Introducción Aplicaciones Primer Algoritmo Segundo Algoritmo - Algoritmo de Fortune. Diagrama de Voronoi. Jose Luis Bravo Trinidad 1 / 29

Transcripción

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2 Definición Propiedades geométricas Índice 1 Introducción Definición Propiedades geométricas 2 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño 3 Implementación 4 Segundo - de Fortune 2 / 29

3 Definición Propiedades geométricas Definición Dado un conjunto de puntos {p 1,..., p n } en el plano, denominaremos diagrama de Voronoi a la subdivisión del plano en subregiones tales que la región i es el conjunto de puntos más cercanos a p i que a cualquiera de los p j, j i. 3 / 29

4 Definición Propiedades geométricas Propiedades El conjunto de puntos equidistantes de dos dados es una ĺınea recta El conjunto de puntos equidistantes de tres o más dados es un punto (si existe) Las componentes conexas del complementario del conjunto de puntos que equidistan de dos o más p i son las regiones buscadas. 4 / 29

5 Definición Propiedades geométricas Regiones Fijado un punto p i, consideremos para cada p j, j i las recta r j formada por los puntos que equidistan de p i y p j. La recta r j divide al plano en dos semiplanos, en uno de los cuales está p i, al que llamaremos π j. 5 / 29

6 Definición Propiedades geométricas Regiones La región del diagrama de Voronoi que contiene a p i puede obtenerse como la intersección de todos los semiplanos π j. V i = π j Como los semiplanos son convexos y la intersección de convexos es convexa, entonces cada región del diagrama de Voronoi es convexa. 6 / 29

7 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño Índice 1 Introducción Definición Propiedades geométricas 2 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño 3 Implementación 4 Segundo - de Fortune 7 / 29

8 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño Áreas de influencia Supongamos que tenemos un conjunto de recursos geográficos en un área (hospitales, colegios, antenas, servidores, etc). Podemos modelar la población que usará cada uno de esos recursos mediante un diagrama de Voronoi, asumiendo que el acceso se hará preferentemente al recurso más cercano y que la distancia euclidea aproxima bien al coste de desplazamiento. 8 / 29

9 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño Localizaciones Un problema relacionado con el anterior es, dada una serie de recursos, planificar dónde debería colocarse el siguiente. Si queremos que diste lo más posible de los existentes (o que el área cubierta sea máxima) entonces los vértices del diagrama de Voronoi son los puntos óptimos. 9 / 29

10 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño Thiessen neighbors Una manera de definir los vecinos de un punto dado, es considerar las regiones adyacentes a la región en la que se encuentra el punto. 10 / 29

11 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño Interpolación natural Dado un conjunto de datos obtenidos en ciertas localizaciones, se asigna a cada punto un valor en función del área que ocuparía su región (de Voronoi) sobre las regiones determinadas en el conjunto de puntos donde hay datos. 11 / 29

12 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño Triangulaciones Supongamos que tenemos una superficie dada por una serie de puntos y sus alturas. Uno de los modos de reconstruir la superficie es hacer una triangulación. De todas las posibles, la triangulación de Delaunay es la que tiene los ángulos menos agudos, por lo que es la que se utiliza para el modelado. 12 / 29

13 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño Caminos sin obstáculos Supongamos que tenemos una región con obstáculos. Si calculamos su diagrama de Voronoi (se puede hacer también cuando sustituimos los puntos por cualquier otra figura geométrica), las aristas del diagrama serán los caminos que pasan más lejos de los obstáculos. 13 / 29

14 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño Voronoi en la naturaleza/diseño Los diagramas de Voronoi están presentes en multitud de fenómenos naturales cuando muchas cosas crecen en un mismo espacio (cristales, células, etc). También el diseño actual lo toma como elemento de creación (ver más en, por ejemplo, theverymany.net). 14 / 29

15 Implementación Índice 1 Introducción Definición Propiedades geométricas 2 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño 3 Implementación 4 Segundo - de Fortune 15 / 29

16 Implementación Por simplificar, tanto en este algoritmo como en el siguiente nos centraremos sólo en calcular los vértices del diagrama de Voronoi, aunque se pueden completar para calcular el grafo completo. La manera más simple de calcular los vértices es: Considerar todas las combinaciones de tres vértices posibles. Para cada tres vértices, calcular el centro de la única circunferencia que pasa por ellos. Comprobar que dicha circunferencia no contiene a ningún otro vértice. Para no repetir combinaciones de tres vértices, podemos suponer que están ordenados, es decir, son p i, p j, p k con i < j < k. 16 / 29

