que tomar en cuenta en qué medida nos puede ayudar a lograr los objetivos establecidos, el

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1 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas FORMEMOSCUADRADOS GloriaArgeliaEkTuz,NormaEstherHaasEk,GennyRocíoUicabBallote FacultaddeMatemáticasUniversidadAutónomadeYucatán México Campodeinvestigación: Pensamientogeométrico Nivel: Básico Resumen.Laimplementacióndematerialesdidácticostangiblesenelprocesodeenseñanza aprendizajepuedeofrecerbeneficiosalaeducaciónmatemática,paraesto,esimportante tomarencuentaenquémedidanospuedenayudaralograrlosobjetivosestablecidos,el contenido que se pretende abordar con dicho material, el nivel al que va dirigido, las característicasdelosalumnosylasdiversasactividadesquesepuedenimplementarconel materialtangible.elmayorvalordelautilizacióndelosmaterialestangiblesenlaenseñanza delasmatemáticasconsiste,enquepermitealestudiante,tenerexperienciasconcretasy desarrollar su capacidad de razonamiento abstracto. El presente trabajo expone una propuestadematerialdidácticotangible,paraabordareltemadelasraícescuadradas. Palabrasclave:Raízcuadrada,geométrico,materialdidáctico Introducción La matemática es una ciencia fundamental presente en nuestro entorno, su enseñanza se formalizacuandoempezamosaasistiralaescuela,yesapartirdesuestudiodondesurgen diversasestrategiasparasuenseñanza.laimplementacióndematerialesdidácticosenelproceso deenseñanzaaprendizajepuedeofrecerbeneficiosalaeducaciónmatemática,sinembargo,hay quetomarencuentaenquémedidanospuedeayudaralograrlosobjetivosestablecidos,el contenidoquesepretendeabordarcondichomaterial,lascaracterísticasdelosalumnos,elnivel alquevadirigido,lainfraestructuradelaescuelaylasdiversasactividadesquesepueden implementarconél.elmayorvalordelautilizacióndelosmaterialesenlaenseñanzadelas matemáticasconsiste,enquepermitealestudiante,hacerexperienciasmentalesasumediday desarrollar,deestemodo,sucapacidadderazonamientoabstracto. Objetivo Enestetrabajopresentamosunapropuestadeunmaterialdidácticotangibleconelcualse pretendeabordareltemadelaraízcuadrada.nuestraintenciónesque,apartirdemanipular ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 759

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 dichomaterial,losestudiantesdeduzcaneinterpretengeométricamentelaraízcuadrada,locual lespermitaposteriormenteapreciarelalgoritmocorrespondienteparacalcularla. Marcodereferencia Laprácticaeducativanopuedeteneréxitosinoseconsiguequeelalumnosearesponsabledesu propioprocesodeaprendizaje.ausubel,(citadoennegrete,s.f.),sintetizasuposturaantela pedagogíaenlasiguientefrase: situviesequereducirtodalapsicologíaeducativaaunsolo principio,enunciaríaéste:elfactormásimportantequeinfluyeenelaprendizajeesloqueel alumnoyasabe.averígüeseestoyenséñeseconsecuentemente.hacenotar,deestamanerasu teoríadelaprendizajesignificativo,dejándonosapreciarqueelaprendizajedelalumnodepende delaestructuracognoscitivapreviaqueserelacionaconlanuevainformación.porestructura cognoscitiva se entiende al conjunto de conceptos e ideas que un individuo posee en un determinadocampodelconocimiento,asícomosuorganización.unaprendizajeessignificativo cuandoloscontenidosserelacionandemodosustancial(demodonoarbitrario;nialpiedela letra)conloqueelalumnoyasabe.esdecir,lasnuevasideasserelacionanconalgúnaspecto existenteenlaestructuracognoscitivadelalumno.enelprocesoeducativoesentoncesrealmente importanteconsiderarloqueelindividuoyasabe,detalmaneraqueseestablezcaunarelación conaquelloquedebeaprender. Elaprendizajesignificativoocurrecuandounanuevainformaciónseconectaconunconcepto relevantepreexistenteenlaestructuracognoscitiva.lasnuevasideas,conceptosyproposiciones pueden ser aprendidos significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposicionesrelevantesesténadecuadamenteclarosydisponiblesenlaestructuracognoscitiva delindividuoyquefuncionencomopuntodeanclajedelasprimeras.sedicequees aprendizaje significativo porqueesatravésdeestaconexiónconconceptosrelevantescomolainformación adquieresignificadoenlapersona. Ahora,paraqueelaprendizajeseasignificativo,debemosinsistirquématerialdeaprendizaje, puede relacionarse de manera sustancial con alguna estructura cognoscitiva específica del alumno. Éste debe poseer significado lógico, es decir, tener relación de forma intencional y sustancialconlasideascorrespondientesquehaydisponiblesenlaestructuracognoscitiva. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 760

