Suavizamiento de contornos Una técnica para la reducción de puntos

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1 Suavizamiento de contornos Una técnica para la reducción de puntos Romualdo Mariano Matias Universidad Autónoma de la Ciudad de México Pablo Barrera Sánchez Guilmer González Facultad de Ciencias, UNAM Escuela Nacional de Optimización y Analisis Numérico

2 Plan de la plática Objetivo de la plática Qué es un contorno? Formulación matemática del problema Puntos Dominantes Curvatura Máxima Colinealidad Perímetro Mínimo Comentarios finales

3 Objetivo de la plática? Objetivo de la plática? Dada una región plana irregular, queremos obtener un contorno similar más suave(que la información sea más compacta) Para esto se construira una poligonal que cumpla: 1) Aproxime al contorno original. 2) Respete la forma de la curva. 3) Reduzca la cantidad de puntos.

4 Qué es un contorno? Qué es un contorno? Sea Ω una región acotada, simplemente conexa, y C = Ω, C = {(x, y) f (x, y) = 0} C = { x t [a, b], x(a) = x(b)} C = Polígono (P 1, P 2,..., P n, P n+1 = P 1 ) C = CdigodeCadena

5 Qué es un contorno Figura: Contorno discreto del cromosoma

6 Qué es un contorno Qué es un Código de Cadena Los códigos de Cadena se utilizan para representar un contorno por medio de una sucesión conexa de segmentos de longitud y dirección especificas.

7 Figura: (a)contorno digital con el cuadriculado de muestreo superpuesto;(b)resultado del muestreo;(c)código de cadena de 4 direcciones;(d)código de cadena de 8 direcciones Qué es un contorno

8 Formulación del problema Formulación del problema Sea C = {p i = (x i, y i ), i = 1,..., m}, p m+1 = p 1 una poligonal cerrada de digital de m-puntos ordenados que la describen. El problema es encontrar una colección de n-puntos de manera que: C = { p i = (x i, y i ), i = 1,..., n} 1) n es significativamente más pequeño que m. 2) Los vértices de C son un subconjunto ordenado de C. 3) los contornos son muy parecidos

9 Puntos dominantes Puntos dominantes Diremos que un conjunto de puntos son dominantes de un contorno,si es posible reconstruir adecuadamente el contorno con esos puntos. Los puntos dominantes serán los vértices del nuevo contorno.

10 Puntos dominantes En el trabajo que discutiremos, presentaremos tres técnicas heuristicas para detectarlos. Curvatura máxima Colinealidad por distancia máxima Perímetro mínimo

11 Puntos dominantes :Curvatura máxima Curvatura máxima Dado un valor de k para cada punto p i del contorno definimos una vecindad S(p i ) = {p i k,..., p i 1, p i, p i+1,..., p i+k } Sobre ésta vecindad encontraremos la máxima curvatura acosiada a p i usando el coseno del ángulo

12 Puntos dominantes:curvatura máxima Para cada p i calculamos el coseno del ángulo, entre el punto y los k-subsecuentes cos ij = cos( P i P i+j, P i, P i j ), j = 1,..., k

13 Puntos dominantes:curvatura máxima Tomemos un cuadrado formado por puntos con ruido como se muestra en laa figura de abajo.

14 Puntos dominantes:curvatura máxima Usando k = 3, calculamos los k-cosenos de cada punto.

15 Puntos dominantes:curvatura máxima Región de soporte Identificamos h i donde ocurre un cambio de orden de crecimiento cos im < cos i,m 1 <... < cos i,hi cos i,hi 1.

16 Puntos dominantes:curvatura máxima Curvatura máxima para cada punto y su radio de soporte

17 Puntos dominantes:curvatura máxima Puntos dominantes Los puntos p i donde cos i,hi cos j,hj para todo j tal que i j h i 2 como la curvatura máxima.esos serán los puntos dominantes.

18 Puntos dominantes:curvatura máxima Ejemplo Figura: 22 puntos originales,4 puntos dominantes, para k = 2

19 Puntos dominantes:colinealidad Colinealidad por distancia ortogonal. Ésta técnica identifica los puntos dominants como aquellos que no son colineales. La idea es fijar un punto digamos p i y elegir una dirección, y detectar los puntos que no están alineados.

20 Puntos dominantes:colinealidad Criterio de distancia ortogonal Tomando p 1 calculamos F 1 = d(p i, p i+1 ) Formamos la recta L 2 que pasa por p i a p i+2 y calculamos la distancia de p i+1 a la recta L 2 y hacemos F 2 = d(p i, p i+2 ) d(p i+1, L 2 ) y si F 2 > F 1 continuamos

21 Puntos dominantes:colinealidad Criterio de distancia ortogonal Formamos la recta L 3 que pasa por p i a p i+3 y calculamos la distancia de p i+1 a la recta L 3 y la distancia de p i+2 a la recta L 3 y hacemos F 3 = d(p i, p i+1 ) d(p i+1, L 3 ) d(p i+2, L 3 ) y si F 3 > F 2 continuamos

22 Puntos dominantes:colinealidad Criterio de distancia ortogonal Formamos la recta L 4 que pasa por p i a p i+4 y calculamos la distancia de p i+1 a la recta L 4, la distancia de p i+2 a la recta L 4 y la distancia p i+3 a la recta L 4 y hacemos F 4 = d(p i, p i+4 ) d(p i+1, L 4 ) d(p i+2, L 3 ) d(p i+3, L 4 ) y si F 4 < F 3, entonces P i+3 es un posible punto dominante.

23 Puntos dominantes:colineaalidad Criterio de distancia ortogonal El punto p i+3 ahora será nuestro nuevo punto de referencia y aplicaremos el procedimiento anterior a partir de éste punto y en dirección del contorno.

24 Puntos dominantes:colinealidad Algoritmo El algoritmo es simple: el contorno es una lista de datos, el útimo apunta al primero: El procedimiento descrito lo repetimos en la dirección de la lista circular hasta que uno de los vértices se repita y entonces todos siguientes son dominantes incluyendo éste.

25 Puntos dominantes:colinealidad Ejemplo Figura: 60 puntos originales,10 puntos dominantes

26 Perímetro mínimo Perímetro mínimo En esta técnica no se eliminan puntos. A cada punto p i del contorno se le asigna una vecindad v i de radio de r i.

27 Perímetro mínimo Función objetivo La función : n f (z) = [(x k+1 x i ) 2 (y k+1 y k ) 2 ] 1 2 k=1 es minimizada, sujeta a las restricciones p(x i, y i )ɛv i, i = 1,..., n

28 Perímetro mínimo Propiedades Dos situaciones pueden ocurrir:

29 Perímetro mínimo Ejemplo Figura: Cortorno original y suavizado

30 Comentarios finales Comentarios finales 1) Para la primera técnica. Experimentar con el orden k de vecindad de estudio. Comparar los promedios de los cosenos. Es independiente del punto de inicio 2) Para la segunda técnica. Es dependiente del punto de inicio y la dirección que se elija. Un peso w adecuado nos permitiría ajustar el criterio de secciones del contorno. 3) Para la tercera técnica. No se eliminan puntos