17 Implementación Implementación Podemos generar todas sus combinaciones del siguiente modo: 1 Recorremos todas las posibilidades para el p i con un bucle (i tendrá que ir desde 1 hasta n 2. 2 Dentro del bucle anterior, recorremos todas las posibilidades para p j (j tendrá que ir desde i + 1 -j es mayor que i- hasta n 1). 3 Dentro del bucle anterior, recorremos p k (k desde j + 1 hasta n). Dentro de todos esos bucles, tenemos que calcular el circuncentro. Se puede buscar la fórmula o calcular la intersección de las dos mediatrices: entre p i y p j y entre p j y p k. Dentro del mismo bucle, habrá que recorrer todos los puntos para ver si algún otro punto queda dentro. 17 / 29

18 Implementación Como tenemos cuatro bucles anidados y cada uno recorre aproximadamente n valores, tendremos que el algoritmo tarda un tiempo del orden de n / 29

19 Índice 1 Introducción Definición Propiedades geométricas 2 Análisis de recursos Triangulaciones Robótica Diseño 3 Implementación 4 Segundo - de Fortune 19 / 29

20 Beach line El algoritmo de Fortune es una variación de los algoritmos tipo sweep line aplicado al cálculo del diagrama de Voronoi. El problema al barrer el plano con una ĺınea es que la parte del diagrama que cae por encima de la ĺınea puede modificarse por puntos que están debajo. Para evitar este problema se construye la beach line, el conjunto de puntos que equidistan de la sweep line y algún p i por encima de la sweep line. 20 / 29

21 Estructura de la beach line Para cada punto p i por encima de la sweep line, el conjunto de puntos que equidistan de p i y de la sweep line es una parábola. Si construimos todas las parábolas correspondientes a puntos p i por encima de la sweep line y tomamo el ínfimo de la coordenada y, obtendremos la beach line. Por tanto, estará formada por arcos de parábola. 21 / 29

22 Estructura de la beach line Cada dos arcos de parábola se cortan en un punto que equidista de dos p i (y de la sweep line ), luego será parte de una arista del diagrama de Voronoi. Los vértices del diagrama se corresponden con puntos donde coinciden las distancias de tres puntos. Cuando la beach line llegua a un punto de este tipo, lo que ocurre es que un arco de parábola desaparece. 22 / 29

23 Eventos Igual que en el algoritmo de intersección de segmentos, no guardaremos la beach line sino que sólo miraremos cuando cambia su topología (cuándo aparece o desaparece un arco de parábola). A los puntos en los que cambia la topología los denominaremos. Los se guardarán en una lista de, ordenada por la coordenada y de la posición de la sweep line que hace que ocurra el evento. Existen únicamente dos tipos de : la aparición de un nuevo arco o la desaparición de un arco. 23 / 29

24 Aparición de arcos Un nuevo arco únicamente puede aparecer cuando un nuevo vértice toca la sweep line. Cada arco lo marcaremos con el índice del vértice que lo ha generado. 24 / 29

25 Desaparición de arcos Como vimos anteriormente, un arco sólo desaparece en los vértices del diagrama de Voronoi. Es decir, en un punto q que equidista de tres p i cuyos arcos son consecutivos en la beach line. 25 / 29

26 global El esquema del algoritmo de Fortune es similar al de los algoritmos de sweep line : Generamos una lista con todos los que se conocen en el instante inicial. En este caso todos los puntos p i. Se ordenan según la ordenada y. Se genera una estructura para guardar la beach line. En este caso generaremos una matriz, aunque la estructura más eficiente es un árbol de búsqueda binario. Se elige el primer evento de la lista. Se elimina de la lista y se procesa. Repetimos el paso anterior hasta que no queden. 26 / 29

27 Manejo de Para terminar el algoritmo anterior sólo nos falta decidir cómo se procesa cada uno de los. Evento de creación: Se coloca un nuevo arco en la beach line. Para ello miramos qué arco cae en la vertical del punto que provocó el evento. Se marca el arco con el índice del punto que lo crea. Se miran las dos nuevas ternas que se han generado en la beach line para ver si se produce algún evento circular (es decir, se calcula el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos). En dicho caso se almacena el evento. Para los circulares, hay que almacenar a qué altura de la sweep line se producirán. La altura es la coordenada y del centro de la circunverencia menos su radio. 27 / 29

28 Manejo de Evento circular. Se elimina el arco correspondiente. Se comprueba si las nuevas ternas de puntos de la beach line producen algún evento circular. Se elimina cualquier evento circula que estuviese en alguna de las aristas que se han cortado (y en la dirección adecuada). Se añade el punto de intersección al diagrama de Voronoi. 28 / 29

29 El número de es proporcional al número de puntos, n, (se puede probar que el número de intersecciones del diagrama es proporcional a n). En cada evento el coste de procesarlo (si se emplea un árbol de búsqueda binario) es log(n), dando un tiempo total de n log(n). 29 / 29