3 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Engeneralnoesfácilconseguireldesarrollodelacapacidadderazonamientoabstracto,peroes precisamenteeneltratamientodelosobjetosgeométricos,consumanipulaciónydeducciónde propiedadessencillas,dondemássepuede visualizarlaabstracción,dondeestámáspróximo lo concreto de lo abstracto y donde el desarrollo de estas capacidades está al alcance del estudiante,ademáscuandolosestudiantesvanconstruyendosuspropiosconocimientosllegan, conmásfacilidadacomprenderlosconceptosyaentenderlossignificadosdeaquelloqueestán trabajando,yvandotandodesentidolosnuevosaprendizajes. Losmaterialesmanipulativostangiblespuedenapoyarypotenciarelrazonamientomatemático, estos materiales (concretos) se caracterizan por poner en juego la percepción táctil. Baéz y Hernández(2002)señalanalgunasventajasdelosmaterialesconcretos: Conelusodelmaterialconcretosiempreseestáenopciónparahacerusodelaintuición. Primeramente,elmaterialconcretotieneunfuertecarácterexploratorio,loquehaceposibleque losestudianteshaganusodelrazonamientoeinicienladiscusión,comounasólidareferenciapara juzgarlavalidezdelasafirmaciones,enlugardequelaautoridaddelmaestrosealaúnicabase paracorregir.esmásefectivousarlosmaterialesconcretoscomounmarcoparalaresoluciónde problemas,discusión,comunicaciónyreflexión,inclusivelaslimitacionesdelmodelomanipulativo puedegenerarlachispaparaalgunasdiscusionesenclase. Enunasegundainstancia,amedidaquelosestudiantestrabajanconlasherramientasporun tiempoconsiderableydesarrollanmásymáselentendimientodelosconceptosmatemáticos, ellostienenmenosnecesidaddeherramientasconcretas,sirviendolaspiezasconcretassolamente comounpuentehaciaelentendimientodeideasabstractas. Enuntercerplano,elmaterialdidácticomanipulableesuncomplemento,nounsustitutodeotras representaciones.enparticular,lasrepresentacionesgráficas,lalistasistemática,laestimacióny sobretodolaalgebraicasonextremadamenteimportantes. Cabeseñalarquelafuncióndelosmaterialesmanipulablesenelplandeestudiosesayudarnosen el proceso enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, que sirvan de puente para otras representaciones, de tal forma que las piezas concretas no son la solución mágica a los problemasenelterrenomatemáticoquealgunosprofesoreslepuedanasignar.deacuerdocon BaézyHernández(2002)esimportanteprestaratenciónalassiguientesconsideraciones: ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 761

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 El poder de las piezas manipulativas no puede ser usado efectivamente sin una adecuada preparación del profesor. Las piezas manipulables no hacen fácil a las matemáticas, y los profesoresnecesitanaprendercómousarlas. Cuandolosalumnosalcanzanunnivelsofisticadodemanipulacióndelaspiezas,puedendarla impresióndequeentiendenbienlosconceptosmatemáticospero,noolvidemosquelaspiezas sólosonunpretextoparallegaralaetapasimbólica. Laatencióndebeserpuestaenayudaratransferirloquelosalumnossabenconlaspiezas manipulables a otras representaciones, incluida la simbólica, numérica, etc. Recordar que la transferencianosedaespontáneamente. Finalmenteexisteelpeligrodequeelusodepiezasgeométricas fije alalumnosolamenteal momentoconcreto.esdecir,sinoseempleanadecuadamentelaspiezasgeométricasoseabusa deellas,elusodemodelosconcretospuedeocultarloquesepretendeenseñar.losmodeloscon piezasgeométricaspuedenanclaralosestudiantesauncontextoconcretoprogresandodentrode estecontexto,demorandolaconstruccióndelasintaxismatemática. Diseñodelmaterialdidáctico FormemosCuadrados Considerando el referente anterior, elaboramos el material que denominamos Formemos Cuadrados paraabordareltemadelaraízcuadrada.colínymartínez(2007)realizanunestudio enrelaciónalosfenómenosdidácticosligadosalasconcepcionesdelosestudiantesrespectoala raízcuadrada.señalanquelasconcepcionesseencuentranestrechamenteligadosalosconceptos escolaresyalanaturalezaysignificadosdelaraízcuadrada,porejemplo,lanociónderaíz,posee almenosdossignificadosexplícitos.laprimeraesusadaparaseñalarcadaunodelosvaloresque puedetenerlaincógnitadeunaecuación.lasegundaacepciónesusadaparaseñalaralacantidad quesehademultiplicarporsímismaunaomásvecesparaobtenerunnúmerodeterminado.en esesentido,laradicación(laaccióndedeterminarlacantidadquehademultiplicarporsimisma unaomásvecesparaobtenerunnúmerodeterminado)esconsideradalaoperacióninversadela potenciación(laaccióndemultiplicarporsímismaunaomásvecesparaobtenerunnúmero determinado).enparticular,laraízcuadradaeslaoperacióninversadeelevaralcuadrado. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 762

