LA VISUALIZACIÓN, COMO ESTRATEGIA DE ESTUDIO EN EL CONCEPTO DE DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

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1 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas LAVISUALIZACIÓN,COMOESTRATEGIADEESTUDIOENELCONCEPTODEDEPENDENCIA EINDEPENDENCIALINEAL CarlosOropezaLegorreta,JavierLezamaAndalón FESCUNAM,CICATAIPN México Campodeinvestigación: Pensamientomatemáticoavanzado Nivel: Superior Resumen.Enestetrabajonosapoyamosdeexperienciasenclaseconestudiantesdelcursode Álgebra Lineal, en las que se les proponen actividades que los conducen a elaborar representacionesdecaráctergeométricodelosconceptosdecombinaciónlineal,dependencia e independencia lineal. Estas experiencias ponen su atención en representaciones geométricas,quenosbrindaránelementosparaproblematizarlaadquisicióndelosconceptos dedependenciaeindependencialineal,reconociendoenellosunaespecialcomplejidaddebido alniveldeabstracciónquepresentan.esenlosescenariosgeométricosquepodremos,apartir de la actividad matemática desarrollada por los estudiantes, encontrar los indicios de comprensiónonodedichosconceptosyestructurarpreguntasprecisassobrelaadquisiciónde losconceptosenálgebralinealporpartedelosestudiantes. Palabrasclave:visualización,combinaciónlineal,dependenciaeindependencialineal Introducción Laenseñanzayaprendizajedelálgebralinealenlasescuelasdeingenieríarepresentaun conjuntodedificultadesdiferentesalasquesepresenta,porejemploenelcálculo.en esta materia, es frecuente motivar la enseñanza de los conceptos a partir de otros conocimientosfísicosogeométricospresentadospreviamente,peroenelálgebralinealla mayorpartedeconceptossonpresentadosporloslibrosdetextorecomendadosparasu estudio,comodefinicionesformalesdeobjetoscuyaexistencianotiene(enlamayoríade loscasos)conexiónconconocimientospreviosniargumentosgeométricosofísicosque motiven la definición presentada. En el ámbito escolar, el carácter abstracto de esta materiahaobligadoalacomunidadmatemáticadeestaespecialidadhareflexionarcon relaciónalabúsquedaderepresentacionesdiferentesdeltema.conelfindeclarificarlas dificultades que enfrentan los alumnos al estudiar el concepto matemático de 23 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 dependenciaeindependencialinealenpolinomiosdesegundogradoqueseabordaenla asignatura de álgebra lineal, en esta investigación se pretende hacer uso de las representacionesvisualesparaquelosalumnospuedanincorporarlasenlabúsquedade significadosenelconceptoantesreferido.tradicionalmentelosproblemasasociadosse resuelvenusandoladefinicióndadajuntoconargumentosderivadosdelalógica.esto hace que muchos estudiantes sientan que la materia es demasiado abstracta (se ha observadoqueencursoconvencionallosestudiantessoncapacesdedeterminarsiun conjunto de vectores forman o no un espacio vectorial, es decir pueden aplicar los axiomas con la dificultad inherente correspondiente, pero cuando se les cuestiona respectoasusignificado,ellosnopuedenarticularunarespuesta,entendemosestehecho como una manipulación algebraica carente de significado) y que los contenidos son objetosquenotienenrelaciónconalgoquesepuedaaplicarenlarealidad.entrelos problemasrelativosalaprendizajedelálgebralineal,estánlasdiferentesrepresentaciones que puede tener un mismo objeto y para las cuales no resulta muy claro para un estudiantequesetratadelmismoobjeto.porejemploenunmomentodadosepuede presentaralconjuntodesolucionesdeunsistemadeecuacioneslinealeshomogéneo comounsubespaciovectorialyenotromomentoesemismoconjuntosepuedepresentar comoelnúcleodeunatransformaciónlinealobienesfrecuenteayudarsedelageometría enr 2 or 3 paravisualizarlasumadevectores,peroesdifícilusarlageometríapara visualizarlassumasenespaciosvectorialescomopolinomiosomatrices.elalumnose encuentra,entonces,condosrepresentacionesdiferentesdelasumadevectores,una geométricaconunadefiniciónformalyotraenteramenteformalparaespaciosvectoriales generales. EnbuscadeunMarcoTeórico Esmiinterésencontrarunpuntodevistaquemepermitareflexionarestrategiasdela visualización,dentrodelasperspectivasgenerales,losinvestigadoreshandesarrollado 24 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas múltiplesmarcosteóricoslocalesymetodologíasquecaracterizandeformasdistintasel modoenquelaspreguntasdeinvestigaciónseeligenyexpresanyelmodoenqueson abordadas(afectando,portanto,eltipoderesultadosquesepuedeobteneryelmodoen que son descritos). Artigue (2003). El desarrollo de las teorías que fortalecen