerciciosquerequieraneltránsito entre los diferentes dominios cognitivos del concepto de función, ya que usualmente se privilegialautilizacióndealgunodeellos,queengeneralesdetipoalgebraicoográfico. 6. En los ejemplos y ejercicios propuestos se detectó que existe énfasis en el tratamiento algebraico del concepto de función, el cual en general deriva en la realización de procedimientosalgorítmicos. 7. Elconceptodefunciónensímismoseestudiaúnicamenteenelprimercurso,enlostres restantessesuponecompletadosuaprendizajeyseenfatizalaejecucióndeprocedimientos algorítmicosparaelcálculodelímites,derivadaseintegrales. 424 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Delanálisisderespuestasdadasporlosestudiantes 1. Lasconcepcionesacercadelconceptodefunciónquefueronidentificadassepuedenclasificar delasiguientemanera:algoritmodecálculo,expresiónalgebraica,representacióngráfica, asociación(correspondenciaentreconjuntosnuméricos)ytransformación. 2. Laconcepciónrespectoalconceptodefunciónquesemanifiestaconmayorénfasisenlos alumnos del primer curso de matemática es de tipo numérico, observándose que ésta desaparece paulatinamente en el tránsito de los estudiantes por los cursos superiores. Paralelamenteadichodescenso,seobservaunincrementodelamanifestacióndeldominio algebraicodelconcepto,lacualespredominanteenlaúltimaetapa. 3. Losalumnosdeingenieríapresentandificultadesparatransitarentrelosdiferentesdominios cognitivosdelconceptodefunción,mostrándoseenparticularescasamentedesarrolladala habilidadparamodelarproblemasutilizandofunciones,aúnenlosestudiantesdelúltimo cursoanalizado. 4. Elanálisisfactorialpermitiócategorizarlasrepresentacionesalgebraicasygráficaspropuestas parasuidentificación,encincoclases:a)representacionesgráficasdefuncionesdefinidaspor partes,b)funcionesconstantes,c)representacionesalgebraicasdefuncionesracionales,d) representacionesquenosonfuncionesyd)representacionesidentificadasporsuforma. 5. El análisis de cluster evidenció una fuerte semejanza entre las agrupaciones construidas individualmenteparacadacursoylaagrupaciónobservadaenlamuestratotal.estehecho evidencia que el comportamiento de los estudiantes ante las situaciones propuestas es independientedelcursoenelcualseubican. Conclusionesfinales 1. El tratamiento didáctico dado al concepto de función en los textos analizados, aporta elementosquecondicionanlasconcepcionesdelosestudiantesdeingenieríaacercadedicho concepto,locualsemanifiestaenlosejemplosyejerciciosqueproponen,argumentoscon quejustificansusprocedimientosysituacionesenlasqueempleanelconcepto. 425 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 2. Esposibleafirmarquelasconcepcionesdelosestudiantesdeingenieríaacercadelconcepto defunción,noevolucionansignificativamenteeneltránsitodelosalumnosporlosdiversos cursosdematemática,comoseríadeesperarse.lasconcepcionesmásarraigadasson:como fórmulaalgebraicaycomorepresentacióngráfica. 3. Las expresiones verbales del concepto de función son elaboraciones que los estudiantes realizandeformapersonal,enlasquepredominalaideaqueunafunciónesunaasociación entreconjuntosnuméricos. 4. En los alumnos de ingeniería existe diversidad de concepciones respecto a la noción de función,manteniendocadaunadeellasuncarácterlocal,fragmentadoycompartimentado. Porlocualseconsideraincompletosuaprendizaje. Avancesenelproyecto Apartirdelasocializacióndelosresultadosobtenidosconlosprofesoresdematemáticadela Facultad de Ingeniería y de otras unidades académicas, se continuó trabajando en esta línea investigativaconlaindagacióndelasconcepcionesdelosprofesoresqueensumayoríason ingenieros acerca del concepto de función. Además, se trabaja en el ensayo de secuencias didácticas que pretenden vincular las diferentes representaciones del concepto de función y fortalecersuaplicaciónenlamodelacióndefenómenospropiosdelaprácticadelasdiferentes especialidadesdelascarrerasdeingeniería. Referenciasbibliográficas DeLaRosa,A.(2003).Erroreseinconsistenciasenlaenseñanzadelconceptodefunciónenel docente.mosaicosmatemáticos1, Dolores, C. (2002). Un estudio acerca de las concepciones de los estudiantes sobre el comportamiento variacional de funciones elementales. En C. Crespo Crespo (Ed), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 15 (I) (pp. 7581). México: Grupo Editorial Iberoamericana. 426 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Duval,R.(1998).Registrosdepresentaciónsemióticayfuncionamientocognitivodepensamiento. InvestigacionesenMatemáticaEducativa,II, Gatica,N.(2002).Elconceptodefunciónentextosuniversitarios.EnC.CrespoCrespo(Ed),Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 15 (I) (pp ). México: Grupo Editorial Iberoamericana. Hitt,F.(1996).Sistemassemióticosderepresentacióndelconceptodefunciónysurelacióncon problemasepistemológicosydidácticos.investigacionesenmatemáticaeducativaii, Kleiner,I.(1989).EvolutionoftheFunctionConcept.TheCollegeMathematicsJournal,Volumen 20(4). Ponte, J. (1990). The history of the concept of function and some educational implications. EducacaoeMatematicaNo.15 Ruiz,L.(1998).Lanocióndefunción:Análisisepistemológicoydidáctico.Jaén,España:Universidad dejaén. Tall,D.(1988).Conceptimageandconceptdefinition.USA.:UniversityofWarwick. 427 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.