5 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Tomandoencuentaqueeltratamientodidácticoqueseledaaltemadelaraízcuadradaenel contexto escolar, privilegia el aspecto algorítmico, decidimos generar un material didáctico tangible,quepermitaalosestudiantesirdeloconcretoaloabstracto,delogeométricoalo aritmético. Dicho material está conformado por piezas de madera, con las siguientes especificaciones:piezasde1cmx1cmx1cm,lascualesrepresentanalasunidades,piezasde 10cmx1cmx1cmquerepresentanalasdecenasypiezasde10cmx10cmx1cmquerepresentan alascentenas(fig.1). Fig.1.Materialdidáctico Fig.1.Piezasdemadera,elaboradaspararepresentaralasunidades,decenasycentenas. Loscoloressóloproporcionanunestímulovisual,ennuestrocaso,escogimosrojo(unidades),verde (decenas)yazul(centenas). Pretendemosqueelestudianteformecuadradosconlaspiezasqueconstituyenelnúmeroalcual selevaahallarlaraízcuadradaexacta,esdecir,queremospermitirlealalumnoquemediantela manipulación de este material (el de formar cuadrados) le atribuya un significado a la raíz cuadrada,detalmaneraquepuedatransitardelogeométricoaloaritmético.deacuerdocon Ausubel(citadoenNegrete,s.f.),dequeunfactorimportantequeinfluyeenelaprendizajeeslo queelalumnoyasabeyqueelaprendizajesignificativoocurrecuandounanuevainformaciónse conectaconunconceptorelevantepreexistenteenlaestructuracognoscitiva,nuestropropósito es que a partir de nociones conocidas, como unidades, decenas, centenas, cuadrados, agrupaciones de unidades para generar decenas, y de decenas para generar centenas, los estudiantesconectendichosconceptosalanuevainformación,enlugardepartirdelanociónde radical,radicando,raízeíndiceparapresentarelestudiodeunaraízcuadrada. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 763

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Apreciando la forma en que se espera trabajar con el material tangible; a continuación presentamos(atravésdeunasecuenciadeimágenes),unconjuntodepasosquerepresentan geométricamentelaraízcuadrada,porejemplo,delnúmero665: Fig.2.Paso1.Notacióndesarrolladadelnúmero665. 6centenas,6decenasy5unidades Fig.3.Paso2.A)Formamosuncuadradocon4 centenasynossobran2,b)lascualescambiamos por20centenas. Fig.4.Paso3.Ahoraformemosunnuevocuadrado usandolasdecenas. Fig.5.Paso4.Ahora,esnecesariorealizarcambio dedecenasporunidades ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 764

7 Capítulo2.Propuestaparalaenseñanzadelasmatemáticas Fig.6.Paso5.Completemoselcuadradoconlas unidades Fig.7.Paso6.Cuadradocon25unidadesencada lado.residuo:4decenas Perspectivasfuturas El siguiente paso en nuestro trabajo es la puesta en escena de la propuesta, para ello consideramosrealizarelestudioaposteriori,quenospermitaidentificarlapresenciadeun aprendizajesignificativoenlosestudiantes,medianteelempleodedichomaterialtangible.en virtuddequeeloperadorraízcuadradaespresentadoenelprimerañodesecundaria,yloslibros de texto lo abordan como la operación inversa de elevar al cuadrado un número, nuestra intenciónestrabajarconestudiantesdedichogrado. Referenciasbibliográficas Báez,M;Hernández,S.(2002).ElUsodeMaterialConcretoparalaEnseñanzadelaMatemática. Taller de Matemáticas del Centro de Ciencia de Sinaloa. Obtenido Noviembre 13, 2007, de Colín,M.P.yMartínezG.(2007).Delaaritméticaalcálculo:Unestudiotransversaldelaraíz cuadrada.endepartamentodematemáticas,universidaddesonora.memoriasdelaxviisemana RegionaldeInvestigaciónyDocenciaenMatemáticas.MosaicosMatemáticosN.20,(pp.4550). México. Negrete,M.(sf).DavidAusubelyelaprendizajesignificativo.Recuperadoel1dediciembredel 2008,dehttp:// ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 765