la importancia de la visualización matemática, considerada como la habilidad para interpretar y representar de manera diferente la información percibida y la reflexión extraídadeinformaciónvisual,imponealosautoresdetextosconsiderarestasideaspara presentar nuevas propuestas de enseñanza. (Hitt, 2002). Arcavi (1999), admite haber combinado las definiciones de Zimmermann y Hershkowitz, declarando que la visualizacióneslacapacidad,elprocesoyelproductodecreación,interpretación,empleo dereflexiónsobrecuadros,imágenes,diagramas,ennuestrasmentes,enpapelocon herramientas tecnológicas, con el propósito de representar y comunicar información, pensandoydesarrollandoideasdesconocidasyanticipandoelentendimiento. Porotraparte,lavisualizaciónnopuedeserentendidacomoelsimpleactodever,sino como la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejarinformaciónvisualenelpensamientoyellenguajedelqueaprende (Cantoral& Montiel,2002,p.24).Enlavisualizaciónseutilizanmatemáticasrelacionadasconelcampo delonumérico,gráfico,algebraico,verbalytambiéndelogestual.deestamanera,la visualización opera con el funcionamiento de las estructuras cognitivas, las relaciones entrelasdiversasrepresentacionesdeunobjetomatemáticoyademásintervienenen unadeterminadacultura.lavisualizacióndeunproblemamatemáticojuegaunpapel importante,ytienequeverconentenderunenunciadomediantelapuestaenjuegode diferentesrepresentacionesdelasituaciónencuestiónyellonospermiterealizaruna acciónqueposiblementepuedeconducirhacialasolucióndelproblema. Desde este punto de vista, en un primer acercamiento, no solamente es importante entenderlasdificultadesparamanipularcadaunadeesasrepresentaciones,tambiénloes elanálisisdelastareasdeconversiónentrerepresentacionesquedebemosproponera 25 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 nuestrosestudiantes.tambiénesimportantenopriorizaralgunadeellasendetrimento de otras cuando estamos promoviendo un proceso de construcción de un concepto matemático. Unpardeexploraciones El reporte que se presenta parte de experiencias escolares, hasta el momento se ha podidoidentificaralgunosrasgosquemuestranlasdificultadesenlainterpretacióndel conceptodedependenciaeindependencialineal,sehaobservadoporejemplo,quelos estudiantespuedenhacerusodelavisualizacióncuandoalpartirdeunpardevectores comodatolocalizancualquierpuntoenelplano,construyenunarectayconunconjunto derectasformanlatotalidaddelplano.alfinaldelaactividadquesedescribe,algunos estudianteslleganaladefinicióndecombinaciónlinealcomounresultadoquereflejaun ciertogradodegeneralización,perocuandopasanaldesarrollodelasegundapartedel diseñoyloscuestionamientossonrelacionadosconaspectosvisualesdentrodeltemade lospolinomiosdesegundogrado,losparticipantesnopuedanllegaracategorizarsiun conjuntodeestetipoeslinealmentedependienteoindependiente(talcomosepuede apreciarenelpardeexploracionespropuestasenestedocumento). Dentrodenuestrainvestigación,otrodeloselementosquepretendemosestudiarsonlas dificultadesquesepuedanpresentarenelusoymanejoporpartedelosestudiantesdel conceptodenominadoisomorfismoentrelospolinomiosdesegundoordenyelespacio R 3,asícomoestudiarlapropuestaquetienequeverconelhechodequelosalumnos logrentransitarenelsentidoinverso,esdecir,partirdeunvectordeposiciónenr 3 y llegaralarepresentacióndeunpolinomiodesegundogradodealgunamanera.además de utilizar el transito entre estas dos representaciones como una extensión de los antecedentesycaracterísticasdelosvectoreslibresconlosquecuentaelestudianteycon elloreplantearunapropuestaalternativaquenosproporcioneevidenciasencuantoala disminuciónonodelasdificultadesenelmanejodedichoconcepto. 26 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas Del grupo de estudiantes de ingeniería que participaron en la puesta en escena, se muestrandosdelasrespuestasqueellosdieron.lacomunidadestudiantilparticipante resolviótodasycadaunadelasactividadesquesehandiseñadohastaestemomento paratalefecto.larazónporlacualdecidimosmostraresteextractodesutrabajo,es porqueenelsepuedendistinguiralgunosdelosrasgosquehemosencontradoenforma regular: Danevidenciadequecuandohacenusodelavisualizacióncomoestrategiade estudioenelespaciodelosvectoreslibres,éstalespuedeayudarenlareflexióny análisisdesuspropuestasdesoluciónylespermitereplantearenciertogrado (cuando es necesario) las posibles correcciones de sus respuestas. Podemos considerar entonces que en dicho espacio vectorial, la visualización puede contribuirenelestudiodelosconceptosdecombinaciónlinealydedependencia lineal. Elreconocimientodequelavisualizaciónsepuedeconvertirenunobstáculopara caracterizar si un conjunto de polinomios de segundo grado es linealmente dependiente o independiente cuando se realiza la gráfica de las parábolas respectivasenelplanocartesiano. Manifiestanlanecesidaddeutilizarotrasestrategiasalternativasparalograrsu objetivo,sindesprendersedelapropuestaemergidadelavisualización,debidoal roldeesta,ensuvidacotidiana. De esta reflexión, se abren nuevas interrogantes es el contexto de los objetos matemáticosloquenopermiteverconclaridadlosresultados?, Quéhacequelos estudiantesnopuedanentenderelconceptodecombinaciónlinealconpolinomiosde segundogrado? Porquénoentiendenconlamismaclaridadelasuntosesumarorestar unvector(polinomios)? 27 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Porquéenlospolinomioselestudiantenopuededecirenformadirectasielconjunto queselepresentaesonolinealmentedependiente? Enelmaterialdelafigura1quesemuestraacontinuación,seaprecianlasrespuestas planteadas por un grupo de estudiantes, se observa que los estudiantes pensaron intuitivamenteyproponenensusrespuestasque ladependenciaoindependencialineal serelacionabaconlaexistenciaonodeunpuntodeintersección. Figura1 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 28

7 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas Enlaprimerapartedeestafigurasepuedeobservarqueladependenciaeindependencia linealenelespaciodelospolinomiosdesegundogradoesdeterminadaporelpuntode intersección entre las parábolas correspondientes. En la segunda parte, se puede identificar la intención de generalizar su idea inicial, se aprecia que hacen uso de la definición de combinación lineal como un elemento que determina la producción de parábolasqueseintersecanenunpuntocomún,podemosconsiderarquesupropuesta centradaen elanálisis algebraico de casosparticulares no lesproporciona elementos suficientesparaestructurarunplanteamientogeneral. Nótese en la figura 2, que la exploración realizada por este grupo de estudiantes se relacionaconlaideademultiplicidadentredospolinomiosdesegundoordenylaintentan relacionarconlospuntosquecontienenencomúnlasgráficasdeestasparábolas. Figura2 29 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21 Enlapregunta3queselesproponeenestaactividad,losestudiantesyanologran encontrar la regularidad que habían focalizado, pues en el ejercicio se incluyen dos polinomiosquesonmúltiplosperoquenoseintersecanyestorompeconlaestrategia queelloshabíanutilizado,situaciónquepuedeserobservadaconclaridadaldarlecturaa lapreguntaquealfinaldesutrabajolosestudiantesplantean quéimplicaqueenelcaso 3yanosecumplaquelasparábolastenganelmismopuntocomún? Quéaprendimosdelasexploracionesrealizadas? Las reflexiones que nos ha proporcionado la puesta en escena de las actividades mostradassonlassiguientes: Ladependenciaeindependencialinealdelospolinomiosdesegundogradonose relaciona con los puntos de intersecciónentre las parábolas asociadas con los mismos. Ladependenciaeindependencialinealdepolinomiosdesegundogradonose relacionaconlamultiplicidadentredosvectores. Los estudiantes buscan dar respuestas aquello que no logran entender con elementosconocidosyprivilegianelaspectoalgebraicoparalasusolucióndelas actividadespropuestas. Hacerusodelisomorfismoentrelospolinomiosdesegundogradoylosvectores en el espacio R 3, podría proporcionarnos información para replantear cuestionamientosrelacionadosconlasdificultadesalusarlavisualizacióncomo estrategiadeestudiodelconceptodeladependenciaeindependencialineal. 30 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

9 Categoría1Análisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticas Referenciasbibliográficas Arcavi,A.(1999).Theroleofvisualrepresentationsinthelearningofmathematics.En Hitt, F., Santos, M. (Eds.), Proceedings of the Annual Meeting of the North American ChapteroftheInternationalGroupforthePsychologyofMathematicsEducation.(pp.55 80).Morelos,México Artigue,M.(2003). Quésepuedeaprenderdelainvestigacióneducativaenelnivel universitario?boletíndelaasociaciónmatemáticavenezolana,vol.x(2), Cantoral,R.&Montiel,G.(2002).UnapresentaciónvisualdelpolinomiodeLagrange. EnseñanzadelaMatemática.AsociaciónVenezolanadeEducaciónMatemática,Vol.11 (1),2438. Sierpinska,A.(1996)Problemsrelatedtothedesignoftheteachingandlearningprocess in linear algebra, Research Conference in Collegiate Mathematics Education, Central MichiganUniversity. 31 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.